2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数学试卷(详解)
八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本题满分36分，每小题3分）1．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，62．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．600°4．下列图形中有稳定性的是（）A．正方形B．直角三角形C．长方形D．平行四边形5．如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60°，∠BDC=95°，则∠BED的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．130°6．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠27．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等8．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）9．下列图形中对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．正方形C．圆形 D．线段10．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对11．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．2812．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点二、填空题（本题满分24分，每小题4分）13．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=°．14．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=．15．已知，如图，∠ACD=130°，∠A=∠B，那么∠A的度数是°．16．已知A（﹣1，﹣2）和B（1，3），将点A向平移个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．17．如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△；应用的判定方法是（简写）．18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带去配，这样做的数学依据是．三、解答题（本大题满分50分）19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明△ABD≌△ACD的理由．∵AD平分∠BAC∴∠=∠（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD．20．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．21．已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．22．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：△BEC≌△DAE．23．已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．24．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB．参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分36分，每小题3分）1．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6【考点】三角形三边关系．【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【解答】解：A中，3+3＞3，能构成三角形；B中，3+3=6，不能构成三角形；C中，3+2=5，不能构成三角形；D中，3+2＜6，不能构成三角形．故选A．【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＜最大的数就可以．2．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形定义可知：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选A．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．600°【考点】多边形内角与外角．【专题】常规题型．【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．【解答】解：（5﹣2）•180°=540°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．4．下列图形中有稳定性的是（）A．正方形B．直角三角形C．长方形D．平行四边形【考点】三角形的稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性可得答案．【解答】解：直角三角形有稳定性，故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容．5．如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60°，∠BDC=95°，则∠BED的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．130°【考点】平行线的性质．【分析】由三角形的外角性质得出∠ABD=35°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠ABD=70°，再由平行线的性质得出同旁内角互补∠BED+∠ABC=180°，即可得出结果．【解答】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=95°﹣60°=35°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=70°，∵DE∥BC，∴∠BED+∠ABC=180°，∴∠BED=180°﹣70°=110°．故选C．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，运用三角形的外角性质求出∠ABD的度数是解决问题的关键．6．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【解答】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），故B、C选项正确；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，故D选项错误．故选D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．7．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【考点】全等图形．【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．8．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），故选：C．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．9．下列图形中对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．正方形C．圆形 D．线段【考点】轴对称的性质．【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行选择．