中学趣味数学3根指挥棒和12个直角
一线三直角模型及其解法
一线三直角模型及其解法好嘞，今天我们聊聊一线三直角模型这个话题。
说实话，这个名字听上去就挺复杂的，但一旦你了解了它的基本概念，真的是如同拨开云雾见青天，轻松又有趣。
想象一下，一个大圆盘，上面有三根直线相互交叉，形成了一个个直角，像是画在纸上的迷宫，然而，这个迷宫可不是为了让人迷路的，而是帮助我们解决一些看似棘手的问题。
让我们来聊聊这个模型到底有什么用处。
这个模型最常被应用在几何和物理问题中，尤其是在那些涉及到直线、角度和距离的场景中。
比如说，你在球场上，看着队员们不断地跑来跑去，心里可能会想，如何才能更有效地制定战术，让他们的跑位更科学、更合理。
没错，这个模型就能帮你解决类似的问题！它能帮助你找到最优路径，简直是运动战术设计的“秘密武器”。
再说到它的解法，其实就是把这个模型分解开来，慢慢剖析每个部分。
就像拆蛋糕一样，先从上面切下去，再慢慢品味每一层的美味。
很多人一听到“解法”就紧张，仿佛要考数学一样，其实没那么复杂。
我们可以用简单的公式和几何图形，来逐步理解这些直角和直线之间的关系。
很多时候，这种直观的理解就能让我们抓住问题的关键，搞清楚哪些因素在影响我们的结果。
想象一下，两个朋友在操场上比赛跑步，一个走直线，另一个却东躲西藏，最后谁赢得比赛？当然是走直线的那个！这个道理在很多实际问题中也适用。
生活中，我们常常要做出选择，选择最直接的路径往往能让事情变得简单。
就像古话说的，“捷径虽美，沿途风景更佳”，但选择直线的确是最有效的方式。
模型里的直线，恰恰就是在告诉我们，别绕弯子，直接来！咱们也可以聊聊一些日常生活中的例子。
比如，大家在逛超市的时候，看到那一排排的货架，可能会发现有些商品的位置实在是太离谱了。
用这个模型分析一下，你就会明白为什么某些商品放在那边，为什么它们的布局如此精妙。
就像一个聪明的店长，他通过这个模型优化了顾客的购物路径，尽量减少你找东西的时间。
这种思维方式无处不在，甚至在我们日常的社交中也能看到。
12个球称3次找坏球的最牛的解答(原作者-方)
序古老的智力题详述:有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。
以下会给4个解答，一个比一个牛，一个比一个震撼！第一篇先给个被号称网上最牛的解答，一种新的完全的数学解法（线代+信息论），该文解法创于2005年，一次与友人聊天建议发表到QQ346546618的个人空间（2006年7月），后被网友转载到各大网站并被收入到百度文库。
第二篇会给个EXCEL进阶解法，网友们可以用此法加上分块矩阵的方法继续找出9球称4次找2异常球的具体解法或更复杂的称球问题。
第三篇会给出2个很漂亮完美的非常特别的解，其称量结果的三进制和异常球序号及和轻重状态具有简洁的一一对应关系。
第一篇（学好数理化走遍天下都不怕）原文：网上的最多的方法是逻辑法,还有少数画成图的所谓策略树和基于此的程序算法.这里我提出一种新的完全的数学解法:一·首先提出称量的数学模型:把一次称量看成一个一次代数式,同样问题就可以描述成简单的矩阵方程求解问题.怎么把一次称量表示成一个代数式呢?1),简化描述小球的重量(状态)----正常球重量设为0,设异常球比正常球重为1或轻为-1,异常球未知轻重时用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量状态.2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态.3),描述称量结果:由1),2)已经可以确定一个称量式∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为j*i=a(常数a为单次称量结果) -------------(2)式例如有1-6号共6个小球,其中4号为较重球,拿3号5号放左边,1号4号放右边进行称量,式子为:(-1)*0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1,从-1的意义可以知道它表示结果的左边较轻;同样可以得到0表示平衡,1表示左边较重.4),方程用来描述称量过程,还需附加一个重要的条件:代表放左边的1和右边的-1个数相等,也就是∑各球的放法=0-------------------------(3)式这样就解决了称量的数学表达问题.对于12个小球的3次称量,分别用12维行向量j1,j2,j3表示,由j1j2j3便构成了3×12的称量矩阵J；对于某一可能情况i,对应的3次称量结果组成的3维列向量b,得J*i=b二·称球问题的数学建模问题的等价：设J为3×12的矩阵，满足每行各项之和为0。
著名机构二年级数学秋季讲义第9讲.摆小棒.提高班.教师版
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第九讲
答案 ： ⑵ 用 9 根火柴摆了 7 个长方形，请移动一根，把它变成 6 个正方形．
答案： 只许移动 1 根火柴棒，使它变成等式．
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【例题分析】答案如下：⑴17 17 1 1 或 17 7 1 11 ；⑵ 111 70 41 ；⑶ 12 2 1 11 ； ⑷ 4 1 14 17 2 ．
本讲中主要探索数学游戏中的乐趣，感受数学之美，拓展思维．
第 3 级下·提高班·教师版
