[数学]东城区汇文中学2021届高三下开学考试数学试题
东城区一般校3月联考文科数学答案定稿
东城区一般校2021-2021学年第二学期联考试卷高三数学（文科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己依照情形相应地给分）15.（本小题总分值13分） 解：解：（Ⅰ）由A c a sin 2=，sin aA=--------------------2分因此，sin 2C =-----------------------3分 因为,,c a <所以C<A 因此02C π<<--------------------4分得4C π=---------------------5分（Ⅱ）1cos 2cos sin 2)(2-+=x x x x f=sin 2cos2x x + ---------------------7分)4x π+ ---------------------8分因此())4f A A π=+因为344A ππ<< --------------------9分 因此3222A ππ<< ---------------------10分 372+444A πππ<<--------------------11分 因此32+=42A ππ时，()f A的最小值为 ----------13分 16．（本小题总分值14分）解：（Ⅰ）取CE 的中点P ，连结FP 、BP ， ∵F为CD 的中点，∴FP DE FP 12DE AB DE AB .21DE AB FP AB FP ABPF ∴AF BP AF ⊄BCE BP ⊂BCE AF BCE ACD ∆F CD AF CD ∵AB ACD ⊥平面，DE ∥AB ，∴DE ⊥平面ACD又AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD ，CD ⋂DE =D ，∴AF ⊥平面CDE -----------9分 又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE ，又BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE---------10分（Ⅲ）过C 作CM ⊥AD 于M ，易证 CM ⊥平面ABED ,因此CM 为四棱锥C ABED -的高 ∵直角梯形ABED 的面积为12232+⨯=, CM =323⨯=， ∴四棱锥C ABED -的体积为13333V =⨯⨯=． 即多面体C ABED -的体积为3．---------------------14分17．（本小题总分值14分）（Ⅰ）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，因此10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． ----------------1分 解得0.03a =． ----------------2分 （II ）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，别离记为A ，B ． 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，别离记为C ，D ，E ，F ．PM-------------------6分假设从成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，那么所有的大体事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D (),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F共15种． ----------------------9分若是两名学生的成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的地理成绩之差的绝对值必然不大于10.-----------------------10分 记“这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包括的大体事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．因此所求概率为()715P M =． --------------------------12分 （Ⅲ）解：依照频率散布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．---------------------------------------13分由于该校高三年级共有学生640人，可估量该校高三年级地理成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． -----------------------------------------14分 18．（本小题总分值13分）的概念域为),,0(+∞---------------------2分 若,0≤a 则'()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增，分(Ⅱ) )(x f ≤a 恒成立，即)(x f 在概念域内的最大值小于或等于a 恒成立。
2020-2021学年北京市某校高三(下)开学数学试卷
2020-2021学年北京市某校高三（下）开学数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合A＝{x∈R|−1≤x≤3}，B＝{x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．【解答】∵A＝{x∈R|−1≤x≤3}，B＝{x∈N|4x<4}＝{x∈N|x<2}＝{5, 1}，∴A∩B＝{x∈R|−1≤x≤5}∩{0, 1}＝{4，∴集合A∩B中元素的个数为2．2. 若z(1−i)＝2i，则的虚部为（）A.1B.−1C.iD.−i【答案】B【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】由z(1−i)＝2i，得z＝＝，∴，则的虚部为−4．3. 在的二项展开式中，x2的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】求出二项展开式的通项公式，令x 的指数为2，求出r 的值，即可得解．【解答】的二项展开式的通项公式为T r+1＝•(−3)r ⋅2r−6⋅x 2−r ，令3−r ＝2，求得r ＝42的系数为-•2−5＝-．4. 已知平面向量a →＝(√3,−1)，|b →|＝4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=( )A.2B.3C.4D.5 【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a →⋅b →，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．【解答】由平面向量a →＝(√3,−1)，可得|a →|=√3+1=2，由(a →−2b →)⊥a →，可得a →⋅(a →−2b →)=0，即a →2=2a →⋅b →=4，则a →⋅b →=2，|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4−2×2+16=4，5. 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，，则二面角A −BC −P 的大小为（ ）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘【答案】C【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6. 已知，则下列说法错误的是（）A.若f(x)在(0, π)内单调，则B.若f(x)在(0, π)内无零点，则C.若y＝|f(x)|的最小正周期为π，则ω＝2D.若ω＝2时，直线是函数f(x)图象的一条对称轴【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7. 数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8. 设抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|＝，若以线段PF为直径的圆过点(1, 0)，则C的方程为（）A.x2＝y或x2＝8yB.x2＝2y或x2＝8yC.x2＝y或x2＝16yD.x2＝2y或x2＝16y【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9. 在△ABC中，a＝2，b cos A＝3a sin B，则△ABC面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10. 已知函数f(x)＝sin[cos x]+cos[sin x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是偶函数；③f(x)的最大值大于；④f(x)在(0, π)单调递减．其中所有正确结论编号是（）A.①②B.①③C.①④D.