工程与材料力学第9章-扭转
r 扭转实例
F F
M
r 扭转及其特点
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为
直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转
以扭转为主要变形的杆件－轴 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
τ
1,max
=
16M A πd 3
=
16×100 3.14× 0.023
= 63.7MPa
τ
2,max
=
16 M C πd03 (1−α
4
)
= =
16×100 3.14× 0.0253 ×（1− 74.9MPa
0.64）
§6 圆轴扭转强度与合理设计
r 扭转失效与扭转极限应力 r 圆轴扭转强度条件 r 圆轴合理强度设计 r 例题
mI
I
m
M
扭
x
M x
矩
符 号
I
M x (+)
II
m
规 定
mI
M x
：
M
x
I
I
M x (−)
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向 表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定 扭矩为正，反之为负。
扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化 的坐标图（与轴力图作法完全相同）。
引入比例常数G
τ =Gγ τp－剪切比例极限
在剪切比例极限内，切应力与 切应变成正比－剪切胡克定律
G－切变模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa
钢与合金钢：E =75~80 GPa
G
=
E （2 1+
μ）
铝合金：E =26~ 30 GPa
§4 圆轴扭转横截面上的应力
r 扭转试验与假设 r 扭转应力分析 r 极惯性矩与抗扭截面系数 r 例题
（1）Qε = 0∴σ = 0
（2）Q γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力 大小相等，并且方向垂直于其半径方向。
r 扭转应力分析
几何方面
γ
ρ
≈tanγ
ρ
=
dd' ad
dd' = ρdϕ
γ
ρ
=
ρ
dϕ dx
物理方面
τ
ρ
=Gρ
dϕ dx
τρ ∝ ρ
dϕ / dx－扭转角变化率
4)
≤
[τ
]
do
≥
3
π
16T
(1−α 4)[τ
]
=
76.3
mm
di = αdo = 68.7mm
取：do = 76 mm， di = 68 mm 3. 重量比较
β
=
π 4
(do2
−
di2
)
πd2
=
39.5%
4
空心轴远比 实心轴轻
例5-2 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已
知轴的转速n=100 转/分，传输功率P =7.5 kW,材料的容许剪应
§5 极惯性矩与抗扭截面系数
Œ 空心圆截面
dA=2πρdρ
∫ ∫ Ip =
ρ 2dA =
A
D/ 2 ρ 2 ⋅ 2πρ dρ
d/2
( ) Ip =
πD4 32
1−α 4
α
=
d D
( ) Wp
=
Ip D
=
πD3 16
1−α 4
2
• 实心圆截面 α=0
I
p
=
πd 4 32
Wp
=
πd 3 16
r 例题
精度：线弹性情况下,当δ ≤ R0/10 时,误差 ≤ 4.53%
r 切应力互等定理与纯剪切
∑ M z = 0, τdxdz ⋅ dy −τ'dydz ⋅ dx = 0 τ = τ'
在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相 等，方向则均指向或离开该交线－切应力互等定理
截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证） 微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态－纯剪切
l 一般传动轴， [θ ] = 0.5 ~1 (°)/m l 注意单位换算:
1
rad/m=
180 π
(o
)/m
r例题
例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3Î105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[θ] = 0.5 (°)/m 。ϕAC=? 校核轴的刚度
N⋅m
n
r / mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
例: P＝5 kW, n=1450 r/min, 则
M＝ 9549
× 5 kW 1450 r/min
(N⋅
m)
=
32.9
N⋅m
r 扭矩与扭矩图
扭矩
Me
1
Me
A Me
A
1
B
1
T
x 1
T = Me
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用 T 表示