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第九讲
课前活动 —— 小巧手
你能用火柴棒拼出一幅自己喜欢的图案吗？
课前铺垫
下面的图形你能用小棒摆一摆吗？
第 3 级下·提高班·教师版
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第九讲
【教学说明】在上一节课前老师安排学生自己在家做一幅火柴拼图，本节课开课之前进行交流，这样可以 激发学生的兴趣．另外上课前还要对之前所认识的图形的拼摆进行复习，为这节课的学习做 好铺垫 ．用火柴棒摆出了常用的基础图形后 ，接下来在第一节课中就要学习火柴棒图 形问 题．老师提前让学生准备好火柴棒，要引导学生动手操作．
第 3 级下·提高班·教师版
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第九讲
上下或水平移动，或者旋转火柴棒，可以使错误的算式： 变成正确的算式，请你给出一个正确算式：__________． 【答案】答案不唯一，如：17 3=7 7,113=7 7 ．
（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．） ⑴ 下面是用16根火柴棒摆成的5个正方形．请你移动3根火柴棒，变成4个正方形．
第一级下 火柴棒游戏 （一年级秋季第九讲）
第四级下 经典数学游戏 （二年级春季第十四讲）
第一级下 火柴棒游戏 在本讲中主要研究通过移动火柴棒，使其变成不同的图形这样的游戏
中学趣味数学：三个J
中学趣味数学：三个J在下列加法算式中，每个字母代表0～9的一个数字，而且不同的字母代表不同的数字。
A B CD E FG H I+ G H I_________J J JJ代表哪一个数字？(注：假定A、D和G都不能为O)。
(提示：在J为某些特定值的情况下，判定每一列的可能的和；然后把这三个和与J相加，看看其总和是否等于46。
)答案(1)由于A、D和G代表的是O以外的三个不同的数字，所以J必定是6、7、8或9。
(2)由于C、F、I代表三个不同的数字，所以它们的和不会超过24；而为了保证J是6、7、8或9，它们的和不能超过19。
（3）如果任何两列的每列数字之和为6、7、8或9，则余下一列的和也必定是6、7、8或9；可是，从A到I的各个字母代表的是9个不同的数字，不可能出现这种情况。
因此，最多只能有一列的和为6、7、8或9。
从以上三点可以得出如下的结论：（a）如果A＋D＋C＝6，则C＋F＋I必定是16、7或17。
（b）如果A＋D＋C＝7，则C＋F＋I必定是17、8或18。
（c）如果A＋D＋G＝8，则C＋F＋I必定是18、9或19。
（d）如果A＋D＋C＝9，则C＋F＋I必定是19。
从（a）、（b）、（c）、（d）可以推导出B＋E＋H的和，一共有十种可能：在上面的十种情况中，只有Ⅷ和Ⅹ中四栏的总和为45，与0～9这十个数字之和相等。
因此，J必定代表9。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
《3的倍数的特征》教案（精选10篇）
《3的倍数的特征》教案《3的倍数的特征》教案（精选10篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，通常需要用到教案来辅助教学，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
教案应该怎么写才好呢？以下是小编收集整理的《3的倍数的特征》教案（精选10篇），希望能够帮助到大家。
《3的倍数的特征》教案1教学目标：1、理解3的倍数的特征，掌握一个数是否是3的倍数的判断方法。
2、培养分析、比较及综合概括能力。
3、培养合作交流的意识，掌握归纳的方法，获取一定的学习经验。
教学重点：掌握3的倍数的特征，正确判断一个数是否是3的倍数。
教学难点：探索3的倍数的特征。
教学过程：一、【创设情景，明确目标】（3分钟）（一）创设情景，反馈预习1、师：课前我们已经完成了导学案自主预习部分，我们已经知道了2、5的倍数特征，下面的数你能判断出下面的数哪些是2的倍数，哪些是5的倍数，哪些即是2的又是5的倍数呢？P：16、24、85、102、138、170、2的倍数：16、24、102、138、1705的倍数：85、170即是2的倍数又是5的倍数：170师：说一说，你是怎么想的？生1：个位上是02468就是2的倍数。
个位是上0或者5的数就是5的倍数。
一个数既是2的倍数，又是5的倍数，它的个位上一定是0.2、看来要想判断一个数是否是2或者5的倍数，只需要看这个数个位上的数。
可是，为什么只需要观察个位上的数呢？为什么其他位上的数就不用观察呢？生：2的倍数的个位数是0、2、4、6、8；5的倍数个位上是0、5。
师：那么3的倍数有什么特征呢？是不是还看个位数呢？这就是这节课我们要研究的内容。
3、教师板书课题：3的倍数的特征。
（二）明确目标，引领方法1、出示学习目标（见学案），生自读目标。
2、同伴说说自己的理解，谈谈如何实现目标。
【设计意图】交流预习内容，解决预习中的问题；明确学习目标，带着目标进行合作学习。
二、【自主学习，同伴合作】（15分钟）（一）自主学习，自我感知1、小棒游戏，探究规律师：首先我们来做一个摆小棒的游戏，怎么玩呢？（拿6根小棒）找一个同学在这张数位表上随意用小棒摆出一个数，我能马上猜出它是不是3的倍数。
