2012年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年高考文科数学辽宁卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）答案解析第Ⅰ卷【答案】D【解析】21a b x =-=，1x ∴=，故选由题意，(1,1)a =-，(2,)b x =，【考点】向量的数量积 {2,49UA =，{0,1,3,7,9UB ={}(79)(),U U A B =【解析二】集合()()U U A B 即为在全集中去掉集合A 和集合此可快速得到答案，选B 。
【提示】由题已知全集{01,2,3,4,5,6,7,U =()()U U A B 。
【解析】48a a +=48a a =+【提示】利用等差数列的性质可得，【解析】sin cos α-sin cos α-【考点】三角函数中的倍角公式【解析】212y x =【提示】由2y x =【考点】利用导数公式以及用导数求函数的单调区间第Ⅱ卷【解析】2(n n a a +递增数列，且10a >【提示】由{}n a 为递增数列且1PF PF ⊥1|||PF PF +【提示】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
，2AB =该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，MPNP P =，面A ACC ''。
'平面B BCC '16NBC =。
也可通过面面平行来证明；与O'相切于AD BD AC BD AD AB=。
与O相切于，即AE BD AD AB=。
结合（AC与O'相切于与O相切于A，得第一问的结论即可得到AC AE=【考点】圆的切线的性质，三角形相似的判断与性质）解：圆C。
2012年高考文科数学辽宁卷及答案
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a (1,1)=-,b (2,)x =.若a b 1=,则x =( )A .1-B .12-C .12D .12.已知全集0,1,2,3,4,5,6,7,{}8,9U =,集合0,1,3,8{}5,A =,集合2,4,5,8{}6,B =,则()()U U A B =痧( )A .{5,8}B .{7,9}C .{0,1,3}D .{2,4,6} 3.复数11i=+( )A .11i 22- B .11i 22+ C .1i -D .1i + 4.在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则210a a +=( )A .12B .16C .20D .245.已知命题p ：12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≥,则p ⌝是( )A .12,x x ∃∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≤B .12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≤C .12,x x ∃∈R ,2121(()())()0f x f x x x --＜D .12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --＜6.已知sin cos αα-=(0,π)α∈,则sin2α= ( )A .1- B. C.2D .17.将圆222410x y x y +--+=平分的直线是( )A .10x y +-=B .30x y ++=C .10x y -+=D .30x y -+= 8.函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为( )A .(1,1]-B .(0,1]C .[1,)+∞D .(0,)+∞ 9.设变量x ,y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则23x y +的最大值为( )A .20B .35C .45D .5510.执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是 ( ) A .4 B .32C .23D .1-11.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积大于20 2cm 的概率为( )A .16B .13C .23D .4512.已知P ,Q 为抛物线22x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,2-,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( )A .1B .3C .4-D .8-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .14.已知等比数列{}n a 为递增数列.若10a >,且212()5n n n a a a +++=,则数列{}n a 的公比q = .15.已知双曲线221x y -=,点1F ,2F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点.若12PF PF ⊥,则12||||PF PF +的值为 .16.已知点P ,A ,B ,C ,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD是边长为的正方形.若PA =则OAB △的面积为 .三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列. (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC A B C '''-,90BAC ∠=,AB=AC 1AA '=,点M ,N 分别为A B '和B C ''的中点.(Ⅰ)证明：MN ∥平面A ACC ''； (Ⅱ)求三棱锥A MNC '-的体积.(锥体体积公式13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)19.(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性.若从.附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=,20.(本小题满分12分)如图,动圆1C ：222xy t +=,13t <<,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ,B ,C ,D 四点,点1A ,2A 分别为2C 的左,右顶点.(Ⅰ)当t 为何值时,矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程.21.(本小题满分12分)设()ln 1f x x =,证明：(Ⅰ)当1x >时,3()(1)2f x x <-；(Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图,O 和O '相交于A ,B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连结DB 并延长交O 于点E .证明：(Ⅰ)AC BD AD AB =； (Ⅱ)AC AE =.23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆1C ：224x y +=,圆2C ：22(2)4x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆1C ,2C 的极坐标方程,并求出圆1C ,2C 的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆1C 与2C 的公共弦的参数方程.24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知()|1|f x ax =+()a ∈R ,不等式()3f x ≤的解集为{|21}x x -剎?. (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若|()2()|2xf x f k -…恒成立,求k 的取值范围.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）答案解析第Ⅰ卷【解析】21a b x =-=，1x ∴=，故选【提示】由题意，(1,1)a =-，(2,)b x =，由数量积公式可得到方程可得出正确选项。
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标版)答案与解析