【解答】解：A、因为等腰三角形分别沿底边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰三角形是轴对称图形，底边的中线所在的直线就是对称轴，所以等腰三角形有1条对称轴；B、因为正方形沿对边的中线及其对角线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，对边的中线及其对角线所在的直线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；C、因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．D、线段是轴对称图形，有两条对称轴．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的性质，解答此题的主要依据是：轴对称图形的定义及其对称轴的条数．10．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对【考点】等腰三角形的性质．【分析】分边11cm是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：①11cm是腰长时，腰长为11cm，②11cm是底边时，腰长=（26﹣11）=7.5cm，所以，腰长是11cm或7.5cm．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．11．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE=CE，∴AE+BE=CE+BE=10，∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，故选B．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．12．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点【考点】角平分线的性质．【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交P．故选D．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．做题时注意题目要求要满足两个条件①到角两边距离相等，②点在CD上，要同时满足．二、填空题（本题满分24分，每小题4分）13．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．14．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=6．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，∴PB=PA=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．15．已知，如图，∠ACD=130°，∠A=∠B，那么∠A的度数是65°．【考点】三角形的外角性质．【分析】直接根据三角形内角与外角的性质解答即可．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠B，∵∠ACD=130°，∠A=∠B，∴∠A==65°．【点评】本题比较简单，考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．16．已知A（﹣1，﹣2）和B（1，3），将点A向上平移5个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】熟悉：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减．【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点B关于y轴对称的点为（﹣1，3），又点A（﹣1，﹣2），所以将点A向上平移5个单位长度后得到的点（﹣1，3）．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．平移时坐标变化规律：把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减．17．如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△ABD；应用的判定方法是（简写）SSS．【考点】全等三角形的判定．【分析】此题不难，关键是找对对应点，即A对应A，B对应B，C对应D，即可．【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，AB=AB（公共边），∴△ABC≌△ABD（SSS）．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，本题要用SSS．18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带③去配，这样做的数学依据是两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．【考点】全等三角形的应用．【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故答案为：③；两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．三、解答题（本大题满分50分）19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明△ABD≌△ACD的理由．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD SAS．【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据角平分线的定义及全等三角形的判定定理，填空即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义），在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理及角平分线的定义．20．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】首先根据AF=DC，可推得AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；再根据已知AB=DE，BC=EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS即可证明△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AF=DC，∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）．【点评】本题考查了全等三角形全等的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．21．已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】要证明AF=DE，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABF≌△DEC，已知两边（由BE=CF得出BF=CE，AB=DC）及夹角（∠B=∠C），由SAS可以证明．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE，∴AF=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；证明两边相等时，如果这两边不在同一个三角形中，通常是证明它们所在的三角形全等来证明它们相等，是一种很重要的方法．22．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：△BEC≌△DAE．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知得出Rt△CEB和Rt△AED，利用HL定理得出即可．