2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数学试卷
北京市东城区2018-2019学年初二第二学期期末数学测试卷及参考答案
2018-2019学年北京市东城区第二学期期末数学统一练习-2 OP初二数学试卷2019.7、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是2.用配方法解一元二次方程x2-6x+1=0,此方程可化为的正确形式是 5.如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,且ADwCD,过点。
作OM^AC,交AD 于点M.如果△ CDM 的周长为8,那么平行四边形 ABCD 的周长是A. 8B. 12C. 16D. 20C. ,,D.A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三个内角是否都为直角6.如图，已知正比例函数 y 1=kx 与一次函数y 2=-x+b 的图象交于点 P.下面有四个结论:其中正确的是A.B.，3.有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前 学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这A.平均数B.中位数C.众数D.方差4.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形是否为矩形,位同学拟定的方案，其中正确的是卜面是某合作学习小组的 4①k>0； ②b>0；③当 x>0时，y1>0 ；④当 x<-2时，kx>-x+b.yxA. (x+3)2=10B. (x+3)2=8C. (x-3)2=10D. (x-3)2=810位同学进入决赛.某同 19位同学成绩的1A.①③ C.③④7.如图，数轴上点分别对应，，过点 作 y 2=- x+b为圆心，长为半径画弧，交B.②③ D.①④y 1 =kx于点 ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点 ，则点 对应的数是A.、. 2B. 一C. .2 1D. .5 18.如果规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[2.1]=2 , [-2.1]=-3 ,那么函数y=x-[x] (-3 WxW 3)的图象为二.填空题(本题共16分，每小题2分)9 .函数y= kx(kw 咂图象上有两个点 A 1(x 1, y 1)，A 2(x 2, y 2),当x 1〈x 2时，y 1>y 2,写出一个 满足条件的函数解析式 .10 .如果a 是一元二次方程 x 2-3x-5=0的一个根，那么代数式 8-a 2+3a=. 11 .若一元二次方程x 2-2x+m=0有两个相同的实数根，则实数 m=.12 .如图，已知菱形 的一个内角 线 ， 相交十点，点 在 上，且则 _________________ ° . 13 .如图，在平面直角坐标系中，点 A, B 的坐标分别为 与线段AB 有公共点，则n 的值可以为 ________ .(写出一 ,对角C(1,3), ( n, 3),若直线 y=2x一个即可)314.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且A (4,0), B (6,2),则直线AC的解析式为15.如图，每个小正方形的边长为，在^ ABC中点A, B, C均在格点上，点D为AB的中点,线段CD的长为16.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD = 2, AE=3,则正方形ODCE的边长等于.解答题(本题共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题每题7分) 17.下面是小明设计的作矩形ABCD”的尺规作图过程:已知：在RtzXABC 中，/ABC =90口.求作：矩形ABCD.作法：如图，1以点B为圆心，AC长为半彳5作弧；2以点C为圆心，AB长为半彳5作弧；3.两弧交于点D, A,D在BC同侧；4连接AD,CD.所以四边形ABCD是矩形.根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明：连接BD.,: AB =,AC =,BC = BC,:.AABC^ ADCB.ABC =/DCB =90..AB//CD.四边形ABCD是平行四边形.ABC = 90 ,二四边形ABCD是矩形.()(填推理的依据).18.解一元二次方程：2x2-5x+1=0.19.如图，在？ABCD中，点E, F分别在边CB, AD的延长线上，且BE=DF , EF分别与AB, CD交于点G,H.求证：AG=CH.20.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+3)x+3=0总有两个不相等的实数根，(1)求m的取值范围；(2)若此方程的两根均为正整数，求正整数m的值.21.列方程解应用题：某地2016年为做好精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元.从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？22.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE, BA交于点F,连接AC, DF .(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分/ BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.B C23.甲、乙两位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图(1)请填写下表命中9环以上的次数(包平均数力差中位数^9环)甲7 1.2 1乙 5.4 7.5(2)请你从平均数和方差相结合对甲、乙两名运动员6次射靶成绩进行分析：(3)教练根据两人的成绩最后选择乙去参加比赛，你能不能说出教练让乙去比赛的理由？(至少说出两条理由)24.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x千克.(1)当工＞1时，请分别直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y (元)与x (千克)之间的函数关系式；(2)在(1)的条件下，小明选择哪家快递公司更省钱？25.如图，直线11 ： y = 2x+1与直线I： y = mx + 4相交于点P (1, b).(1)求b, m的值；(2)垂直于y轴的直线y = a与直线11，12分别相交于C,D,若线段CD长为2,求a的值.一、，、，人、升，一一，2 一…26 .有这样一个问题：探究函数 y=——-3的图象与性质.x -12 -小凫根据学习函数的经验，对函数 y= ------ 3的图象与性质进行了探究.x -1下面是小亮的探究过程，请补充完整：点，画出该函数的图象;-2-34-5,-6-7 -_8(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线 x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交.27 .在正方形 ABCD 中，点E 是射线AC 上一点，点F 是正方形 ABCD 外角平分线 CM 上一点，且 CF=AE,连接 BE, EF.(1)如图1,当E 是线段AC 的中点时，直接写出 BE 与EF 的数量关系； (2)当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断(1)x … -3 -2 -11 23 223 4 5…711m-175y…—3-4-5-7-2——…23 2一 一、”. 2 一 ・.、一 ,一一(1)函数y=———3中自变量x 的取值范围是x 一 1(2)下表是y 与x 的几组对应值.求的值；(3)在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点, 根据描出的・5 -4 -3 -2二 O10 15中的结论是否成立，并证明你的结(3)当点B, E, F 在一条直线上时，求 上CBE 的度数.(直接写出结果即可)28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O, 四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形.当原点正方形上存在点Q,满足PQ <1时，称点P为原点正方形的友好点.(1)当原点正方形边长为4时，①在点P i (0,0), P2 (-1,1), P3 (3,2)中，原点正方形的友好点是 ;②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；(2)一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A, B,若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围.(3)。
2018-2019学年北京市东城区八年级第一学期期末数学试卷(含答案)
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测 初二数学 2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）A ．73.210⨯ B ．83.210⨯ C ．73.210-⨯ D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是 A ．1a ≠B ．0a ≠C ．1a ≠且0a ≠D ．一切实数3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235325x x x +=B ．C ．D ． 33()ab a b =4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A B C D 5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误．．的是（ ） A ．4446+-= B ．004446++=C ．34446++=D ．14446-÷+=6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ） A.23B. 32C.34 D.33x7．已知2,3m n a a ==，则32m n a +的值是（ ） A ．6B ．24C ．36D ．728.如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一 个条件，那么在①AB =AE ， ②BC =ED ， ③∠C =∠D ， ④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．810. 定义运算“※”：,,aa b a bb b a b b aa ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※ ．