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．2．（5分）（2012•新课标）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5分）（2012•新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．1【考点】相关系数．【专题】规律型．【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D．【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）（2012•新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2） B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（）（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选A【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）（2012•新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．10．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B． C．4 D．8【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．11．（5分）（2012•新课标）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题12．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选D．【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．14．（5分）（2012•新课标）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=﹣2．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为115．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题；压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法16．（5分）（2012•新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin （A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得：b=c=2【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【考点】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．（12分）（2012•新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）（2012•新课标）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC 的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF 是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
【专家解析】2012年高考数学(文)真题精校精析(辽宁卷)(纯word书稿)
2012·辽宁卷(数学文科)1．[2012·辽宁卷] 已知向量＝(1，－1)，＝(2，x )，若·＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．11．D [解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算．解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式．因为·＝(1，－1)·(2，x )＝1×2－1·x ＝1⇒x ＝1，所以答案选D.2．[2012·辽宁卷] 已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B }＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．B [解析] 本小题主要考查集合的概念及基本运算．解题的突破口为弄清交集与补集的概念以及运算性质．法一：∵∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}． 法二：∵A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}， ∴(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}．3．[2012·辽宁卷] 复数11＋i ＝( )A.12－12iB.12＋12i C ．1－i D ．1＋i3．A [解析] 本小题主要考查复数的共轭复数与复数的除法运算．解题的突破口为分子分母同乘以分母的共轭复数．因为11＋i ＝1－i(1＋i)(1－i)＝1－i2＝12－i2，所以答案选A.4．[2012·辽宁卷] 在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12 B．16C．20 D．244．B[解析] 本小题主要考查等差数列性质的应用．解题的突破口为正确识记性质，应用性质．由等差数列的性质m＋n＝i＋j，m，n，i，j∈*，则a m＋a n＝a i＋a j，故而a4＋a8＝a2＋a10＝16，答案应该选B.5．[2012·辽宁卷] 已知命题p：∀x1，x2∈，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是() A．∃x1，x2∈，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<05．C[解析] 本小题主要考查存在性命题与全称命题的关系．解题的突破口为全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．故∀x1，x2∈，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定是∃x1，x2∈，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0，故而答案选C.6．[2012·辽宁卷] 已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1 B．－2 2C.22D．16．A[解析] 本小题主要考查同角基本关系与倍角公式的应用．解题的突破口为灵活应用同角基本关系和倍角公式．∵sin α－cos α＝2⇒(sin α－cos α)2＝2⇒1－2sin αcos α＝2⇒sin2α＝－1. 故而答案选A.7．[2012·辽宁卷] 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝07．C [解析] 本小题主要考查直线与圆的位置关系．解题的突破口为弄清平分线的实质是过圆心的直线，即圆心符合直线方程．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆的平分线一定过圆心，因为已知圆的圆心为(1,2)，把点(1,2)代人ABCD ，不难得出选项C 符合要求．8．[2012·辽宁卷] 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)8．B [解析] 本小题主要考查导数的运算与利用导数判断函数单调性．解题的突破口为导数大于0求单调递增区间，导数小于0求单调递减区间．∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，又因为定义域为(0，＋∞)，令y ′<0，得到0<x <1，故而函数的单调递减区间为(0,1]．9．[2012·辽宁卷] 设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．D [解析] 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．不等式组表示的区域如图1－1所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z3，故而当截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于⎩⎨⎧ x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩⎨⎧x ＝5，y ＝15，故而A 的坐标为(5,15)，代人z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.图1－110．[2012·辽宁卷] 执行如图1－2所示的程序框图，则输出的S 值是()图1－2A ．4 B.32 C.23 D ．－110．D [解析] 本小题主要考查程序框图的应用．解题的突破口为分析i 与6的关系．当i ＝1时，S ＝22－4＝－1；当i ＝2时，S ＝22－(－1)＝23；当i ＝3时，S ＝22－23＝32；当i ＝4时，S ＝22－32＝4；当i ＝5时，S ＝22－4＝－1；当i ＝6时程序终止，故而输出的结果为－1.11．