符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，矢量方向与横截面 外法线方向一致的扭矩为正，反之为负
(+)
(−)
r例题
例 2-1 MA=76 N m, MB=191 N m, MC=115 N m, 画扭矩图
解：
T1 − M A = 0
T1 = M A = 76 N ⋅ m
T2 + MC = 0
T2 = − MC = −115 N ⋅ m
T max = 115 N ⋅ m
§3 切应力互等定理与剪切胡克定律
τ max ≤ [τ ]
变截面或变扭矩圆轴:
τ max
=
T Wp
max
等截面圆轴:
τ max
=
Tmax Wp
[τ ]=τ u n
τu－材料的扭转极限应力 n - 安全因数
危险点处于纯剪切状态，又有 塑性材料：[τ] =（0.5~0.577）[σ] 脆性材料：[τ] = （0.8~1.0）[σt]
r 圆轴合理强度设计
1. 合理截面形状
空心截面比 实心截面好
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
若 Ro/δ 过大 将产生皱褶
注意减缓 应力集中
r 例题
例 5-1 已知 T=1.5 kN.m，[τ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 α = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
思考题 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF 取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出
（1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布； （2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的
分布。
F
D
B
T T
E
C
A
G
答案:
F
D
B
T
T
E
C
A
G
r 剪切胡克定律
实验表明：当切应力 τ 不超过一定限度τp 时 τ ∝γ
§2 动力传递与扭矩
r 功率、转速与扭力偶矩的关系 r 扭矩与扭矩图 r 例题
r 功率、转速与扭力偶矩的关系
已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m）
设角速度为 ω (rad/s)
P = Mω P × 103 = M × 2πn
60
P
M = 9549 kW
dϕ dx
=
T GIp
dϕ
=
T(x) GIp ( x )
dx
∫ ϕ = T ( x) dx l GIp ( x)
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
常扭矩等截面圆轴
ϕ
=
Tl GIp
r 圆轴扭转刚度条件
θ
=
dϕ dx
=
T GIp
T GI p
max
≤
[θ ]
圆轴扭转刚度条件
[θ ]－单位长度的许用扭转角
（3）薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。
对于薄壁圆筒（δ 很小），横截面上其它各点处的剪应 力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认 为薄壁圆筒受扭时，横截面上的剪应力大小处处相等，方向 则垂直于相应的半径。 即如图中所示。
M
φ
T（ T =M）
这样，知道了剪应τ 的分布规律后 ，便可以利用静力学关系
解：1. 变形分析
T1 = M A = 180 N ⋅ m
ϕ
AB
=
T1l GIp
=
1.50×10-2
rad
T2 = − MC = −140 N ⋅ m
ϕ BC
=
T2l GIp
=
−1.17 × 10-2
rad
ϕ AC = ϕ AB +ϕBC = 1.50 × 10-2 − 1.17 × 10-2 = 0.33 × 10-2 rad
∫ T = τ dA⋅ r A
r－用平均半径R0代替
则
∫ T
= τ ⋅ R0 ⋅
dA
A
=
τ
⋅
R0
⋅
A
从而有
τ = T /(R0 ⋅ A) = T /(R0 ⋅ 2π ⋅ R0 ⋅δ ) = T /(2π ⋅ R02 ⋅δ )
(9-2)
适用范围：适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹性、线
性与非线性等情况
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
qx4
ql 12
x3
C x D 1
1
C 材料力学方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
6 梁的最大挠度：根据对称性
E Iw m a x E Iw |2 l 2 1 4 q 2 l 4 1 q 2 l 2 l 3 q 2 l4 3 2 l 3 5 8 q 4 lE 2 I
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设