若2x =5※，则x 的值为（ ）A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11. 分解因式：228ax a -= ． 12. 多项式（mx +8）（2-3x )展开后不含x 项，则m = ．13．当x 的值为 时，分式242x x --的值为0.14. 课本上有这样一道例题：请你思考只要CD 垂直平分AB ，那么△ABC 就是等腰三角形的依据是____________. 15． 如图，在△ABC 中，点D 是AB 边的中点，过点D 作边AB 的垂线l ，E 是l 上任意一点，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长最小值为__________. 16． 已知在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠A =36º，在△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不．包括．．△ABC ），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是 ___________； （2）若∠A ≠36º， 当∠A =___________时，在等腰△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC ）.（写出两个答案即可） 三、解答题（本题共12小题，共56分）17．(本小题4分)计算：()-219+2-π-2⎛⎫ ⎪⎝⎭．18. （本小题6分）计算：(1) -； (2) )3)(3()2(2-+--x x x ．19. (本小题3分)在三个整式xy x 22+，xy y 22+，2x 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20. （本小题4分） 解分式方程：271326x x x +=++21． （本小题4分）先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．yx22. （本小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3）， B （1，0）， C （1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ；（2）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标.23. （本小题5分）如图，点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量)，点A ,D 在l 异侧，测得 AB ＝DE ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ． (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE =10m ，BF =3m ，求FC 的长度．24.（本小题5分）列方程解应用题：B ACDEFlACB港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.25. （本小题5分）如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明.26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+. 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+.（一）错误!未找到引用源。
北京市东城区2018-2019学年八年级上期末数学试卷含答案
北京市东城区2018-2019学年上学期初中八年级期末考试数学试卷本试卷共100分，考试时长100分钟。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是2. 下列计算正确的是A. x+x 2=x 3B. x 2·x 3=x 6C. （x 3）2=x 6D. x 9÷x 3=x 33. 下列式子为最简二次根式的是A.3B.4C.8D.214. 如果2-x 有意义，那么x 的取值范围是A. x>2B. x≥2C. x≤2D. x<25. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6. 如图，所示的图形面积由以下哪个公式表示 A. a 2-b 2=a （a-b ）+b （a-b ）B. （a-b ）2=a 2-2ab+b 2C. （a+b ）2=a 2+2ab+b 2D. a 2-b 2=（a-b ）（a+b ）7. 若分式112--x x 的值为0，则x 的值为A. x=1B. x=-1C. x=±1D. x≠18. 若x-x 1=1，则x 2+21x的值是 A. 3B. 2C. 1D. 49. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，连接OC ，OB ，则图中全等的三角形有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对10. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则这个最小值为A. 3B. 23C. 26D.6二、填空题（本题共14分，11-15题每小题2分，16题4分）11. 中国女药学家屠呦呦获2019年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为____米.12. 如图，AB=AC ，点E ，点D 分别在AC ，AB 上，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是______.（添加一个条件即可）13. 若x 2+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m 应为_______.14. 如图，Rt △ABC 的斜边AB 的中垂线MN 与AC 交于点M ，∠A=15°，BM=2，则△AMB 的面积为______.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有_______个. 16. 观察下列关于自然数的等式： 32-4×12=5 ①52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示）______________________.三、解答题（本题共56分）解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程。
2018-2019学年度第一学期八年级(上)期中数学试题(含答案).doc
2018/2019学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷八年级数学（满分：100分考试时间：100分钟）注意事项：1．选择题请用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．2．非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．下列“表情”中属于轴对称图案的是A. B. C. D.2．下列说法正确的是A ．两个等边三角形一定全等B ．形状相同的两个三角形全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．全等三角形的面积一定相等3．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是 A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，64．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为△ABC 的高，若∠BAC ＝40°，则∠CBD 的度数是 A ．70°B ．40°C ．20°D ．30°5．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A 的面积是 A ．16 B ．32 C ．34 D ．64925A（第5题）（第4题）ABCD6．到三角形三条边距离相等的点是A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条边上高的交点C ．三条边上中线的交点D ．三个内角平分线的交点7．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A ′C ′B ′＝∠ACB 的依据是A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS8．如图，长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A ′，点B 落在点B ′处．若∠2＝40°，则∠1的度数为 A ．115°B ．120°C ．130°D ．140°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卷．相应位置．．．．上） 9．等边三角形有▲条对称轴．10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则AC ＝▲．11．已知△ABC ≌△DEF ，且△DEF 的周长为12．若AB ＝5，BC ＝4，则AC ＝▲． 12．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为▲． 13．在等腰△ABC 中，AC ＝AB ，∠A ＝70°，则∠B ＝▲°．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝▲.15．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为△ABC 的中线，∠B ＝72°，则∠DAC ＝▲°． 16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，D 是斜边AB 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，DE ＝2，则AB ＝▲.（第7题） AC DBB ′A ′C ′D ′（第8题）1 2BB ′ CA ′ DEAF（第15题）DACBDACB（第14题）（第16题）ACBDE17．如图，△DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形.若在图中再画1个格点△ABC （不包括△DEF ），使△ABC ≌△DEF ，这样的格点三角形能画▲个.18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝4，M 在BC 上，且BM ＝1，N 是AC上一动点，则BN ＋MN 的最小值为▲．三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题．．卷．