[2012·辽宁卷] 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.4511．C [解析] 本小题主要考查几何概型．解题的突破口为弄清是长度之比面积之比还是体积之比．令AC ＝x ，CB ＝12－x ，这时的面积为S ＝x (12－x )，根据条件S ＝x (12－x )>20⇒x 2－12x ＋20<0⇒2<x <10，矩形面积大于20 cm 2的概率P ＝10－212＝23，故而答案为C.12．[2012·辽宁卷] 已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过PQ 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－812．C [解析] 本小题主要考查导数的几何意义的应用．解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率．由x 2＝2y 可知y ＝12x 2，这时y ′＝x ，由P ，Q 的横坐标为4，－2，这时P (4,8)，Q (－2,2), 以点P 为切点的切线方程P A 为y －8＝4(x －4)，即4x －y －8＝0①；以点Q 为切点的切线方程QA 为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0②；由①②联立得A 点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4.13．[2012·辽宁卷] 一个几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为________．图1－313．12＋π[解析] 本小题主要考查三视图和体积公式．解题的突破口为通过观察分析三视图，得出几何体的形状，是解决问题的根本．由三视图可知，几何体是一个长方体与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体的体积为V＝V长方体＋V圆柱＝4×3×1＋π×12×1＝12＋π.14．[2012·辽宁卷] 已知等比数列{a n}为递增数列．若a1>0，且2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的公比q＝________.14．2[解析] 本小题主要考查等比数列的概念与性质．解题的突破口为灵活应用等比数列通项变形式，是解决问题的关键．由已知条件{a n}为等比数列，则2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1⇒2(a n＋a n·q2)＝5a n q⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝12或2，又因为{a n}是递增数列，所以q＝2.15．[2012·辽宁卷] 已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．15．23[解析] 本小题主要考查双曲线的定义以及性质．解题的突破口为正确应用双曲线的定义．不妨假设点P位于双曲线的右分支上，故而|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝(2a)2＝4⇒|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝8，所以2|PF1||PF2|＝4，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝12，即|PF1|＋|PF2|＝2 3.16．[2012·辽宁卷] 已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形，若P A＝26，则△OAB的面积为________．16．33[解析] 本小题主要考查球的概念与性质．解题的突破口为弄清P A为球的直径，问题转换为求长方体的对角线．因为四边形ABCD是边长为23的正方形，故而AB＝AD＝23，如图1－4所示，P A，AB，AD两两垂直，可以补充成以P A，AB，AD为棱的球内接长方体，故而2R＝P A2＋AB2＋AD2＝43，所以R＝23，故而△OAB为等边三角形，S△OAB ＝34×(23)2＝3 3.1－417．[2012·辽宁卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C 成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．17．解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝1 2.(2)(解法一)由已知b2＝ac，及cos B＝1 2，根据正弦定理得sin2B＝sin A sin C，所以sin A sin C＝1－cos2B＝3 4.(解法二)由已知b2＝ac，及cos B＝1 2，根据余弦定理得cos B＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin A sin C＝34.18．[2012·辽宁卷] 如图1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)图1－518．解：(1)(证法一)连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°， AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′中点，又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′. (证法二)取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， MN 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′， 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′，而MN ⊂平面MPN . 因此MN ∥平面A ′ACC ′. (2)(解法一)连结BN ，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′， 所以A ′N ⊥平面NBC . 又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16. (解法二)V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.19．[2012·辽宁卷] 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图1－6将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5个，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}．其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而 P (A )＝710.20．[2012·辽宁卷] 如图1－7，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．图1－720．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而x 20y 20＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94， 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而 t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)． ① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)． ② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9) ③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209. ④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．21．[2012·辽宁卷] 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5. 21．解：(1)(证法一)记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)．则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减． 又g (1)＝0，有g (x )<0，即 f (x )<32(x －1)．