分类计数原理和分步计数原理练习题
综合练习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。
高二上册数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)》课时作业
第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)一、选择题1．某小组有8名男生，6名女生，要从中选出一名当组长，不同的选法有() A．48种B．24种C．14种D．12种解析：由分类加法计数原理共有8＋6＝14(种)选法．答案：C2．将1，2，3，…，9这9个数字填入如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A．6种B．12种C．18种D．24种解析：根据题意，1，2，9的位置是确定的，如图所示，则数字5，6，7，8应位于a，b，c，d中的位置.第一类，若5，6在a，b位置，则7，8在c，d位置．且a＝5, b＝6, c＝7, d ＝8, 或者5，6与7，8换位置，所以共2种情况；第二类，5，6在a，c位置，则7，8在b，d位置，则共有2×2＝4(种)情况．综上所述，空格的填写方法共2＋4＝6(种)，故选A.答案：A3．(2019·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10解析：对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.答案：B4．(2020·天津市南开中学滨海生态城学校高二期中)4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是()A．81 B．64C．24 D．16解析：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．故选A.答案：A5．将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有()A．480种B．360种C．240种D．120种解析：第一步，先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步，从5个球里选出两个球放入刚才选到的盒子里，有10种选法；第三步，把剩下的3个球依次放入余下的3个盒子中，有3×2×1＝6(种)放法．由分步乘法原理得不同的放球方法有4×10×6＝240(种)，故选C.答案：C二、填空题6．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．解析：若从西来，有南、北、东3种行车路线，同理从南、北、东来也各有3种行车路线．因此共有3＋3＋3＋3＝12种．答案：127．等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于10，这样的三角形共有________个．解析：可分4类，第一类，等腰三角形底边长为1，腰长可以是1，2，3，4，共4个；第二类，等腰三角形底边长是2，腰长可以是2，3，4，共3个；第三类，等腰三角形底边长是3，腰长可以是2，3，共2个；第四类，等腰三角形底边长是4，腰长可以是3，共1个．∴共有三角形4＋3＋2＋1＝10(个)．答案：108．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有________种(用数字填空)．解析：先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，若C，D在同一盒中，只能是余下的1个盒，1种放法；若C，D在不同盒中，则必有一球在余下的1个盒中，另一球在A球或B球所在的盒中，有2×2＝4(种)放法．故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．答案：30三、解答题9．(2020·唐山市第十一中学高二期中)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？解：(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法；根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．10．(2020·宜昌市第二中学高二月考)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解：(1)因为a不能取0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以a有2种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数．。
分类计数原理与分步计数原理练习题
分步计数原理与分类计数原理基本知识点复习1。
分步计数原理： 2。
分类计数原理：复习练习题选一、选择题1．甲组有5名男同学、3名女同学,乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰好有1名女同学的选法有( )A.150种B.180种 C 。
300种 D 。
345种2。
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目,如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种类为（ ）A.42B.30 C 。
20 D.123.甲、乙两人从4门功课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有( )A.6种B.12种 C 。
30种 D 。
36种4。
三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是（ )A 。
25 B.26 C.36 D.375。
设集合I={1，2,3,4,5}，选择I 的两个非空子集A 、B 要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A 。
50种B 。
49种 C.48种 D.47种6.设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q=},|),{(Q b P a b a ∈∈，若P=｛0,1,2}，Q={1,2，3，4}，则P ＊Q 中的元素的个数是（ ）A 。
4 B.7 C 。
12 D 。
167。
从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中任取三条的不同取法有n 种,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm 等于（ ） A.101 B.51 C.103 D 。
52 8。
若)(x f y =是定义域为A={}*,71|N x x x ∈≤≤，值域为{0，1}的函数，则这样的函数共有( ）A.128个 B 。
126个 C.14个 D 。
16个9.已知直线01=++by ax 中的a ，b 是取自集合}2,1,0,1,2,3{---中的两个不同的元素，并且直线的倾斜角大于060，那么符合这些条件的直线共有（ ）A.8条 B 。
高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习含解析新人教版
