中考数学专题复习 圆压轴八大模型题-三切线组合
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
圆压轴题八大模型题(五)
泸州市七中佳德学校 易建洪
引言:与圆有关的证明与计算的综合解答题,往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上,是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展,本文结合近年来各省市中考题,整理了这些习题的常见的结论,破题的要点,常用技巧。把握了这些方法与技巧,就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型5 三切线组合
直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,以AB 为直径的半圆⊙O 与CD 相切于点E .
【分析】(1)法一:如图(a )过点D 作DF ⊥BC ,AB =DF =22(94)(94)+--=12. 法二:如图(b )由△OBC ∽△DAO , 或△COE ∽△ODE 得:
r 2=4×9=36,r =6,AB =12.
(2) 由△OBC ∽△DAO ,或 △COE ∽△ODE 得:r 2
=AD BC ,( 2
AB )2
=AD BC ,
∴4AD ·BC =AB 2
(3)由Rt △CBO ∽Rt △COD 得:CO 2
=CB C D. (4)∠CFE =∠COG =∠EGD =90°,CO ∥AE ,DO ∥BE .
(3)求证:CO 2
=CB ·CD ;
图(1) 图(2) 图(3)
(1)AD =4,BC =9,求AB ; (2)求证:4AD ·BC =AB 2.
(4)求证:CO ∥AE , DO ∥BE .
(a )
(b )
【分析】(5)由CB ∥EF ∥DA ,CB =CE ,DA =DE 得
EP CP BP FP
DA CA BD DA
===
,∴EP =FP . (6)由CB =CE ,∠CBE =∠CEB =∠DEG ;CB ∥DA 得∠CBE =∠D ,∴∠DEG =∠D.∴DG =EG ,又EG =GA ,∴DG =AG . (7)EF ∥DA ,得
EP BP FP
DG BG GA
==
, 又DG =GA ,得EP =FP . (8)由AB 2
=4AD BC 得:(52
=4×2BC ,∴BC =,CF =BC =,BF =5. 在Rt △ABF 中,AF 22(25)5+=5由AD ∥BF 得4
5
AE AD EF CF ==,
∴EF =59AF =5
9
×5553【典例】
(2018·湖南娄底)如图,已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切,切点分别为
D 、
E 、C ,半径OC =1,则AE ·BE ___________.
【分析】连接 OE ,由切线长定理可得∠AOE =1
2
∠DOE ,∠BOE =
1
2
∠EOC ,再根据∠DOE +∠EOC =180°,可得∠AOB =90°,继而可证△AEO ∽△OEB ,根据相似三角形对应边成比例即可得.
解:如图,连接 OE ,∵AD 、AB 与半圆 O 相切, ∴ OE ⊥AB ,OA 平分∠DOE , ∴∠AOE =
12∠DOE ,同理∠BOE =1
2
∠EOC , ∵∠DOE +∠EOC =180°,∴∠AOE +∠BOE =90°, 即∠AOB =90°,∴∠ABO +∠BAO =90°, ∵∠BAO +∠AOE =90°,∴∠ABO =∠AOE ,
(5)求证:EP=FP.
(6)求证:DG=AG. (7)求证:EP=FP.
(8)若AB=25,AD=2,求BC 和EF 的长.
图(4)
图(5)
图(6)
图5-1
图a
∵∠OEA=∠BEO=90°,∴△AEO∽△OEB,
∴AE:OE=OE:BE,∴AE•BE=OE²=1,
答案:1.
【点拨】
由切线长定理引出的四个母子相似三角形中,含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除开由切线长所在的特殊四边形的特殊结论以外,往往借助切线长定理中的边等角等和比例线段证明线段相等,或运用局部占总体的比例求线段长。善于分解图形,构建基本的图形模型,综合运用解决问题。
【变式运用】
1.(2016大庆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H 是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH=3
2
,tan∠ABC=
3
4
,求⊙O的半径.
(3) 在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
解:(1)连接OH、OM,
∵H是AC的中点,O是BC的中点,
∴OH是△ABC的中位线,∴OH∥AB,
∴∠COH=∠ABC,∠MOH=∠OMB,
又∵OB=OM,∴∠OMB=∠MBO,
∴∠COH=∠MOH,
在△COH与△MOH中,
,∴△COH≌△MOH(SAS),
∴∠HCO=∠HMO=90°,
∴MH是⊙O的切线;
(2)∵MH、AC是⊙O的切线,
∴HC=MH=,∴AC=2HC=3,∵tan∠ABC=,∴=,
图b 图5-2
∴BC =4,∴⊙O 的半径为2.
(3)连接OA 、CN 、ON ,OA 与CN 相交于点I , ∵AC 与AN 都是⊙O 的切线, ∴AC =AN ,AO 平分∠CAD , ∴AO ⊥CN , ∵AC =3,OC =2, ∴由勾股定理可求得:
AO =,
∵AC •OC =AO •CI ,∴CI =,∴由垂径定理可求得:CN =, 设OE =x ,由勾股定理可得:CN 2
﹣CE 2
=ON 2
﹣OE 2
, ∴﹣(2+x )2=4﹣x 2,
∴x =,∴CE =,由勾股定理可求得:EN =, ∴由垂径定理可知:NQ =2EN =.
2.(2016广西梧州)如图,AB 、BC 、CD 分别与⊙O 切于E 、F 、G ,且AB ∥C D .连接OB 、OC ,延长CO 交⊙O 于点M ,过点M 作MN ∥OB 交CD 于N . (1)求证:MN 是⊙O 的切线;
(2)当OB =6cm ,OC =8cm 时,求⊙O 的半径及MN 的长.
(1)如图所示,连接OE 、OF 、OG . ∵OE 、OF 、OG 都是⊙O 的半径, ∴OE =OG =OG .
∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G , ∴∠OEB =∠OFB =∠OFC =∠OGC =90. 在Rt △OEB 和Rt △OFB 中, ,
∴Rt △OEB ≌Rt △OFB , 则∠OBE =∠OBF .
同理可证Rt △OFC ≌Rt △OGC , 则∠OCF =∠OCG . ∵AB ∥CD ,
∴∠OBE +∠OBF +∠OCF +∠OCG =180,
图c
图d 图5-2