材料力学第4章扭转
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
材料力学课件第3-4章
L M x( x) d x
0 GIP (x)
28
3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件
二. 刚度条件
对等直轴:
d
dx
Mx GIP
单位长度的扭转角
等直圆轴扭转
max
M x max GIP
180
[ ](o /m)
对阶梯轴: 需分段校核。
max
M x max GIP
180
[ ](ο /m)
2. 给出功率, 转速
(kw)
Me = 9549
P n
(N. m)
(r/min)
5
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二.横截面上的内力
截面法求内力： 截，取，代，平
Mx 称为截面上的扭矩
Mx 0 Mx Me 0 即 Mx Me
按右手螺旋法：
指离截面为正，
M x 指向截面为负。
6
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
10
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
一. 薄壁筒扭转实验
nm
t
实验观察 分析变形
x
r
nm l
mn没变 x = 0
x = 0
Me
nm
γ
Me
φ
x
r没变 = 0
= 0
nm
Me
nm
Mx
x
n m Mx
11
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
Me Mx
nm
Mx
n m Mx
由于轴为薄壁,所以认
为 沿t 均布.即 =C
max
M x max Wp
31.5 103 m
M x max d 3
16
材料力学第四章 扭转
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学 第4章_扭转
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
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§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
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4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
材料力学第四章
一、 传动轴如图19-5（a ）所示。
主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。
试画出轴的扭矩图。
解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式：117030075.3695509550=⨯==n N M A A (N ·m )3513001195509550=⨯===n N M M B C B (N ·m )4683007.1495509550=⨯==n N M D D (N ·m )（2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。
现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。
BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。
根据平衡条件0=∑x m 得：01=+B n M M3511-=-=B n M M (N ·m )结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。
BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。
所以这一段内扭矩图为一水平线。
同理，在CA 段内：M n Ⅱ＋0=+B C M MⅡn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ468==D n M M Ⅲ(N ·m )根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。
由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，工作时的最大扭矩M n ＝1.5kN·m ，材料的许用剪应力][τ＝60MPa 。
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学：第四章 扭转
回顾: 极惯性矩、抗扭截面系数的计算
抗扭截面系数 极惯性矩
薄壁圆管 扭转切应力
回顾: 圆轴扭转强度条件 & 应力计算公式
薄壁圆管扭 转切应力
圆轴扭转 强度条件
max
[ ] u
n
扭转极限应力τu =
扭转屈服应力ts (塑性材料) 扭转强度极限tb (脆性材料)
§5 圆轴扭转变形与刚度计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
例题
例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图 解：用截断法,列力偶
矩平衡方程,和x轴正向 相同者取正 (1) 1-1截面
单辉祖：材料力学Ⅰ
(2) 2-2截面 T2 MC 115 N m
(3) 画扭矩图
15
§3 圆轴扭转横截面上的应力
单辉祖：材料力学Ⅰ
64
薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆
截面中心线
－截面壁厚平分线
薄壁杆
－壁厚<<截面中心线 长度的杆件
闭口薄壁杆
－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆
开口薄壁杆
－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
闭口薄壁杆扭转应力与变形
假设 切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线 应力公式
单辉祖：材料力学Ⅰ
62
例题
例 7-1 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
