有限与无限
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅ 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=b ,11,1111+=-=++n n n n b b b b , 当1b a =时,01112=+=b a , 当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a . 下面用数学归纳法证明.当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+- 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴=取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a . 3．在数列||n a ，||nb 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 111111111111 1.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立.当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**） 根据（*）及（**）得 12n a ≤<.由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a+=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使lim n →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k+，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+≥。
有限与无限的辩证关系
有限与无限的辩证关系
有限与无限是互相依存、互为表里的辩证关系。
有限指的是有界限、
有限度，有始有终，具有局限性和相对性。
而无限则指的是没有界限、没
有限度，无始无终，具有无穷性和绝对性。
有限与无限之间的辩证关系包含了以下几个方面：
1.有限是无限的表现。
有限的存在是无限的一种表现方式，它在无限
的背景下显得更加明显和突出，有限的存在可以是无限存在的体现。
2.无限需要有限的相对性支撑。
无限是相对于有限而言的，没有有限
这个对照，无限就无从谈起。
有限的存在为无限提供了相对性的支撑，使
无限不再是空洞的抽象概念。
3.有限与无限相互转化。
有限和无限之间不是对立的二元对立关系，
而是统一体中相互转化的关系。
有限可以渐进地接近无限，无限也可以通
过有限的表现形式来实现。
4.有限和无限是统一的辩证关系。
有限和无限虽然是两个不同的概念，但它们并不是孤立的，而是联系在一起的。
有限和无限是统一的辩证关系，是相互依存、相互贯通的。
在具体问题中，有限和无限需要相互协调、相
互补充，才能得到更加深入和全面的认识。
自然辩证法有限与无限
海王星
• 同一个过程，采用不同的度 量方法，得到的结果不同。 有限与无限在不同的度量方 法中得到了不同的应用。
土星
大家都知道1÷3=3.333333…… 结果是无限循环的，但是这是局 限在十进制范围内，如果我们换 个想法，改成9进制呢？这时2反 倒除不尽了。 所以这就是一种约定俗成。
天王星
• 在数学领域几乎每部分都有无限性的 问题，数学研究中涉及到的量总要有 有限和无限的情况。 • 不仅如此，对于每个人来说，有限的 生命，面对着一个无限的宇宙，而需 要用一生的时间去追求的真理又是有 限和无限的统一。 • 我们应该辩证的看问题，灵活的运用 各种科学思维方式，正确运用有限和 无限的概念，去解决有限和无限的问是指与其他事物相 对，因而受其他事物影 响或规定，即有条件的 东西。
• 我们地球上的资源像煤炭、石油、 各种金属、非金属等矿藏。 • 此类资源一旦开采、利用就无法恢 复，随着使用，其总量逐渐减少， 直至枯竭。
地球
•无限是指不与任何其他 事物相对，因而也不受 任何其他事物影响或规 定的东西。
有限与无限
美丽的星空
我们看不到尽头
但我们注定会越走越远
• 有限和无限是辩证法的一队范畴， 数学家希尔伯特说过：“数学是研 究无穷的科学。无穷是一个永恒的 谜，没有任何问题可以像无穷那样 深深的触动人的情感，很少有别的 观念能像无穷那样激励理智产生富 有成果的思想，然而也没有任何其 他的概念能像无穷那样需要加以阐 明。”
木星
•
