高考数学大一轮复习 第五章 第5节 数列的综合应用课件
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(全国版)高考数学一轮复习第五章数列5.5数列的综合应用课件理
a10
……
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记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},
b(11=)a证1明=1(.zhSèn为ng数mín列g){数bn列}的前n成项等和差,且数满列足,并b求nS2nb数n S列n2 {b1n(n}的 2通).
1
项公式.
Sn
(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的
3
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2.若本例题(lìtí)条件“b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比 数列” 变为“an+2an-1= bn 1 ”,求数列{bn}的通项公式. 【解析】由典例解析知an=3n, 所以an+2an-1=3n+2·3(n-1)=9n-6, 即 bn 1 =9n-6, 因此bn=81n2-108n +35.
顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当 时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.
a81
4 91
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【解析】(1)由已知,当n≥2时, Sn=b1+b2+…+bn,
2b=n 1,又 bnSn Sn2
所以 即
2Sn Sn1 Sn Sn1 Sn Sn2
1，
所以2Sn Sn1 1,
An =[(n-1)2+n](2n-1),而Bn=n3-(n-1)3,
2
n
12
2n
1］2n
1
所以An+Bn=2n3.
答案:2n3
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3.(2016·保定(bǎo dìnɡ)模拟)将数列{an}中的所有项按每 一
行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a1
高考理科第一轮复习课件(5.5数列的综合应用)
1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数 列，则{an}的前n项和Sn=(
n 2 7n (A) 4 4 n 2 5n (B) 3 3
) (D)n 2+n
n 2 3n (C) 2 4
【解析】选A.设数列{an}的公差为d，则根据题意得
(2+2d)2=2·(2+5d)，解得 d 1 或d=0（舍去），所以数列{an}
【变式备选】已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn
为{an}的前n项和. （1）求通项an及Sn. （2）设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn} 的通项公式及其前n项和Tn.
【解析】（1）因为{an}是首项为a1=19，公差d=-2的等差数
列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21, Sn=-n2+20n. （2）由题意知bn-an=3n-1,所以bn=an+3n-1, 即bn=-2n+21+3n-1. Tn=Sn+(1+3+„+3n-1)
3n 2 11n 2 2 , n 2, 所以Sn 2 3n 11n 10, n 2, 2 2 4,
这个式子中n=2时两段函数值相等，
n 1,
故可以写为
Sn 3n 2 11n 10, n 2. 2 2
【互动探究】本例题（1）中将条件“S1,S2,S4成等比数列”改
第五节 数列的综合应用
数列的实际应用 (1)解答数列应用题的步骤. ①审题——仔细阅读材料，认真理解题意. ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. ③求解——求出该问题的数学解. ④还原——将所求结果还原到原实际问题中.
高考数学大一轮复习 第五章 数列 第5课时 数列的综合应用课件 文 北师大版.ppt
又∵{an}是等差数列， f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14＝7×2， ∴f(a4)＝2， 即(a4－3)3＋(a4－3)＋2＝2， ∴a4＝3， ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝21. 答案：D
2．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9 成等比数列．
(1)求数列{an}的通项； (2)求数列{2an}的前n项和Sn. 解：(1)由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋12d＝11＋ ＋82dd， 解得d＝1，d＝0(舍去)， 故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n， 由等比数列前n项和公式得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝211－－22n＝2n＋1－2.
考点二 数列的实际应用 [例2] 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企 业第一年年初有资金2 000万元．将其投入生产，到当年年底资金 增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要 求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金 全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金 为an万元．
解析：设每年粮食产量成等比数列{an}，则a1＝m，q＝1＋ 5%，所以a5＝a1q4＝m(1＋5%)4(吨)．
答案：m(1＋5%)4
考点一 等差、等比数列的综合问题 [例1] 已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数 列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N＋，证明Tn＋12＝－ 2an＋10bn(n∈N＋)．
(2)证明：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，① 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.② 由②－①，得 Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2 ＝1211－－22n－1＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10.
高考数学一轮总复习 第五章 数列 55 数列的综合应用课件 理
2021/12/11
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名师点拨 等差、等比数列综合问题的解题策略 1．分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题， 如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解 题的顺序． 2．注意细节，在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确 定，要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用 同一个公式表示等．
n＋1 2＝－1232－n＋1 1－n＋1 2.