1 M z (x)
EI z * 思考：
1、若M常量
2、 若MM（x）
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw (x)M (x)
EIw (x)M (x)dxC 1
E Iw (x ) (M (x )d x )d x C 1 x C 2
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
q
小变形（小挠度）
C
挠曲线
P x
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 w w(x)
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 qtanqdwx
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
dx
材料力学-扭转
扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤
材料力学扭转刚度知识点总结
材料力学扭转刚度知识点总结材料力学是力学的一个重要分支，主要研究材料的物理性质和机械行为。
扭转刚度是材料力学中的一个重要概念，用来描述材料对扭转加载的响应。
本文将对材料力学扭转刚度的相关知识点进行总结。
一、扭转刚度的定义扭转刚度是指材料在扭转加载下对外部力矩的抵抗能力。
扭转刚度直接与材料的几何形状、材料的性质以及加载方式有关。
二、扭转刚度的计算方法在计算扭转刚度时，需要考虑两个主要参数：扭转角度和转矩。
扭转角度是指材料在加载时发生的旋转变形，常用弧度来表示。
转矩是施加在材料上的力矩，用来产生扭转变形。
计算扭转刚度的方法有多种，常用的方法包括静态法、动态法和半经验法。
静态法是将扭转过程建模为刚性体的旋转问题，并应用牛顿第二定律进行分析。
动态法则是通过测量材料在一定频率下的振动响应来计算扭转刚度。
半经验法是将理论分析与试验数据相结合进行计算，通常用于复杂加载条件下的扭转刚度计算。
三、影响扭转刚度的因素1. 几何形状：扭转刚度与材料的几何形状密切相关。
例如，圆形截面材料相对于矩形截面材料来说，具有更高的扭转刚度。
2. 材料的性质：不同材料具有不同的扭转刚度。
例如，钢材相对于铝材来说，由于其高强度和高刚度，具有较高的扭转刚度。
3. 载荷方式：不同的加载方式会对扭转刚度产生不同的影响。
例如，纯扭转加载方式下的扭转刚度与剪切加载方式下的扭转刚度不同。
4. 温度：温度对材料的性能有很大影响，进而会影响材料的扭转刚度。
四、应用领域扭转刚度的概念在工程领域有广泛应用。
例如，在建筑结构设计中，需要考虑材料的扭转刚度来保证结构的稳定性和安全性。
同时，在机械工程中，考虑到机械零件的扭转刚度可以帮助设计出更耐用和可靠的机械设备。
另外，扭转刚度还在材料疲劳寿命、材料可塑性等方面具有重要作用。
对于疲劳寿命的预测和控制，了解材料的扭转刚度是至关重要的。
结论材料力学扭转刚度是材料力学中的重要内容，它描述了材料在扭转加载下的变形行为。
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第九章扭转
P = Mω
2πn P ×10 = M × 60
3
M N⋅m = 9549
P kW nr / min
例: P＝5 kW, n=1450 r/min, 则 ＝
5 kW M＝9549× (N⋅m) = 32.9 N⋅m 1450r/min
单辉祖:材料力学教程 8
扭矩与扭矩图
扭矩
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示， 符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示， 矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正， 的扭矩为正，反之为负
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA=2πρdρ
Ip = ρ dA =
2
∫A
∫
D/ 2
d/2
ρ2 ⋅ 2πρ dρ
πD4 α= d Ip = 1−α4 D 32 Ip πD3 W= = 1−α4 p D 16 2
(
)
(
)
实心圆截面
πd4 Ip = 32
单辉祖:材料力学教程
πd 3 W= p 16
24
γ ≈tanγ =1.0×10−3rad
τ = Gγ
τ = (80×109 Pa)(1.0×10−3 rad) = 80 MPa
注意： 虽很小， 很大， 注意：γ 虽很小，但 G 很大，切应力 τ 不小
单辉祖:材料力学教程 18
例 3-2 一薄壁圆管，平均半径为 0，壁厚为δ，长度为 ， 一薄壁圆管，平均半径为R 长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G， 横截面上的扭矩为 ，切变模量为 ，试求扭转角ϕ。
解：1. 扭矩分析
第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