无限则与“有限”相对，组成辩 证法的一对范畴。指无条件的、在 空间和时间上都没有限制的、无始 无终的东西。无限只能通过有限而 存在，但它不能归结为有限的简单 的量的总和，而有限中则包含着无 限。 金星
有限与无限的哲学
有限与无限的哲学有限与无限是哲学中一个重要的概念对立。
有限指的是有限制、有限度、有限量的事物，而无限则指的是无限制、无限度、无限量的事物。
这两个概念在哲学中有着广泛的应用，涉及到宇宙、时间、空间、思维等方面。
一、宇宙的有限与无限在宇宙的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论宇宙的大小和边界。
在古代，人们认为宇宙是有限的，因为他们认为宇宙是一个封闭的球体，没有边界。
但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到宇宙是无限的，因为宇宙是不断膨胀的，没有边界。
二、时间的有限与无限在时间的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论时间的长度和结束。
在古代，人们认为时间是有限的，因为他们认为时间是一个循环的过程，没有终点。
但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到时间是无限的，因为时间是不断流逝的，没有终点。
三、空间的有限与无限在空间的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论空间的大小和形态。
在古代，人们认为空间是有限的，因为他们认为空间是一个封闭的球体，没有边界。
但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到空间是无限的，因为空间是不断膨胀的，没有边界。
四、思维的有限与无限在思维的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论人类的认知能力和思维能力。
在古代，人们认为人类的思维能力是有限的，因为人类只能认识到有限的事物。
但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到人类的思维能力是无限的，因为人类可以不断地探索和发现新的事物。
总之，有限与无限是哲学中一个重要的概念对立，涉及到宇宙、时间、空间、思维等方面。
在不同的领域中，有限与无限的含义和应用也有所不同，但都是哲学思考的重要内容。
有限集和无限集的举例
有限集和无限集的举例
有限集和无限集是集合论中的重要概念。
有限集是指元素个数有限的集合，而无限集则是元素个数无限的集合。
举个有限集的例子，我们可以考虑一个集合A，其中包含了几种水果，比如苹果、香蕉和橙子。
这个集合A就是一个有限集，因为它包含的元素个数是有限的，即3个。
而无限集的例子可以是自然数集合N，它包含了1, 2, 3, 4, 5……等无穷多个元素，因此是一个无限集。
另一个例子是实数集合R，它包含了所有的实数，也是一个无限集。
除此之外，还有一些特殊的无限集，比如整数集合Z、有理数集合Q等，它们都是无限集合。
通过这些例子，我们可以清晰地理解有限集和无限集的概念。
有限集的元素个数是有限的，而无限集的元素个数是无限的，这是集合论中非常基础的概念。
希望这些例子可以帮助你更好地理解有限集和无限集。
离散数学——有限集与无限集
§4.3 无限集的性质
无限集的性质
定理4.7
一个集合为无限集，则它必含有与其 等势的真子集。
分析：条件是有一无限集M，
结论是必存在无限集M'有M' M且M'~M
需要利用构造法，构造满足上述条件的M' 。
若无限集M是可以排列的，即M={m1，m2…，mn，…},那么 只需在M去掉元素m1，即可得M' 。 若无限集M是不可以排列的，可在M中按一定规律找到一可
.
§4.2 有限集
定理4.6 设有n个有限集合S1，S2，…Sn，则有
n
|S1∪S2∪…Sn |= |Si|-
|Si∩Sj|
i= 1
1ijn
奇数项是加， 偶数项是减。
+
|Si∩Sj∩Sk |+…
1ijkn
+ (-1)n-1 |S1∩S2…∩Sn |
.
§4.2 有限集
例4.4 假定有120个学生，其中100个学生至少要学德、法、英 三种语言的一种，还假定65人学法语，45人学德语，42人学英 语；20人学法语和德语，25人学法语和英语，15人学德语和英 语。请问同时学三种语言的有多少人？仅学一种语言的各有多 少人？
说明：要想证等势，必须找出一一对应的关系。 .
§4.3 无限集的性质
例4.5 自然数集 N={0,1,2,3……}与其子集S={1,3,5……}均为无限集，且N~S