②④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为________．【答案】36【考点】分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4＝16，a6＝32，记b n＝a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为________．【答案】189【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知F是双曲线C:x2−＝1的右焦点，P是双曲线C上的点，．①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为________；②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为________．【答案】9,11【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知函数，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为________．【答案】(−e−3, 0)【考点】求函数的值函数的求值函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为________．【答案】95%【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得，整理后得到当x＝0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．【解答】不妨设共有选票100张，投1票的x，投3票的z，则根据题意得，整理可得z−x＝5，即z＝x+3，由题意，若要投票有效率越高，故当x＝0时，z最小为5，此时投票的有效率为95÷100＝95%，三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知△ABC中，b cos A−c>0．(Ⅰ)△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．(Ⅱ)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③a＝2；④．请证明使得△ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．【答案】（1）因为b cos A−c>0，由正弦定理可得sin B cos A−sin C>0，在△ABC中，C＝π−A−B，sin C＝sin(A+B)＝sin A cos B+cos A sin B，所以不等式整理为sin A cos B+cos A sin B<sin B cos A，即sin A cos B<4，因为A∈(0，sin A>0，所以cos B<2，所以B为钝角；(2)(i)若满足①③④，则正弦定理可得＝，即＝，所以sin C＝，又a>c，所以A>C，sin A＝，所以A＝或A＝π，所以可得C＝，B＝π−A−C＝π−-＝π；所以b＝＝＝+1；(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，及sin A＝，sin C＝，C＝，所以B＝π不符合B为钝角；(iii)若满足②③④，由B为钝角，所以C＝，而a>c，这时B，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①③④时b＝+3．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)由题意及正弦定理可得sin A cos B<0，再由A，B的范围可得cos B<0，求出B为钝角；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得B为钝角，当①②条件时，求出A，C的值，进而求出B的值，不符合B 为钝角的条件，所以①②不能同时成立；当①③④时，求出C角，进而求出B的值，再由余弦定理可得b的值；当②③④时，由正弦定理求出A的值，进而由三角形内角和可得B的值，由于不满足B为钝角的条件故舍弃．【解答】（1）因为b cos A−c>0，由正弦定理可得sin B cos A−sin C>0，在△ABC中，C＝π−A−B，sin C＝sin(A+B)＝sin A cos B+cos A sin B，所以不等式整理为sin A cos B+cos A sin B<sin B cos A，即sin A cos B<4，因为A∈(0，sin A>0，所以cos B<2，所以B为钝角；(2)(i)若满足①③④，则正弦定理可得＝，即＝，所以sin C＝，又a>c，所以A>C，sin A＝，所以A＝或A＝π，所以可得C＝，B＝π−A−C＝π−-＝π；所以b＝＝＝+1；(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，及sin A＝，sin C＝，C＝，所以B＝π不符合B为钝角；(iii)若满足②③④，由B为钝角，所以C＝，而a>c，这时B，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①③④时b＝+3．如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，∠ABD＝∠BCD ＝90∘，，AB＝BD＝2．(Ⅰ)证明：EM // 平面BCD；(Ⅱ)证明：EF⊥平面BCD；(Ⅲ)若直线EC与平面ABC所成的角等于30∘，求二面角A−CE−B的余弦值．【答案】（1）证明：∵E，M分别是线段AD，∴EM // CD，又EM⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EM // 平面BCD．（2）证明：∵E，F分别是线段AD，∴EF // AB AB＝8，∵∠ABD＝90∘，即AB⊥BD，∵∠BCD＝90∘，F为BD的中点BD＝6，∵，∴EC2＝EF5+CF2，即EF⊥CF，又BD∩CF＝F，BD，∴EF⊥平面BCD．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，EF⊥平面BCD，∵EF // AB，∴AB⊥平面BCD，∵∠BCD＝90∘，即BC⊥CD，AB，∴CD⊥平面ABC，∵EM // CD，∴EM⊥平面ABC，∴∠ACE为直线EC与平面ABC所成的角，即∠ACE＝30∘，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∵E为AD的中点，∴CE＝，即△ACE是底角为30∘的等腰三角形，∵，∴AC＝＝＝，∵BD＝2，∠BCD＝90∘，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CF⊥BD，以B为原点，BD，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2, 0, 0)，7，2)，1，4)，1，0)，∴＝(−2，0，＝(1，2，＝(1，1，设平面ACE的法向量为＝(x，y，则，即，令z＝1，则x＝5，∴＝(1，1，同理可得，平面BCE的法向量为，−6，∴cos<，>＝＝＝，由图可知，二面角A−CE−B为锐角，故二面角A−CE−B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直直线与平面平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m∈[70, 100])，其质量指标等级如表：品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90, 95)的件数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表(1<t<4)：试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．【答案】（1）设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P＝5(8.04+0.02)＝0.5，则P(A)＝1−(0.3)6＝1−0.027＝8.973，（2）由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，m∈[85, 90)的频率为0.08×5＝3.4，m∈[90, 95)的频率为0.04×5＝0.2，m∈[95, 100]的频率为8.02×5＝0.5，∴利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，m∈[90, 95)的有2件，100)的有6件，从这7件产品中，任取3件，95)的件数X的所有可能取值为4，1，2，P(X＝6)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列为：014E(X)＝0×+1×＝．