(证法二) 由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x －1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)(证法一)记h (x )＝f (x )－9(x －1)x ＋5，由(1)得 h ′(x )＝1x ＋12x －54(x ＋5)2 ＝2＋x 2x －54(x ＋5)2<x ＋54x －54(x ＋5)2＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，g ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0.因此g (x )在(1,3)内是递减函数，又由g (1)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0.因此h (x )在(1,3)内是递减函数，又h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5. (证法二)记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)，则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9<32(x －1)＋(x ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ]<12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x (x －1)＋(x ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x ＝14x (7x 2－32x ＋25)<0.因此h (x )在(1,3)内单调递减，又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9(x －1)x ＋5.图1－822．[2012·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲如图1－8，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .22．证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，得AC ＝AE .23．[2012·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎨⎧ ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)(解法一)由⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝y ， －3≤y ≤3)(解法二)在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3)．将x ＝1代入⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.24．[2012·辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.。
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)(附详细答案)(20200621145848)
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q= ．15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】5J：集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故选：B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．1【考点】BS：相关系数．【专题】29：规律型．【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选：D．【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选：A．【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选：B．【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．【考点】HK：由y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．11．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【考点】7J：指、对数不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…ａ50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…ａ50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选：D．【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q= ﹣2 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为115．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2 ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS：概率的应用．【专题】15：综合题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈?；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2012•辽宁）已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若•=1，则x=（）由题意，==．•==•=12．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，3．（5分）（2012•辽宁）复数=（）B5．（5分）（2012•辽宁）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p，228．（5分）（2012•辽宁）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）x，由xy=y=9．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）y=为直线10．（5分）（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）S=S=11．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别2P=．12．（5分）（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，，二、填空题（共4小题，满分20分）13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12+π．14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列．若a1＞0，且2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的公比q=2．（）15．（5分）（2012•辽宁）已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．=2的值为故答案为：16．（5分）（2012•辽宁）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为．2PA=2，2R=4R=OP=2，的等边三角形，×．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C 成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．cosB=，结合正弦定理可求得cosB=，根据余弦定理cosB=cosB=cosB=…cosB=cosB=…18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）V V．N=B=V=19．（12分）（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．“体育迷”与性别有关？（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷””中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附．≈=20．（12分）（2012•辽宁）如图，动圆，1＜t＜3与椭圆C2：相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．得=得=t=①方程为②可得：（的轨迹方程21．（12分）（2012•辽宁）设，证明：（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（x﹣1）；（Ⅱ）当1＜x＜3时，．=lnx+﹣（+＜时，＜+，可求得﹣（+）＜，故+．﹣（，由（Ⅰ）得，+﹣）＜请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2012年6月8日全国各地高考文科数学试题-辽宁卷