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（6分）已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝AE ．求证：AB ＝AC ．20．（5分）如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个梯形（两底分别为a 、b ，高为a ＋b ），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请将计算过程补充完整． 解：S 梯形＝12（上底＋下底）×高＝12（a ＋b ）•（a ＋b ），即S 梯形＝12（▲）．①S 梯形＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ（罗马数字表式相应图形的面积） ＝▲＋▲＋▲．即S 梯形＝12（▲）．②由①、②，得a 2＋b 2＝c 2．DE C（第19题）A（第20题）cⅢcⅡⅠb ba a（第17题）EDFMNABC（第18题）21.（6分）如图，育苗棚的顶部是长方形，求育苗棚顶部薄膜ABDE 的面积．22．（6分）已知：如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：BC ∥EF ．23．（6分）如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上任意一点（与点B 、C 不重合），以AD 为一边向右侧作等边△ADE ，连接CE ．求证：△CAE ≌△BAD ．FECBA（第22题）DCEA（第23题）B（第21题）E24．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13．求四边形ABCD 的面积．25．（8分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．E 是AB 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ．若CD ＝ED ，求∠BAC ，∠B 的度数．26．（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 为AC 的中点．（1）求证：MB ＝MD ．（2）若∠BAD ＝100°，求∠BMD 的度数．M（第26题）CABD （第24题）CBDA（第25题）BE DC27．（12分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿着某条直线折叠．（1）若该直线经过点A ，且折叠后点C 落在AB 边上，请用直尺和圆规在图①中作出该直线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若折叠后点A 与点B 重合．①请用直尺和圆规在图②中作出该直线（不写作法，保留作图痕迹）； ②若图②中所画直线与AC 交于点P ，且AB ＝8，AP ＝5，求CP 的长．（第27题）AC图①AC图②2018/2019学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷八年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计16分）二、填空题（每小题2分，共计20分）9．3 10．5 11．3 12．20 13．55 14．4.8 15．18 16．8 17．3 18．5三、解答题（本大题共9小题，共计64分） 19．（本题6分） 证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ,∠AED ＝∠C ．……………………………………………2分 ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ． …………………………………………………………4分 ∴∠B ＝∠C ． ………………………………………………………………5分 ∴AB ＝AC ．……………………………………………………………………6分20．（本题5分）解：S 梯形＝12（上底＋下底）•高＝12（a ＋b ）•（a ＋b ），即S 梯形＝12（a 2＋2ab ＋b 2）．①…………………………1分S 梯形＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ（罗马数字表式相应图形的面积） ＝12ab ＋12c 2＋12ab ．…………………………4分即S 梯形＝12（c 2＋2 ab ）．②……………………………5分由①、②，得a 2＋b 2＝c 2．21．（本题6分）解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，由勾股定理得：AB 2＝AC 2＋BC 2＝22＋1.52＝6.25，∴AB ＝2.5（m ）．…………3分∴S 四边形ABDE ＝2.5×20＝50（m 2）．……………………………………………5分 答：四边形ABDE 的面积是50m 2．……………………………………………6分 22．（本题6分）证明：∵AF ＝DC ，∴AF ＋FC ＝DC ＋FC ．即AC ＝DF ．………………………1分在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ．∴△ABC ≌△DEF (SAS )．…………………4分∴∠BCA ＝∠EFD ．……………………………………………5分 ∴BC ∥EF ．……………………………………………6分 23．（本题6分）证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AC ＝AB ，AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°．………………………………3分 ∴∠DAE －∠CAD ＝∠BAC －∠CAD ，即∠CAE ＝∠BAD ．………………4分 在△CAE 和△BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ．∴△CAE ≌△BAD (SAS )．………6分24．（本题7分）解：∵在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC ＝5．………………………2分在△ADC 中，AD ＝13，CD ＝12，AC ＝5． ∵122＋52＝132，即CD 2＋AC 2＝AD 2，∴△ADC 是直角三角形，且∠DCA ＝90°．……………………………………4分∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12AB •BC ＋12AC •CD ＝12×3×4＋12×5×12＝36．……7分25.（本题8分） 解：连接AD ．∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，CD ＝ED ， ∴点D 在∠BAC 的角平分线上．∴∠CAD ＝∠EAD ．……………………………………………………………………2分 ∵E 是AB 中点，DE ⊥AB ，∴DB ＝DA ．……………………………………………………………………4分 ∴∠DBA ＝∠DAB ．……………………………………………………………………6分 ∵∠DBA ＋∠CAB ＝90°， ∴3∠DBA ＝90°． ∴∠DBA ＝30°．∴∠B ＝30°，∠BAC ＝60°．…………………………………………………………8分 26.（本题8分）（1）证明：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，又∵M 为AC 的中点，∴MB ＝12AC ，MD ＝12AC ．………………………………4分∴MB ＝MD ．…………………………………………………………………………5分 （2）解：∵∠BAD ＝100°，∴∠BCD ＝360°－（∠ABC ＋∠ACB ）－∠BAD ＝80°，……………………………6分 ∵MB ＝MC ＝MD ，∴∠MBC ＝∠MCB ，∠MCD ＝∠MDC ．……………………………………………7分 ∴∠BMD ＝∠BMA ＋∠DMA ＝2∠BCA ＋2∠DCA ＝2∠ACB ＝2×80°＝160°．……8分27.（本题12分）解：（1）如图，直线AD 即为所求．…………………………………………………3分（2）①如图，直线MN 即为所求．……………………………………………………6分②由①中的作图得：AP ＝PB ．…………………………………………………7分 ∵∠C ＝90º，∴ △BCP 和△ACB 是直角三角形． 在Rt △ABC 中，∵AC 2＋CB 2＝AB 2，∴BC 2＝AB 2－AC 2．………………………………………8分 在Rt △PCB 中，∵PC 2＋CB 2＝PB 2，∴ BC 2＝PB 2－CP 2．………………………………………9分 ∴ AB 2－AC 2＝PB 2－CP 2． 设CP ＝x ，则AC ＝5＋x ，52－x 2＝82－(5＋x )2．……………………………………………………………11分 ∴ x ＝1.4．即CP 的长为1.4．…………………………12分.ACDBBCAPMN。
东城区2018-2019学年第一学期期末统一练习初二
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测 初二数学 2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）A ．73.210⨯ B ．83.210⨯ C ．73.210-⨯ D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是 A ．1a ≠B ．0a ≠C ．1a ≠且0a ≠D ．一切实数3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235325x x x +=B ．C ．D ． 33()ab a b =4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A B C D5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误．．的是（ ）A ．446+=B ．04446++=C ．46=D ．1446-=6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ） A.B. C.D. 23323433x7．已知，则的值是（ ）A ．6B ．24C ．36D ．728.如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一 个条件，那么在①AB =AE ， ②BC =ED ， ③∠C =∠D ， ④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 的长为()A ．2B ．4C ．6D ．810. 定义运算“※”：,,aa b a bb b a b b aa ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※ ．