〖含高考模拟卷16套〗北京市东城区汇文中学2020-2021学年高考数学模拟试卷含解析
2024北京东城高三一模数学试题及答案
2024北京东城高三一模数 学2024.4本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．AB B ．A BC ．()UA B D ．()UA B2．已知,,0a b ab ∈≠R ，且a b <，则（ ） A ．11a b> B ．2ab b < C ．33a b < D ．lg lg a b < 3．已知双曲线221x my −=的离心率为2，则m =（ ） A ．3B ．13 C ．3− D ．13− 4．设函数()11ln f x x=+，则（ ） A ．()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．()12f x f x ⎛⎫−=⎪⎝⎭C ．()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，最大值为，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于直线4x π=−对称B ．关于点,04π⎛⎫−⎪⎝⎭对称C ．关于直线8x π=对称D ．关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481a a a a a ++++=，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．1C ．1−D ．2−7．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm ．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近．（参考数据： 3.14π≈）（ ）A ．30.8mB ．31.4mC ．31.8mD ．32.2m8．设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是BD 的中点，O 为ABD △的中心．现将ABD △沿BD 翻折为1A BD △，记1A BD △的中心为1O ，如图2．设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．13 B ．12 C D 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a−=∈−R ，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a +∞上单调递增B ．对于任意实数a ，若()a g x 在(),a +∞上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C ．对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D ．若函数()a g x 满足：当(),x a ∈+∞时，()0a g x ≥，当(),x a ∈−∞时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市汇文中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析2
北京市汇文中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．12 2．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．5224+ D ．93．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 24．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．132B ．5C ．25D ．136．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2807．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14158．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．9．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.810．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．6011．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π1633+B ．4π1633+C ．16343π3+D ．43π1633+12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．2155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市东城区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市东城区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．5266【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r. 因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 2．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 3．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 【答案】C 【解析】【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭,即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增.故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e⎛⎫⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.4．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据21211p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】因为随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，因为21211p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 5．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】 【分析】向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出【详解】解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 6．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)AB =-+∞ ，故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.7．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.8．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题. 9．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D 【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．11．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==OC c =.E 为OB 中点.由1a b +=即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =设()(),,2,0OP a x y OB b ====,(),1,0OC c E =则2b OE =由1a b +=代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为2221x y又因为c a b λμ=+,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即2OC OP OE λμ=+,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a 变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.12．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市汇文中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析
北京市汇文中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．12．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④3．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦4．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1BC ．2D ．35．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．427．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 8．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．609．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） 32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．310．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种11．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 12．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份)(有答案解析)