(Ⅲ)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系与表所示(1< t<2)，-e t0.3∴每件产品的利润：y＝−4.5e t+0.4t+0.6t+7.9t+0.5t＝−0.5e t+5.5t，(1<t<5)，则y′＝−0.5e t+7.5，令y′＝−0.7e t+2.5＝2，解得t＝ln5，∴当t∈(1, ln4)时，函数y＝−0.5e t+2.5单调递增，当t∈(ln5, 5)时，函数y＝−0.5e t+7.5t，单调递减，∴当t＝ln5时，y取最大值ln3+2.5×ln5＝1.5，∴生产该产品能够实现盈利，当t＝ln2≈1.6时．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知函数f(x)=12x2−a ln x−12(a∈R, a≠0)．(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．【答案】（1）a＝2时，f(x)=12x2−21nx−12,f(1)=0f′(x)=x−2,f′(1)=−1曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x+y−1＝0（2）f′(x)=x−ax =x2−ax(x>0)①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0, +∞)②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=√a或x=−√a所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)(Ⅲ)对任意的x∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1, +∞)，f(x)min≥0①当a<0时，f(x)在[1, +∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−a ln1−12=0所以a<0满足题意；②当0<a≤1时，0<√a≤1，f(x)在[1, +∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−a ln1−12=0所以0<a≤1满足题意；③当a>1时，√a>1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数，所以只需f(√a)≥0即可而f(√a)<f(1)=0从而a>1不满足题意；综合①②③实数a的取值范围为(−∞, 0)∪(0, 1]．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)当a＝2时，写出f(x)的表达式，对f(x)进行求导，求出x＝1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；(Ⅱ)求出函数的定义域，令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间；(Ⅲ)由题意可知，对任意的x∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1, +∞)，f(x)min≥0．下面对a进行分类讨论，从而求出a的取值范围；【解答】（1）a＝2时，f(x)=12x2−21nx−12,f(1)=0f′(x)=x−2,f′(1)=−1曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x+y−1＝0（2）f′(x)=x−ax =x2−ax(x>0)①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0, +∞)②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=√a或x=−√a所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)(Ⅲ)对任意的x ∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x ∈[1, +∞)，f(x)min ≥0 ①当a <0时，f(x)在[1, +∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=12−a ln 1−12=0所以a <0满足题意；②当0<a ≤1时，0<√a ≤1，f(x)在[1, +∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=12−a ln 1−12=0所以0<a ≤1满足题意；③当a >1时，√a >1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数， 所以只需f(√a)≥0即可 而f(√a)<f(1)=0 从而a >1不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为(−∞, 0)∪(0, 1]．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA →⋅AB →＝0，且|AB||OA|＝32，求△OAB 的面积． 【答案】（1）由题意可得{ ca＝√321a2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴ (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∴ △=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为OA →⋅AB →＝0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1=mk 2+1，x 1=−ky 1=−kmk 2+1，代入x 12+4y 12=4，所以(−km k 2+1)2+4(mk 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−4(k+1)2k 2+4=(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km4k 2+1)2−4⋅4m 2−44k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1，所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(mk 2+1)2=m 2k 2+1=4(k 2+1)k 2+4，所以|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=14， 此时m 2=4(k 2+1)2k +4=2517<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4=2017，所以△OAB 的面积S =12|OA||AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由椭圆离心率为√32，且经过点(1,√32)，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案． (Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得x 2+4(kx +m)2=4，由△>0，得4k 2+1>m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由OA →⋅AB →＝0，推出OA ⊥AB ，进而设直线OA 的方程为y =−1kx ，联立直线AB 的方程得y 1，x 1，代入椭圆的方程可得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，再计算|AB|2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，|OA|2=4(k 2+1)k 2+4，进而可得|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，解得k 2=14，进而可得△OAB 的面积S =12|OA||AB|=34|OA|2，即可得出答案． 【解答】（1）由题意可得{ ca＝√321a2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴ (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∴ △=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为OA →⋅AB →＝0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1=mk 2+1，x 1=−ky 1=−kmk 2+1，代入x 12+4y 12=4，所以(−km k 2+1)2+4(mk 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−4(k+1)2k 2+4=(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km4k 2+1)2−4⋅4m 2−44k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1，所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(m k 2+1)2=m 2k 2+1=4(k 2+1)k 2+4，所以|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=14，此时m 2=4(k 2+1)2k 2+4=2517<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4=2017，所以△OAB 的面积S =12|OA||AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517．