若2x =5※，则x 的值为（ ）A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11. 分解因式：228ax a -= ． 12. 多项式（mx +8）（2-3x )展开后不含x 项，则m = ．13．当x 的值为 时，分式242x x --的值为0.2,3m na a ==32m n a+14. 课本上有这样一道例题：请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是____________.15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为__________.16．已知在△ABC中，AB=AC．（1）若∠A=36º，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是___________；（2）若∠A≠36º，当∠A=___________时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC）.（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12小题，共56分）17．(本小题4分)()-2012-π-2⎛⎫⎪⎝⎭．18. （本小题6分）计算：(1)-；(2) )3)(3()2(2-+--xxx．19. (本小题3分)在三个整式xyx22+，xyy22+，2x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20.（本小题4分）yx 解分式方程：21． （本小题4分）先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22. （本小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3）， B （1，0）， C （1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ；（2）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标.23. （本小题5分）如图，点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量)，点A ,D 在l 异侧，测得 AB ＝DE ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ． (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE =10m ，BF =3m ，求FC 的长度．24.（本小题5分）列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通271326x x x +=++lACB后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.25. （本小题5分）如图，AE 是△ACD 的角平分线，B 在DA 延长线上，AE ∥BC ，F 为BC 中点，判断AE 与AF 的位置关系并证明.26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+. 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+.（一）还可以用以下方法化简：(二)（1)请用不同的方法化简.①参照（一）式得＝______________________________________________；②参照（二）式得＝_________________________________________；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择．．下面两个问题中的一个．．加以解决： 1.求.......1)+的值； 2.化简：. 352+352+352+12121...571351131-+++++++++n n27．（本小题6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC 边长为2，过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE 的长. （2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1.等边△ABC 边长为2，当P 为BA 的延长线上一点时,作PE ⊥CA 的延长线于点E ，Q 为边BC 上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D .请你在图（2）中补全图形并求DE 的长.2. 已知等边△ABC ，当P 为AB 的延长线上一点时,作PE ⊥射线AC 于点E ， Q 为（○1BC 边上；○2BC 的延长线上；○3CB 的延长线上）一点，且AP =CQ ，连接PQ 交直线AC 于点D ，能使得DE 的长度保持不变.(将答案的编号填在横线上)图（1） 图（2） （备用图）28. （本小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABO 为等边三角形，O 为坐标原点，点A 关于y 轴的对称点为D ，连接AD ，BD ，OD ，其中AD ，BD 分别交y 轴于点E ，P . （1）如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出BDO ∠的度数；（2）如图2，将△ABO 绕点O 旋转，且点A 始终在第二象限，此时AO 与y 轴正半轴夹角为α，60︒<α<90︒，依题意补全图形，并求出BDO ∠的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP ，PE ，PO 之间的数量关系.（直接写出结果）C B A C B A图1 图2东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测初二数学参考答案及评分标准 2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）二、 填空题（本题共6小题，11-15题每小题2分，16小题4分，共14分）11．2(2)(2)a x x+-；12．12；13．-2；14．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义； 15．13；16.（1）36°，108°；（2）°1807，90°，108°.三、 解答题（本题共12小题，共56分）17．解：原式=3+14-…………………………3分 =0 . …………………………4分18．解：（1）原式…………………………2分 =-2…………………………3分（2）原式=22449x x x -+-+ …………………………2分=413x -+. …………………………3分19. 解：22)2(x xy x ++---------------------------------------------1分 xy x 222+=-------------------------------------------------2分)(2y x x +=．----------------------------------------------3分或或 或 其他情况参照给分． 20. 解：去分母，得：4x +2(x +3)=7 . ……………………………………………………1分 化简，得：6x +6=7 . …………………………………………………2分解得：16x =. …………………………………………3分 检验：把16x =代入最简公分母，2（x +3）≠0.所以16x =是原分式方程的解.…………………………………………4分21. 解：原式=23(3)2(2)(+2)a a a a a --÷-- ……………………2分 =23(2)(+2)2(3)a a a a a --⨯-- =+23a a -. ……………………3分 当0a =时，+23a a -=2-3. ………………………4分注意：如a 取﹣2， 2，3没分.22．解：（1）图略；………………………1分（2）(0,3) ， ( 0,-1) ， (2,-1) . ………………………4分23. 解：(1)证明：∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DEF ，---------------------------------------------------1分222(2)();y xy x x y ++=+2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+-2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+-又∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，------------------------------------------2分 ∴△ABC ≌△DEF ．---------------------------------------------------3分（2）解：∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF . -------------------------------------------------------------4分 ∴BF ＋FC ＝EC ＋FC. ∴BF= EC.∵BE =10m ，BF =3m ，∴43310=--=FC m ．-------------------------------------------------------5分24．解：设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x -40）千米/时. ………………………1分依题意，得501180640x x =-. ………………………3分 解方程，得100x =. ………………………4分 经检验：100x =是原方程的解，且符合题意.答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米. ………………………5分25. 解：AE 与AF 的位置关系是垂直. ………………………1分证明：∵ AE 是△ACD 的角平分线，∴ 12DAE CAE DAC ∠=∠=∠. ………………………2分 ∵ AE ∥BC ，∴ ,DAE B EAC ACB ∠=∠∠=∠. ∴=B ACB ∠∠.∴ AB =AC . ………………………3分 又∵ F 为BC 中点， ∴ 1==2BAF CAF CAB ∠∠∠. ………………………4分 ∵ 180CAB CAD ∠+∠=︒ ∴ 90CAF CAE ∠+∠=︒.∴ AE ⊥AF . ………………………5分26. 解：（1）………………………1分22…………2分（2）1. 2018；QPF EDCBA2.. ………………………4分27. 解：（1）DE=1. ………………………1分(2) 1. 正确补全图形. ……………2分 过点P 作PF ∥BC 交CA 的延长线与点F .∴ ∠PF A =∠C .∵ △ABC 是等边三角形， ∴ 可证 △APF 为等边三角形. ∴ AP =PF .又∵ PE ⊥CA 的延长线于点E ， ∴ AE =FE =12AF . ……………3分 ∵ AP=CQ ， ∴ PF =QC .∵ ∠FDP =∠CDQ ，∴ △FDP ≌△CDQ .∴ FD =CD =12CF . ……………4分 ∵ DE =DF -EF =1111222CF AF AC -==. ……………5分2. ○2. ……………6分 28． 解：（1）120°； ……………1分 （2）正确画出图形. ……………2分 ∵ ,60AOE DOE AOB α∠=∠=∠=︒,∴ 3602603002BOD αα∠=︒--︒=︒-. …………3分 ∵ BO =BD , ∴ ∠OBD =∠ODB . ∴ 180602BODBDO α︒-∠∠==-︒. ……………4分（3）2PE BP PO =+. ……………6分 说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.FPDEBAO11。