2021/12/11
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又因为32－n＋1 1－n＋1 2<32， 所以Tn>－34.(12分)
2021/12/11
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名师点拨 数列中不等式的证明问题
数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求
2021/12/11
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解析：(1)由题意得f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n
＝14.4＋0.2n2n＋1＋0.9n＝0.1n2＋n＋14.4.
(2)设该车的年平均费用为S万元，则有
S＝1nf(n)＝1n(0.1n2＋n＋14.4)
＝1n0＋14n.4＋1≥2 1.44＋1＝3.4.
列为模型的实际应用问题
式为主，难度中等或稍难．一般第一问考
．
查求通项，第二问考查求和，并与不等式
3．数列与函数、不等式 的综合问题．
、函数、最值等问题综合.
2021/12/11
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考点一|等差、等比数列的综合问题 (方法突破) 【例1】 (2018·长沙市一中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＋a6＝24，S11 ＝143，数列{bn}的前n项和为Tn，满足2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式及数列ana1n＋1的前n项和； (2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由．
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和与数列的综合应用课件 理 高三全册数学课件
2021/12/8
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解析：(1)令数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S20＝a1＋a2＋a3 ＋…＋a20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－12＋212＋213＋…＋2120＝420－ 1－2120＝419＋2120.
(2)an＝2＋22＋23＋…＋2n＝2－1－2n2＋1＝2n＋1－2， 所以 Sn＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－(2＋2＋2＋…＋2)＝ 221－－22n＋2－2n＝2n＋2－4－2n.
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课堂探究·深度剖析
课堂升华 强技提能
2021/12/8
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考向一 分组求和法
【例 1】 (1)若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}
的前 n 项和为( C )
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
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4．(2019·武汉市调研考试)对任一实数序列 A＝(a1，a2，a3，…)， 定义新序列 ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第 n 项为 an＋1－an.
假定序列 Δ(ΔA)的所有项都是 1，且 a12＝a22＝0，则 a2＝ 100 .
第五章
数列(shùliè)
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第四节 数列求和(qiúhé)与数列的综合应用
2021/12/8
第二页，共五十七页。
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第三页，共五十七页。
知识(zhī shi)梳理·自主学
习
课堂(kètáng)探究·深度剖 析
高考数学(理)一轮复习课件：5-5数列的综合应用(人教A版)
■ ·考点自测· ■
1. [2012·蚌埠二中质检]已知数列{an}的通项公式为 an＝6n－4，数列{bn}的通项公式为bn＝2n，则在数列{an}
的前100项中与数列{bn}中相同的项有( )
A. 50项
B. 34项
C. 6项
D. 5项
答案：D
解析：a1＝2＝b1，a2＝8＝b3，a3＝14，a4＝20，a5＝ 26，a6＝32＝b5，又b10＝210＝1024>a100，b9＝512 ==令=== 6n －4，则n＝86，∴a86＝b9，b8＝256 ==令=== 6n－4无解，b7 ＝128 ==令=== 6n－4，则n＝22，∴a22＝b7，b6＝64＝6n－4 无解，综上知，数列{an}的前100项中与{bn}相同的项有5 项．
∴Tn＝π2 [1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]， 2Tn＝π2 [1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]，
两式相减，得
π
－Tn＝ 2 [1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·
2n＋1]，∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3].