【解答】证明：∵BE⊥CD，∴∠CEB=∠AED=90°，∴在Rt△CEB和Rt△AED中，∴Rt△CEB≌Rt△AED（HL）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．23．已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．【考点】作图-轴对称变换．【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标特点画出图形即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．24．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据OC=OD得，△ODC是等腰三角形；根据AB∥DC，得出对应角相等，求得△AOB是等腰三角形，证明最后结果．【解答】证明：∵OC=OD，∴△ODC是等腰三角形，∴∠C=∠D，又∵AB∥DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A=∠B，∴△AOB是等腰三角形，∴OA=OB．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等．。
2022-2023学年北京东城区汇文中学初二(上)期中数学试卷及答案
2022北京汇文中学初二（上）期中数学一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出米的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）．A. B. C. D.2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. x2+3x+2＝（x+1）（x+2）B. 3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1C. m（a+b）＝ma+mbD. （a+2）2＝a2+4a+43. 已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）A. 8B. 7C. 5D. 64. 桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( )A. 节省材料，节约成本B. 保持对称C. 利用三角形的稳定性D. 美观漂亮5. 下列运算结果为a6的是()A. a3•a2B. a9﹣a3C. (a2)3D. a18÷a36. 如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，FG是（）A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧∠的平分线上：②点O到7. 如图，点O是ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在AABC的三边的距离相等；③OB OC=，以上结论正确的有（）A. ②③B. ①②C. ①③D. ①②③8. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且MN ＝12BC ，MD ⊥BC 交AB 于点D ，NE ⊥BC 交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，△BMD 和△CNE 的面积之和（ ）A. 保持不变B. 先变小后变大C. 先变大后变小D. 一直变大二、填空题（每小题2分，共16分）9. 如果等腰三角形一边长为3，另一边长为10，那么它的周长是 _____．10. 已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是 _____．11. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则表示ABC 重心的点是__________；12. 有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2()a b +，则宽为 _____．13. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝75°，则∠COD ＝_____°．14. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作(3,3,3,3,3,3)；3个正三角形和两个正方形，记作(3,3,3,4,4)；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 _____．15. 如图，等边ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且17AD =，E P ，分别是AC ，AD 上的动点，则CP EP +的最小值等于 _____．16. 新年联欢，某公司为员工准备了A 、B 两种礼物，A 礼物单价a 元、重m 千克，B 礼物单价（a +1）元，重（m ﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差 _____元，通过称重其他盲盒，大家发现：三、解答题（共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分）17. 因式分解：（1）2363x x ++；（2）39a a −．18. 计算：（1）()3322a a a a ⋅+−÷；（2）()()()22m n m n n m ⎡⎤+−+−÷⎣⎦． 19. 已知210x x −+=，求代数式2(1)(1)(21)x x x +−+−的值．20. 已知：如图，=AB AD ，=AC AE ，BAD CAE ∠=∠，求证：=BC DE ．21. 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a 和线段b ．求作：ABC ，使得AB AC =，BC a =，BC 边上的中线为b ．作法：如图2，①作射线BM ，并在射线BM 上截取BC a =；②作线段BC 的垂直平分线PQ ，PQ 交BC 于D ；③以D 为圆心，b 为半径作弧，交PQ 于A ；④连接AB 和AC ．则ABC 为所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC a =，AD b ．∵PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，∴AB AC =（ ）（填依据）．又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D ，∴ ＝ ．∴AD 为BC 边上的中线，且AD b ．22. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC ，AD ＝10，求CD 的长．23. 课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n 边形的一个顶点作对角线，把n 边形分成(2)n −个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到n 边形的内角和等于(2)180n −⋅︒，现在再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种，再次证明n 边形内角和定理． P 为n 边形12n A A A 内一连接12n PA PA PA ，，，，那么 个三角形，边形的内角和定理． P 为n 边形12n A A A 边A 上的任意一点，连接34PA PA ，，……边形被分成了 个三边形的内角和定理．中，ABC 的三个顶点的坐标分别是()1，0，(12)C ，，（1）在图中作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，其中1A 的坐标为 ；（2）如果要使以B C D 、、为顶点的三角形与ABC 全等（A D 、不重合），写出所有符合条件的点D 坐标．25. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x −+，由于2223(1)2x x x −+=−+，所以当1x −取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x −+的值是相等的，例如，当11x −=±，即2x =或0时，223x x −+的值均为3；当12x −=±，即3x =或1−时，223x x −+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t −取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x −+关于1x =对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问愿：（1）多项式2610x x −+关于x = 对称；（2）若关于x 的多项式223x bx ++关于4x =对称，求b 的值；（3）整式22(816)(44)x x x x ++++关于x = 对称．26. 在ABC 中，D 是BC 的中点，且90≠︒∠BAD ，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，作CE AB ∥交直线AB '于点E ．（1）如图，若AB AC >，①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为一、三象限角平分线，点P 关于y 轴的对称点称为P 的一次反射点，记作1P ；1P 关于直线l 的对称点称为点P 的二次反射点，记作2P ．例如，点（2−，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：（1）点（3，4）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；（2）当点A 在第三象限时，点M （4−，1），N （3，1−），Q （1−，5−）中可以是点A 的二次反射点的是 ；（3）若点A 在第二象限，点1A ，2A 分别是点A 的一次、二次反射点，1250A OA ∠=︒，求射线OA 与x 轴所夹锐角的度数；（4）若点A 在y 轴左侧，点1A ，2A 分别是点A 的一次、二次反射点，12AA A 是等腰直角三角形，请直接写出点A 在平面直角坐标系xOy 中的位置．参考答案一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. 【答案】D【解析】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，利用轴对称图形的定义一一排查即可．【详解】根据轴对称图形的定义，只有选项D是轴对称图形，其它都不是，故选择：D．【点睛】本题考查轴对称图形问题，掌握轴对称图形的定义，会利用轴对称图形的定义识别图形是解题关键．2. 【答案】A【解析】【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．【详解】解：A、x2+3x+2＝（x+1）（x+2），符合因式分解的定义，故正确；B、3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故错误；C、m（a+b）＝ma+mb，是整式的乘法，不是因式分解，故错误；D、（a+2）2＝a2+4a+4，是整式的乘法，不是因式分解，故错误．故选：A．【点睛】本题主要考查的是因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义以及运算方法是解题的关键．3. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，∵x为整数，∴x的最大值为6．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．4. 【答案】C【解析】【分析】只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性，据此作答即可．【详解】解：桥梁的斜拉钢索往往是三角形结构，这主要是利用了三角形的稳定性．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．5. 【答案】C【解析】【分析】利用有关幂的运算性质直接运算后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、a 3•a 2=a 5，不符合题意；B 、a 9﹣a 3，不能合并，不符合题意；C 、（a 3）2=a 6，符合题意；D 、a 18÷a 3=a 15，不符合题意，故选:C ．【点睛】本题考查了幂的有关运算性质，解题的关键是能够正确的运用有关性质，属于基础运算，比较简单．6. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．【详解】解：由作图可知作图步骤为：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧DM ，分别交OA ，OB 于M ，D ．②以点C 为圆心，以OM 为半径画弧EN ，交OA 于E ．③以点E 为圆心，以DM 为半径画弧FG ，交弧EN 于N ．④过点N 作射线CP ．根据同位角相等两直线平行，可得CP ∥OB ．故选C ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7. 【答案】B【解析】【分析】过点O 分别作,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，根据角平分线的性质可得OD OE OF ==，进而判断①②，连接AO ，结合①②的结论，进而可得AOD AOF △≌△,ODB OFC △≌△,假设③成立，进而得出AB AC =，根据题意无法证明AB AC =，进而判断③；【详解】过点O 分别作,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，如图，点O 是ABC 的两个外角平分线的交点， ,OD OE OE OF ∴==，∴OD OE OF ==，OD OF =，∴点O 到ABC 的三边的距离相等；故②正确；,OD AB OF AC ⊥⊥，∴点O 在A ∠的平分线上，故①正确；连接AO ，假设OB OC =， =OD OF ,AO 是BAC ∠的角平分线， ,OD AB OF AC ⊥⊥， OAD OAF ∴∠=∠，90ADO AFO ∠=∠=︒， ∴AOD AOF △≌△,ODB OFC △≌△， AD AF ∴=,DB CF =，AD BD AF CF ∴−=−，即AB AC =， AB 不一定等于AC ，故③不成立；故正确的有①②．故选B ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．8. 【答案】B【解析】【分析】妨设BC ＝2a ，∠B ＝∠C ＝α，BM ＝m ，则CN ＝a ﹣m ，根据二次函数即可解决问题．【详解】解：不妨设BC ＝2a ，∠B ＝∠C ＝α，BM ＝m ，则CN ＝a ﹣m ，则有S 阴＝12•m•mtanα+12（a ﹣m ）•（a ﹣m ）tanα ＝12tanα（m 2+a 2﹣2am+m 2） ＝12tanα（2m 2﹣2am+a 2） ＝1tan 2α22[2()]22a a m •−+； 当2a m =时，S 阴有最小值； ∴S 阴的值先变小后变大，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键根据二次函数的性质得出面积改变规律．二、填空题（每小题2分，共16分）9. 【答案】23【解析】【分析】结合等腰三角形两腰相等和三角形三边关系即可求解．【详解】解：分两种情况：当腰为3时，3310+<，所以不能构成三角形；当腰为10时，31010+>，所以能构成三角形，故周长是：3101023++=．故答案为：23．【点睛】本题考察等腰三角形的定义和三角形三边关系，属于基础几何知识考查，难度不大．解题的关键是掌握三角形的三边关系．10. 【答案】10【解析】【分析】先思考正多边形的外角和为360°，再根据一个外角为36°，即可求出正多边形的边数即可．