2012年全国各地高考数学试题普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x =A. —1B. —12C.12D.12.已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝,集合A=｛0,1,3,5,8｝,集合B=｛2,4,5,6,8｝,则A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}3.复数11i =+A. 1122i -B.1122i + C. 1i - D. 1i +4.在等差数列{a n }中,已知a 4＋a 8=16,则a 2＋a 10= A. 12 B. 16C. 20D.245.已知命题p :∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≥0,则⌝p 是 A. ∃x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0 B. ∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0 C. ∃x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0D. ∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<06.已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=A. -1B. 2-C.2D. 17.将圆x 2＋y 2 －2x －4y ＋1=0平分的直线是 A.x ＋y －1=0 B. x ＋y ＋3=0 C.x －y ＋1=0 D.x －y ＋3=08.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,＋∞)D.(0,＋∞)9.设变量x,y满足10,020,015,x yx yy-≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩…剟剟则2x＋3y的最大值为A. 20B. 35C. 45D. 5510.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是A. 4B. 3 2C. 23D. -111.在长为12cm的线段AB上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为A. 16B.13C.23D.4512.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为A. 1B. 3C. -4D. -8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(辽宁卷)
辽宁文科1.(2012辽宁,文1)已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a·b=1,则x=( ).A.-1B.-12C.12D.1D由a·b=1,得1×2-1×x=1,解得x=1,故选D.2.(2012辽宁,文2)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁U A)∩(∁U B)=( ).A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}B由已知可得,∁U A={2,4,6,7,9},∁U B={0,1,3,7,9},于是(∁U A)∩(∁U B)={7,9},故选B.3.(2012辽宁,文3)复数11i+=( ).A.12-12i B.12+12iC.1-iD.1+iA11i+=1(1)(1)ii i-+-=12i-=12-12i,故选A.4.(2012辽宁,文4)在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( ).A.12B.16C.20D.24B由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选B.5.(2012辽宁,文5)已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p是( ).A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0C全称命题的否定为存在性命题,即若p为“∀x∈M,q(x)”,则p为“∃x∈M,q(x)”,故选C.6.(2012辽宁,文6)已知sinα-cosα∈(0,π),则sin 2α=( ).A.-1B C D.1A将sinα-cos,(sinα-cosα)2=2,整理得1-2sinαcosα=2,于是sin 2α=2sinαcosα=-1,故选A.7.(2012辽宁,文7)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( ).A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0C圆x2+y2-2x-4y+1=0可化为标准方程(x-1)2+(y-2)2=4,要使直线平分此圆,则直线需过圆心(1,2).因此可通过代入法,看哪一条直线过圆心(1,2)即可.经检验,选项C满足条件.故选C.8.(2012辽宁,文8)函数y=12x2-ln x的单调递减区间为( ).A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)B对函数y=12x2-ln x求导,得y'=x-1x=2x1x-(x>0),令2x 10,x x 0,⎧-≤⎪⎨⎪>⎩解得x ∈(0,1].因此函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为(0,1].故选B . 9.(2012辽宁,文9)设变量x ,y 满足x y 10,0x y 20,0y 15,-≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x +3y 的最大值为( ).A .20B .35C .45D .55D 作出可行域如图所示.令z =2x +3y ,则y =-23x +13z ,要使z 取得最大值,则需求直线y =-23x +13z 在y 轴上的截距的最大值,移动直线l 0:y =-23x ,可知当l 0过点C (5,15)时,z 取最大值,且z max =2×5+3×15=55,于是2x +3y 的最大值为55.故选D.10.(2012辽宁,文10)执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是( ). A .4 B .32 C .23 D .-1D 初始:S =4,i =1,第一次循环:1<6,S =224-=-1,i =2;第二次循环:2<6,S =221+=23,i =3;第三次循环:3<6,S =2223-=32,i =4;第四次循环:4<6,S =222-=4,i =5;第五次循环:5<6,S =224-=-1,i =6.6<6不成立,此时跳出循环,输出S 值,S 值为-1.故选D .11.(2012辽宁,文11)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ). A .16 B .13 C .23 D .45C 此概型为几何概型,由于在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20 cm 2的点在C 1与C 2之间的部分,如图所示.因此所求概率为812,即23,故选C .12.(2012辽宁,文12)已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( ). A .1 B .3 C .-4 D .-8C如图所示,由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2),∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,∴212242y ,(-2)2y ,⎧=⎨=⎩ ① ② ∴12y 8,y 2,=⎧⎨=⎩ ∴P (4,8),Q (-2,2),又∵抛物线可化为y =12x 2,∴y '=x ,∴过点P 的切线斜率为y 'x 4 ==4, ∴过点P 的切线为y -8=4(x -4),即 y =4x -8.又∵过点Q 的切线斜率为y 'x 2=-=-2, ∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2),即y =-2x -2.联立y 4x 8,y 2x 2,=-⎧⎨=--⎩解得x =1,y =-4, ∴点A 的纵坐标为-4.13.