[规律总结] 本题把数列、导数、解析几何等知识巧 妙地融合在一起，具有较强的综合性，在解决数列知识 与其他章节知识的综合题时，要注意思维角度与解题途 径的选择，提高数字变形转换、推理等综合能力．
3. 数列知识的综合问题 (1)数列本身的综合 数列知识内部综合主要是指以等差数列和等比数列 为中心的综合问题，通常涉及到等差、等比数列的证 明，基本计算、求和等．
(2)数列与其他章节知识的综合 与数列常联系在一起命题的知识主要有函数、不等 式和解析几何，以及三角、复数等．有时带有探索性， 涉及到的方法有转化与化归、放缩、数学归纳法、反证 法、函数思想等．
2014高考数学一轮复习课件5.5数列的综合应用
n
从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入 资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划， 1 2012 年投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年 5 度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业 1 的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(2012 年为第一年)总投入为 an 万元， 旅游业 总收入为 bn 万元，写出 an，bn 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
又 am＝4000， 3 m－1 ∴( ) (3000－3d)＋2d＝4000， 2 3 m [（ ） －2]×1 000 1 000（3m－2m＋1） 2 解得 d＝ ＝ . m m 3 m 3 －2 （ ） －1 2 1 000（3m－2m＋1） 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时， m m 3 －2 经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 4 000 万元．
【解】
(1)由题意 a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d， 3 5 a2＝a1(1＋50%)－d＝ a1－d＝4 500－ d. 2 2 3 an＋1＝an(1＋50%)－d＝ an－d. 2 3 3 (2)由 an＋1＝ an－d，得 an＋1－2d＝ (an－2d)， 2 2 3 ∴{an－2d}是公比为 的等比数列， 2 3 n－ 1 则 an－2d＝(3000－3d)· ) ， ( 2 3 n－ 1 ∴an＝(3000－3d)· ) ＋2d， ( 2
1 ∴q＝ ，a1＝16， 2 1 n－1 － ∴an＝16×( ) ＝25 n. 2 (2)∵bn＝log2an＝5－n， ∴bn＋1－bn＝－1， b1＝log2a1＝log216＝log224＝4， ∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， n（9－n） ∴Sn＝ . 2
从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入 资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划， 1 2012 年投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年 5 度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业 1 的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(2012 年为第一年)总投入为 an 万元， 旅游业 总收入为 bn 万元，写出 an，bn 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
又 am＝4000， 3 m－1 ∴( ) (3000－3d)＋2d＝4000， 2 3 m [（ ） －2]×1 000 1 000（3m－2m＋1） 2 解得 d＝ ＝ . m m 3 m 3 －2 （ ） －1 2 1 000（3m－2m＋1） 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时， m m 3 －2 经过 m(m≥3)年企业的剩余资金为 4 000 万元．
【解】
(1)由题意 a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d， 3 5 a2＝a1(1＋50%)－d＝ a1－d＝4 500－ d. 2 2 3 an＋1＝an(1＋50%)－d＝ an－d. 2 3 3 (2)由 an＋1＝ an－d，得 an＋1－2d＝ (an－2d)， 2 2 3 ∴{an－2d}是公比为 的等比数列， 2 3 n－ 1 则 an－2d＝(3000－3d)· ) ， ( 2 3 n－ 1 ∴an＝(3000－3d)· ) ＋2d， ( 2
1 ∴q＝ ，a1＝16， 2 1 n－1 － ∴an＝16×( ) ＝25 n. 2 (2)∵bn＝log2an＝5－n， ∴bn＋1－bn＝－1， b1＝log2a1＝log216＝log224＝4， ∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， n（9－n） ∴Sn＝ . 2
高考数学一轮总复习 5.5数列的综合应用课件
A
6
知识点二
数列和函数、不等式的综合
1.等差数列的通项公式和前 n 项和公式在公差 d≠0 的情况下
是关于 n 的一次或二次函数．
2．等比数列的通项公式和前 n 项和公式在公比 q≠1 的情况
下是公比 q 的指数函数模型．
3．数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参
数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.
A
33
∴Sn＝4n＋nn2－1×(－1)＝9n－2 n2.
∵lloogg22qa＝ 1＝－4，1，
∴q＝12， a1＝16.
∴an＝25－n(n∈N*)．
A
34
考点二
数列与函数的综合应用
【例 2】 已知数列{an}的首项 a1＝4，前 n 项和为 Sn，且 Sn ＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N*)．
A
31
变式思考 1 在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比 q>0，设 bn＝log2an，且 b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an.
A
32
解 (1)证明：∵bn＝log2an， ∴bn＋1－bn＝log2aan＋n 1＝log2q 为常数， ∴数列{bn}为等差数列且公差 d＝log2q. (2)设数列{bn}的公差为 d， ∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2. ∵a1>1，∴b1＝log2a1>0.∵b1b3b5＝0，∴b5＝0. ∴bb11＋＋42dd＝＝02，， 解得db＝1＝－4，1.
A
39
变式思考 2 设函数 f(x)＝2x＋sinx 的所有正的极小值点从小 到大排成的数列为{xn}．
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18
【尝试解答】 (1)令 f′(x)＝12＋cos x＝0， 所以 cos x＝－12， 解得 x＝2kπ±23π(k∈Z)． 由 xn 是 f(x)的第 n 个正极小值点知， xn＝2nπ－23π(n∈N*)．
a3 成等差数列，则 S4＝( )
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】 C
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5
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个
病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100
个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6 秒钟
B．7 秒钟
C．8 秒钟
D．9 秒钟
【答案】 B
12070＝lg
100 128<lg
1＝0.
