数学分析习题课1.1

第一章 实数集与函数习题课 实数集、确界原理与函数一、基本要求：1、掌握有关实数的性质与运算。

2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。

3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。

4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。

5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。

并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。

二、内容复习：1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。

有理数可用分数形式qp（q p ,为整数，0≠q ）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。

2、实数的性质：(1) 封闭性：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的.(2) 有序性：任意两实数b a ,必满足下述三个关系之一：b a <，b a =，b a >.(3) 传递性：若b a >，c b >，则c a >.(4) 阿基米德性：对任何R b a ∈,，若0>>a b ，则存在正整数n ，使得b na >.(5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.(6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.3、绝对值的定义：⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,||a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值||a 就是a 到原点的绝对值.4、绝对值的性质：(1) 0||||≥-=a a ;当且仅当时0=a 有0||=a .第一章 实数集与函数(2) ||||a a a ≤≤-.(3) )0(||;||>≤≤-⇔≤<<-⇔<h h a h h a h a h h a .(4)对任何R b a ∈,有如下的三角不等式：||||||||||b a b a b a +≤±≤-.(5) ||||||b a ab =. (6) )0(||||≠=b b a b a . 5、区间与邻域的概念：有限区间：设a 、R b ∈，且b a <开区间：}|{),(b x a x b a <<=.闭区间：}|{],[b x a x b a ≤≤=.半开半闭区间：}|{),[b x a x b a <≤=或}|{],(b x a x b a ≤<=.无限区间：}|{],(a x x a ≤=-∞，}|{),(a x x a <=-∞}|{],(a x x a ≥=+∞，}|{),(a x x a >=+∞R =+∞-∞),(邻域：设0,>∈δR a点a 的δ邻域：),(}|||{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U .点a 的空心δ邻域：}||0|{);(δδ<-<=a x x a U .点a 的左δ邻域：],();(a a a U δδ-=-.点a 的右δ邻域：),[);(δδ+=+a a a U .∞邻域：}|||{)(M x x U >=∞，其中为充分大的正数（下同）.∞+邻域：}|{)(M x x U >=+∞；∞-邻域：}|{)(M x x U -<=-∞.6、确界的定义：确界是上确界与下确界的统称。

上确界的定义：设S 是R 中的一个数集。

若η满足：第一次习题课 实数集、确界原理与函数(i)对一切s x ∈，有η≤x ，即η是S 的上界；(ii)对任何ηα<，存在S x ∈0，使得α>0x ，即η又是S 的最小上界，则称数η为数集S 的上确界，记作 S sup =η.下确界的定义：设S 是R 中的一个数集。

若ξ满足：(i)对一切s x ∈，有ξ≥x ，即ξ是S 的下界；(ii)对任何ξβ>，存在S x ∈0，使得β<0x ，即ξ又是S 的最大下界，则称数ξ为数集S 的下确界，记作 S inf =ξ.7、确界原理：设S 为非空数集。

若S 有上界，则S 必有上确解；若S 有下界，则S 必有下确界。

8、函数的定义：给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数M y ∈与它对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作.,:y x M D f → 数集D 称为f 的定义域，x 所对应的数y ，称为f 在点x 的函数值，常记作)(x f ，全体函数值的集合)}(),(|{)(M D x x f y y D f ⊂∈==称为函数的值域。

9、函数的表示方法：解析法（或公式法）、列表法和图像法。

10、复合函数设有两个函数.),(,),(E x x g u D u u f y ∈=∈=记.})(|{*E D x g x E ∈=若∅≠*E ，则对每一个，*E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u 。

而u 又通过函数f 对应唯一的一个值y 。

这就确定了一个定义在*E 上的函数，它以x 为自变量，y 为因变量，记作*)),((E x x g f y ∈=或*),)((E x x g f y ∈= ，第一章 实数集与函数称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量。

函数f 和g 的复合运算也可简单的写作g f 。

11、反函数设函数 D x x f y ∈=),(，满足：对于值域)(D f 中的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得 y x f =)(.则按此对应法则得到一个定义在)(D f 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 x y DD f f →-)(:1 或 )(),(1D f y y f x ∈=-.12、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数。