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.已知复数其中i是虚数单位，则A. B. C. 1 D. 23.抛物线的准线与y轴的交点的坐标为A. B. C. D.4.设函数，则A. 有最大值B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数5.已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为A. 12B. 36C. 72D. 7207.已知圆C与直线及的相切，圆心在直线上，则圆C的方程为A. B.C. D.8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则A. 729B. 332C. 181D. 969.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A. 8B. 7C. 6D. 5二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．12.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则______．13.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为______．14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是______．15.某部影片的盈利额即影片的票房收入与固定成本之差记为y，观影人数记为x，其函数图象如图所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图、图中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：图对应的方案是：提高票价，并提高成本；图对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是______填写所有正确说法的编号三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图1，在中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，将沿DE折起到的位置，使得平面平面BCED，如图．Ⅰ求证：；Ⅱ求直线和平面所成角的正弦值；17.在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，，，求的面积．18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月天的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天35件以内含35件的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．Ⅰ根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；Ⅱ为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为单位：元，求X的分布列和数学期望；Ⅲ根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19.已知函数．若曲线存在斜率为的切线，求实数a的取值范围；求的单调区间；设函数，求证：当时，在上存在极小值．20.已知椭圆C：的右焦点为F．Ⅰ求点F的坐标和椭圆C的离心率；Ⅱ直线l：过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：；；是的因数．Ⅰ当时，写出数列的前五项；Ⅱ若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求m的值；Ⅲ求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得时，为常数．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，集合，．故选：C．先求出集合A，集合B，由此能求出．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：复数，，故选：A．利用复数模长的性质即可求解．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.答案：B解析：解：抛物线的准线方程为，抛物线的准线与y轴的交点的坐标为，故选：B．利用抛物线的准线方程为，即可求出抛物线的准线与y轴的交点的坐标．本题考查抛物线的方程与性质，比较基础．4.答案：A解析：解：，，当且仅当，即时取等号，有最大值，在上没有单调性．故选：A．根据即可根据基本不等式得出，从而可得出，并且时取等号，从而得出有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．本题考查了基本不等式在求最值时的应用，熟悉的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足，即，，满足，即必要性成立，即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特点求出a，b的关系是解决本题的关键．比较基础．6.答案：C解析：解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有种情况，则有种不同的坐法；故选：C．根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7.答案：A解析：解：圆心在上，设圆心为，圆C与直线及的相切，圆心到两直线及的距离相等，即：，圆心坐标为，，圆C的标准方程为．故选：A．根据圆心在直线上，设出圆心坐标为，利用圆C与直线及的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．考查了圆的方程的求法，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．同时考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．8.答案：D解析：解：正项等比数列的公比设为q，，由，可得，即，即，与的等差中项为9，可得，即，相除可得，解得舍去，则．故选：D．正项等比数列的公比设为q，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积，根据题意，令，解得，故选：C．由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．本题考查了指数函数在实际生活中的应用，关键是将信息提取出来，列出函数的解析式．10.答案：C解析：解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为，，，则，，，，因为，且，，，所以，即．故选：C．设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为，，，根据，且，，可得．本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．11.答案：解析：【分析】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．利用向量平行的条件直接求解即可．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．12.答案：1解析：解：角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，，故为第二象限角．可令，此时，，，故答案为：1．由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得的值，可得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于基础题．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．【解答】解：几何体的直观图如图：是底面是长为2，宽为1的长方形，高为2的四棱锥，故四棱锥的体积为：．故答案为．14.答案：或解析：解：由题意可得，抛物线方程为或．若抛物线方程为，代入，得，则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为，代入，得，则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意．抛物线的标准方程可以是或．故答案为：或．由题意可设抛物线方程为或，然后分类求解得答案．本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．15.答案：解析：解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图降低了成本，但票价保持不变，即对；图成本保持不变，但提高了票价，即对；故选：．解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．16.答案：解：Ⅰ证明：在中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，．，将沿DE折起到的位置，使得平面平面BCED，平面BCDE，平面BCDE，．Ⅱ解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，2，，，，2，，，1，，设平面的法向量为y，，则，取，得2，，设直线和平面所成角为，则直线和平面所成角的正弦值为：．解析：Ⅰ推导出，从而平面BCDE，由此能证明．Ⅱ以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线和平面所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：若选择，由余弦定理，分因为，所以；分由正弦定理，得，分因为，，所以，分所以分所以分若选择，则，分因为，所以，分因为，所以；分由正弦定理，得，分因为，，所以，分所以，分所以分若选择，则，所以，分因为，所以，所以，所以；分由正弦定理，得，分因为，，所以，分所以，分解析：取，由余弦定理可得进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取，由正弦定理可得：，，解得B，可得，由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ甲公司员工A投递快递件数的平均数为：，众数为分Ⅱ设a为乙公司员工B投递件数，则当时，元，当时，元，的可能取值为136，147，154，189，203，分，，，，，X136147154189203P分分Ⅲ根据图中数据，由Ⅱ可估算：甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元．