已知项数为m(m ∈N ∗, m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n ＝∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由．(Ⅲ)已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1＝1，a m ＝2021，求m 的最大值． 【答案】(I)1，4，6，10是项数为4的递增等差数列数列，其中a 1＝8，d ＝3，a n ＝1+(n −7)×3＝3n −3，所以a 1+a 2+a 7+a 4＝22，则，故b n＝8−n，3≤n≤4，所以b1＝2，b2＝6，b2＝5，b4＝8，所以数列1，4，2，10存在“关联数列”为7，6，3，4；（2）因为{a n}为递增数列，所以a n+1−a n>2，则-＝，所以b n+7<b n，故数列{b n}具有单调递减性；(Ⅲ)由于b n∈Z，则b n−b n+1≥1，故，所以a n+7−a n≥m−1，又a m−1＝(a m−a m−5)+(a m−1−a m−2)+...+(a2−a1)≥(m−1)+(m−7)+...+(m−1)＝(m−1)4，所以(m−1)2≤2020，解得m≤45n}存在“关联数列”{b n}，所以-＝，因为m−1为2020的正约数，且m≤45，故m−7的最大值为20，所以m的最大值为21．【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
〖含高考模拟卷16套〗北京市东城区汇文中学2020-2021学年高考数学模拟试卷含解析
北京市东城区汇文中学2020-2021学年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．25B ．45C ．3D ．42．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．3．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2D 54．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ）A ．8B ．12C ．14D ．105．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．36．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B．4C．5D ．157．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．728．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种9．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．4511．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京东城区汇文中学高三(上)期中数学试题及答案
北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高三年级 数学学科本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题(每题4分，共40分)1. 已知集合{}260A x x x =--≤，{}||1B y y x ==+，则AB =( )A. [1，2]B. [1，3]C. [0，2]D. [0，3] 2. 下列命题中，正确的是( )A ．12i -的虚部是2B ．|12|i -=C ．12i -的共轭复数是12i --D ．12i -在复平面内对应的点在第二象限3．已知点(6,8)P -是角α终边上一点，则sin()(2πα+= )A ．35B ．35- C ．45 D ．45-4. 已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若//l m ，m α⊂，则//l α B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ D ． 若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥5.在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =.则CB =( ) A. 32m n - B. 23m n -+ C. 32m n + D. 23m n +6．函数2()22cos f x x x =-在区间[0,]2π上的最大值为( )A ．12B 1-C ．1D 7. 在数列{}n a 中，已知2n a n n λ=+，*N n ∈，则“12a a <”是“{}n a 是单调递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离为( )图1 图2 图3A.2B.2C.1D.10.设函数2(1)2,1()|2|,1x a x a x f x a x x ⎧-++<=⎨-≥⎩，给出下列四个结论：①当0a <时，函数()f x 有三个极值点； ②当01a <<时，函数()f x 有三个极值点； ③R,2a x ∀∈=是函数()f x 的极小值点； ④1R,2a a x +∀∈=不是函数()f x 的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题(每题5分，共25分)11．首项为1的等比数列{}n a 中，12342,,a a a 成等差数列，则公比q =_______．12.若函数1()2()2x x f x a =-⋅为偶函数，则a =________，()f x 的最小值为_______.13.已知正四棱锥S ABCD -，底面边长为2 ，体积为3，则这个四棱锥的侧棱长为_______. 14．已知数列{}n a 满足122122111n n n n a a n a a a +-==+=+，，，*N n ∈.则集合{|20}m m a ≤中元素的个数为________.15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足12b e ⋅=，252b e ⋅=，且对于任意,R x y ∈，12010200()()1(,R)b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈，则00x y += ，b = ．三、解答题（本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（13分）△ABC 中，222b c a +=+． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件， 并求△ABC 的面积．条件①：sin 2B =，b =；条件②：cos 3B =，a = 条件③：1a =，b =．注：条件选择错误，第（2）问得0分．在17. （14分）如图，已知PAB ⊥平面平面，四边形是矩形，PA AB =，点，分别是，的中点．（Ⅰ）若点为线段中点，求证：∥平面； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC .18. （15分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,]x e e∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围．ABCD ABCD E F BC PB M AD PMAEF19. （14分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F为棱CD 上一点．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角11A A C E --的正弦值；（Ⅲ）是否存在点F ，使1D F //平面11A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由.20. （14分）已知函数()(2)ln x f x x e x x =--+． （Ⅰ）求证：函数()f x 在区间[1,)+∞上为单调递增函数；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,1]4上的最大值在区间(,1)m m +内，求整数m 的值．21. （15分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.求证：i Ω是等差数列.【参考答案】一、选择题：BBADB CCBAD二、填空题11. 212. -1,214.2415.16.