七年级数学上册余角与补角
七年级数学上册余角与补角余角和补角一、教学目标1．知识目标：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的性质2．能力目标：学会运用类比联想的思维方法思考，并初步学会用代数方法，(主要是列方程)解决几何问题.3．情感目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。
二、教学重点及难点重点：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念.难点：余角和补角的性质.三、教学过程（一）创设情境，自然引入先观察如图，∠1+∠2与Rt ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？再观察如图，∠α+∠β与∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？（让学生说出自己的方法：可以测量，也可以剪下来拼等等，学生的方法只要合理就应鼓励）（二）设问质疑，探究尝试教师用多媒体演示∠1+∠2与Rt ∠AOB 重合，再移动一角，问∠1+∠2与Rt ∠AOB 相等吗？同样∠α+∠β与∠AOB 重合，再移动一角，问∠α+∠β与∠AOB 相等吗？通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是90°，有时两个角的和是180°，也就是两个角之和正好成一直角，或两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出两个新的概念：1、互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．简称互余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余．反之，因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°．2、互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．简称互补．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补．反之，因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°．（三）归纳总结，概括知识1、试举出互余、互补角的例子．1 2 A O B α βA O B2、30°与60°是互余的两角，能说30°是余角吗？(要特别向学生指出：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置的改变)3、若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角．解：35°35′35″的余角为90°-35°35′35″=54°24′25″．(在计算过程中将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便)35°35′35″的补角为180°-35°35′35″=144°24′25″．(在计算过程中将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角．)4、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC = Rt∠,OD是∠BOC内的一条射线。
第12讲 智巧趣题一
➢ 拓展篇
10．★★★ 商场举行促销活动，在购买商品时，每消费50元现金就可以得到一 张20元的购物券，每消费100元现金就能得到一张50元的购物券．现在小明要买 37件10元的商品，他该怎样去买才能让花出去的钱最少？
➢ 拓展篇
11．★★池塘里生长着一种浮萍，这种植物在水面上繁殖，每天都 能增长一倍．如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么多少天 后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？
➢ 兴趣篇
9．★★如图12-7，有6个杯子放成一排，前三个杯子中盛了一些水， 而后三个杯子是空的.要使得盛水的杯子和空杯子相互交叉排成一 排，最少要动几个杯子？
➢ 兴趣篇
10．★★有一根粗细不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2 个小时，但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定燃烧到绳子中点需要多长时 间.但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？
➢ 拓展篇
3．★★如图12-10所示，12根火柴棒组成1大4小5个正方形． （1）请拿掉2根火柴棒，使得余下的火柴棒恰好构成2个正方形； （2）请移动3根火柴棒，使得它变成3个相同的正方形．
➢ 拓展篇
4．★★★图12-11是一座博物馆的示意图，游客从人口进入博物馆， 是否能找到一条参观路线，每扇门恰好经过一次？
➢ 兴趣篇
3．★如图12-3所示，我们用13根火柴棒摆放成了一头向右前进的 猪．请移动1根火柴棒，使得这头猪调头向左前进.