分解析：Ⅰ由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．Ⅱ由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．Ⅲ利用Ⅱ的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．19.答案：解：由得：，，由已知曲线存在斜率为的切线，存在大于0的实数根，即存在大于0的实数根，在时递增，的范围是；由，，得：时，，在递增；时，若时，，若，则，故在递增，在递减；由及题设得：，由，得：，由得：在递增，，取，显然，，存在满足，即存在满足，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，时，在存在极小值．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一道综合题．求出函数的导数，问题转化为存在大于0的实数根，根据在时递增，求出a的范围即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，根据，得到存在满足，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．20.答案：解：Ⅰ椭圆C：，，解得，焦点，离心率．Ⅱ直线l：过点F，，：．由，得依题意．设，，则，．点P关于x轴的对称点为，则直线的方程可以设为，令，．直线过x轴上定点．解析：由椭圆的标准方程即可得出；直线l：过点F，可得l：代入椭圆的标准方程可得：依题意．设，，可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为，则可得直线的方程可以为，令，，把根与系数的关系代入化简即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为及其根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：Ⅰ解：时，数列的前五项分别为：5，1，0，2，2．Ⅱ解：，，，又数列的前3项互不相等，当时，若，则，且对，都为整数，；若，则，且对，都为整数，；当时，若，则，且对，都为整数，，不符合题意；若，则，且对，都为整数，；综上，m的值为2，3，4．Ⅲ证明：对于，令，则．又对每一个n，都为正整数，，其中“”至多出现个．故存在正整数，当时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及均为整数，，故常数．从而常数．故存在正整数M，使得时，为常数．解析：Ⅰ当时，写出数列的前五项；Ⅱ对、分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；Ⅲ令，则进一步推得存在正整数，当时，必有成立．再由成立证明为常数．本题考查数列递推式，考查数列的前n项和，考查逻辑思维能力与推理运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题．。
2020-2021北京市东城区高三一模数学试卷
北京市东城区2021届高三一模数学试卷2021.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<1}，那么A∪B＝（A）（－1，2）（B）（－1，1）（C）（－∞，2）（D）（－∞，1）（2）在复平面内，复数（1＋2i）i对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（A）18（B）22（C）40（D）60（4）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（A）92（B）9（C）272（D）27年级人数高一550高二500高三450合计1500（5）已知圆x 2＋y 2＝1截直线y ＝k （x ＋1）（k >0）所得弦的长度为1，那么k 的值为（A ）12（B ）33（C ）1（D（6）已知函数2102,()6,2,x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩，那么不等式f （x ）（A ）（0，1]（B ）（0，2]（C ）[1，4]（D ）[1，6]（7）“x y <”是“ln ln x y <”成立的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）宽与长的比为心，10.6182-≈的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD 中，BC1，AB ＞BC ，那么AB AC ⋅的值为（A1-（B1+（C ）4（D）2（9）已知椭圆221221x y C a b+=：（a >b >0）的右焦点F 与抛物线222(0)C y px p =>：的焦点重合，P 为椭圆C 1与抛物线C 2的公共点，且PF ⊥x 轴，那么椭圆C 的离心率为（A1（B）3（C）2（D1-（10）如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线y ＝f （x ）连接在一起，需满足要求：曲线y ＝f （x ）经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD，那么下列说法正确的是（A ）存在曲线y ＝ax 3＋bx 2－2x ＋5（a ，b ∈R ）满足要求（B ）存在曲线y ＝sin cos 2ax bx+＋c （a ，b ，c ∈R ）满足要求（C ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意满足要求的曲线y ＝g （x ），存在实数λ，μ，使得g （x ）＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）（D ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意实数λ，μ，当λ＋μ＝1时，曲线y ＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）满足要求第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京东城区高三一模数学文科试题及
适用标准文档北京市东城区2021-2021 学年度第二学期高三综合练习〔一〕数学〔文科〕本试卷共 5 页，共 150 分。
考试时长120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷〔选择题共40分〕一、选择题〔共8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项〕〔 1〕假定会合A { x R x23x} ， B{ x 1 x 2} ，那么 A B〔 A 〕{ x 1 x 0}〔 B〕{ x 1 x 3}〔 C〕{ x 0 x 2}〔 D 〕{ x 0 x 3}〔 2〕直线ax 3 y 10与直线 3x y+2=0 相互垂直，那么 a〔 A 〕3〔B〕1〔C〕1〔D〕3〔 3〕a log 4 6 ， b log 4 0.2 ， c log 2 3 ，那么三个数的大小关系是〔 A 〕c a b〔 B 〕a c b〔 C〕a b c〔 D 〕b c ax0，〔 4〕假定x , y知足x 2 y30，那么 u2x y 的最大值为2x y30，〔A〕3〔B〕52〔C〕2〔D〕32〔 5〕数列{ a n}的前n项和S n 1 5 913 17 21( 1)n 1 (4 n 3) ，那么S11〔A〕21〔B〕19〔C〕19〔D〕21〔 6 〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么“a b 〞是“ a cosB bcos A 〞的〔 A 〕充足而不用要条件〔 B 〕必需而不充足条件文案大全〔 7〕右侧程序框图的算法思路根源于我国古代数学名著?九章算术? 中的“更相减损术〞．执行该程序框图，假定输入 a , b , i 的值分别为 6 ， 8， 0 ，那么输出a和 i 的值分别为〔A〕0,3〔B〕0,4〔C〕2,3〔D〕2, 4〔 8〕函数f ( x)的定义域为1,1 ，图象如图1所示；函数 g( x) 的定义域为1,2 ，图象如图 2所示．假定会合A x f (g (x )) 0,B x g ( f ( x)) 0，那么A B 中元素的个数为y y11-1O1x-1O1 2x -1图 1图 2〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4第二卷〔非选择题共110分〕二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
北京汇文中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析
北京汇文中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．2. 设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，I为的内心，若，则该椭圆的离心率是( )A． B． C． D．参考答案：A3. 互不相等的三个正数a、b、c成等差数列，又x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，那么x2、b2、y2三个数（）A．成等差数列，非等比数列B．成等比数列，非等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．既不成等差数列，又不成等比数列参考答案：A【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】解法1：对于含字母的选择题，可考虑取特殊值法处理．比如a=1，b=2，c=3即可得结论．解法2：因为就研究三项，所以可用等差中项和等比中项的定义来推导即可．【解答】解法1：取特殊值法令a=1，b=2，c=3?x2=2，b2=4，y2=6．解法2：b2﹣x2=b2﹣ab=b（a﹣b），y2﹣b2=bc﹣b2=b（c﹣b）a﹣b=c﹣b?b2﹣x2=y2﹣b2，故x2、b2、y2三个数成等差数列．若x2、b2、y2三个数成等比数列，则与题意矛盾．故选 A．【点评】本题主要考查等差中项：x，A，y成等差数列?2A=x+y，等比中项：x、G、y成等比数列?G2=xy，或G=±．4. 