（1）由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，又222b c a+=+，可得2cosbc A=，所以cos2A=，又因为()0,Aπ∈，所以6Aπ=（2）选择条件②由（1）知，6Aπ=，根据条件②中cos3B=，()0,Bπ∈，所以B∠也是唯一确定的，从而可得C∠也是唯一确定的，再由a=,b c也是唯一确定的，故选择条件②.因为cos3B=，()0,Bπ∈，所以1sin3B=．由正弦定理sin sina bA B=，可得1sin31sin32Bb aA===，所以()11sin sin sin cos cos sin23236C A B A B A B=+=+=⨯+⨯=所以三角形面积1sin29S ab C+==17.（Ⅰ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且=AD BC ， 又M ，E 分别为AD ，A 的中点，所以四边形AMEB 是平行四边形， 所以N 为BM 的中点， 又因为M 是PB 的中点，所以PM ∥FN ，因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . （Ⅱ）证明：,ABCD BC AB ⊥在矩形中BC AB PAB ABCD PAB ABCD AB BC ABCD ⊥⎧⎪⊥⎪⎨⋂=⎪⎪⊂⎩面面面面面 BC PAB ∴⊥面因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥． 因为PA AB =，点M 是PB 的中点， 所以PB AF ⊥ 又因为BCPB B =，所以AF ⊥平面PBC ．18.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=xlnx ， 所以f ′(x)=lnx +x ⋅1x=lnx +1， f′(1)=ln1+1=1． 又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1．(Ⅱ)函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)， 由(Ⅰ)可知，f′(x)=lnx +1． 令f′(x)=0，解得x =1e．f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：故f(x)的增区间为(e ,+∞)，减区间为(0,1e )．(Ⅲ)当1e⩽x ⩽e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x”恒成立， 令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]， g′(x)=1x−1x 2=x−1x 2，x ∈[1e,e]．当x ∈[1e ,1)时，gˈ(x)<0，所以g(x)在区间[1e ,1)单调递减．当x ∈(1,e]时，gˈ(x)>0，所以g(x)在区间(1,e]单调递增． 而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5，g (e )=1+1e <1.5， 所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e)=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e,e]，都有f(x)≤ax −1． 19.(1) 以 A 为原点， AB,AD,AA 1分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， A 1(0,0,2)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， C 1(2,2,2)， D 1(0,2,2)，E(2,1,0)1111(2,2,2),(2,2,0),(0,1,2)AC AC EC ===设平面11A C E 的一个法向量为(,,)m x y z =1110m A C m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 不妨设y =2，则x =−2，z =−1, (2,2,1)m =--设直线 AC 1与平面 A 1EC 1所成角为 θ，则111sin |cos ,|3,m AC m AC m AC θ⋅=<>===⨯． (2)由正方体可得，平面 AA 1C 1的一个法向量为 DB →=(2,−2,0)， 则cos ,33DB m DB m DB m⋅<>===⨯⋅ . 因为二面角 A −A 1C 1−E 为锐二面角，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2 ⟨DB →,m →⟩=13．（3）存在，设F 点的坐标为(t,2,0),所以FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,0,2) 平面 A 1EC 1的一个法向量为 m →=(−2,2,−1)， 因为FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m →，所以m ⃗⃗ ∙FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，t =1因为 D 1F ⊄平面 A 1EC 1，所以 D 1F//平面 A 1EC 1．此时DF =120.解：(1)x ∈[1,+∞),f ′(x )=e x +(x −2)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x ) 当x ≥1时x −1≥0,e x ≥e,1x ≤1,e x >1x ∴f ′(x )≥0，f (x )单调递增 (2)f′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x). 令ℎ(x)=e x −1x ，则ℎ′(x)=e x +1x 2>0，所以ℎ(x)在[14,1]上单调递增，因为ℎ(12)=e 12−2<0，ℎ(1)=e −1>0，所以存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，即e x 0=1x 0，即lnx 0=−x 0，故当x ∈[14,x 0)时，ℎ(x)<0，当x ∈(x 0,1]时，ℎ(x)>0， 又当x ∈[14,1]时，x −1≤0(等号仅在x =1时成立)，所以当x ∈[14,x 0)时，f′(x)>0，当x ∈(x 0,1]时，f′(x)≤0(等号仅在x =1时成立)， 所以f(x)在[14,x 0)上单调递增，在(x 0,1]上单调递减， 则f(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)⋅1x 0−x 0−x 0=1−2x 0−2x 0，令G(x)=1−2x −2x ，x ∈(12,1)，则G′(x)=2x2−2=2(1−x 2)x2>0(x ∈(12,1))，所以G(x)在(12,1)上单调递增，则G(x)>G(12)=−4，G(x)<G(1)=−3， 所以−4<f(x)max <−3，所以m =−4．21.（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立； ② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--. 当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =.由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()iii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+--12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列， 所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =， 1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-， 相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-. 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。
【高三】北京市东城区2021届高三3月质量调研数学文试题
