空间向量知识点zst
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。
设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。
2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。
三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。
空间向量知识点总结简单
空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。
空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。
二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。
（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。
（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。
（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。
3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。
（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。
三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。
性质：点积满足交换律、分配律、结合律。
应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。
2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。
性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。
应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。
四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。
空间向量知识点
空间向量知识点空间向量是线性代数中的重要概念，用来描述和分析空间中的物理量和几何关系。
在几何学、物理学、计算机图形学等领域中都有重要应用。
一、基本概念在二维平面中，我们可以用一个有序数对表示一个点的位置。
类似地，在三维空间中，我们可以用一个有序三元组表示一个点的位置。
这个有序三元组就是一个空间向量，通常用小写字母表示，如a、b、c 等。
二、坐标表示空间向量可以用坐标来表示。
具体来说，在三维空间中，我们可以将一个向量表示为(x, y, z)的形式，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
这种坐标表示方法方便了向量的计算和比较。
三、加法和减法和二维向量类似，空间向量也可以进行加法和减法运算。
例如，对于两个向量a=(x1, y1, z1)和b=(x2, y2, z2)，它们的加法运算可以表示为：a+b=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
减法运算类似：a-b=(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
四、数量乘法另外，空间向量还可以进行数量乘法运算。
数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个常数。
例如，对于向量a=(x, y, z)和常数k，它们的数量乘法运算可以表示为：ka=(kx, ky, kz)。
五、点乘和叉乘除了基本的向量运算，空间向量还有两种重要的运算：点乘和叉乘。
点乘（内积）是两个向量相乘再相加的结果，它的结果是一个标量。
叉乘（外积）是两个向量相乘再进行向量运算的结果，它的结果是一个新的向量。
点乘可以用来计算向量之间的夹角和判断向量之间的关系。
两个向量a=(x1, y1, z1)和b=(x2, y2, z2)的点乘可以表示为：a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2。
如果两个向量的点乘为0，那么它们垂直；如果点乘为正数，那么它们夹角小于90度；如果点乘为负数，那么它们夹角大于90度。
叉乘可以用来计算两个向量的叉乘积，获得一个新的向量。
这个向量垂直于原来的两个向量，并且长度等于两个向量的长度与夹角的正弦值的乘积。
空间向量免费知识点总结
空间向量免费知识点总结一、基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指n维实数空间中的元素，通常以n维列向量的形式表示。
例如，在三维空间中，一个向量可以表示为\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]2. 向量的模长向量的模长也叫向量的长度，表示向量的大小。
在三维空间中，向量\[ \mathbf{v} =\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]的模长可以表示为\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]3. 向量的方向向量的方向是指向量的指向。
在三维空间中，向量\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]的方向可以表示为\[ \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]4. 向量的标准化将向量沿着其方向进行缩放，使得其模长等于1。
这样的向量称为单位向量。
5. 向量的相等两个向量相等，当且仅当它们的对应分量都相等。
6. 向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，在空间中表示为\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \]其中\[ \theta \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]之间的夹角。
7. 向量的叉积向量的叉积也称为矢量积或外积，在空间中表示为\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta} \mathbf{n} \]其中\[ \theta \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]之间的夹角，\[ \mathbf{n} \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]的方向向量。
空间向量的知识点总结
空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。
一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。
它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。
空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。
空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。
二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。
2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。
这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。
3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。
4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。
这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。
5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。
三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。
设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。
四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。
空间向量相关知识点总结
空间向量相关知识点总结一、空间向量的定义和基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。
2. 空间向量的基本概念（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。
（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。
（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加减法（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。
（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。
2. 数乘向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。
3. 空间向量的数量积和向量积（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。
（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。
三、空间向量的几何应用1. 向量的方向余弦（1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。
（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。
（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。
2. 向量的投影（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。
空间向量几何知识点总结
空间向量几何知识点总结1. 空间向量的定义与表示空间向量是指具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在三维空间中，一个向量可以表示为\[ \mathbf{a} = (x, y, z) \]，其中(x, y, z)称为向量的坐标，表示向量的末端在三维坐标系中的位置。
向量的表示还可以用分量表示法和向量的坐标表示法。
在分量表示法下，一个向量可以表示为\[ \mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]，其中\( \mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k} \)分别是三维空间中的单位向量。
这样，一般来说，一个向量的分量有蓝量、红量、绿量等三个分量构成。
