中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(1)-弧中点的运用

圆压轴题八大模型题（一）

泸州市七中佳德学校 易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型1 弧中点的运用

在⊙O 中，点C 是⌒

AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .

（1）在图1中，你会发现这些结论吗？

①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；

②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .

（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？

【分析】

(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD ＝∠B ＝∠ACE ;∠PCF ＝∠PFC ,所以AP ＝CP ＝FP .

(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，⌒

DC ＝⌒

AC ＝⌒

AH ,再由弧叠加得：⌒

CH ＝⌒

AD ,所以CH ＝A D .

(1)③由共边角相似易证：△ACE ∽△ABC ,△ACP ∽△ADC ,△ACF ∽△BCA ,进而得AC 2＝AE ⋅AB ;AC 2＝AP ⋅AD ;AC 2＝CF ⋅CB ;

(2)垂径定理的推论得：C 0⊥AD ,易证：Rt △ABC ∽Rt △ACE ∽Rt △CBE ∽Rt △ACF ∽Rt △BDF ∽ Rt △ACG ∽Rt △CGF .

此外还有Rt △APE ∽Rt △AOG ∽Rt △ABD ∽Rt △CPG .运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.

建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。 【典例】

（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝

，CD ⊥AB ，

垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；

（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：

O

H

P F E

D

C B

B

C

D

E

F

P G O

（图1）

（图2）

直线CM 是⊙O 的切线．

【分析】（1）延长CD 与圆相交，由垂径定理得到＝

，再由

＝

得到

＝

＝

，等弧所对的角

相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC ⊥

BE ，再由锐角三角函数得到边BH 、OH 的长度，由对应边成比例得BE ∥CM ，由∠MCO ＝∠BHO ＝90°证得结论。

证明：（1）延长CD 交⊙O 于G ，如图， ∵CD ⊥AB ，∴＝， ∵

＝

，∴

＝

，

∴∠CBE ＝∠GCB ，∴CF ＝BF ； （2）连接OC 交BE 于H ，如图， ∵

＝

，∴OC ⊥BE ，

在Rt △OBH 中，cos ∠OBH ＝＝，

∴BH ＝×6＝

，OH ＝

＝

，

∵＝＝，＝＝，

∴

＝

，而∠HOB ＝∠COM ，

∴△OHB ∽△OCM ，∴∠OCM ＝∠OHB ＝90°，

∴OC ⊥CM ，∴直线CM 是⊙O 的切线．

【点拔】

弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。

【变式运用】

1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，

AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若

＝，

（图1-1）

（图4）

（图1-2）

则

＝ ．（）

2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接

DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FG

AF

值。 （1） 证明：在 ABCD 中，

∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180° ∵AE 与DE 平分∠BAD 和∠ADC

∴∠EAD ＝12∠BAD ，∠EDA ＝1

2

∠ADC ，

∴∠AED ＝180°－（∠EAD ＋∠EDA ）

＝180°－（12∠BAD ＋1

2∠ADC ）

＝180°－1

2

（∠BAD ＋∠ADC ）

＝180°－90°＝90°

∴AE ⊥DE

（2）解：在 ABCD 中，∵AD ∥BC ∴∠EAD ＝∠AEB ，且∠BAE ＝∠DAE ∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ， 同理：DC ＝EC ＝5

又∵AB ＝DC ，∴AB ＝BE ＝ DC ＝EC ＝5， ∴BC ＝AD ＝10

在Rt △AED 中，由勾股定理可得： DE ＝22221086AD AE -=-= ∵∠BAE ＝∠EAD ，∠AFD ＝∠AED ＝90° ∴△AFG ∽△AED ， ∴8463AF AE FG ED ===

3. （2012·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。 (1)求证：P 是线段AQ 的中点； (2)若⊙O 的半径为5，AQ ＝

，求弦CE 的长。

（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦CE ⊥AB ， ∴⌒AC ＝⌒AE ．又∵C 是⌒AD 的中点，∴⌒AC ＝⌒CD ， ∴⌒AE ＝⌒

CD ．∴∠ACP ＝∠CAP ．∴PA ＝PC ， ∵AB 是直径．∴∠ACB ＝90°．

∴∠PCQ ＝90°﹣∠ACP ，∠CQP ＝90°﹣∠CAP ， ∴∠PCQ ＝∠CQP ．∴PC ＝PQ ．

（图1-4）

（图1-3）

A

B

C D

E

F G 图9