【高三】北京市东城区2021届高三3月质量调研数学文试题试卷说明：东城区2021-2021学年度第二学期教学检测高三数学（文科）学校_____________班级_________姓名__________考号__________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数 B..平均数 C.中位数 D.标准差3. 已知i是虚数单位，若,则z的共轭复数为A 1-2i B 2-4i C D 1+2i 4．设是直线，a，β是两个不同的平面, A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β5．函数的最大值与最小值之差为 A B. 4C. 3D.6．“是函数在区间内单调递增”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A. B. C. D. 8．已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④ C．②③ D．②④ 非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x、y满足条件则的最大值是______. 10. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是． 11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为 .12. 在数列，，13. 已知平面向量，．若，则_____________． 14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。
2024届北京东城区北京汇文中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析
2024届北京东城区北京汇文中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线222x ay a +=+与直线20ax y +=平行，则实数a = A ．0B ．1C ．1-D ．±12．已知向量()2,1a =，()1,1b =-，则a b ⋅=（ ） A ．-1B ．-2C ．1D ．03．已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A．B． CD． 4．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 5．已知向量a 与b 的夹角为60，2a =，1b =，当()2b a b λ⊥-时，实数λ为( ) A ．1B ．2C ．4D ．86．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B．2CD．7．已知实数a b c 、、满足0a b c ++=且a b c >>，则下列关系中一定正确的是（ ） A ．ab ac <B ．()0ac a c ->C ．22cb ab <D ．()0c b a ->8．已知点()1,2A -，()5,4B 则向量BA =（ ） A ．()6,2B ．()9,4-C ．()9,4-D ．()6,2--9．在中，内角所对的边分别为，若，，则( )A ．B ．C ．D ．10．已知向量23,4a b ==，且12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021年高三下学期开学联考 数学 Word版含答案
2021年高三下学期开学联考数学 Word版含答案考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：样本数据的方差，其中；棱锥的体积公式：，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．设集合，，且，则实数的值为▲．2．设是虚数单位，则复数的模为▲．．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为▲.5．已知，则的值为▲.6．以双曲线的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为▲.7．右图是函数图像的一部分，则的值为▲.8．若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为3cm，则它的体积为▲ cm3.9．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为x的点数、分别作为点的横、纵坐标，则点不．在．直线下方的概率为 ▲ .10．已知圆C 的圆心C 在直线上，且圆C 经过两点A （0,4），B （2,2），则圆C 的方程为 ▲ . 11．已知函数是奇函数，当时，，则满足不等式的x 的取值范围是 ▲ . 12.已知数列，的通项公式分别为，，若 ，则数列的通项公式为 ▲ .13．已知函数图像上有两点，若曲线分别在点A 、B 处的切线互相垂直，则的最大值是 ▲ .14.设函数，当时，恒成立，则的最小值是 ▲ . 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（14分）如图，在△ABC 中，.（1）若（为实数），求的值；（2）若AB=3，AC=4，∠BAC=60°，求的值.16.（14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）若CF ⊥AE ，AB ⊥AE ，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD.17.（14分）如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）. （1）设∠ACD=，试将S 表示为的函数；（2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）？18.（16分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求PM ·PF 的取值范围；A B C D E F A BCD 图（1） A B C D 图（2）（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.19.（16分）已知是实数，函数，，其中是自然对数的底数．（1）设时，求的单调区间；（2）设a=0时，试比较与的大小，并给出证明；（3）若关于x的不等式有解，求实数的取值范围.20.（16分）设数列的前n项和为，且，.（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等差数列.xx 届高三调研测试数学试题 xx.03.02数学Ⅱ(附加题)注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.A.选修4-1【几何证明选讲】（10分）如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于点D . 求证：AC 平分∠BAD.21.B.选修4-2【矩阵与变换】（10分）二阶矩阵A 1,2）变换成点（8,4），求矩阵A.21.C.选修4-4【坐标系与参数方程】（10分）已知直线的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线与圆C 相交于点A 、B. （1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求线段AB 的长度.21.D.选修4-5【不等式选讲】（10分）设a 、b 、c>0，求证：.22.（10分）已知抛物线上有四点、，点M （3,0），直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q. （1）求的值； （2）求证：MP=MQ.23.（10分）设，，，（1）当时，试指出．．与的大小关系；（2）当时，试比较与的大小，并证明你的结论.xx届高三调研测试数学参考答案与评分标准1、32、3、44、205、36、7、68、9、10、11、12、13、14、15.（1）∵，∴，∴……3分又∵∴………………5分∵与不共线，∴，∴………………7分（2）………………10分……………………12分=………………14分注：也可建立直角坐标系，用坐标运算求解本题.16. （1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，又∵AB⊥AE，∴AE⊥CD……4分又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD、CF平面CDEF，∴AE⊥平面CDEF…………6分又∵AE平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF………………7分（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD又∵AB平面CDEF，CD平面CDEF，∴AB//平面CDEF…………10分又∵AB 平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF ………12分 又∵EF 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴EF//平面ABCD.…………14分 17.（1）△BCD 中， ∴，∴…………4分∴ ，……6分（其中范围1分） （2）…………8分 ………………10分 令，则，∴在区间上单调递增，…………12分 ∴当时取得最大值，此时，即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………14分 18.