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）A．5 种B．6种C．7种D．8种【答案】B【解析】由分步计数原理可知，可选方式有2×3＝6种．故选B．2．将三封信投入三个信箱，可能的投放方法共有种( )A. 3B．6 C．9 D．27【答案】D【解析】将三封信投入三个信箱，由于信投入的信箱不指定，则每封信都有3种选择，所以总的投放方法33 种.故选D.有273．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（）A.6种B.12种C.18种D.24种【答案】A【解析】∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3=6种结果，故选A.4．下表为第29届奥运会奖牌榜前10名：F C表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两项构成的一个排列，按下面的方式对10个设(,)国家进行排名：首先按F由大至小排序（表格中从上至下），若F值相同，则按C值由大至小排序，若C值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是（）A ．15B ．20C ．24D ．27【答案】D【解析】分类讨论：若F 为金牌，3种排序中，中国均第1；若F 为银牌，在银牌-金牌，银牌-总数两种排序中，中国均第2，在银牌-铜牌的排序中，中国排第2或第3；若F 为铜牌，在铜牌-金牌，铜牌-总数的排序中，中国均第2，在铜牌-银牌的排序中，中国排第2或第3；若F 为总数，则3种排列中国均第2.故在所有的排序中，中国的排名之和为3×1+（2×2+2+3）+（2×2+2+3）+3×2=27，故选D5．方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.28条B.32条C.36条D.48条【答案】B【解析】方程22ay b x c =+变形得222b c y b a x -=，若表示抛物线，则0,0≠≠b a ，所以分2,1,2,3b =-四种情况：（1）当2b =-时，1,0,2,3,2,0,1,3,3,0,1,2;a c a c a c ==⎧⎪==⎨⎪==⎩或或或或或或（2）当2b =时，2,0,1,3,1,2,0,3,3,2,0,1,a c a c a c =-=⎧⎪==-⎨⎪==-⎩或或或或或或以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理，若b=1，共有9条；若b=3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32条.7.某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员，规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方案有（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】当丁不入选时，由甲乙丙三个人担任，甲有2种选择，余下的乙和丙只有一种选择；当丁入选时，有3种结果，丁担任三个人中没有入选的人的职务时，只有一种结果，丁担任入选的两个人的职务时，有2种结果，共有()3219⨯+=种，综上可知，共有9+2=11种结果，故选B.二、填空题7．若a ，b ∈N *，且a ＋b ≤5，则复数a ＋b i 的个数为______．【答案】10【解析】按a 分类，当a 取1,2,3,4时，b 的值分别有4个、3个、2个、1个，由分类计数原理，得复数a ＋b i 共有4＋3＋2＋1＝10(个)．8．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？【答案】2n【解析】每个人都有通过或不通过2种可能，共计有22...2(2)2n n ⨯⨯⨯=个三、解答题9．某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法？【解析】5个节目排好后，有6个空可插入第一个节目，共6种不同的插法，再插第二个节目时有7个空，所以共有6×7＝42种不同的插法．10．现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【解析】（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以共有不同的选法有7+8+9+10=34（种）.（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法有7×8×9×10=5 040（种）. （3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法有7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）.。
分类计数原理与分步计数原理例题
分类计数原理与分步计数原理例题一、分类计数原理例题1：有4个不同的苹果和3个不同的橘子，请问由这些水果组成一串长度为7的水果串有多少种情况？解析：根据分类计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤来考虑。
首先，我们要确定苹果的数量，假设苹果的数量为0、1、2、3或4，那么橘子的数量就是7减去苹果的数量。
1.当苹果数量为0时，橘子数量为7，这种情况只有1种。
2.当苹果数量为1时，橘子数量为6，这种情况有3种。
3.当苹果数量为2时，橘子数量为5，这种情况有3*2=6种。
4.当苹果数量为3时，橘子数量为4，这种情况有3*2*1=6种。
5.当苹果数量为4时，橘子数量为3，这种情况有3*2*1*1=6种。
所以，组成一串长度为7的水果串的种类总数为1+3+6+6+6=22种。
二、分步计数原理分步计数原理是将大问题分解为若干个小问题，然后将小问题的计数结果相乘得到最终的结果。
例题2：假设John有3个不同的帽子和4个不同的围巾，他每天只能戴一个帽子和一条围巾，请问他有多少种不同的搭配方式？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为两个小问题。
首先，我们可以计算帽子和围巾的搭配方式数量：-帽子的选择有3种，围巾的选择有4种，因此搭配方式数量为3*4=12种。
所以，John有12种不同的搭配方式。
例题3：旅行团计划去三个不同的城市，在每个城市停留的天数分别为4天、5天和6天，且天数的顺序不限，请问旅行团一共有多少种行程方案？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为三个小问题。
首先，我们可以计算每个城市的行程天数的选择数量：-第一个城市的停留天数有4天、5天和6天三种选择，第二个城市的停留天数有3种选择，第三个城市的停留天数有2种选择。
所以，旅行团一共有3*3*2=18种行程方案。
综上所述，分类计数原理和分步计数原理是解决组合问题常用的两种计数方法。
通过分解大问题为小问题，我们可以更方便地解决组合计数问题。
这两种方法可以相互结合使用，也可以单独使用，取决于具体的问题。
分类计数原理和分步计数原理(1)
N=7×5+7×4+5×4=83.
五、课堂小结：
１．完成一件事有多少种不同的方法， 先看完成这件事情的一种方法是怎样的， 是要分几类来完成，还是可以分几步来完 成，从而判断是用分类计数原理还是用分 步计数原理也就不难了； ２．有些较复杂的问题可能不是简单 的“分类”或“分步”就可以解决的，而 要把两者结合起来考虑.
３．几个注意点：
1)、分类计数原理(加法原理)中的“分类”要全面, 不能 遗漏; 但也不能重复、交叉；“类”与“类”之间是并 列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事，每次 只能选择其中的一类办法中的某一种方法.