(2012辽宁,文13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.12+π如图所示,由已知得该几何体为一组合体,上面是底面圆半径为1,高为1的圆柱,下面是长为4,宽为3,高为1的长方体,如图所示.故所求体积V=π×12×1+4×3×1=12+π.14.(2012辽宁,文14)已知等比数列{a n}为递增数列.若a1>0,且2(a n+a n+2)=5a n+1,则数列{a n}的公比q=. 2∵等比数列{a n}为递增数列,且a1>0,∴公比q>1.又∵2(a n+a n+2)=5a n+1,∴2a n+2a n q2=5a n q.∵a n≠0,∴2q2-5q+2=0.(舍去).∴q=2或q=12∴公比q为2.15.(2012辽宁,文15)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点.若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.设|PF1|=m,|PF2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2,m2+n2=4c2=8,故mn=2,(|PF1|+|PF2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=4+4×2=12,于是|PF1|+|PF2|=16.(2012辽宁,文16)已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为方形.若PA=则△OAB的面积为.如图所示,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC.故可知PC为球O直径,则PC的中点为O,取AC的中点为O',则OO'=1PA又∵AC PA=∴PC∴球半径R=故OC=OA=OB=又∵AB=∴△OAB为等边三角形.×sin 60°=∴S△OAB=1217.(2012辽宁,文17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(1)求cos B的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin A sin C的值.解:(1)由已知2B=A+C,A+B+C=180°,解得B=60°,所以cos B=1.2(2)方法一:由已知b2=ac,及cos B=1,2根据正弦定理得sin2B=sin A sin C,所以sin A sin C=1-cos2B=3.4方法二:由已知b2=ac,及cos B=12,根据余弦定理得cos B=22a c ac2ac+-,解得a=c,所以B=A=C=60°,故sin A sin C=34.18.(2012辽宁,文18)如图,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC AA'=1,点M,N分别为A'B和B'C'的中点.(1)证明:MN∥平面A'ACC';(2)求三棱锥A'-MNC的体积.(锥体体积公式V=13Sh,其中S为底面面积,h为高)(1)证法一:连结AB',AC',由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN⊄平面A'ACC',AC'⊂平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.证法二:取A'B'中点P,连结MP,NP.而M,N分别为AB'与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A'ACC'.而MN⊂平面MPN,因此MN∥平面A'ACC'.(2)解法一:连结BN,由题意A'N⊥B'C',平面A'B'C'∩平面B'BCC'=B'C',所以A'N⊥平面NBC.又A'N=12B'C'=1,故V A'-MNC=V N-A'MC=12V N-A'BC=12V A'-NBC=16.解法二:V A'-MNC=V A'-NBC-V M-NBC=12V A'-NBC=16.19.(2012辽宁,文19)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率. 附:χ2=211221221n(n n n n )-.解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”为25人,从而完成2×2列联表如下:将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=2112212211212n(n n n n )n n n n ++++-=2100(30104515)75254555⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=10033≈3.030.因为3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为5人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω={(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 2,a 3),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2)}. 其中a i表示男性,i =1,2,3.b j 表示女性,j =1,2.Ω由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用A 表示“任选2人中,至少有1人是女性”这一事件,则 A ={(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2)}, 事件A 由7个基本事件组成,因而 P (A )=710.20.(2012辽宁,文20)如图,动圆C 1:x 2+y 2=t 2,1<t <3,与椭圆C 2:2x 9+y 2=1相交于A ,B ,C ,D 四点,点A 1,A 2分别为C 2的左,右顶点.(1)当t 为何值时,矩形ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程. 解:(1)设A (x 0,y 0),则矩形ABCD 的面积S =4|x 0||y 0|.由20x 9+20y =1得20y =1-20x 9,从而 2200x y =2200x x 19⎛⎫- ⎪⎝⎭=-22019x 92⎛⎫- ⎪⎝⎭+94.当20x =92,20y =12时,S max =6.从而t,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为6.(2)由A (x 0,y 0),B (x 0,-y 0),A 1(-3,0),A 2(3,0)知 直线AA 1的方程为y =00y x 3+(x +3),① 直线A 2B 的方程为 y =00y x 3--(x -3),②由①②得y 2=2020y x 9--(x 2-9).③又点A (x 0,y 0)在椭圆C 上,故2y =1-20x 9.④ 将④代入③得2x 9-y 2=1(x <-3,y <0).因此点M 的轨迹方程为 2x 9-y 2=1(x <-3,y <0). 21.(2012辽宁,文21)设f (x )=ln x1,证明: (1)当x >1时,f (x )<32(x -1);(2)当1<x <3时,f (x )<9(x 1)x 5-+.(1)证法一:记g (x )=ln x1-32(x -1),则当x >1时,g '(x )=1x32<0.又g (1)=0,有g (x )<0,即 f (x )<32(x -1).证法二:由均值不等式,当x >1时,x +1,故x 2+12.①令k (x )=ln x -x +1,则k (1)=0,k '(x )=1x-1<0.故k (x )<0,即 ln x <x -1.②由①②得,当x >1时,f (x )<32(x -1).(2)证法一:记h (x )=f (x )-9(x 1)x 5-+.由(1)得h '(x )=1x254(x 5)+-254(x 5)+<x 54x +-254(x 5)+=32(x 5)216x 4x(x 5)+-+.令g (x )=(x +5)3-216x .则当1<x <3时,g '(x )=3(x +5)2-216<0, 因此g (x )在(1,3)内是递减函数. 又由g (1)=0,得g (x )<0, 所以h '(x )<0,因此h (x )在(1,3)内是递减函数. 又h (1)=0,得h (x )<0.于是当1<x <3时,f (x )<9(x 1)x 5-+.证法二:记h (x )=(x +5)f (x )-9(x -1), 则当1<x <3时,由(1)得 h '(x )=f (x )+(x +5)f '(x )-9 <32(x -1)+(x +5)1x ⎛ ⎝-9=12x[3x (x -1)+(x +5)(218x ] <1x 13x(x 1)(x 5)218x 2x 22⎡⎤⎛⎫-++++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=14x(7x 2-32x +25)<0, 因此h (x )在(1,3)内单调递减.