故数列lg
a1n的前 6 项的和最大．
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13
规律方法 1 1.(1)本题的切入点是求 a1，从而得 an 与 Sn 的关系，转化成等比数列求通项公式；(2)递减的等差数列的 前 n 项和有最大值，运用函数思想求解．
2．等差数列与等比数列的联系： (1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公 比为 ad，其中 a 是常数，d 是{an}的公差．(a＞0 且 a≠1)． (2)若数列{an}是等比数列，且 an＞0，则数列{logaan}是 等差数列，公差为 logaq，其中 a 是常数且 a＞0，a≠1，q 是 {an}的公比．
需要的最少天数 n(n∈N*)等于
பைடு நூலகம்
．
【答案】 6
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10
考向一 [096] 等差数列与等比数列的综合应用
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，常数 λ＞0，a1≠0， 且 λa1an＝S1＋Sn 对一切正整数 n 都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 λ＝100，当 n 为何值时，数列lg
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝ |x|； ④f(x)＝ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( ) A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】 C
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9
6．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，
若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则
a1n的前 n 项和最
大？
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11
【尝试解答】 (1)当 n＝1 时，λa21＝2S1＝2a1，
∵a1≠0，∴a1＝2λ，
从而 2an＝2λ＋Sn，①
当 n≥2 时，2an－1＝2λ＋Sn－1，②
由①－②，得 2an－2an－1＝an， ∴an＝2an－1(n≥2)，
故数列{an}是公比为 2，首项 a1＝2λ的等比数列，
因此 an＝2λ·2n－1＝2λn.
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12
(2)当 λ＝100 时，令 bn＝lg a1n， 由(1)知，bn＝lg 120n0＝2－nlg 2，
于是数列{bn}是公差为－lg 2 的递减数列．
b1>b2>…>b6＝lg
12060＝lg
100 64 >lg
1＝0，
当 n≥7 时，bn≤b7＝lg
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6
3．已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a7＋a13＝4π，则 tan(a2
＋a12)的值为
．
【答案】 － 3
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7
4．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列
f1n(n∈N*)的前 n 项和是
．
【答案】
n n＋1
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8
5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，如果对于 任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x)为 “保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的 如下函数：
b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，
3q＝3＋3d， 3q2＝3＋12d
⇒qq＝ 2＝11＋＋d4，d
⇒q＝3 或 q＝1(舍去)，
所以此时 d＝2，所以 an＝3n，bn＝2n＋1.
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16
(2)由题意得：cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n， Sn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－1)n－1(2n－1)＋(－1)n·(2n ＋1)＋3＋32＋…＋3n， 当 n 为偶数时，Sn＝n＋3n2＋1－32＝3n2＋1＋n－32， 当 n 为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋3n2＋1－32＝3n2＋1－n
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14
对点训练 (2015·潍坊模拟)在等比数列{an}中，已知 a1 ＝3，公比 q≠1，等差数列{bn}满足 b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记 cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
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15
【解】 (1)设等差数列{bn}的公差为 d. 由已知得：a2＝3q，a3＝3q2，
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二、解答数列应用题的步骤 1．审题——仔细阅读材料，认真理解题意． 2．建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际 问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． 3．求解——求出该问题的数学解． 4．还原——将所求结果还原到原实际问题中．
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1．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，且 4a1,2a2，
第五节 数列的综合应用
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[考情展望] 1.结合函数、不等式、方程、几何等知识， 综合考查数列的相关性质，如最值、不等关系的证明等.2.在 具体情景中，借助等差或等比数列的有关知识解决实际问题．
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一、数列应用题常见模型 1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时， 该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． 2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定 的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． 3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关 系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an＋1 的递推 关系，还是前 n 项和 Sn 与 Sn＋1 之间的递推关系．
－72，所以 Sn＝33nn22＋ ＋11＋－nn－－3272，，nn为为偶奇数数，.
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考向二 [097] 数列与函数的综合应用 设函数 f(x)＝2x＋sin x 的所有正的极小值点从小
到大排成的数列为{xn}． (1)求数列{xn}的通项公式； (2)设{xn}的前 n 项和为 Sn，求 sin Sn.