2)、 分步计数原理(乘法原理)中的“分步”程序要正确 . “步”与“步”之间是连续的，不间断的，缺一不可; 但也不能重复、交叉；若完成某件事情需n步， 则必须 且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成. 3)、在运用“分类计数原理、分步计数原理”处理具 体应用题时，除要弄清是“分类”还是“分步”外， 还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准. 在“分 类”或“分步”过程中，标准必须一致，才能保证不
分类计数原理和 分步计数原理(1)
一、问题引入：
问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘 汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么 一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有3种走法， 乘汽车有2种走法，每一种走法都 可以从甲地到乙地，所以共有
火车3 火车2 火车1
点评：要正确分类，合理分步．分类用加法，分步用乘法．
例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有 从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少 个四位数字的号码？
解：完成拨号需分4个步骤：第一步从第1个拨号 盘上拨一个数，共有10种拨法；第二步从第2个拨号 盘上拨一个数，共有10种拨法；第三、第四步同第一、 第二步也各有10种拨法，由分步计数原理可知共有 N m1 m2 m3 m4 10101010 10000 (种)
人教版高中数学选修三6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(精练)(详细解析版)
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精练）【题组一分类加法计数原理】1．（2021·南宁市银海三美学校）某小组有8名男生,4名女生,要从中选取一名当组长,不同的选法有（）A．32种B．9种C．12种D．20种【答案】C【详细解析】从8名男生4名女生选取一名当组长,是男生的选法有8种,是女生选法的有4种,共有12种. 故选:C.2．（2021·四川乐山）从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8 B．6 C．5 D．2【答案】A【详细解析】由题意分两种情况讨论:一是从甲地经过乙地到丙地,因为从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,⨯=种,所以从甲地到丙地的走法有326二是从甲地不经过乙地到丙地,因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种,+=种,故从甲地到丙地的走法共有628故选:A3．（2020·三亚华侨学校）某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有（）A．24种B．9种C．3种D．26种【答案】B【详细解析】某同学从4本不同的科普杂志任选1本,有4种不同选法,从3本不同的文摘杂志任选1本,有3种不同的选法,从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本,有2种不同的选法,++=种.根据分类加法原理可得,该同学不同的选法有:4329故选:B.4．（2021·山东高二）现有高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,有多少种不同的选法（）A．60 B．45 C．30 D．12【答案】D【详细解析】因为三个年级共有12名学生,由分类加法计数原理可得:从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,共有12种不同的选法.故选:D.5．（2020·博兴县第三中学高二月考）若一位三位数的自然数各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如:232,114等,则不超过200的“单重数”中,从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166 B．171 C．181 D．188【答案】B【详细解析】由题意可得:不超过200的数,两个数字一样同为0时,有100,200有2个,两个数字一样同为1时,有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个,两个数字一样同为2时,有122,有1个同理,两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个,综上,不超过200的“单重数”共有2+18+8=28,其中最大的是200,较小的依次为199,191,188,181,177,171,故第22个“单重数”为171,故选:B.6（2020·大名县第一中学）某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出,带了四款不同类型不同价格的玩具牛,它们的价格费你别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会,准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只,且必须至少买一款）,因信用卡出现故障,身上现金只剩170元,请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.【答案】13【详细解析】依题意,每款只购一只,且必须至少买一款,且消费金额不能超过170元,故可分为以下几种情况:①只购买一款玩具样品,共四种方案②购买两款玩具样品,买20和30的各一只;买20和50的各一只;买20和100的各一只;买30和50的各一只;买30和100的各一只;买50和100的各一只;共六种方案;③购买三款玩具样品买20,30和50的各一只;买20,30和100的各一只;买20、50和100的各一只;共3种方案;所以购买玩具的方案共有13种;故答案为:137．（2020·陕西高二期末）某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有_______________种【答案】9【详细解析】根据题意,选取的杂志可分三类:科普,文摘,娱乐新闻．++=种不同选法．故答案为:9.共4329?【题组二分步乘法计数原理】1．（2020·广东云浮·高二期末）某演讲比赛候选人中高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名,从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛,则不同的选法有（）A．60种B．45种C．30种D．12种【答案】A⨯⨯=种不同的选法．故选:A.【详细解析】由乘法计数原理可得共有543602．（2020·陕西高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务,不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种【答案】C【详细解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法,根据分步计数原理可知,不同的分配方案=种.