N：0 1 2 3 … n … ↕ ↕ ↕↕ ↕ ↕↕
S: 1 3 5 7 … 2n+1… 此例说明了无限集的一个特性：一个无限集可以同它的一个 真子集等势 。
第四章 有限集与无限集
1
有限集与无限集基本概念
什么是有限责任与无限责任
什么是有限责任与无限责任有限责任与无限责任是两种不同的法律概念，用于描述不同类型的责任承担方式。
下面将详细介绍有限责任和无限责任的定义、特点和区别。
一、有限责任有限责任是指股东或者合伙人在公司或者合伙企业中对债务承担的责任有限。
具体来说，有限责任意味着股东或者合伙人的个人财产不会因为公司或者合伙企业的债务而受到伤害。
如果公司或者合伙企业发生债务违约或者破产，股东或者合伙人只需承担其投资额或者合伙份额的责任，不会承担超过其投资额或者合伙份额的责任。
有限责任的特点如下：1. 责任有限：股东或者合伙人的个人财产与公司或者合伙企业的财产是分开的，个人财产不会因为公司或者合伙企业的债务问题而受到伤害。
2. 分散风险：有限责任可以吸引更多的投资者参预企业，因为他们只需承担有限的风险，不必为企业的债务问题承担过多风险。
3. 便于转让：有限责任使得股东或者合伙人可以很方便地转让他们的股权或者合伙份额，从而实现投资的流动性。
二、无限责任无限责任是指股东或者合伙人在公司或者合伙企业中对债务承担的责任是无限的。
简而言之，无限责任意味着股东或者合伙人的个人财产可能因为公司或者合伙企业的债务问题而受到伤害。
如果公司或者合伙企业发生债务违约或者破产，股东或者合伙人不仅要承担其投资额或者合伙份额的责任，还可能要承担超过其投资额或者合伙份额的责任。
无限责任的特点如下：1. 责任无限：股东或者合伙人的个人财产与公司或者合伙企业的财产是连在一起的，个人财产可能因为公司或者合伙企业的债务问题而受到伤害。
2. 风险较高：无限责任对股东或者合伙人来说风险较高，因为他们需要承担公司或者合伙企业的全部债务责任。
3. 限制转让：无限责任使得股东或者合伙人很难转让他们的股权或者合伙份额，因为潜在的买家可能不愿意承担无限责任的风险。
三、有限责任与无限责任的区别1. 责任范围：有限责任仅限于股东或者合伙人的投资额或者合伙份额，而无限责任则没有限制，可能超过投资额或者合伙份额。
有限与无限存在着辩证关系
有限与无限存在着辩证关系有限与无限是自然界中的两个重要概念，它们之间存在着辩证关系，相互依存、相互转化、相互制约、相互推动。
有限是指数量、尺寸、范围等存在限制，而无限则是指没有限制，能够无限扩展、无限延伸。
在这种对立中，有限和无限又彼此贯通，互相跳跃。
首先，有限与无限是相互依存的。
有限的存在需要无限的构成，而无限的存在只能通过有限的表现来得到体现。
例如一个小小的物体，它只有有限的体积、面积和质量，但它受到无穷无尽的力量的支配。
反过来，一个无限的宇宙所包含的物质却是有限的，它所包含的空间、时间和能量都有限度。
其次，有限和无限之间存在相互转化的关系。
有限在一定条件下可以不断扩展，最终形成无限；而无限也可以被有限化。
例如，人类的技术不断进步，可以让有限的资源得到更高的利用效率，从而得到更大的产出，极大地扩展了有限资源的使用寿命。
另一方面，一个无限的事物，只要它受到限制，就会变成一个有限的事物。
例如，空气是无限的，但是在封闭的空间里，它的体积、成分、温度等都受到限制，变成了有限的物质。
第三，有限和无限之间存在相互制约的关系。
有限的事物缺乏无限的可能性，而无限的事物也无法真正实现，因为它们受到有限的环境和条件的限制。
例如，太阳系中每颗星球都受到各种各样的限制，它们的运动和生命周期都有其固有的局限性。
反过来讲，太阳系的运动轨迹和形成历程也受到整个宇宙的限制和影响。
最后，有限和无限之间还互相推动，相互发展。
有限的存在需要无限的存在推动，才能不断进化和发展；而无限的存在也需要有限的存在推动，才能得以体现和实现。
例如，在科技不断进步的今天，人类对自然界的认知和探索已经取得了很多先前无法想象的成果，同时这些成果又为人类提供了更多的发展空间和机遇。
在有限与无限之间，存在着复杂的相互作用和辩证关系。
它们之间的关系没有绝对的优劣之分，需要既看到有限的限制和无限的延伸，又同时关注它们之间的互动和推动，从而更好地认识和利用自然规律。
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一、微分三角形（以直代曲：三线同一）
如右图，MQP即微分三角 形（特征三角形），即以 dx,dy为直角边，dL为斜边的 三角形。
MQ x dx, QP dy,
弦MN 切线长MP(观点） dL(弧微分） = MN .