〖真题〗2018-2019年北京市东城区八年级上学期期末数学试卷及答案
2018-2019 学年北京市东城区八年级上学期期末数学试卷、选择题（本题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）1．（ 3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据 0.00000032 用科学记数法表示正确的是（ ）7 8 ﹣ 7﹣ 8A ．3.2×10B ．3.2×10C ． 3.2×10D ． 3.2×102．（3 分）若分式 有意义，则 a 的取值范围是（ ）A ．a ≠ 1B ．a ≠0C ． a ≠ 1 且 a ≠ 0D ．一切实数3．（ 3 分）下列运算中，正确的是（）2 3 5 A ． 3x +2 x ＝ 5x23 B ． a?a ＝a6 3 2 C ．3a÷a ＝ 3a33D ．（ ab ） ＝ a b4．（ 3分） 2017年 12月 15日，北京 2022 年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）5．（3 分）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）B ．D ．6．7．A ．4+4﹣＝6 B．4+40+40＝63 分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（A．3 分）已知B．B．a m＝2，a n＝3，则A．6 B．248．（3 分）如图，已知∠9．C．4+ ＝6C．a3m+2n的值是（C．36D．4 1÷+4＝6D．721＝∠ 2，AC＝AD，要使△ ABC≌△ AED ，还需添加一个条件，那么在① AB＝AE，② BC＝ED，③ ∠ C＝∠ D ，④ ∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3 分）如图，在△ ABC 中，∠ A＝90°，∠ C＝30°，AD ⊥ BC 于D，BE是∠ ABC 的平分线，且交AD 于P，如果AP ＝2，则AC 的长为（）C．6 D．810．（3 分）定义运算“※” ：a※b＝．若5※ x＝2，则x 的值为（）A ．B．或10 C．10 D．或二、填空题（本题共6小题，11-15 小题每小题2 分，16小题4 分，共14分）211．（2 分）分解因式：2ax ﹣8a＝．12．（2 分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x 项，则m＝．13．（2 分）当x＝时，分式的值为0．14．（2 分）课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB＝a2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D．3）在MN 上取一点C，使DC＝h．4）连接AC，BC，则△ ABC 就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD 垂直平分AB，那么△ ABC 就是等腰三角形的依据是15．（2分）如图，在△ ABC 中，点D 是AB边的中点，过点D 作边AB的垂线l，E是l 上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△ AEC 的周长最小值为16．（4 分）已知在△ ABC 中，AB＝AC．（1）若∠A＝36°，在△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ ABC），这2 个等腰三角形的顶角的度数分别是；（2）若∠ A≠36°，当∠ A＝时，在等腰△ ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ ABC）．（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12 小题，共56 分）17．（4 分）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣2．18．（6 分）计算：（1）；2（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．19．（3 分）在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20．（4 分）解分式方程：+1＝．21．（4 分）先化简，然后a 在﹣2，0，1，2，3 中选择一个合适的数代入并求值．22．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ ABC 的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ ABC 关于y 轴对称的△ A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D 为顶点的三角形与△ ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标．23．（5分）如图，点B、F、C、E在直线l 上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l 异侧，测得AB＝DE ，AB∥ DE ，∠ A＝∠ D．1）求证：△ ABC≌△ DEF ；2）若BE ＝10m，BF＝3m，求FC 的长度．24．（5 分）列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50 千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40 千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．25．（5分）如图，AE是△ ACD 的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F 为BC中点，判断AE 与AF 的位置关系并证明．26．（4 分）阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：＝＝＝﹣1．＝＝＝﹣＝＝＝﹣一）以用以下方法化简（ 1）请用不同的方法化简 ． 参照（一）式得 ＝ ； 参照（二）式得＝；（ 2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求 2．化简：+ ++⋯ +．27．（6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ ABC 边长为 2，过 AB 边上一点 P 作 PE ⊥ AC 于 E ，Q 为 BC 延长线上一点，且 AP ＝CQ ，连接 PQ 交 AC 于 D ， 求 DE 的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点 P 作平行线构造等边三角形的方法来解决 这个问题． 请根据小明同学的思路直接写出 DE 的长． （2）【类比探究】 老师引导同学继续研究：1．等边△ ABC 边长为 2，当 P 为 BA 的延长线上一点时，作 PE ⊥CA 的延长线于点 E ， Q 为边 BC上一点，且 AP ＝CQ ，连接 PQ 交 AC 于 D ．请你在图 2 中补全图形并求 DE 的长．2．已知等边△ ABC ，当 P 为 AB 的延长线上一点时，作 PE ⊥射线 AC 于点 E ，Q 为 （ ① BC 边上； ② BC 的延长线上； ③ CB 的延长线上）一点，且 AP ＝ CQ ，连接 PQ 交 直线 AC 于点 D ，能使得 DE 的长度保持不变． （将答案的编号填在横线上）28．（6分）在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABO 为等边三角形， O 为坐标原点，点 A 关于 y 轴的对称点为 D ，连接 AD ，BD ，OD ，其中 AD ，BD 分别交 y 轴于点 E ，P ．的值；如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出∠ BDO 的度数；如图2，将△ ABO 绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°< α< 90°，依题意补全图形，并求出∠ BDO 的度数；（用含α的式子表示）3）在第（2 ）问的条件下，用等式表示线段出结果）直接写1）2018-2019 学年北京市东城区八年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10 小题，每小题3分，共30 分）1．【解答】解：0.00000032＝3.2× 10﹣7；故选：C ．2．【解答】解：若分式有意义，则a﹣1≠ 0，即a≠ 1，故选：A ．23 3．【解答】解：A 、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；23B、a?a ＝a ，正确；6÷a3＝3a3，故此选项错误；C、3aD、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；故选：B ．4．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B ．5．【解答】解：∵ 4+4﹣＝6，∴选项A 不符合题意；00∵ 4+4 +4 ＝6，∴选项B 不符合题意；∵ 4+ ＝6，∴选项C 不符合题意；∵ 4﹣1÷ +4＝4 ，∴选项 D 符合题意． 故选： D ．6．【解答】 解：A 、是最简二次根式，正确；D 、不是最简二次根式，错误；故选： A ．7．【解答】 解：∵ a m ＝2， a n ＝3， ∴a 3m+2n ＝（ a m ） 3×（ a n ）2 ＝23×32＝72． 故选： D ．8．【解答】 解：∵∠ 1＝∠ 2，∴∠1+∠EAB ＝∠ 2+∠ EAB ， 即∠ CAB ＝∠ DAE ，① 加上条件 AB ＝ AE 可利用 SAS 定理证明△ ABC ≌△ AED ； ② 加上 BC ＝ED 不能证明△ ABC ≌△ AED ；③ 加上∠ C ＝∠ D 可利用 ASA 证明△ ABC ≌△ AED ；④ 加上∠ B ＝∠ E 可利用 AAS 证明△ ABC ≌△ AED ； 故选： C ．