总数为328故选:C3．（2020·山东菏泽·高二期末）从A地到B地要经过C地,已知从A地到C地有三条路,从C地到B地有四条路,则从A地到B地不同的走法种数是（）A．7 B．9 C．12 D．16【答案】C【详细解析】根据题意分两步完成任务:第一步:从A地到C地,有3种不同的走法;第二步:从C地到B地,有4种不同的走法,⨯=种,根据分步乘法计数原理,从A地到B地不同的走法种数:3412故选:C.4．（2020·陕西高二月考（理））有6位同学报名参加三个数学课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法共有（）A．63B．36C．36A D．36C【答案】A【详细解析】由题意知本题是一个分步计数问题,第一个同学有3种报法,第二个同学有3种报法,后面的四个同学都有三种报法,根据分步计数原理知共有63种结果,故选:A．5．（2020·湖北车城高中高二期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．120种【答案】 B【详细解析】分步涂色,第一步对A涂色有5种方法,第二步对B涂色有4种方法,第三步对C涂色有3种方法,第四步对D涂色有3种方法,⨯⨯⨯=．∴总的方法数为5433180故选:B．6．（2020·广东佛山·高二期末）已知某体育场有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为__.【答案】12【详细解析】根据题意,某体育场有4个门,从一个门进,有4种走法,另一个门出,有3种走法,则有4312⨯=种不同的走法.故答案为:12.7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中）一电路图如图所示,从A 到B 共有__________条不同的线路可通电.【答案】8【详细解析】根据电路图可知,共有22138⨯++=条不同的线路可通电.故答案为:88．（2020·浙江高三其他模拟）现有6名选手参加才艺比赛,其中男、女选手各3名,且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同,则不同的出场方式的种数为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24 【答案】B【详细解析】设3名男选手分别为1A ,2A ,3A ,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为1B ,2B ,3B ,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,若第一个出场的是1A ,则第二个出场的只能是2B 或3B ,若第二个出场的是2B ,则接下来的出场顺序只能是3A ,1B ,2A ,3B ,同理,若第二个出场的是3B ,则接下来的出场顺序只能是2A ,1B ,3A ,2B ,所以若1A 第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有2612⨯=（种）,故选:B【题组三 两个计数原理综合运用】1．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）现用五种不同的颜色,要对如图中的四个部分进行着色,要求公共边的两块不能用同一种颜色,共有__________种不同着色方法【答案】260【详细解析】先排I ,有5种方法;然后排II,IV ,最后排III :①当II,IV 相同时,方法有44⨯种,故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时,方法有433⨯⨯种,故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述,不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为:2602．（2020·陕西咸阳·高二期末（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账,则他们结账方式的组合种数共________种．【答案】20【详细解析】当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3412⨯=种方法,当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有248⨯=种方法,综上,共有12820+=种方法.故答案为:20.3．（2020·广东）已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲.乙结账方式不同,丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有 种【答案】20【详细解析】当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3412⨯=种方法;当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有248⨯=种方法,综上,共有12820+=种方法.故选:D4．（2020·浙江高三其他模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方案有______种.【答案】144【详细解析】第一步,对区域1进行涂色,有4种颜色可供选择,即有4种不同的涂色方法;第二步,对区域2进行涂色,区域2与区域1相邻,有3种颜色可供选择,即有3种不同的涂色方法;第三步,对区域3进行涂色,区域3与区域1、区域2相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不同的涂色方法; 第四步,对于区域4进行涂色,区域4与区域2、区域3相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不同的涂色方法; 第五步,对区域5进行涂色,若其颜色与区域4相同,则区域6有2种涂色方法,若其颜色与区域4不同,则区域6只有1种涂色方法,故区域5,6共有213+=种涂色方法,由分步乘法计数原理知,不同的涂色方案的种数为4322(21)144⨯⨯⨯⨯+=.故答案为:1445．（2021·浙江诸暨中学）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款,则有________种不同的支付方式.【答案】6【详细解析】9元的支付有两种情况,522++或者5211+++,①当9元采用522++方式支付时,200元的支付方式为2100⨯,或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有1313⨯⨯=种支付方式;②当9元采用5211+++方式支付时:200元的支付方式为2100⨯,或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有1313⨯⨯=种支付方式;所以总的支付方式共有336+=种．故答案为:6．6．己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④sin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.