这里的无穷体现在两个方面： 第一，曲线长是折线长的无穷和（极限）； 第二， dx,dy应理解成无穷小量. 意义即微元素法.例： 1) L = a dL=a
70 4002 5600(牛) 571.4(千克), F 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力), 641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、非周期函数=周期为无穷大的函数
任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 都可表示为下面的傅里 叶级数:
二、希腊人的“无穷观”
哲学家文献上找到最早提出无限的古希腊是阿那克西曼德 （B.C611-B.C547), Thales的学生。 他写了一篇最早的科学论文，他得出结论说，原始物质是 他称的阿派龙（apeiron）或无限。 阿拉克西曼德认为 ‚无限 没有开始,但却是其他事物的开始或本原, 它是不朽的,不可摧 毁的,所以是神圣的。‛这个思想后来被原子论者发展了。 阿拉克西曼德是第一位思考人类起源的哲学家。 他还首次绘制了世界地图而享有荣誉。 他第一个认为地球表面是曲面（圆柱）的， 赫拉克利特（Heraclitus，约公元前530年—前470年）， 名言：人不能两次踏入同一河流。 理念：世界的本源是火，万物皆变，按一定的规律（逻各 斯类似中国的‚道‛）永恒的变化着。
芝诺悖论（3，4）
悖论3的目的是否定时空的不可分性：如果时间和空间是由不 可分的小瞬刻组成的，那么，飞箭在运动的任一小瞬刻必有一 个确定的位置，因此是静止的，从而证明运动是不可能的。
问：时间与空间究竟是否连续（无穷可分）？
悖论的理解
第四个问题简单，只需考虑相对运动即可。 但是，前三个悖论都涉及到无穷，涉及到:
化为
F d
3
数学意义: 计算复杂微积分 求解微积分方程
其中，F
f t e jt dt .
f t ，
F .
付氏变换：F F
付氏逆变换：f t F
1
五、 无穷大与无穷小的种种关联
D 1
k
y f ( x)
y
M
x
1 . 以 D 为圆心, 为半径 O k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆 .
观点：曲线弧均可视为由圆弧微元素叠加而成的。从而 揭示了研究方法：以圆代曲（二次近似）。
x2 例：飞机沿抛物线 y 4000 (单位为米 )俯冲飞行, 在原 点 O 处速度为 v 400米 / 秒, 飞行员体重 70千克.求俯冲到 原点时,飞行员对座椅的压力.
于是 Protagoras向欧特勒斯说： “我决定打官司，如果这场官 司中你败诉，那么，根据法庭判决，你应该付给我另一半学费； 如果这场官司中你胜诉，那么，按照合同规定，你应付我另一 半学费，因为这是你第一次出庭胜诉；总之，不管你胜诉还是 败诉，都要付给我另一半学费。” Euathlus反唇相击道：“恰恰相反，如果我在这场官司中败诉， 那么，根据合同规定，我用不着付另一半学费，因为我第一次出 庭没有打赢官司；如果我在这场官司中胜诉，那么，根据法庭的 判决，我也用不着付另一半学费；总之，无论我胜诉还是败诉， 都用不着付另一半学费。”
例5
世界上没有绝对的真理
请问：这句话是绝对真理吗？
例6
例7 例8
任何东西都是不可知的。
我只知道一件事，那就是什么都不知道。（苏格拉底）。 下面有两句话是错的. 2+3=1， 3-3=0，2+2=4.
请问：例6，7，8中哪些判断是对的？ 理解：以上悖论有两个特点：自我相关（自我指称），否定 命题。 感想：如果留意观察，则不难发现，悖论就在我们身边。
e jnwt cos n t j sin n t
n
cne jnt
即有：fT ( t )
n
Байду номын сангаас
cne jn t
( 2)
an jbn ,n N cn 2 其中， . n , c c n n n
1 f t lim fT ( t ) t 2
“无穷多个数相加可能是有限数吗” ？
又，‚在每一个瞬间，运动物体速度都为零（静止）吗‛？这涉及到 无穷小量的问题。 再，任一区间无限可分，即为无穷大量，这个无穷大是实无穷还是潜 无穷？
这些问题知道19世纪末才能明白回答。
芝诺的功绩在于他多次发起关于动和静、无限和有限、连续和离 散的关系的讨论。引起人们对他提出的这些悖论的关注与研究。芝诺 悖论至今依然回味无穷，还有很多人在研究.
a0 fT ( t ) (an cos n t bn sin n t ) 2 n1
(1)
这公式告诉我们： 自然界中的所有波均可分解成正弦波, 因此傅里叶级数特别有用。 但是,他不适用于非周期函数,怎么办呢？为回答 这 个问题，我们先把上式化简.