9．【解答】 解：∵△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，∠ C ＝30°， ∴∠ ABC ＝ 60°．又∵ BE 是∠ ABC 的平分线， ∴∠ EBC ＝ 30°，∴∠ AEB ＝∠C+∠EBC ＝60°，∠ C ＝∠ EBC ， ∴∠ AEP ＝60°， BE ＝EC ． 又 AD ⊥BC ，∴∠ CAD ＝∠ EAP ＝60°， 则∠ AEP ＝∠ EAP ＝60°，B 、C 、 不是最简二次根式 错误；错误；∴△ AEP 的等边三角形，则 AE ＝AP ＝ 2，在直角△ AEB 中，∠ ABE ＝30°，则 EB ＝ 2AE ＝4， ∴BE ＝EC ＝4， ∴AC ＝ CE+AE ＝6． 故选： C ．10．【解答】 解：若 5> x ，即 x <5 时，原方程可整理得：＝2，方程两边同时乘以（ 5﹣ a ）得：5＝ 2（5﹣x ），解得： x ＝ ，经检验： x ＝ 是原方程的解， 且 < 5，即 x ＝ 符合题意， 若 5<x ，即 x > 5 时， 原方程可整理得：x ＝ 2（x ﹣5），解得： x ＝ 10，经检验： x ＝ 10 是原方程的解， 且 10> 5，即 x ＝10 符合题意， 故选： B ．、填空题（本题共 6小题， 11-15 小题每小题 2 分， 16小题 4 分，共 14分）211．【解答】 解：原式＝ 2a （ x 2﹣ 4）＝ 2a （x+2）（x ﹣2）．故答案为：2a （x+2）（x ﹣2）．方程两边同时乘以x ﹣5）得：12．【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x2＝﹣3mx +（2m﹣24）x+16，∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x 项，∴ 2m﹣24 ＝0，解得：m＝12，故答案为：12．13．【解答】解：∵＝0，∴ x＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：若CD 垂直平分AB，则根据线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等得到CA＝CB，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC 就是等腰三角形．故答案为线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．15．【解答】解：如图，连接BE，∵点D 是AB 边的中点，l⊥ AB，∴l 是AB 的垂直平分线，∴AE＝BE，∴AE+CE＝BE+CE，∵BE+CE≥ BC，∴当B，E，C 在同一直线上时，BE+CE 的最小值等于BC 的长，而AC 长不变，∴△ AEC 的周长最小值等于AC+BC ＝5+8 ＝13，故答案为：13．16．【解答】解：（1）如图1所示：∵ AB＝AC，∠A＝36∴当AE＝BE，则∠ A＝∠ ABE＝36°，则∠ AEB＝108则∠ EBC＝36∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36 度；故答案为：108°，36°；（2）当∠ A＝90°或108°时，在等腰△ ABC 中画一条线段，能得到故答案为：90°或108°．三、解答题（本题共12 小题，共56 分）17．【解答】解：原式＝3+1 ﹣4＝0．18．【解答】解：（1）原式＝＝；22（2）原式＝x ﹣4x+4 ﹣x +9＝﹣4x+13 ．2 2 219．【解答】解：方法一：（x +2xy）+x ＝2x +2xy＝2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2＝（x+y）2；2 2 2 22 2 2 2方法四：（y +2xy）﹣（x +2xy）＝y ﹣x ＝（y+x）（y﹣x）．20．【解答】解：方程两边同乘以2（x+3），得4x+2（x+3）＝7，解得x＝，检验：当x＝时，2（x+3）≠ 0，∴ x＝是分式方程的解．21．【解答】解：原式＝2个等腰三角形，方法三：（x +2xy）﹣（y +2xy）＝x ﹣y ＝（x+y）（x﹣y）；＝＝．当a＝0 时，＝．22．【解答】解：（1）如图所示，△ A1B1C1 即为所求；当△ BCA与△ CBD 关于BC 的中点对称时，点D 坐标为（0，﹣1），△BCA 与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．23．【解答】（1）证明：∵ AB∥DE ，∴∠ ABC＝∠ DEF ，在△ ABC 与△ DEF 中∴△ ABC≌△ DEF ；（2）∵△ ABC≌△ DEF ，∴BC＝EF，D 坐标为（0，3），2）当△ BCD 与△ BCA关于BC 对称时，点∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵ BE＝10m，BF＝3m，∴ FC＝10﹣3﹣3＝4m．24．【解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x ﹣40）千米/时．依题意，得．解方程，得x＝100．经检验：x＝100 是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100 千米．25．【解答】解：结论：AE 与AF 的位置关系是垂直．证明：∵ AE是△ ACD 的角平分线，∴，∵AE∥BC，∴∠ DAE＝∠ B，∠ EAC＝∠ ACB，∴∠ B＝∠ ACB，∴AB＝AC，又∵F为BC中点，∴，∵∠ CAB+∠CAD ＝180°，∴∠ CAF+∠ CAE＝90°，∴AE⊥AF．故答案为 ﹣ ； ﹣ ；（ 2 ） 1.（ 2 ） 1.1+ + + ﹣ +⋯ + ﹣ ）（ +1）＝（ ﹣ 1）（ +1）＝2019﹣1＝ 2018；2. + + +⋯ + ＝ （ ﹣ 1+ ﹣ +⋯+）＝ ．27．【解答】 解：（ 1）如图，过点 P 作 PF ∥BC 交 AC 于点 F ，∴∠Q ＝∠ FPD ，∠ APF ＝∠ ABC ，∠ AFP ＝∠ ACB ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ BAC ＝60°，∴∠ APF ＝∠ AFP ＝∠ BAC ＝60°，∴△APF 为等边三角形，∴AP ＝AF ＝PF ，又∵ PE ⊥AC26．【解答】 解：（ 1） ＝ ＝ ＝ ﹣ ；＝﹣；＝（∴ EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠ PDF＝∠ CDQ，∠ Q＝∠ FPD，∴△ PDF ≌△ QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+ AF＝AC＝1；过点P作PF∥BC 交CE的延长线于点F，∴∠ DQC ＝∠ FPD ，∠ APF ＝∠ ABC，∠ AFP ＝∠ ACB，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ ACB＝∠ BAC＝60°，∴∠ APF ＝∠ AFP ＝∠ FAP＝60°，∴△APF 为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵ PE⊥ AC∴ EF＝AF，∴PF＝AP＝CQ，又∠ PDF＝∠ CDQ，∠ DQC＝∠ FPD，∴△ PDF ≌△ QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），∴DE＝DF﹣EF ＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；2、过点P作PF∥BC 交BC 的延长线与点F．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ ACB＝∠ BAC＝60°，∴∠ APF ＝∠ AFP ＝∠ BAC＝60°，∴△APF 为等边三角形，∴AP＝AF＝PF，又∵ PE⊥ AC∴ EF＝AF，∴ PF＝AP＝CQ ，∠ PDF ＝∠ CDQ ，∠ DQC ＝∠ FPD，∴△ PDF ≌△ QDC（AAS），∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），∴DE＝EF﹣DF ＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；答案为② ．28．【解答】解：（1）∵点A关于y 轴的对称点为D，∴∠ DOE＝∠ EOA＝90°﹣∠ AOB＝30°，∴△OAD 为等边三角形，∴∠ BOD＝120°，∴∠ BDO＝＝30°；（2）如下图：∵∠ AOE＝∠ DOE＝α，∠ AOB＝60°，∴∠ BOD＝360°﹣2α﹣60°＝300°﹣ 2α，∵ BO＝BD，∴∠ OBD＝∠ ODB．∴（3）如上图，连接AP，过点A作AQ∥y轴，交DB的延长线于点Q，∠ OBD ＝∠ BDO＝α﹣60°，∠ ABQ＝180°﹣∠ ABO﹣∠ BDO＝180°﹣α，而∠ AOP＝180°﹣∠ AOE＝180°﹣α，∴∠ ABQ＝∠ AOP，∵AQ∥y 轴，∴∠ Q＝∠ DPE ＝∠ APE，又AB＝AO，∴△ AOP≌△ ABQ（AAS），∴AP＝AQ，BQ＝PO，∠ BAQ＝∠ OAP，∴∠ PAQ＝∠ QAB+∠BAP＝∠ BAP+∠PAO＝60°，∴△APQ 为等边三角形，∴AQ＝PQ＝PB+BQ＝PB+PO，∵AQ∥y轴，E为AD 的中点，∴EP 为△ DAQ 的中位线，∴AQ＝2EP，∴2PE＝BP+PO．第21 页（共22 页）第22 页共22 页）第23 页共22 页）。