【详解】正多边形的边数是：360°÷36°=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 11. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合勾股定理即可得出结论．【详解】解：如下图所示由勾股定理可得：= =∴N ，M 分别是AB ，BC 的中点∴直线CD 经过ABC 的AB 边上的中线，直线AD 经过ABC 的BC 边上的中线，∴点D 是ABC 重心．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解决此题的关键，属于基础题意，比较简单．12. 【答案】1122a b + 【解析】【分析】先求出左边场地的面积，再根据面积相等可以求出右边场地的宽．【详解】解：左边场地面积222a b ab =++，∵左边场地的面积与右边场地的面积相等， ∴宽222111(2)2()()2()()222a b ab a b a b a b a b a b =++÷+=+÷+=+=+， 故答案为：1122a b +． 【点睛】本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算式解题的关键．13. 【答案】25【解析】【分析】根据题意设COD x ∠=，所以COD CDO x ∠=∠=，然后列出等式进行求解即可．【详解】解：设COD x ∠=，∵OC CD DE ==，∴COD CDO x ∠=∠=，DCE DEC ∠=∠，∵2DCE COD CDO x ∠=∠+∠=，∴2DEC x ∠=，∵3BDE DEC COD x ∠=∠+∠=，∴375x =︒，∴25x =︒，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练运用相关性质进行推理是解本题的关键．14. 【答案】(3,3,3,3,6)（答案不唯一）【解析】【详解】正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做(3,3,3,3,6)，故答案为：(3,3,3,3,6)（答案不唯一）．15. 【答案】17【解析】【分析】点C 关于AD 的对称点为点B ，CP EP BP EP BE +=+≥，当且仅当,,B E P 三点共线时，CP EP BP EP BE +=+=，再根据垂线段最短，得到当BE AC ⊥时，CP EP +最小，利用等边三角形的性质，进行求解即可．【详解】解：过点B 作BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，∵ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴AD BC ⊥，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴点B C ，关于AD 为对称，∴BP CP =，∴CP EP BP EP BE +=+≥当且仅当,,B E P 三点共线时，CP EP BP EP BE +=+=，根据垂线段最短得出：BEAC ⊥时，此时CP EP +的值最小， ∵ABC 是等边三角形，∴AC BC =， ∵1122ABC S BC AD AC BE ∆=⋅=⋅， ∴17BE AD ==，即CP EP +的最小值为17，故答案为：17．【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称．熟练掌握等边三角形三线合一，以及轴对称法解决线段和最小问题，是解题的关键．16. 【答案】 ①. 1 ②. 50【解析】【分析】由题意知，盲盒中礼物的重量组合有(),m m ，(),1m m −，()1,1m m −−共三种情况，由图表可知，小林的盲盒的重量组合为(),m m ，小李的盲盒的重量组合为(),1m m −，共有1519420++++=个盲盒，表示出小林与小李盲盒的总价钱后作差即可；由图表可得盲盒中共有A 礼物有(15)21922+⨯++=个，B 礼物有194218++⨯=个，列一元一次方程2218(1)2018a a ++=，计算求解即可得到a 的值．【详解】解：由题意知，盲盒中礼物的重量组合有(),m m ，(),1m m −，()1,1m m −−共三种情况，总重量分别为2m ，21m −，22m −千克∴由图表可知，小林的盲盒的重量组合为(),m m ，重量为2m 千克，小李的盲盒的重量组合为(),1m m −，重量为21m −千克，共有1519420++++=个盲盒∴小林盲盒的总价钱为2a a a +=元，小李盲盒的总价钱为121a a a ++=+元∴两个盲盒的总价钱相差2121a a +−=元∴盲盒中共有A 礼物有(15)21922+⨯++=个，B 礼物有194218++⨯=个∴2218(1)2018a a ++=解得50a =故答案为：1；50．【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于确定,A B 两种礼物的个数与不同盲盒的个数．三、解答题（共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分）17. 【答案】（1）()231x +（2）()()33a a a −+【解析】【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±；（2）先提公因式，再用平方差公式()()22a b a b a b −=+−； 【小问1详解】解：()()22236332131x x x x x ++=++=+； 【小问2详解】()()()329933a a a a a a a −=−=+−．【点睛】本题考查因式分解，解题关键掌握因式分解的方法：提公因式法、公式法，注意因式分解要彻底．18. 【答案】（1）0（2）12m 【解析】【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减；（2）先计算中括号里的乘方和乘法，然后计算括号里的加减，去掉括号后计算除法．【小问1详解】解：()3322a a a a ⋅+−÷ =()462a aa +÷- =44a a −=0【小问2详解】解：()()()22m n m n n m ⎡⎤+−+−÷⎣⎦=()2222m n nm −+÷ =22m m ÷ =12m 【点睛】本题考查了含乘方的整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 【答案】22x x −++，3．【解析】【分析】先按照完全平方公式与多项式乘以多项式的法则进行整式的乘法运算，再合并同类项即可得到化简的结果，再把210x x −+=化为21,x x −=−再整体代入求值即可得到答案．【详解】解：原式2212221x x x x x =++−+−+22x x =−++．当210x x −+=时，21,x x ∴−=−原式()()221212 3.x x =−−+=−−+=+=【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握利用完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则进行整式的乘法运算是解题的关键．20. 【答案】见解析【解析】【分析】先证明∠=∠BAC DAE ，再根据SAS 得出BAC DAE ≅，即可证明=BC DE ．【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠，∴=BAD DAC CAE DAC ∠+∠∠+∠，∴∠=∠BAC DAE在BAC △和DAE △中，===AB AD BAC DAE AC AE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BAC DAE ≅()SAS∴=BC DE ．【点睛】本题考查三角形的判定与性质，三角形全等的判定方法有：SSS ASA SAS AAS HL 、、、、，选用合适的判定定理是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，BD DC =．【解析】【分析】（1）根据步骤作图即可；（2）根据线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，据此填空即可．