n1=n2= 120r/min
转速与齿数成反比，所以有
1
36
3 ＝1 × ＝ 120 ×
r/min＝360r/min
3
12
2. 根据 = 9549
N ⋅ m 计算各轴的扭矩
3
Mx1=T1=1114 N.m
Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
大连大学
10
9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
A
B
D ▪ 不难看出，圆轴受扭后，将
产生扭转变形（twist
deformation），圆轴上的每
个微元的直角均发生变化，
这种直角的改变量即为切应
C'
变。这表明，圆轴横截面和
纵截面上都将出现切应力分
τ
别用 和 表示。
D'
A'
B'
大连大学
横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的
应力变形分析以及强度设计和刚度设计。
▪ 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基
本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
▪ 9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
▪ 9.2 切应力互等定理
3. 设计螺栓等间距分布时的直径d
利用1中所得的结果，应用剪切假定计算的强度条件，有
2
=
=
≤
2
8××
4×
×
4
螺栓直径 ≥
大连大学
= 35.2mm
静力学和材料力学课件第九章 扭转(H)
B
C
C'
d dx
第九章 扭
转
1.变形几何关系
d γ dx
2.物理关系
G
d G dx
max
O
d ? dx
第九章 扭
转
3.静力学关系
d 2 T dA G dA A A dx d G 2 dA dx A
第九章 扭
转
M1
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
A
75
M 2 50 M 3
C
500
B
750
A B
T1l1 2.5 103 750 103 7.55 103 rad GI P1 80 109 754 1012 32
T2l2 1.5 103 500 103 15.28 103 rad GI P 2 80 109 504 1012 32
1、实验
D
t
D / t 20
第九章 扭
转
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕
圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭
转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
a d
b c
B、正应力不存在性
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
2n P M M 60
扭矩和扭矩图
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
P P M 9 549 ( N m) 9.55 (kN m) n n
材料力学-第9章 扭转
其中， 为该轴的角速度 (rad s) ， 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) ， 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ，则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时， 扭转角 与扭转力偶矩 M e 成正比。 由式 (9 3) 和 式 (a ) 可以看出, 与 只相差一个比例常数，而 M e 与 也只差一个比例常数。 所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应变 与 切应力 成正比（图 9-9） 。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图 9-7 (e) ， 原来相互垂直的两个棱边的夹角， 改变了一个微量 ， 这就是切应变。 由图 9-7 (b) 可以看出，若 为薄壁圆筒两端截面的相对转角， l 为圆筒的长度，则切应变应 为
式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ，从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp ， PD 20hp ，轴的转
速为 n 300 r min ，试画出轴的扭矩 图。 解 按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m
材料力学扭转角公式
材料力学扭转角公式我们需要明确扭转角的概念。
扭转角是指在材料受到扭转力的作用下，发生弹性扭转变形时单位长度上两个相对平面之间的夹角。