东城区2018-2019学年八年级第一学期数学期末考试数学试题及参考答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末数学测试及参考答案2019.1一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）A ．73.210⨯ B ．83.210⨯ C ．73.210-⨯ D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是 A ．1a ≠B ．0a ≠C ．1a ≠且0a ≠D ．一切实数3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235325x x x +=B ．C ．D ． 33()ab a b =4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A B C D5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误．．的是（ ）A ．446+=B ．04446++=C ．46=D ．1446-=6.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）A.B. C.D. 7．已知，则的值是（ ）A ．6B ．24C ．36D ．728.如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一 个条件，那么在①AB =AE ， ②BC =ED ， ③∠C =∠D ， ④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．810. 定义运算“※”：,,aa b a bb b a b b aa ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※ ．若2x =5※，则x 的值为（ ）A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）11. 分解因式：228ax a -= ． 12. 多项式（mx +8）（2-3x )展开后不含x 项，则m = ．13．当x 的值为 时，分式242x x --的值为0.23323433x 2,3m na a ==32m n a +14. 课本上有这样一道例题：请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是____________.15．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为__________.16．已知在△ABC中，AB=AC．（1）若∠A=36º，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是___________；（2）若∠A≠36º，当∠A=___________时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC）.（写出两个答案即可）三、解答题（本题共12小题，共56分）17．(本小题4分)()-2012-π-2⎛⎫⎪⎝⎭．18. （本小题6分）计算：(1)-；(2) )3)(3()2(2-+--xxx．19. (本小题3分)在三个整式xyx22+，xyy22+，2x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使yx 所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20. （本小题4分） 解分式方程：21． （本小题4分）先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22. （本小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3）， B （1，0）， C （1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ；（2）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点D 坐标.23. （本小题5分）如图，点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量)，点A ,D 在l 异侧，测得 AB ＝DE ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ． (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若BE =10m ，BF =3m ，求FC 的长度．271326x x x +=++lACB24.（本小题5分）列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.25. （本小题5分）如图，AE 是△ACD 的角平分线，B 在DA 延长线上，AE ∥BC ，F 为BC 中点，判断AE 与AF 的位置关系并证明.26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+. 232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+.（一）还可以用以下方法化简：22(二)（1)请用不同的方法化简.①参照（一）式得＝______________________________________________；②参照（二）式得＝_________________________________________；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择．．下面两个问题中的一个．．加以解决： 1.求.......1)+的值； 352+352+352+2.化简：. 27．（本小题6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC 边长为2，过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE 的长. （2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1.等边△ABC 边长为2，当P 为BA 的延长线上一点时,作PE ⊥CA 的延长线于点E ，Q 为边BC 上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D .请你在图（2）中补全图形并求DE 的长.2. 已知等边△ABC ，当P 为AB 的延长线上一点时,作PE ⊥射线AC 于点E ， Q 为（○1BC 边上；○2BC 的延长线上；○3CB 的延长线上）一点，且AP =CQ ，连接PQ 交直线AC 于点D ，能使得DE 的长度保持不变.(将答案的编号填在横线上)图（1） 图（2） （备用图）28. （本小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABO 为等边三角形，O 为坐标原点，点A 关于y 轴的对称点为D ，连接AD ，BD ，OD ，其中AD ，BD 分别交y 轴于点E ，P . （1）如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出BDO ∠的度数；（2）如图2，将△ABO 绕点O 旋转，且点A 始终在第二象限，此时AO 与y 轴正半轴夹角为α，60︒<α<90︒，依题意补全图形，并求出BDO ∠的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP ，PE ，PO 之间的数量关系.（直接写出结果）12121...571351131-+++++++++n n C B A C B A图1 图2东城区2018-2019学年度第一学期期末数学测试答案一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）二、 填空题（本题共6小题，11-15题每小题2分，16小题4分，共14分）11．2(2)(2)a xx +-；12．12；13．-2；14．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义； 15．13；16.（1）36°，108°；（2）°1807，90°，108°.三、 解答题（本题共12小题，共56分）17．解：原式=3+14- …………………………3分 =0 . …………………………4分 18．解：（1）原式=2…………………………2分 = …………………………3分 （2）原式=22449x x x -+-+ …………………………2分=413x -+. …………………………3分19. 解：22)2(x xy x ++---------------------------------------------1分 xy x 222+=-------------------------------------------------2分)(2y x x +=．----------------------------------------------3分或或 或 其他情况参照给分． 20. 解：去分母，得：222(2)();y xy x x y ++=+2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+-2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+-4x +2(x +3)=7 . ……………………………………………………1分 化简，得：6x +6=7 . …………………………………………………2分解得：16x =. …………………………………………3分 检验：把16x =代入最简公分母，2（x +3）≠0.所以16x =是原分式方程的解.…………………………………………4分21. 解：原式=23(3)2(2)(+2)a a a a a --÷-- ……………………2分 =23(2)(+2)2(3)a a a a a --⨯-- =+23a a -. ……………………3分 当0a =时，+23a a -=2-3. ………………………4分注意：如a 取﹣2， 2，3没分.22．解：（1）图略；………………………1分（2）(0,3) ， ( 0,-1) ， (2,-1) . ………………………4分23. 解：(1)证明：∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DEF ，---------------------------------------------------1分 又∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，------------------------------------------2分 ∴△ABC ≌△DEF ．---------------------------------------------------3分（2）解：∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF . -------------------------------------------------------------4分 ∴BF ＋FC ＝EC ＋FC. ∴BF= EC.∵BE =10m ，BF =3m ，∴43310=--=FC m ．-------------------------------------------------------5分24．解：设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x -40）千米/时. ………………………1分依题意，得501180640x x =-. ………………………3分 解方程，得100x =. ………………………4分 经检验：100x =是原方程的解，且符合题意.QPF EDCBA答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米. ………………………5分25. 解：AE 与AF 的位置关系是垂直. ………………………1分证明：∵ AE 是△ACD 的角平分线，∴ 12DAE CAE DAC ∠=∠=∠. ………………………2分 ∵ AE ∥BC ，∴ ,DAE B EAC ACB ∠=∠∠=∠. ∴=B ACB ∠∠.∴ AB =AC . ………………………3分 又∵ F 为BC 中点， ∴ 1==2BAF CAF CAB ∠∠∠. ………………………4分 ∵ 180CAB CAD ∠+∠=︒ ∴ 90CAF CAE ∠+∠=︒.∴ AE ⊥AF . ………………………5分26. 解：（1）………………………1分…………2分（2）1. 2018； 2.. ………………………4分27. 解：（1）DE=1. ………………………1分(2) 1. 正确补全图形. ……………2分 过点P 作PF ∥BC 交CA 的延长线与点F . ∴ ∠PF A =∠C .∵ △ABC 是等边三角形， ∴ 可证 △APF 为等边三角形. ∴ AP =PF .又∵ PE ⊥CA 的延长线于点E ，11 ∴ AE =FE =12AF . ……………3分 ∵ AP=CQ ，∴ PF =QC .∵ ∠FDP =∠CDQ ，∴ △FDP ≌△CDQ .∴ FD =CD =12CF . ……………4分 ∵ DE =DF -EF =1111222CF AF AC -==. ……………5分 2. ○2. ……………6分 28． 解：（1）120°； ……………1分（2）正确画出图形. ……………2分∵ ,60AOE DOE AOB α∠=∠=∠=︒,∴ 3602603002BOD αα∠=︒--︒=︒-. …………3分 ∵ BO =BD ,∴ ∠OBD =∠ODB .∴ 180602BOD BDO α︒-∠∠==-︒. ……………4分 （3）2PE BP PO =+. ……………6分 说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.F P D E B A O。