【小问1详解】解：图形如图所示：【小问2详解】证明：由作图可知BC a =，AD b ，∵PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，∴AB AC =（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D ，∴BD DC =，∴AD 为BC 边上的中线，且AD b ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质及作图，三角形的中线，牢固掌握其性质是解题的关键．22. 【答案】DC 的长是5【解析】【分析】在Rt △ABC 中利用∠C ＝90°，∠A ＝30°易求∠ABC ＝60°，再利用角平分线性质可求∠ABD ＝∠DBC ＝30°，从而可得∠ABD ＝∠A ，进而可求BD ，在Rt △BDC 中，利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求CD ．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝30°，∴∠ABD ＝∠A ，∴BD ＝AD ＝10，又∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°，∴DC ＝12BD ＝5．即DC 的长是5．【点睛】本题考查了含有30°角的直角三角形、角平分线的性质．解题的关键是得出BD ＝AD ＝10． 23. 【答案】方案一：n ，证明见解析；方案二：(n )1−，证明见解析【解析】【分析】方案一，在n 边形内任取一点O ，并把O 与各顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的角和为180n ⋅︒，再减去以点O 为顶点的一个周角，就可以得到n 边形的内角和为(2)180n −⋅︒； 方案二，连接P 点与其它各顶点的线段可以把n 边形分成(n )1−个三角形．【详解】证明：方案一，在n 边形内任取一点P ，并把O 与各顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的角和为180n ⋅︒，再减去以点O 为顶点的一个周角，就可以得到n 边形的内角和为(2)180n −⋅︒．故答案为：n ；方案二，在n 边形的边12A A 上的任意一点P ，连接P 点与其它各顶点的线段可以把n 边形分成(n )1−个三角形， 这(n )1−个三角形的内角和等于(1)180n −⋅︒，以P 为公共顶点的(n )1−个角的和是180︒，所以n 边形的内角和是(1)180180(2)180n n −⋅−=−⋅︒︒︒．故答案为：(n )1−．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决．、24. 【答案】（1）图见解析，(2,3)−（2）(0,3)或(0,1)−或(2,1)−【解析】【分析】（1）由关于x 轴对称的点的坐标的特征先确定111A B C 、、三点的坐标，再描点，连线即可； （2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出一个符合条件的点D 坐标．【小问1详解】如图，111A B C △即为所求；1A 的坐标为（2，﹣3）；故答案为：（2，﹣3）；【小问2详解】如图2，所有符合条件的点D 坐标为：(0,3)或(0,1)−或(2,1)−；【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．25. 【答案】（1）3 （2）4b =−（3）3−【解析】【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；（2）求出223x bx ++的对称轴，令对称轴4x =即可；（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．【小问1详解】解：22610(3)1x x x −+=−+，则多项式关于3x =对称．故答案为：3；【小问2详解】解：∵22223()3x bx x b b ++=++−，∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =−对称，∴4b −=，∴4b =−；【小问3详解】解：22(816)(44)x x x x ++++22(4)(2)x x =++[]2(4)(2)x x =++22(68)x x =++22(3)1x ⎡⎤=+−⎣⎦， ∴关于3x =−对称．故答案为：3−．【点睛】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． 26. 【答案】（1）①见解析；②AB AE CE =+ ，理由见解析（2）不成立，AB AE CE =−【解析】【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案； （2）连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案．【小问1详解】①补全图形如图所示：②AB AE CE =+ ，理由如下：如图，连接B D B C ''， ，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '， ,AB AB B AD BAD ''∴=∠=∠ ，又AD AD = ，(SAS)B AD BAD '∴∆≅∆ ，,AB D ABD B D BD ''∴∠=∠=，CE AB ∥ ，BCE ABD ∴∠=∠，AB D BCE '∴∠=∠，D 是BC 的中点，BD CD ∴= ，B D CD '∴=，DB C DCB ''∴∠=∠，即AB D EB C BCE ECB '''∠+∠=∠+∠， EB C ECB ''∴∠=∠，B E CE '∴= ，AB AE B E AE CE ''∴=+=+ ，AB AB AE CE '∴==+；【小问2详解】不成立，AB AE CE =−，理由如下：如图，连接B D B C ''，，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，,AB AB B AD BAD ''∴=∠=∠ ，又AD AD = ，(SAS)B AD BAD '∴∆≅∆ ，,AB D ABD B D BD ''∴∠=∠=，D 是BC 的中点，BD CD ∴= ，B D CD '∴=，DB C DCB ''∴∠=∠，CE AB ∥ ，180DCE ABD ∴∠+∠=︒，即180ABD DCB ECB ''∠+∠+∠=︒，180AB D DB C EB C '''∠+∠+∠=︒，180AB D DB C EB C ABD DCB ECB '''''∴∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，DCB DB C ''∠=∠，ECB EB C ''∴∠=∠，B E CE '∴= ，AB AE B E AE CE ''∴=−=− ，AB AB AE CE '∴==−．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键．27. 【答案】（1）（3−，4），（4，3−）（2）M （4−，1）（3）20°或70° （4）点A 在x 轴上或直线y x =上【解析】【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解；（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断2A 的位置即可；（3）判断出射线1OA 与x 轴的夹角，可得结论；（4）利用图像法，点A 在x 轴上或直线y x =上满足条件．【小问1详解】点（3，4）的一次反射点为（3−，4），二次反射点为（4，3−）；故答案为：（3−，4），（4，3−；【小问2详解】∵点A 在第三象限时，∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，∴点M （4−，1），N （3，1−），Q （1−，5−）中可以是点A 的二次反射点的是M （4−，1）； 故答案为：（4−，1）；【小问3详解】如图1中，∵1250A OA ∠=︒，∴1OA 与x 轴的夹角为20°或70°，根据对称性可知，OA 与x 轴所夹锐角的度数为20°或70°；【小问4详解】如图2中，观察图象可知，当点A 在x 轴上时，12AA A 是等腰直角三角形．如图3中，观察图象可知，当点A 在直线y x =上时，12AA A 是等腰直角三角形．综上所述，点A 在x 轴上或直线y x =上．【点睛】本题考查坐标与图形变化——对称，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是理解一次反射点、二次反射点的定义，学会利用图像法解决问题．。