（1）…………2分∴c =1，a =2，∴，∴椭圆方程为…………4分 （2）设，则PM=0202020202134333x x x y x =--+=-+，………………6分 PF=…………8分∴PM ·PF=，∵，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分 （3）法一：①当PM ⊥x 轴时，P ，Q 或， 由解得……………………12分②当PM 不垂直于x 轴时，设，PQ 方程为，即 ∵PQ 与圆O 相切，∴，∴ ∴………………13分又，所以由得…………14分 ∴ =33)433)(1()1()33(220222220---++++k x k x k k x =12，∴……16分法二：设，则直线OQ ：，∴，∵OP ⊥OQ ，∴OP ·OQ=OM ·PQ ∴202002220202020)()(3t y t x y x t t x y y x -++⋅=+⋅+…………12分 ∴)(33)(22022202202220202020222020t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅=+++⋅=+⋅+∴，∴………………14分∵，∴，∴，∴……………16分 19.（1）的定义域为，. 当时，，在单调递增；………………2分 当时，令，解得，则当时，，单调递增， 当时，，单调递减.综上：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.…………5分 （2）法一：令，， 在单调递增，，∴=0在有且只有一解t ，且 ………………7分 ∴在单调递减，在单调递增 ∴的最小值为 ∵，∴，∴，∴的最小值，且其在上单调递增 ∴的最小值∴>0，∴……………………10分 法二：（1）令，，∴在单调递增，∴，即…………7分 令，，∴在单调递减，在单调递增，∴，即 ∴，即………………10分（3）由题意：有解，即有解， 因此，有解………………12分 设，，………………14分 ∵，且时，∴，即，故在单调递减， ，故.………………16分 20.（1）∵ ∴又∵是等差数列，设公差为d ，则1])1([21)(2)1(2111--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+d n a nd a n d n n na∴1)(21)2()2(11212----+=-+d a n d a dn n d a dn …………4分 ∴ ∴ ………………6分∴…………8分注：由解得，但没有证明原式成立，只给4分. （2）∵①∴②①—②得……………………10分∴)1(0)52()22(12≥=++-+++n a a n a n n n n两式相减得)2(0)42()54()22(112≥=-+++-+-++n a a n a n a n n n n n …………12分 ∴)2(02)22()44()22(1112≥=-+-+++-+-+++n a a a a n a n a n n n n n n n ∴)2(2]2)[22(1112≥+-=+-+-+++n a a a a a a n n n n n n n …………14分 ∵ ∴可得 ∴∴ ∴是等差数列………………16分注：先猜，后用第二数学归纳法证明，只给5分.数学Ⅱ 附加题部分21.A.连接OC∵CD 与圆O 相切于点C ，∴OC ⊥CD ……3分 又∵AD ⊥CD ，∴OC//AD ……………………6分∴∠OCA=∠DAC ……………………………8分又∠OAC =∠OCA ，∴∠BAC =∠DAC 即AC 平分∠BAD (10)21.B.设所求二阶矩阵A=，则………………4分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++482266d c b a d c b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+428266d c b a d c b a ……8分解方程组得A=………………10分21.C.（1）…………4分（2）直线的普通方程为………………6分 又圆心C （0,2），半径，∴C 到的距离为， ∴AB=4.……………10分21.D.∵ a 、b 、c>0， ∴………………3分（当a=b=c 时取“=”）…………6分∴36272193111332=≥+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++abc abc c b ac b a …………9分 （当，即时，取“=”）…………10分22.（1）设直线AB 的方程为，与抛物线联立得：……2分 ∴…………4分（2） 直线AC 的斜率为∴直线AC 的方程为 ∴点P 的纵坐标为…………6分 …………7分同理：点Q 的纵坐标为…………9分∴，又PQ ⊥x 轴∴MP=MQ.………………10分 23.（1）n =1时，； 时，当时，；当时，；当时，……3分 （2）时，①x =0时，………………4分 ②x ≠0时，令 则 =当x >0时，，单调递减；当x <0时，，单调递增 ∴，∴单调递减………………7分 当x >0时，，当x <0时， ∴当x >0时，；当x <0时，………………10分 法二：可用数学归纳法证明当x <0时，，如下：①当n =3时，0]415]25[()1051()1(232533>+--=+---=-x x x x x Q P 成立……5分 ②假设时有， 则当时，22)12)(1()12(1[)1(x k k x k x --+--->又222)12)(1()12(1[)1()12()12(1x k k x k x x k k x k --+----++>+- ……………………6分 ∴时也成立∴当x <0时，………………7分当x >0时，用法一证明…………10分 法三：用二项式定理证明当x <0时，，如下：时，1212121244123312)1(-------+-+-=n n n n n n n n xC x C x C Q P ∴当x <0时，………………7分当x >0时，用法一证明…………10分 37679 932F 錯28833 70A1 炡23029 59F5 姵]35893 8C35 谵33660 837C 荼K834107 853B 蔻32936 80A8 肨403589DA6鶦;>。
2021年高三下学期开学检测数学(理)试卷 含答案
2021年高三下学期开学检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A． B． C． D．2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A. B. C. D.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同 B．，中至少有一个为零向量C．， D．存在不全为零的实数，，4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为A．B．C．D．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．B．C．D．7. 的外接圆的圆心为，，，则等于A．B．C．D．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A．处B．段公路旁的任一处C．处D．段公路旁的任一处第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且，∶∶∶∶. 若与该圆相切，则线段的长为.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是.13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.2222俯视图侧视图正视图33B其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求及的值.16．（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某同学在A处的投中率为0.25，在B处的投中率为. 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.17．（本小题14 分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.18．（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III）当时，证明：19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），证明：（1）；（2）.xx学年度第二学期3月月考高三数学（理）试卷答案（考试时间120分钟满分150分）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设为虚数单位，则复数的虚部为A．B．C．D．解：，选B.2．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为A. B. C. D.解：令，得展开式中各项系数之和为. 解方程，得.故该展开式中含项为，其系数为，选A.3．平面向量，共线的充要条件是A．，的方向相同B．，中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，解：D．4．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为A．B．C．D．解：将函数的图象向右平移个单位，得，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得(2)2sin 2(2)2sin 4244f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令，得，（）故的最小正值为，选B ．