【答案】12【详细解析】对于①,因为21y x=,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数;对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为sin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数;对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数.任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选1奇和2偶时,21⨯种;当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种.∴一共有12种选法.故答案为:12.7．（2020·河南南阳华龙高级中学高二月考）有一项活动,需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需选1人参加,则有多少种不同的选法?（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?（3）若需要1名老师、1名学生参加,则有多少种不同的选法?【答案】（1）16;（2）120;（3）39.【详细解析】（1）需一人参加,有三类:第一类选老师,有3种不同的选法;第二类选男生,有8种不同的选法;第三类选女生,有5种不同的选法.共有38516++=种不同的选法;（2）需老师、男同学、女同学各一人,则分3步,第一步选老师,有3种不同的选法;第二步选男生,有8种不同的选法;第三步选女生,有5种不同的选法.共有385120⨯⨯=种不同的选法;（3）第一步选老师有3种不同的选法,第二步选学生有8513+=种不同的选法,共有31339⨯=种不同的选法.。
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(第一课时)(同步训练)(附答案)
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）（同步训练）一、选择题1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有()A.24种B.9种C.3种D.26种2.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A.1B.3C.6D.93.(2022年葫芦岛期末)算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为()A.8B.10C.15D.164.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A.14B.13C.12D.105.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有()A.12种B.7种C.14种D.49种6.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为()A.6B.5C.3D.27.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，其中虚数有()A.36个B.42个C.30个D.35个8.某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有()A.10种B.25种C.52种D.24种9.(多选)现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是()A.从中任选1个球，有15种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D.若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法二、填空题10.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________11.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有______个．12.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________13.清代诗人黄伯权的《茶壶回文诗》(如图)以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶围成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学中也有这种特性的数字，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期)，数学上把20200202这样的对称数称为回文数，如两位数的回文数共有9个(11,22，…，99)，则四位数的回文数有______个，在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为________．三、解答题14.从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．15.现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？16.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有多少种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有多少种不同的选法？参考答案及解析：一、选择题1.B解析：不同的杂志本数为4＋3＋2＝9(种)，从其中任选一本阅读，共有9种选法．2.D解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x，有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y，有3种方法．根据分步乘法计数原理，不同的点有3×3＝9(个)．3.A解析：拨动梁下下位两珠，或十位两珠，能组成的整数为2,20，共2个；从个位的梁上、梁下，十位的梁上、梁下四个位置中选两个，拨动选中的这两个位置各一珠，能组成的整数为6,51,60,15,11,55，共6个．所以不同整数的个数为2＋6＝8.故选A．4.B 解析：由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1，0,1,2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1，0,1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．所以有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.5.D6.B7.A 解析：∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个，有6种，∴根据分步乘法计数原理知虚数有6×6＝36(个).8.D解析：共分四步，一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24种．9.AB解析:对于A，从中任选1个球，不同的选法共有5＋6＋4＝15(种)，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，不同的选法共有5×6×4＝120(种)，故B 正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分黄黑、黄蓝、黑蓝三类，再进行各类分步选择，不同的选法共有5×6＋5×4＋6×4＝74(种)，故C错误；对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，不同的选法共有15×14＝210(种)，故D错误．