➢ 兴趣篇
4．★★在图12-4中，哪些图形可以一笔画出？
➢ 兴趣篇
5．★★★如图12-5所示，两条河流的交汇处有两个小岛，有7座桥 连接这两个岛及河岸。一个散步者能不能一次走遍这7座桥，而且 每座桥恰好经过1次？
➢ 拓展篇
数学小故事
数学小故事1让命题专家低头认错的题一个正四棱锥和一个正三棱锥的侧面形状全等，当把这两个几何体以侧面为基准粘合在一起后，还露出几个面？一道标准答案是7的全美题被17岁的高中生推翻,并证明应该是5-正三棱锥，凡与任意两条不相邻的棱平行的截面均为矩形；正四棱锥，凡与其底面平行的截面均为正方形。
通过棱的中点分别取两个这样的截面,当两个棱锥重合一个侧面后，在重叠面上的两条边也恰好重合，而另两条边都在原正四棱锥的底的平行平面内，夹角为180°，故a、b边所在同侧的两侧面是共面的。
同理另两个同侧侧面也共面。
故消失了2＋（4－2）＝4个暴露面，只剩下9－4＝5个暴露面。
2Fanfare"三维的空心球名为"Fanfare"三维的空心球体结构上面均匀分布了350个银色风车,5层楼高直径为20米,重达19吨. (悉尼)3爱迪生巧算灯泡容积1878年的一天，发明灯泡的爱迪生（1847—1931年）让助手帮他算一下灯泡的容积。
一个多小时过去了，爱迪生完成了手头的试验，走到助手阿普顿身旁低头一看：嗬，几大张草稿上密密麻麻地写满了数字、符号和一道道算式，但却没有结果爱迪生便自己拿起那只梨子形玻璃灯泡，略一思考。
便端过盛水的杯子，往灯泡里注满水，说：“你看，把这灯泡里的水倒进量杯里，再量出水的体积，不就是这个灯泡的容积了吗？”阿普顿恍然大悟。
爱迪生用了不到一分种就解决了阿普顿花了一两个小时还没有解答出来问题！4还剩几个角这个问题也许是“老生常谈”了：一个正方形的木板，锯下一个角，还剩几个角？当然答还剩三个角不对；还剩五个角对吗？其实也不对请你再考虑：一个长方体木块锯去一个“角”后还剩几个“角”？（答案有四种）5代数与几何法国数学家拉格朗日（Lagrange J.L.,1736.1.25~1813.4.10）曾经说过："只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。
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中学趣味数学3根指挥棒和12个直角
英国发明家瓦特(17361819)获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃为波士顿──瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，引起了许多旧贵族的不满。
据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族故意嘲讽地对瓦特说：乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已。
瓦特回答道：是的，那的确是根棒子但是我可以用这样3根棒子组成12个直角，而你却不能做到。
那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出12个直角。
你能拼出12个直角吗?
你自己先试试看。
下面我们一起来讨论一下：
如果把图1中最下面的一根指挥棒向左平移，就摆成了6个直角(见图2)。
如果把图2中最下面的指挥棒往上平移，就可以摆出8个直角(见图3)。
这时候，我们会发现，在桌面无论怎样摆法，直角数都不会超过8个。
于是，我们可以得出结论：在桌面上，无法用3根指挥棒拼出12个直角。
图1
图2图3
但是，瓦特并没有说我能在桌面上拼出12个直角!
因此，我们应该离开桌面来讨论这个问题。
我们重新来考虑一下：
如果把2根指挥棒十字交叉地放在桌面上，另一根指挥棒的一端摆在前2根指挥棒的交叉处并使这根棒与桌面垂直(如
图4)，这时拼出的直角也是8个。
如果把摆在桌面上的两根指挥棒离开桌面，紧挨着与桌面垂直的小棒向上方平移(如图5)。
那么，这时我们会发现，12个直角出现了。
图4
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
图5
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确
模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
好了，现在问你另一个问题：我们知道，以3根火柴为边可以组成一个三角形。
那么，用6根火柴能组成4个三角形吗?
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”
当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。