fT ( t )
A
H
D
J
E
L K I F
G
B
BC DE DI DJ BD DF DE DK
C
注：他们没有零。因为零与无穷是一样的可怕（无穷小 为无穷大的倒数）
亚里士多德论无穷
亚里士多德是明确地区分潜无穷和实无穷的第一人。对无穷分类可 能始于他反对实无穷的存在。 ‚数,甚至脱离感性事物的数,也不能是无限的。因为数或者有数的事 物都是可以计数的;那么,如果可计数的事物能被计数,无限也就可以被穿 越过去了。‛ ‚事物被说成‘存在’,一种是指潜能的存在,另一种是现实的存在。 而无限,一种是指加起来的无限,一种是分起来的无限。‛ 亚里斯多德只承认潜无穷。但是他也意识到了 ‚分起来的无限‛， 这里自然包含无穷小（无限的另一表现形式） 历史告诉我们：以阿基米德为代表的希腊人对无穷的认识已经很深刻
2)dy QP QN ydx S = dy .
a b
b
b
dx dy ；
2 2
二、微元素法
微元素法的基本思想是：研究对象都是由无穷 多同类型微粒（同类型微元素）叠加而成的。因此， 找出这类微粒，确定其分布范围就可以了。
例如：一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满 了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
1. 无穷大=无穷小的倒数 ？ 2.如何理解‚远在天涯与近在咫尺‛？ 例：球极投影与复变函数；倒代换的意义； 3. 平行直线与无穷远直线（射影几何）的理解
芝诺悖论（1,2）
二分法：运动不存在。 理由：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处‛
A
E D C B
阿克琉斯论证： 阿克琉斯永远追不上先跑的乌龟。 理由：他必须首先跑到乌龟的出发点，因此乌龟必然永远领先。‛
A B C D
悖论1,2的目的是不承认空时的连续性（无限可分性）：
如果时间和空间真是连续的，无限可分的，那么，有限的长度包含有 无穷多个点，于是就不可能在有限的时间内通过有限的长度，从而证明运 动是不可能的。
y
Q
o
x
P
解，设飞行员的重力为Q，飞行员对座椅的压力为P，则 如图,受力分析
F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
O点处抛物线轨道的曲率半径
mv 2
.
x 1 y x 0 y x 0 . x 0 0, 2000 2000 1 . 曲率半径为 2000 米. 得曲率为 k x x0 2000
一、如何理解悖论？悖论中的“无穷观”
什么是悖论（ paradox）？ 这里引用逻辑学家 A.A. 弗兰克的表述：如果某一理 论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却 推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命 题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这 个理论产生了一个悖论。 同一理论中可推出两个互相矛盾的命题，即意味着，该 理论中存在这样一个命题（悖论）：由其假可推其真，由其 真可推其假。
根号2是无理数（正方形的对 角线与边长不可公度）的几何 证明上让希腊人感到恐怖，因 为心中，作为描述宇宙规律的 数只能是自然数，或者自然数 的比,如果坚持这样，他们将 面临解题步骤的无穷多步，而 只要涉及无穷，人们的智力就 无能为力。 根号2的发现直接冲击着希 腊人的世界观。这就是所谓的第 一次数学危机。
了。
可以想象：如果不是罗马毁灭，现代数学（文明）至少要提前 1000 年以上
二、 由微积分看数学家们的“无穷观”
• 一、微分三角形（以直代曲：三线同一）
• • • • 二、微元素法 三、曲率圆（以圆代曲） 四、非周期函数=周期为无穷大的函数 五、 无穷大与无穷小的种种关联 （现代宇宙观：物极必反！）
安蒂丰（ Antiphon ,B.C480-B.C411)
‚根据自然，我们大家在各方面都是平等的，并且无论是蛮族人， 还是希腊人，都是如此。在这里，应当适时地注意，所有人自然需求都 是一样的。‛ ——安提丰(约公元前430) 安蒂丰是希腊的数学家、辩论家、政治家．有关安蒂丰的生平历来 争论不一.安蒂丰是雅典‚智人学派‛（又称‚诡辩学派‛）的代表人 物．该学派主要研究目标是‚用数学来了解宇宙是怎样运转的‛ . 安蒂丰主要研究目标是‚几何学三大难题‛.学术界公认他是穷竭 法的创始人，当代极限理论的鼻祖: 据辛普利体斯(Simplicius)记载：安蒂丰先作圆内接正四边形，将其 边数加倍，得到圆内接正八边形，依次类推，直到正多边形的边长小到恰 与它们所在的圆周部分重合，就可以完成化圆为方问题．另一学者瑟米斯 蒂厄斯(Themistius)的记载稍有不同，他认为安蒂丰是从圆内接正三角形 开始的，然后连数依次加倍，最后与圆周重合．该方法的前提条件是注意 正多边形都可化为正方形．这可用毕达哥拉斯(Pythagoras)发现的面积贴 合法来完成.