2022-2023学年北京东城区二中初二(上)期中数学试卷及答案
小值−8 ．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）若多项式 x2 − 4x + k 是一个完全平方式，则常数 k = ___________．
么 A、 B 间的距离不可能是（ ）
A. 5m
B. 13m
C. 21m
.7. 如图，∠EAF＝18°， AB = BC = CD ，则∠ECD 等于（
A 36°
B. 54°
C. 72°
）
D. 29m D. 108°
8. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖 部分的面积是（ ）
2022 北京二中初二（上）期中 数学
考查目标
1．知识：人教版八年级上册《三角形》《全等三角形》、《轴对称》《整式的乘法与因式分解》 的全部内容． 2、能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力， 分类讨论能力．
A 卷面成绩 90% (满分 90 分)
B 过程性评价 (满分 10 分)
15. 甲、乙两人共同计算一道整式：( x + a) (2x + b) ，由于甲抄错了 a 的符号，得到的结果是 2x2 + 3x − 2 ，
乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果是 x2 − 3x + 2 ．则本题的正确结果是__________．
16. 如图，已知 AOB = 30 ，点 M 、N 是射线 OA 上 两个动点 (OM ON ) ，且 MN = 4 ，点 P 是边OB
2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校八年级(下)期初数学试卷
第1页，共10页 2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校八年级
（下）期初数学试卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共5小题，共15.0分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 0 B. 1.01001000 C. π-2 D. 2. 若方程（x-4）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A. a是19的算术平方根 B. b是19的平方根
C. a-4是19的算术平方根 D. b+4是19的平方根
3. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
4. 在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10
5. 下列函数中，y随x的增大而减小的有（ ）
①y=-2x+1；②y=6-x；③y=；④y=（1-）x． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共26.0分） 6. 4的算术平方根是______；64的立方根是______． 7. 小明的体重为48.86kg，48.86≈______．（精确到0.1） 8. 如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则D到AB的距离为______．
9. 若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为______． 10. 写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限：______． 11. 将函数y=3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是______． 12. 矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质，还具有自己的性质： ①矩形的每个角都是______； ②矩形的对角线______． 13. 如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上），则点C到AB的距离为______．
初二数学上学期期中试题
20.如图， ， ， ， ，
（1）求证： ；（2）试求 的度数．
21.如图，在四边形ABCD中， ，E为CD 中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．
22.如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．
17.如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE 中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于___cm2．
18.如图，已知 的周长是 ， ， 分别平分 和 ， 于 ，且 ， 的面积是_______．
19.在△ABC中给定下面几组条件：①AB＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°；②AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝90°；③AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝120°；④AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝30°．若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是______（填序号）．
10.如图，△ABC 面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（ ）
A.6B.8C.10D.12
第9题第10题第11题第12题
11.如图为八个全等的正六边形（六条边相等，六个角相等）紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，下列三角形中与△ACD全等的是（）
（1）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
