材料力学-第4章-扭转
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第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
材料力学4.
1. 剪应力互等定理 由 MZ 0
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
材料力学-扭转
扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学-第四章 扭转_1
d4
32
(5-8)
Wt
Ip
max
Ip d /2
d3
16
(5-9)
d
o
I p
D/2
2 2
d/2
d
(D4
32
d4)
Ip
32
D4 (1 4 )
（5-10）
Wt
Ip
max
D3 (1 4 )
16
(5-11)
[例5-2]内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面 轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应 力及横截面上的最大和最小剪应力。
第五章 扭转
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
螺旋桨轴
受力特征： 杆受转向相反的力偶矩作用，力偶 作用面垂直于轴线。 变形特征： 横截面绕轴线相对转动。
扭转：横截面绕轴线（纵向线）作相对旋转为主要特征的变形形式。
dx
二. 扭转应力
d A
rdA T r 2 r T
dA
r
A
T
2 r 2
(5-2)
T 2 A0
根据精确的理论分析,当 ≤r/10时,上式的误差不
超过4.52%,是足够精确的。
三. 扭转角
l r
l / r ... Tl 2G r3
四、剪切胡克定律
在纯剪状态下，
单元体相对两侧面将
外力偶 Me 每分钟做的功为：
W = 2nMe
( 2)
(1)=(2) 得
P kW × 1000× 60=2 n M e N.m
Me
材料力学-第四章 扭转_2
T
T 6b 3T TS 2 2 2 2 4G 4G ( 2b ) 8Gb 3
1 2b 2
1 4b 2 2 2 3
结论 若将开口件加工为闭口件，将极大地提高构件的扭转
强度和刚度。
本 章 作 业
4-5，4-10， 4-13，4-29 4-16， 4-17 ， 4-19 4-21（c），4-23 4-32，4-34
max
T h b2 T [ ] 2 0.246 2b b
取 b = 45 mm。
6 T 3 10 b 3 3 44.3 0.492[ ] 0.492 70
由 h / b = 2 查表得 = 0.229
T 3 10 6 2 1 2 10 m G 2b b 3 80 103 0.229 2 454
闭口薄壁杆件切应力分析
F
dx dx
x
0
1 1dx 2 2 dx 0
1
1
2
x
2
1 1 2 2
dFS ds
Const
dT ds
T ds ds 2
S S
闭口薄壁杆件切应力
ds dFS
例 正方形截面轴两端承受转矩而产生自由扭转。在强度相同
长度相等的条件下计算圆轴与正方形截面轴的重量比。
转矩 T 在矩形边中点引起最大切应力。 max 由正方形 h / b = 1
T h b2
3
查表得 = 0.208
圆轴
max
T [ ] 3 0.208b
16T d π[ ]
2.约束扭转
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
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外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
角速度w 单位：rad/s (弧度/秒)
9
材料力学－第4章 扭转
TR IP
T IP
T WP
R
其中：
WP
d3
16
称为抗扭截面系数
26
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
空心圆轴的扭转计算
空心圆轴与实心圆轴的扭转，变形本质并无不 同，因此应力和变形计算公式均相同。唯一不同在 于极惯性矩的计算。
27
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• 概述及示例 • 外力偶矩、扭矩和扭矩图 • 圆轴扭转横截面上的应力 • 圆轴扭转破坏与强度条件 • 圆轴扭转变形与刚度条件 • 扭转静不定问题 • 非圆截面轴扭转 • 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
基本概念：
扭转： 横截面绕轴线作相对旋转的变形形式 扭转角： 横截面间绕轴线的相对角位移 轴： 以扭转变形为主要变形的直杆 作用面垂直于杆轴的外力偶，称为扭力偶， 其矩称为扭力偶矩。
7
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
8
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
——圆轴扭转的平截面假定 即：圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动
18
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
ρ R
A
dx O
d
B
B´
C
D
D´
变形
O ’
()
G
G
d
dx
A
B
B´
应变特征 应力分布
C
D D
G G BB ´ G Rd
AB dx
应力公式
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
均相同
max
G
d
dx
22
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
静力平衡关系 横截面上分布的剪应力的合
力（主矢）等于零 剪应力关于原心O的合力矩应
该等于该截面上的扭矩T，即
A dA T
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
10
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
扭转时的内力——扭矩、扭矩图
• 杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形，同时在轴内 产生抵抗扭转变形的内力偶矩T，称为扭矩
• 扭矩T的计算仍采用截面法
假想截面m-m将杆件分为 两部分，根据平衡关系，有
T=M
11
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 扭矩符号的规定
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
Me
9549
PkW nr /min
Me
7024
P马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
2M e
m Me m
T Me
m
Me 截面法：
1.在所研究平面处假想截开
Me 2.根据平衡关系确定截面（弯） 扭矩
3.根据定义，确定（弯）扭矩正
负
13
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，画出其扭矩图
T1 M e
T
Me
T2 M e
x
Me
14
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
该圆环对圆心的微惯性矩为：
2dA 2 2d 23d
2dA
O
积分可得整个圆截面的极惯性矩：IP 源自d /2 2 3d d 4
0
32
25
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
总结 － 实心圆轴
圆轴扭转变形公式
d T
dx GIP
圆轴扭转切应力
T
IP
其中
IP
d4
32
最大切应力： max
扭转圆轴不同平面上的应力分布
dx
O
O
’
R
A
B
C
D
max
20
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
横截面上半径为 处的剪应力为
G
G
d
dx
max
21
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
• 剪力方向垂直于半径（由于剪切变 形发生在垂直于半径的平面内）
• 圆轴截面上的剪应力与 成正比
• 剪应力在圆轴边缘达到最大 • 在离圆心等远的各点处，剪应力则
概述及示例
• 纯扭转变形
4
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
• 杆件的扭转变形是指杆件在 M
M
两端外力偶矩作用下发生的
变形
• 受力特点：两个等值反向的 外力偶分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
• 变形特点：杆件各横截面绕 杆的轴线发生相对转动
5
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
受力及变形特点：
6
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
d dx
得到：
G d 2dA T
dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
T
IP
dA
T
O
dA
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
IP － 2圆dA截面的极惯性矩
A
考虑一半径为 ，厚度为 d 的圆环。
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
等直圆轴扭转时横截面上的应力
此问题仅仅利用静力平衡是不能解决的，而必须从几何、 物理和平衡三个方面进行综合分析。
变形
几何（位移－应变关系）
应变分布
物理（胡克定律）
应力分布
静力方程
应力公式
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力 变形 应变特征 应力分布 应力公式