2021年高三上学期期初考试 数学试题(文理)

2021年高三上学期期初考试 数学试题（文理）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

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一、选择题（题型注释）

1．已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-= 的值为 （ ）

A ．1或－1或0

B ．－1

C ．1或－1

D ．0

2．已知向量，则 （ ）

A. B. C. D.

3．过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

（ ） A ． B ． C ． D ．

4．若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．若，则角是 （ ）

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角

D.第二或第四象限角

6．“”是“”的（ ）

A .充分不必要条件 B.必要不充分条件

C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7．设直线m 、n 和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ）

A. 若

B. 若

C. 若

D. 若

8．为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（ ）

A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度

B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

9．设集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R ，则集合P ?UM= ( )

A ．{1，2}

B ．{3，4}

C ．{1}

D ．{-2，-1，0，1，2}

10．. ，复数= ( )

A. B. C. D.

11．函数的一个零点落在下列哪个区间（）

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，3）

D.（3，4）12．等差数列中，若，则等于（）

A．3 B．4 C．5 D．6

第II 卷（非选择题）

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二、填空题（题型注释）

13．在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则

14．已知=-∈=+απαπαtan )0,2

(,31)2sin(，则 15．已知的最大值为

16．如右图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直

径 ．

三、解答题（题型注释）

17．（本小题满分14分）

已知，设函数

（1）求的最小正周期及单调递增区间；

（2）当时，求的值域.

18．（本小题满分14分）

如图，正三棱柱中，为

的中点，为边上的动点.

（Ⅰ）当点为的中点时，证明DP//平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.

A

19． （本小题满分12分）已知函数．

（1）求的值；

（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．

20．（本小题满分12分）在中，角所对的边为，已知。

（1）求的值；

（2）若的面积为，且，求的值。

21．（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．

参考答案

1．A

【解析】因为,即m=0,或者,得到m 的值为1或－1

或0，选A

2．

C

【解析】因为22

2a (2,1),a b 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=?=+=+==++，解得可知5，

选C

3．B A 1

B 1 C

B

P A

C 1

D ·

【解析】由题意知点P 的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c 的关系式

化简得到结论为，选B

4．B

【解析】解：因为函数y=e （a-1）x +4x ，所以y′=（a-1）e （a-1）x +4（a ＜1），所以函数的零点为

x 0=，因为函数y=e （a-1）x +4x （x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a<-3,选B

5．D

【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D

6．B

【解析】因为“”是“”的逆否命题是“”是“”的必要不充分条件，选B

7．D

【解析】因为选项A 中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选

项B 中，只有Mm,n 相交时成立，选项C 中，只有m 垂直于交线时成立，故选D

8．A

【解析】因为为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的纵坐标缩短

到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到，选A

9．A

【解析】因为集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R ，则?UM={1,2}，集合P ?UM={1，2}，

故选A.

10．A

【解析】因为，可知选A

11．B

【解析】因为，那么利用零点存在性定理可知，f(1)=-1<0,f(2)>0,故可知函

数的零点区间为

（1，2），选B

12．C

【解析】因为等差数列，因此选C

13．1::2

【解析】因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,则可知A,B,C 分别为，根据直角三角形中边的比例关系可

知，

14．

【解析】因为

11sin(),(,0)23233tan ππααααα+=∈-==-=-，cos ,sin 则

15．

【解析】因为1,4116

x y R x y xy +∈+=≥≤，且则 16．4

【解析】因为根据已知条件可知，连接AC ，，，根据切线定理可知, ,可以解得为4.

17．（1）的最小正周期为，的单调增区间为；

（2）的值域为。

【解析】本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的运用。

（1）将函数化简为单一函数，，然后运用周期公式得到结论。

（2）由（1）知，结合定义域求解得到，根据函数图像得到结论。

解：（1）

∴的最小正周期为…………4分

由得

的单调增区间为…………8分

（2）由（1）知

又当故

从而的值域为………14分

18．

【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中线面平行的判定和三棱锥的体积的求解的综合运用。

（1）利用线线平行，得到线面平行。

（2）根据已知条件，证明线面垂直得到锥体的高，进而利用锥体体积公式得到结论。

19．（1）22ππππ3()cos ()sin cos 12121262

f =--==．（2）． 【解析】本试题主要是考查了三角函数的性质的运用。 （1）将变量代入函数关系式中，得到22ππππ3()cos ()sin cos 1212126f =--==(2)因为对于任意的，都有，那么只要求解函数的最大值即可。得到参数c 的范围。 解：（1）22ππππ3()cos ()sin cos 12121262

f =--==． ………………4分 （2）1π1()[1cos(2)](1cos 2)232

f x x x =+--- 1π133[cos(2)cos 2](2cos 2)23222

x x x x =-+=+ ． ………8分

因为 ，所以 ，

所以当 ，即 时，取得最大值． ………………10分

所以 ， 等价于 ．

故当 ，时，的取值范围是． ………………12分

20．（1） 4

1451)410(212sin 21cos 22-=-=?-=-=C C ；（2） 或 。 【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。

（1）因为4

1451)410(212sin 21cos 22-=-=?-=-=C C ，得到结论。 （2） ，由正弦定理可得：

由（1）可知4

15cos 1sin 0,41cos 2=-=∴<<-=C C C C π，结合面积公式得到的值，结合余弦定理求解得到a,b,c 的值。

解：（1） 41

45

1)410

(212sin 21cos 22-=-=?-=-=C

C

…… 4分 （2） ，由正弦定理可得：

由（1）可知415

cos 1sin 0,41cos 2=-=∴<<-=C C C C π

，得到 …………………………8分

由余弦定理

可得 …………………………10分

由可得或， 所以或 ………12分

21．（1）证明：见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为．

（3）点满足时，有// 平面．

【解析】本试题主要是考查了空间几何中点，线，面的位置关系的运用。

（1）取中点，连结，．

因为，所以．同时得到 ．

根据平面． 得到

（2）因为平面平面，且

所以B C ⊥平面，则即为直线与平面所成的角

（3）假设存在点，且时，有// 平面，建立直角坐标系来证明。

解：（1）证明：取中点，连结，．

因为，所以．

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以．

所以平面． 所以 ． ………………4分

（2）解法1：因为平面平面，且

所以B C ⊥平面

则即为直线与平面所成的角

设BC=a ，则AB=2a ，，所以

则直角三角形CBE 中，

即直线与平面所成角的正弦值为． ………………8分

解法2：因为平面平面，且 ，

所以平面，所以．

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，

则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．

所以，平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，

所以

||3 sin|cos,|

||||

EC OD

EC OD

EC OD

θ

?

=??==，

即直线与平面所成角的正弦值为．………8分

（3）解：存在点，且时，有// 平面．

证明如下：由，，所以．

设平面的法向量为，则有

所以取，得．

因为，且平面，所以// 平面．

即点满足时，有// 平面．………………12分22730 58CA 壊37827 93C3 鏃l39869 9BBD 鮽"32894 807E 聾23517 5BDD 寝#36912 9030 逰)36019 8CB3 貳36297 8DC9 跉T