13、有界函数设f 为定义在D 上的函数。

若存在正数M ，使得对每一个D x ∈有M x f ≤|)(|，则称f 为D 上的有界函数。

14、单调函数设f 为定义在D 上的函数。

若对任何D x x ∈21,，当21x x <时，总有(i) )()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；(ii) )()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f >时，称f 为D 上的严格减函数；增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。

15、奇函数和偶函数设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数。

若对每一个D x ∈有)()(x f x f -=- ))()((x f x f =-，则称f 为D 上的奇（偶）函数。

16、周期函数第一次习题课 实数集、确界原理与函数设f 为定义在数集D 上的函数。

若存在0>σ，对一切D x ∈有 )()(x f x f =±σ，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期。

若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的基本周期，或简称周期。

三、例题：例1、（Bernoulli 不等式）设+∈->N n h ,1，则成立不等式,1)1(nh h n +≥+其中当1>n 时成立等号的充分必要条件是.0=h证明 由于1=n 或0=h 不等式明显成立（且其中均成立等号），以下只需讨论1>n 和0≠h 的情况.将1)1(-+n h 作因式分解，就可以得到].)1()1()1(1[1)1(12-+++++++=-+n n h h h h h当0>h 时，在右边方括号内从第二项起都大于1，因此就有.1)1(nh h n +>+ 在01<<-h 时右边方括号内从第二项起都小于1，因此方括号中表达式之和小于n .由于0<h ，因此又得到.1)1(nh h n >-+注1、 令B A h /=，0>+B A ，则条件01>+h 成立。

将这个h 代入Bernoulli 不等式中，就可以得到Bernoulli 不等式的双参数形式如下。

设有0>A ，+∈>+N n B A ,0，则成立不等式B nA A B A n n n 1)(-+≥+，而且当1>n 时其中等号成立的充分必要条件是.0=B2、当0≥h 时不等式2)1()1(2h n n h n-≥+成立。

它的证明可直接由二项式定理展开得到，同样当0≥h 时不等式!3)2)(1()1(3h n n n h n--≥+也成立。

例2、（算术平均值－几何平均值不等式）设n a a a ,,21是n 个非负实数，则成立不等式,2121n n a a a na a a ≥+++ 其中等号成立的充分必要条件是.21n a a a ===证明 一开始可以看出，如果在n a a a ,,21中出现0，则不等式已经成立。

又可第一章 实数集与函数以看出，这时等号成立的充分必要条件是其中每个数为0．因此以下只要对n a a a ,,21为n 的情况进行证明就够了。

应用数学归纳法。

在1=n 时结论是平凡的。

在2=n 时结论是中学数学已包含的内容。

现设k n =是不等式已成立，然后讨论1+=k n ，将1+k 各正数n a a a ,,21的算术平均值分解如下：.)1()(121121121++++-++++=++++++k k a a a ka k a a a k a a a k k k k 然后将上式右边的两项分别记为A 和B 。

这是条件0>A ，0>+B A 满足，因而就可以作以下运算.)1()(1121121111121++++++≥⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++≥+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++K k k k k k k k k k a a a a a k a a a BA k AB A k a a a在不等式中成立等号的条件也可用数学归纳法得到。

在1=n 时已成立。

设在k n =时结论为真，则在1+=k n 时也可从上述推导看出等号成立的条件是 k k a a a ka +++=+ 211 和 ,21k a a a ===也就是.121++===k k a a a a注：几何平均值—调和平均值不等式：若n k a k ,,2,1,0 =>，则有∑∏==≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k n n k k a n a 1111该不等式可直接由算术平均值－几何平均值不等式得到。

例3、设S 是非空集，试正面陈述下列概念：（1）数集S 无下界；（2）数η是S 的上界，但不是S 的上确界。

解：（1）若S x R L ∈∃∈∀,，使得L x <，则称数集S 无下界。