2. 空间向量的运算空间向量有加法、数量乘法和数量除法的运算。
加法：设有两个向量\[ \mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1) \]，\[ \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2) \]，则这两个向量的和为\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \]。
数量乘法：设有一个向量\[ \mathbf{a} = (x, y, z) \]和一个实数\( k \)，则数量乘积为\[ k\mathbf{a} = (kx, ky, kz) \]。
数量除法：设有一个向量\[ \mathbf{a} = (x, y, z) \]和一个实数\( k \)，\( k \ne 0 \)，则数量除积为\[ \frac{1}{k}\mathbf{a} = \left( \frac{x}{k}, \frac{y}{k}, \frac{z}{k} \right) \]。
3. 空间向量的性质空间向量有以下几个重要的性质：(1) 零向量：零向量的坐标为(0, 0, 0)，它是唯一的。
对任意一个向量\( \mathbf{a} = (x, y, z) \)有\[ \mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a} \]。
空间向量知识点
空间向量知识点空间向量是高中数学中的重要内容之一，它是几何向量的推广和扩展。
了解空间向量的基本概念和性质，有助于我们更好地理解和应用向量。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量，它是空间中的一条有向线段。
空间向量用矢量表示，通常用字母a、b、c等表示。
空间向量有以下几个基本要素：1. 大小：空间向量的大小通常用线段的长度表示，即向量的模或长度，记作|a|。
2. 方向：空间向量的方向通常用线段的方向表示，可以用射线或箭头表示。
3. 终点：空间向量的终点用有序的三元组(x, y, z)表示，表示向量在三维坐标系中的终点位置。
二、空间向量的运算1. 加法：空间中的向量加法满足交换律和结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a。
向量相加的结果是两个向量的平行四边形的对角线。
2. 减法：向量减法等价于向量的相反数与向量的加法，即a-b=a+(-b)。
向量相减的结果是连接两个向量起点和终点的线段。
3. 数乘：向量与一个实数k的乘积，记作ka，可以改变向量的大小和方向，当k<0时，向量的方向相反。
三、空间向量的表示方法空间向量有多种表示方法：1. 平行四边形法表示：即将向量的起点与坐标系原点重合，终点与坐标系中某点重合，计算该点的坐标进行表示。
2. 数量对表示：使用有序数对(x,y,z)表示向量的平行于坐标轴的分量。
3. 距离表示：使用两点之间的距离来表示向量的大小。
4. 方向角表示：使用与坐标轴的夹角来表示向量的方向。
四、空间向量的性质1. 平行关系：若a和b平行，则存在实数k使得a=k*b。
2. 垂直关系：若a和b垂直，则a·b=0，即a和b的数量积为0。
3. 长度关系：向量的模或长度与其坐标分量相关，可以使用勾股定理计算。
4. 重要定理：向量a、向量b和向量c组成平面三角形的面积等于以向量a和向量b为两边的平行四边形的面积的一半。
空间向量不仅在数学中有重要的应用，还广泛应用于物理、工程等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（数学选修2-1）空间向量与立体几何练习题一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552 D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ）A ．19B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21 B ．22C ．－21D ．0 二、填空题1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。
2．若向量,94,2k j i b k j i a++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，若a ⊥b ，则=x ______；若//a b 则=x ______。
4．已知向量,3,5k r j i b k j i m a++=-+=若//a b 则实数=m ______，=r _______。
5．若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a-，则a 与b 的夹角为____________。
6．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =，则=z y x ::________________。
7．已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ===,,，用a ，b ，c表示N M ，则N M=_______________。
（数学选修2-1） 第三章 空间向量参考答案一、选择题1．D 2//;3//;b a a b d c d c =-⇒=-⇒而零向量与任何向量都平行 2．A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变 3． C 2682cos ,,2,95535a b a b a bλλλ-<>====-+或4．A (3,4,2),(5,1,3),(2,3,1)AB AC BC ===-，0AB AC >，得A 为锐角；0CA CB >，得C 为锐角；0BA BC >，得B 为锐角；所以为锐角三角形5．C 222(1,23,33),(1)(23)(33)AB x x x AB x x x =---+=-+-+-+2143219x x =-+，当87x =时，B A 取最小值6．D cos cos()33cos ,0OA OC OA OB OA BC OA OC OB OA BC OA BCOA BCOA BCππ--<>====二、填空题1．212- 23(10,13,14)a b -=--，2(16,4,0)a b +=- 2．垂直 (2,1,1),(4,9,1),0a b a b a b =-==⇒⊥3．10,63-若a ⊥b ，则108230,3x x --+==；若//a b ，则2:(4)(1):23:,6x x -=-==-4．115,5- 511(,5,1),(3,1,),,15,315m a m b r m r r -=-=====- 5．0 222222716150,733200,4935,4935a a b b a a b b a b b a a b +-=-+===得223535353549,,cos ,1494949ba ba b a b b a b b a b a ba ==<>====6．2:3:(4)- 77(1,3,),(2,1,),0,0,44AB AC AB AC αα=--=---==2243,::::()2:3:(4)4333x y x y z y y y z y⎧=⎪⎪=-=-⎨⎪=-⎪⎩7．1()2b c a +- 11()22MN ON OM b c a =-=+-空间向量与立体几何知识点1、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则a b BA =-． 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=． 5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．6、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P=O A+A B+A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=．7、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 8、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．9、已知两个非零向量a 和b ，则c o s ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即c o s ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 11、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉； ()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅；()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．12、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．13、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．14、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ． 15、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=．()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．()7222111a a a x y z =⋅=++． ()8121212222222111222cos ,x x y y z z a b a b a bx y z x y z++⋅〈〉==++⋅++．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-．16、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．17、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．18、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 19、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．20、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．21、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔ a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．22、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．23、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．24、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．26、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n n PA⋅=PA 〈PA 〉=．27、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=。