2. 开口薄壁圆管
3. 抗扭性能比较
单辉祖：材料力闭学Ⅰ口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好
63
§8 薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆 闭口薄壁杆扭转应力与变形 开口薄壁杆扭转简介 薄壁杆合理截面形状 例题
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(2)计算扭矩
从受力情况看，在轴的AB，BC，CD三段内，各横截面上的扭矩是不相等的。
现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。 在AB段，用截面1—1截取，取左段为研究对象，并假设该截面上的扭矩T1为 正，如图4.5(c)所示。由平衡方程 MA+T1=0 于是有 T1=-MA=-1 910 N²m ，得
相反的切应力′，于是组成力偶矩为(′dxdz)dy的力偶。根据平衡方 程 ，得 ′dxdz)dy
( dydz)dx=( 于是
如图4.7(a)所示的单元体在其两对相互垂直的平面上只有切应力而无正应力 。这种应力状态称为纯剪切应力状态。显然，薄壁圆筒发生扭转时处于纯剪
切应力状态。由于这种单元体的前、后两平面上无任何应力，所以可将其改
图4.3 根据平衡方程 ，即
T-Me=0
得 T=Me
显然，若截取后取右段为研究对象，则在同一横截面上可求得扭矩的数值大
小相等而方向相反。为使同一横截面上的扭矩正、负号一致，对扭矩的符号 规定如下：按右手螺旋法则确定扭矩矢量T，当T的指向与横截面的外法线方
向一致时，扭矩为正(见图4.4(a))，反之，为负(见图4.4(b))。
依据上述分析，可知薄壁圆筒的扭转时，横截面上各处的切应力值均相等， 其方向与圆周相切。由于横截面上的扭矩都是该截面上的应力与横面积dA之 乘积的合成，如图4.6(d)所示，可得
所以
(2)切应力互等定理 在承受扭转的薄壁圆筒上，用两个横截面、两个径向截面和两个圆柱面截取 出边长分别为dx，dy，dz的单元体，并放大为图4.7(a)所示。单元体的左、 右两侧面是圆筒横截面的一部分，所以有切应力。切应力值根据公式(4.2) 计算，数值相等但图4.7方向相反，于是组成一个力偶矩为( dydz)dx的力偶 。为保持平衡，单元体的上、下两个面必须有切应力，并组成力偶以与力偶 ( dydz)dx相平衡。由 可知，上、下两个面上存在大小相等、方向
在研究扭转的应力和变形之前，先介绍作用于轴上的
外力偶矩及横截面上的内力。
4.2.1外力偶矩的计算 以工程中常见的传动轴为例，作用在轴上的外力偶矩与轴传递的功率和转速 有关。若已知轴传递的功率为Pk，单位kW，转速为n，单位r/min，则圆轴在 每分钟内传递的功为 W=Pk²t=Pk³103³60 外力偶矩Me在每分钟内完成的功为 W′=Me²φ =Me³2π ³n 由于W′=W，所以作用在轴上的外力偶矩
图4.1
上述杆件的受力可简化为如图4.2所示，其受力特点是在杆件 两端作用两个大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线 的力偶。变形特点是杆件的任意两个横截面绕其轴线作相对的 转动。扭转时杆件两个横截面相对转动的角度称为相对扭转角 ，一般用φ 表示(见图4.2)。
图4.2
4.2外力偶矩的计算扭矩与扭矩图
4.3圆轴扭转时的应力
本节讨论等直圆轴扭转时的应力。先通过研究薄壁圆筒的扭转寻求扭转时横 截面上的应力和应变的分布规律及其二者之间的关系，再进一步从等直圆轴
受扭时的变形几何关系、物理关系和静力关系３个方面综合分析，推导圆轴
扭转时的应力计算公式。
4.3.1纯剪切 (1)薄壁圆筒的扭转 设一等厚薄壁圆筒，其壁厚δ 远小于其平均半径为r，两端承受外力偶矩Me ，如图4.6(a)所示。圆筒任一横截面上的扭矩都是由截面上的应力与微面积 dA之乘积合成的，因此横截面上的应力只能是切应力。
图4.6
为得到沿横截面圆周各点处切应力的变化规律，可在薄壁圆筒受扭前，在筒 表面画出一组等间距的纵向线和圆周线，形成一系列的矩形小方格。然后在 两端施加外力偶矩Me，圆筒发生扭转变形。由此可以观察到： ①圆筒表面各纵向线在小变形下仍保持直线，但都倾斜了同一微小角度γ 。 ②各圆周线的形状、大小和间距都保持不变，但绕轴线旋转了不同的角度。 因筒壁很薄，所以可将圆周线的转动视为整个横截面绕轴线的转动，圆筒两 端截面的相对扭转角为φ ，如图4.6(b)所示。此外，圆筒任意两横截面之间 也有相对转动，从而使筒表面的各矩形小方格的直角都改变了相同的角度γ ，如图4.6(c)所示，这是横截面上切应力作用的效果，又因薄壁圆筒δ r ，所以可近似认为切应力沿壁厚不变。
第4章 扭转
4.1扭转的概念和实例 工程中，受扭构件是很常见的。例如，汽车转向轴，当汽车转向时，驾驶员 通过方向盘把力偶作用在转向轴的上端，在转向轴的下端则受到来自转向器
的阻力偶作用，如图4.1(a)所示。又如轴承传动系统的传动轴工作时，电动
机通过皮带轮把力偶作用在一端，在另一端则受到齿轮的阻力偶作用，如图 4.1(b)所示。
负号表明截面1—1上的实际扭矩方向与假设方向相反，按照扭矩的符号规定 ，该截面上扭矩是负的。
同理，可求得截面2—2和截面3—3上的扭矩分别为
T2=-3 820 N²m9T3=5 730 N²m (3)绘制扭矩图
根据上述计算，绘制扭矩图如图4.5(f)所示。可以看出，该轴的最大扭矩发
生在CD段，且Tmax=5 730 N²m。
用平面图加以表示，如图4.7(b)所示。
图4.7
(3)剪切胡克定律 通过薄壁圆筒的扭转实验可以得到材料在纯剪切应力状态下应力与应变之间 的关系。 试验结果表明，当切应力低于材料的剪切比例极限时，相对扭转角φ 与扭矩
应用时需要注意功率和转速的单位。
4.2.2扭矩与扭矩图 杆件上的外力偶矩确定后，就可用截面法计算任意横截面上的内力。以如图 4.3(a)所示的圆轴为例，假想用m—m截面将圆轴一分为二，并取其左段为研 究对象(见图4.3(b))。由于整个轴是平衡的，则左段也处于平衡状态，这就 要求m—m横截面上的内力必须归结为一个力偶矩，称为扭矩，用T表示。
图4.4
下面举例说明扭矩的计算和扭矩图的绘制。
例4.1如图4.5(a)所示的传动轴，已知轴的转速n=300 r/min，主动轮C输入
功率PC=360 kW，3个从动轮A，B，D输出功率分别为PA=60 kW，PB=120 kW， PD=15
解(1)计算外力偶矩 根据公式(4.1)计算作用于各轮上的外力偶矩