又h (1)=0,所以h (x )<0,即f (x )<9(x 1)x 5-+.22.(2012辽宁,文22)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O 和☉O '相交于A ,B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连结DB 并延长交☉O 于点E .证明: (1)AC ·BD =AD ·AB ; (2)AC =AE .证明:(1)由AC 与☉O '相切于A ,得∠CAB =∠ADB ,同理∠ACB =∠DAB ,所以△ACB ∽△DAB ,从而AC AD =AB BD,即AC ·BD =AD ·AB .(2)由AD 与☉O 相切于A ,得∠AED =∠BAD . 又∠ADE =∠BDA ,得△EAD ∽△ABD , 从而AE AB =AD BD,即AE ·BD =AD ·AB .结合(1)的结论,AC =AE .23.(2012辽宁,文23)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:(x -2)2+y 2=4.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C 1,C 2的极坐标方程,并求出圆C 1,C 2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. (1)解:圆C 1的极坐标方程为ρ=2,圆C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ.解ρ2,ρ4θcos =⎧⎨=⎩得ρ=2,θ=±3π,故圆C 1与圆C 2交点的坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,-3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)解法一:由x ρθ,y ρθcos sin =⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(11故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x 1,y t,=⎧⎨=⎩t(或参数方程写成x 1,y y,=⎧⎨=⎩y解法二:将x =1代入x ρθ,y ρθ,cos sin =⎧⎨=⎩得ρcos θ=1, 从而ρ=1θcos .于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x 1,y θ,tan =⎧⎨=⎩-3π≤θ≤3π. 24.(2012辽宁,文24)选修4-5:不等式选讲已知f (x )=|ax +1|(a ∈R ),不等式f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}.(1)求a 的值;(2)若x f (x)-2f 2⎛⎫ ⎪⎝⎭≤k 恒成立,求k 的取值范围.解:(1)由|ax +1|≤3得-4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}, 所以当a ≤0时,不合题意.当a >0时,-4a ≤x ≤2a ,得a =2.(2)记h (x )=f (x )-2f x 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,则h (x )=1,x 1,14x 3,-1x ,211,x ,2⎧⎪≤-⎪⎪--<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩所以|h (x )|≤1,因此k ≥1.。
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2012年辽宁省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2012•辽宁）已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若•=1，则x=（）
由题意，==．•
==•=1
2．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，
3．（5分）（2012•辽宁）复数=（）
B
5．（5分）（2012•辽宁）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p
，
22
8．（5分）（2012•辽宁）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）
x，由x
y=
y=
9．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）
y=为直线
10．（5分）（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）
S=
S=
11．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别
2
B
P=．
12．（5分）（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，
，
二、填空题（共4小题，满分20分）
13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12+π．
14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列．若a1＞0，且2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的公比q=2．
（
）
15．（5分）（2012•辽宁）已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上
一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．
=2
的值为
故答案为：
16．（5分）（2012•辽宁）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，
四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为．
2PA=2，
2R=4R=OP=2，
的等边三角形，
×
．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C 成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
cosB=，结合正弦定理可求得
cosB=，根据余弦定理cosB=
cosB=
cosB=
…
cosB=
cosB=
…
18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．
（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）
V V．N=B
=V=
19．（12分）（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
“体育迷”与性别有关？
（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”
”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附．
≈
=
20．（12分）（2012•辽宁）如图，动圆，1＜t＜3与椭圆C2：相
交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
得
=
得
=
t=
①
方程为②
可得：
（
的轨迹方程
21．（12分）（2012•辽宁）设，证明：（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（x﹣1）；
（Ⅱ）当1＜x＜3时，．
=lnx+﹣（+＜
时，＜+
，可求得﹣
（+
）＜
，故+．
﹣
（
，由（Ⅰ）得，
+
﹣
）＜
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22．（10分）（2012•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：
（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．
23．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．
（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；
（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
）利用
）由
，的极坐标方程为
，即
，
），
，，
的公共弦的参数方程为
得
于
的公共弦的参数方程为
24．（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．（Ⅱ）记=
时，
（Ⅱ）记。