故选AB．二、填空题10.答案：3611.答案：36 解析：第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．故不同的虚数有36个．12.答案：1 359解析：“渐升数”由小到大排列，形如30个必为1 359，所以应填1 359.13.答案：90，59解析：四位数的回文数只用排列前两位数字，后面的数字就可以确定，但是第一位数不能为0，有9种情况，第二位数有10种情况，故四位数的回文数的个数为9×10＝90.四位数的回文数的第一位数是奇数，有5种情况，第二位数有10种情况，故四位数的回文数中奇数的个数为5×10＝50，在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为59. 三、解答题14.解：(1)三位数有三个数位， 百位 十位 个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，满足要求的三位数共有4×3×2＝24(个)．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故三位数的偶数共有2×3×2＝12(个)．15.解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以共有不同的选法N ＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N ＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N ＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．16.解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，不同的选法共有5＋2＋7＝14(种)．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有5×2×7＝70(种)．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，不同的选法有5×2＝10(种)；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，不同的选法有5×7＝35(种)；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，不同的选法有2×7＝14(种)．所以不同的选法共有10＋35＋14＝59(种)．。
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1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。
2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。
3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有
__________种。
4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。
5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？
（2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？
6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？
（2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？
7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，
（1）共有多少种不同的涂色方法？
（2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。
9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。
10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。
11、将3封信投入4个不同的信箱，共有_________________种不同的投法；
3名学生走进有4个大门的教室，共有_________________种不同的进法；
3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有_________________个。
12、、4个小电灯并联在电路中，每一个电灯均有亮与不亮两种状态，总共可表示
__________种不同的状态，其中至少有一个亮的有__________种状态。
13、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域涂不同颜色，那么共有________________种不同的涂色方法。
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14、在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用，
（1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？
（2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？
（3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？
15、某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有___________种不同的走法。
16、某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则该生的购书方案有_____种。
17、已知两条异面直线上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可确定
___________个不同的平面。
18、为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同种植密度，3种不同播种时间的因素下进行种植实验，则不同的
实验方案共有___________种。
19、某市提供甲、乙、丙和丁四个企业供育才诈中学高三级3个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企
业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有
___________种。
20、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有___________种
参考答案：
1、12
2、20
3、6
4、20
5、（1）20 （2）119
6、（1）64 （2）81
7、（1）625 （2）180
8、11
9、32 10、20 11、64、64、64 12、15 13、260 14、（1）35 （2）1000 （3）350 15、25 16、7 17、13 18、72 19、37 20、6。