5．是双曲线（，）的右支上的一点，，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为 A ． B ． C ． D ． 解法一：设横坐标为，则由，得， ，选A ．解法二：当右顶点时，. 选A ．6．某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类 节目不相邻的排法种数是 A ． B ． C ． D ．解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.（2）小品1，小品2，相声.（3）相声，小品1，小品2.共有种，选B ．7. 的外接圆的圆心为，，，则等于 A ． B ． C ． D ． 解：C ．8．如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在A ．处B ．段公路旁的任一处C ．处D ．段公路旁的任一处解：D ．第II 卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .解：10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且， ∶∶∶∶. 若与该圆相切，则线段的长为 .解：设， 则，. 则由相交弦定理，得， 即，即. 由切割线定理，得，所以.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为 ； 表面积为 .解：体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .解：13．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 . 解：由，得，， ，.由的面积为，得，. 故，，.当且仅当时，等号成立，的最小值为.14．已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题：① ；② ；③ ；④ 数列中的最大项为；⑤ .其中正确的命题是 （写出你认为正确的所有命题的序号）解：①、②、⑤三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）2222俯视图侧视图正视图33B已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）在中，三内角的对边分别为，已知,成等差数列，且，求 及 的值.解：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π…2分= ………………………3分最小正周期为 ………………………4分由成等差数列得：， ……………………………………9分由，得， ……………………………………10分………………………………………………11分由余弦定理得，，于是，， ………………………………………………13分16．（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某 同学在A 处的投中率为0.25，在B 处的投中率为. 该同学选择先在A 处投一球，以后都（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求随机变量的数学期望E ；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 解：（Ⅰ）设该同学在A 处投中为事件A, 在B 处投中为事件B.则事件A,B 相互独立，且，，，.根据分布列知：=0时，22()()()()0.75(1)0.03P ABB P A P B P B q ==⨯-=， 所以，. … 2分（Ⅱ） 当=2时，( ). … 4分当=3时， 22()()()()0.25(1)0.01P ABB P A P B P B q == -=. … 6分当= 4时， 22()()()()0.750.48P ABB P A P B P B q ===. … 8分当= 5时，222()()()()()0.25(1)0.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=. … 10分∴随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. … 11分（Ⅲ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为. … 13分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为. … 14分由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大. … 14分17．（本小题 14 分）如图，在四棱锥中， 底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.(Ⅰ) 求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.(Ⅰ) 证明：取中点为，连. ……1分∵是的中点∴是的中位线,∴.∵是中点且是菱形，∴, ∴ . ∴∴四边形是平行四边形. 从而 . …… 3分∵平面 ,平面,∴∥平面………………………………4分………………………………8分∵平面∴平面⊥平面 . ………………………………9分说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）也可用向量法证.……10分ACDEFM由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量 …11分 设平面的一个法向量为 由 ,且由在以上二式中令，则得，，∴.……12分设平面与平面所成锐角为故平面与平面所成的锐角为. …………………………………14分18．（本小题13分） 已知函数，（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（III ）当 时，证明：解：（Ⅰ）在上恒成立， … 2分 设 ，令 … 3分得 得 . … 4分 （Ⅱ）（）， .① 当时，因，故在上单调递减， ，（舍去）. … 5分② 当时，即时，因在上，；在上，.故在上单调递减，在上单调递增. ，，满足条件. … 7分③ 当时，即时，因，故在上单调递减， ，（舍去）. … 8分 综上，存在实数，使得当时有最小值.（III ）令，由（Ⅱ）知，. … 9分令，， … 10分B ACDEPFz xy当时，因，故在上单调递增. … 11分∴ … 12分即 … 13分19．（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（）， 将点和点代入，得 ，解得.故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）圆的标准方程为， 设，， 则直线的方程为，直线的方程为， 再设直线上的动点（），由点在直线和上，得 ，故直线的方程为. 原点到直线的距离，22222424222244t AB r d t t +=-=-=++，显然.设，，则，.CD==)2248tt+==+.ABCD===.设（），则ABCD===设（），则.设，则，故在上为增函数，于是的值域为，的取值范围是.20．（本小题13分）若有穷数列，，，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（Ⅱ）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（Ⅲ）记“阶非凡数列”的前项的和为（），求证：（1）；（2）.（Ⅰ）解：为一个单调递增的“阶非凡数列”；为一个单调递减的“阶非凡数列”.（Ⅱ）解：设公差为，由，得，，，于是. 由，知.（1）由题设得，，. 代入中，得.故()()()()111111111n n a a n d n k k k k k k=+-=-+-⋅=-+++ （，）（2）由题设得，，. 代入中，得.故()()()()111111111n n a a n d n k k k k k k ⎡⎤=+-=+-⋅-=-+⎢⎥+++⎣⎦ （，）（Ⅲ）（1）证明： 当时，，命题成立； 当时，由，得()1212m m m m n S a a a a a a ++=+++=-+++，于是1212m m m m n S a a a a a a ++=+++=+++，12122m m m m n S a a a a a a ++=+++++++，故.综上，得（）.（2）证明：321211123ni n n i a S S S S S S S in-=---=++++∑()11111111111112122312223122n n n n n⎡⎤⎛⎫≤+++=-+-++-=-⎢⎥ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎣⎦.406859EED 黭<27097 69D9 槙38091 94CB 铋23972 5DA4 嶤25311 62DF 拟22017 5601 嘁37113 90F9 郹m23525 5BE5 寥21293 532D 匭E33626 835A 荚21739 54EB 哫。