在弹性范围内，扭转角与扭转力之间存在线性关系。
这种关系可以用扭转角公式来表示。
在材料力学中，扭转角公式是描述扭转角与扭转力之间关系的一个重要公式。
根据扭转角公式，扭转角与扭转力之间的关系可以表示为：θ = (T * L) / (G * J)其中，θ表示扭转角，T表示扭转力，L表示材料长度，G表示剪切模量，J表示截面转动惯量。
扭转角公式的推导过程涉及到一些材料力学的基本原理和公式。
在此不再赘述，我们重点关注扭转角公式的应用和意义。
扭转角公式可以用于计算材料的扭转角。
当我们知道材料的扭转力、长度、剪切模量和截面转动惯量时，可以通过扭转角公式计算出材料的扭转角。
这对于材料的设计和工程应用具有重要意义。
扭转角公式还可以用于研究材料的力学性能。
通过测量材料的扭转角和扭转力，可以反推出材料的剪切模量和截面转动惯量。
这对于了解材料的力学性质、优化材料的设计具有重要意义。
扭转角公式还可以用于研究材料的疲劳性能。
在材料的疲劳试验中，可以通过测量材料的扭转角和扭转力来评估材料的疲劳寿命和疲劳性能。
这对于材料的可靠性设计和寿命预测具有重要意义。
需要注意的是，扭转角公式适用于弹性范围内的扭转变形。
当材料发生塑性变形时，扭转角公式的适用性会受到限制。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的扭转角公式。
材料力学中的扭转角公式是描述扭转角与扭转力之间关系的重要公式。
它可以用于计算材料的扭转角，研究材料的力学性能和疲劳性能。
通过合理应用扭转角公式，可以为材料的设计和工程应用提供有力的支持。
希望本文能够对读者理解和应用材料力学中的扭转角公式提供帮助。
材料力学扭转
材料力学扭转材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而扭转则是材料力学中非常重要的一种变形形式。
在工程实践中，我们经常会遇到各种扭转现象，比如轴承、螺纹、螺栓等零部件的扭转变形。
因此，了解材料力学中的扭转现象对于工程设计和实际应用具有重要意义。
首先，我们来看一下什么是扭转。
扭转是指材料在外力作用下沿着一定轴线发生的旋转变形。
在扭转过程中，材料内部会受到剪切应力的作用，从而导致材料发生扭转变形。
扭转变形不仅会影响材料的外观和尺寸，还会对材料的力学性能产生影响。
在材料力学中，我们通常用剪切模量来描述材料的扭转性能。
剪切模量是指材料在扭转过程中所表现出的抗扭转能力。
剪切模量越大，材料的抗扭转能力就越强，反之则越弱。
因此，在工程设计中，我们需要根据材料的剪切模量来选择合适的材料，以满足工程的扭转性能要求。
除了剪切模量，材料的断裂韧性也是影响材料扭转性能的重要因素。
断裂韧性是指材料在扭转过程中抵抗断裂的能力。
材料的断裂韧性越大，其扭转性能就越好，能够更好地抵抗扭转变形和破坏。
因此，在工程设计中，我们还需要考虑材料的断裂韧性，以确保材料在扭转过程中不会发生过早的断裂。
此外，材料的微观结构也会对其扭转性能产生影响。
晶粒的大小、形状以及晶界的性质都会影响材料的扭转性能。
一般来说，晶粒越细小，晶界越强化，材料的扭转性能就会越好。
因此，在材料的制备过程中，我们需要通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能。
总的来说，材料力学中的扭转现象是工程设计中不可忽视的重要问题。
了解材料的扭转性能，选择合适的材料，并通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能，对于保证工程零部件的稳定性和可靠性具有重要意义。
希望本文能够对大家对材料力学中的扭转问题有所帮助。
材料力学§9-4扭转与弯曲的组合-南昌工程学院
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, 2 0
按第三强度理论作强度计算，相当应力为
r3 1 3 2
2
4 2
2
2 4 2
(a)
按第四强度理论作强度计算，相当应力为
r4
1 2
[(
1
2 )2
(
2
3)2
同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩MzB和 MyB（图f）按矢量相加所得 的总弯矩MB（图g）为：
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000 N m)2 1064 N m
由Mz 图和My 图可知，B 截
面上的总弯矩最大，并且由扭矩
第9章 组合变形
§9-4 扭转与弯曲的组合
主讲院校：南昌工程学院 主讲老师：章宝华 课程名称：材料力学
§9-4 扭转与弯曲的组合
以由塑性材料制造的曲拐为 例来说明这类组合变形时应 1力.内及力其分强析度的计算方法。
A面上内力最大，该截 面为危险截面，其内力
值分别为弯矩M＝Fl，扭 矩MT＝Fa。
该杆为直径为d 的圆截面杆。
r3
2
2
M WZ
4 2MWTZM
M 2 MT2 WZ
r4
2
2
M WZ
3
MT 2WZ
M 2 0.75M T 2 WZ
式中,M和MT分别为危险截面上的弯矩和扭矩，WZ为圆截面的弯曲截面系数。