已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在参考答案：A【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】应先从等比数2列入手，利用通项公式求出公比q，然后代入到a m a n=16a12中，可得到关于m，n的关系式，再利用基本不等式的知识解决问题．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，由a7=a6+2a5，得到a6q=a6+2，解得q=﹣1或q=2，因为{a n}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q=﹣1舍弃．所以，q=2因为a m a n=16a12，所以，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），所以≥，当且仅当m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．故选A5. “1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：因为“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”成立的充分不必要条件．选A．考点：充分必要条件的判断．【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题．对于命题“若,则”是真命题,我们说,并且说是的充分条件，是的必要条件，命题“若,则”是假命题,我们说,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“”是“”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键．6. 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点（－2，）到焦点的距离是5，则的值是（）（A）4 (B) 4 (C)2 (D) 2参考答案：D 7. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（）A． B． C．D．参考答案：B略8. 如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，别且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是DABC参考答案：C9. 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A ．回归直线一定过样本中心B ．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域，说明选用的模型比较合适C ．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好参考答案：D对于A ，回归直线一定过样本中心，正确；对于B ，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适。
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北京市东城区汇文中学2020-2021学年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．25B ．45C ．3D ．42．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．3．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2D 54．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ）A ．8B ．12C ．14D ．105．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．36．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B．4C．5D ．157．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．728．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种9．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．4511．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数2|1|,0()4,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点123123,,()x x x x x x <<，则123ax x x ++的取值范围是___________． 14．若复数Z 满足1(12)(2)2i Z i -=-+，其中i 为虚数单位，则Z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1C x y +-=，圆22:(23)6C x y '++=．直线:3l y kx =+与圆C 相切，且与圆C '相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________16．已知()||f x x x =，则满足(21)()0f x f x -+≥的x 的取值范围为_______． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=，直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是θα=（ρ∈R ）和2πθα=+（ρ∈R ），其中k απ≠（k z ∈）.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点A ，B ，求OAB ∆的面积最小值. 18．（12分）已知函数()sin ln 1f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （Ⅱ）求证：()f x 在(0,)π上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数()f x 在(0,2)π上的零点个数． 19．（12分）已知非零实数,a b 满足a b <． （1）求证：332222a b a b ab -<-； （2）是否存在实数λ，使得2211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围； 若不存在，请说明理由20．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．21．（12分）已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.22．（10分）如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，23AB =，3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 3在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C 【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.52，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 2、C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】 由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 3、A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A∴为圆心||2c OA =．,22c c P⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 4、C 【解析】 【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a . 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =，所以71614a a d =+=．故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式. 5、B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 6、D 【解析】 【分析】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出cos EG BEG BE ∠==在利用二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案. 【详解】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则BE DE ==BD =，在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ，则EG ==cosEG BEG BE ∠==所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-， 即：31cos 2155BED ∠=⨯-=， 所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15. 故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 7、B 【解析】 【分析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解. 【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+， 又因为AM AB λ=，AN AC μ=， 所以1122AP AM AN λμ=+． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=， 所以111111()122222222λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为1． 故选：B 【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8、C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。