北京市三中2018-2019学年八年级上期中考试数学试题含答案
Ａ.16 Ｂ．12 Ｃ．8 Ｄ．4班级 姓名 学号D8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm9. 在直角坐标系中，已知A （3，3），在x 轴、y 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A ．4个 B ．6个C ．8个D ．10个10．如图, 在△ABC 中, AD 是它的角平分线, AB = 8 cm, AC = 6 cm, 则 S △ABD : S △ACD = ( )A. 3 : 4B. 4 : 3C. 16 : 9D. 9 : 16个小题,每小题2分,共20分)，3π，0.6，32这五个实数中，无理数,02=则x+y= .a ＋3和2a －3，．BOP=15°，PC ∥OB ，PD ⊥OB ，若OC=4，则PD 等于 . ,自变量x 的取值范围是5的所有整数是 。
8题图B CD17．若10210404=，则2.10=x 中的=x18．如图3 三角形纸片ABC 中，∠A =75º，∠B =60º，将纸片的角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠α=35º，则∠β=19．已知：如图，Rt △ABC 中. ∠ACB=90O.∠B=30O，CD ⊥AB 于D 点，若AD=3，则AB= .20．已知：如图，正方形ABCD 的边长为2，M 、N 分别为AB 、AD的中点，在对角线BD 上找一点P ，使△MNP 的周长最小，则此时PM+PN=三．计算题（共2题，每小题5分，共10分） 212 22. 0)23(3221-+-+-四、看图象填空（5分）23.x （h ）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15请你回答下列问题： （1）小强到离家最远的地方需要_______个小时，此时离家__________千米； （2）小强在_________点开始第一次休息，休息了___________个小时； （3）小强从E 点到F 点返回时的平均速度是______________MDD 图3学校 班级 姓名 学号五.作图题(3分)24. 如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA ＝PB ． 要求：并保留作图痕迹．（不要求写作法）六．解答题（25题5分，26，27，28每题6分，29题4份，30题5分，共32分）25．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （1-，5），B （1-，0），C （4-，3）．（1）求出△ABC 的面积；（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △； （3）写出点111A B C ，，26．已知：如图，C 、D 在AB 上，且AC=BD ，AE ∥FB ，DE ∥FC.求证：AE=BF 。
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B.
C.
D.
D. 第四象限
6. 已知 A.
， B.
，则
的值为（ ）．
C.
D.
7. 若
的值为 ，则
的值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
8. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：
小明的做法是：原式 小亮的做法是：原式 小芳的做法是：原式
其中正确的是（ ）．
A. 小明
B. 小亮
”． C. 小芳
； ；
．
D. 没有正确的
，连接
（ 1 ）若 （ 2 ）若
，求 的度数． 的周长为 ，
，求 长．
28. 如图，已知直线 及其两侧两点 ， ．
图 （ 1 ） 在直线 上求一点 ，使点 到 ， 两点距离之和最短．（画在图 上）
（ 2 ） 在直线 上求一点 ，使
．（保留作图痕迹）（画在图 上）
（ 3 ） 在直线 上求一点 ，使 平分
（3）连接 ， ．
所以点 就是使
周长最小的点．
老师说：“小阳的作法正确．”
请回答：小阳的作图依据是
．
三、解答题
（共60分） 21. 计算：
（1） （2）
． ．
22. 解方程：
．
23. 回答问题： （ 1 ） 先化简，再求值：
，其中
．
（ 2 ） 已知
，
，求
的值．
24. 如图，
和
是等边三角形，连接 ， ．求证：
．
18. 已知
是正整数，则实数 的最大值为
．
19. 关于 的分式方程
的解为正数，则 的取值范围为
．
20. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图， ， 是直线 同侧两点，请你在直线 上确定一个点 ，使
的周长最小．
小阳的解决方法如下：
如图，
（1）作点 关于直线 的对称点 ；
（2）连接 交直线 于点 ；
A.
B.
C.
D.
2. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
4. 平面直角坐标系中，点
关于 轴的对称点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
5. 下列运算正确的是（ ）．
A.
（一种方法即可）．
C.
D.
二、填空题
（共20分，每小题2分）
11. 若分式
的值为 ，则 的值是
．
12. 若关于 的分式方程
有增根，则增根是
．
13. 如果
，那么 的取值范围是
．
14. 如图，正方形的边长为 ，则图中阴影部分的面积为
．
15. 比较大小：
．（填“ ”、“ ”、“ ”）
16. 在实数范围内因式分解：
．
17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形的底角的度数为
．
25. 北京时间 年 月 日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得 年第 届冬季奥林匹克 运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成 为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批 复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约 千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速 度是普通快车的 倍，用时比普通快车用时少了 分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
9. 如图，已知
是等边三角形，点 是 上任意一点， 、 分别与两边垂直，等边三角
形的高为 ，则
的值为（ ）．
A.
B.
C.
D. 不确定
10. 如图，点 是
外的一点，点 、 分别是
两边上的点，点 关于 的对称点 恰好
落在线段 上，点 关于 的对称点 落在 的延长线上．若
，
，
，则线段 的长为（ ）．
A.
B.
26. 定义：任意两个数 ， ，按规则
扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”.
（ 1 ）若
， ，直接写出 ， 的“如意数” ；
（ 2 ） 如果
，
，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数”
；
（ 3 ） 已知
，且 ， 的“如意数”
，则
．(用含 的
式子表示)
27. 如图， ．
中，
， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，且
2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数 学试卷
一、选择题
（共20分，每小题2分）
1. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（
）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加 牛顿的压力才能使
米长的石墨烯断裂．其中
用科学记数法表示为（ ）．
．（保留作图痕迹）（画在图 上）
图
29. 我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性
质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数
叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称
为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：
；
．
（ 1 ） 下列分式中，属于真分式的是：
（填序号）．
①
；②
；③
；④
．
（ 2 ） 将假分式 若假分式
（ 3 ） 将假分式
化成整式与真分式的和的形式为：
的值为正整数，则整数 的值为
．
化成整式与真分式的和的如图 ， ， 是 边上两点，
，
，求
的度数．
图
（ 2 ） 点 ， 是 边上的两个动点（不与点 ， 重合），点 在点 的左侧，且
，
点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ．
1 依题意将图 补全．
图 2 小茹通过观察、实验，提出猜想：在点 ， 运动的过程中，始终有
，小茹
把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法 ：要证
，只需证
是等边三角形．
想法 ：在 上取一点 ，使得 ．
，要证
，只需证
≌
请你参考上面的想法，帮助小茹证明