北京汇文中学八年级数学上册第五单元《分式》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．关于x 的分式方程5222m x x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m =B ．2m =-C ．5m =D ．5m =-2．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b =B ．11a ab b +=+ C ．2233a b a ab b= D ．232131a ab b ++=-- 4．若a 与b 互为相反数，则22201920212020a bab+=( )A ．-2020B ．-2C ．1D ．25．若x 2y 5=，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．756．下列计算正确的是（ ）A ．22a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．2222a b ba a b-=-D ．3339()28a a-=- 7．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．设原来参加游览的学生共x 人．则所列方程是（ ） A ．18018032x x-=- B ．18018032x x-=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032x x -=+ 8．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率=100%⨯生活垃圾总量(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（ ）A ．660840014710x x ⨯=B ．6608400147660840010x x⨯=++C ．660840014147660840010x x⨯=⨯++ D ．7840066010146608400x x++⨯=9．下列各式计算正确的是（ ）A ．()23233412a b a b-=-B ．()222(2)2224x xy y x y xy x --++=+-C ．()2422842a ba b b -÷=-D ．()325339a ba b -=-10．已知227x ,y ==-，则221639yx y x y ---的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-3D ．311．2a ab b a ++-的结果是( )．A ．2a-B ．4aC ．2b a b--D ．b a- 12．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）． A ．132x - B ．213x + C ．231x x + D ．21xx + 二、填空题13．科学家使用冷冻显微术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为__________． 14．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______． 15．若x ＝2是关于x 的分式方程31k x x x -+-＝1的解，则实数k 的值等于_____． 16．若关于x 的方程1322m xx x-+=--的解是正数，则m =____________．17．符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b c d＝ad ﹣bc ，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值．若2111111xx =--，那么x ＝__． 18．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________．19．已知215a a+=，那么2421a a a =++________． 20．九年级()1班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．三、解答题21．小强家距学校3000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸骑电瓶车送他去学校．已知小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用24分钟，且小强爸骑电瓶车的平均速度是小强步行的平均速度的5倍，小强到家取课本与小强爸启动电瓶车等共用4分钟．（1）求小强步行的平均速度与小强爸骑电瓶车的平均速度； （2）请你判断小强上学是否迟到，并说明理由．22．某商店购进 A B 、两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元（2）商店准备购买A B 、两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A B 、商品的总费用不低于1000元且不高于1060元，那么商店有哪几种购买方案？ 23．计算：（1）2031(2021)|13|(2)4； （2）2222()()ab a abb ab a abb ．24．水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用2000元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用2496元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． （1）第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 25．计算：（1）化简：()()22n m n m n -++； （2）解分式方程：2132163x x x -=---． 26．某工程队用甲、乙两台隧道挖掘机从两个方向挖掘同一条隧道，因为地质条件不同，甲、乙的挖掘速度不同，已知甲、乙同时挖掘3天，可以挖216米，若甲挖2天，乙挖5天可以挖掘270米．（1）请问甲、乙挖掘机每天可以挖掘多少米？（2）若隧道的总长为2400米，甲、乙挖掘机工作20天后，因为甲挖掘机进行设备更新，乙挖掘机设备老化，甲比原来每天多挖m 米，同时乙比原来少挖m 米，最终，甲、乙两台挖掘机完成的时间相同，且各完成隧道总长的一半，请求出m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解． 【详解】5222mx x+=-- 去分母得：52(2)x m +-=-，∵关于x 的分式方程5222m x x+=--有增根，且增根x=2， ∴把x=2代入52(2)x m +-=-得，5m =-，即：m=-5，故选D ． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；方程4102x -=+的根为x=2，故②正确； 方程11224=-x x 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 1111x x x +=+-是分式方程，故④正确； 故选：B ． 【点睛】 此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．3．C解析：C 【分析】利用分式的基本性质变形化简得出答案． 【详解】A ．22a a b b=，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；B ．11a ab b+=+，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误； C ．2233a b a ab b=，从左边到右边分子和分母同时除以ab ，分式的值不变，故正确； D ．232131a a b b ++=--，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．4．B解析：B 【分析】a 与b 互为相反数，由相反数的定义与性质得22=,a b a b -=，将代数式中字母统一成b,合并约分即可． 【详解】∵a 与b 互为相反数， ∴22=,a b a b -=，222222019202120192021220202020a b b b ab b ++==--， 故选择：B ．【点睛】本题考查分式求值问题，掌握相反数的定义与性质，会利用相反数将代数式的字母统一为b 是解题关键．5．D解析：D 【分析】根据同分母分式的加法逆运算得到x y x y y y y +=+，将x 2y 5=代入计算即可． 【详解】 解：∵x 2y 5=， ∴x y x y 2y y y 5+=+=+175=， 故选：D ． 【点睛】此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．6．C解析：C 【分析】A 、B 两项利用同底数幂的乘除法即可求解，C 项利用合并同类项法则计算即可，D 项利用分式的乘方即可得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A 、原式=a 3，不符合题意； B 、原式=a 4，不符合题意； C 、原式=-a 2b ，符合题意； D 、原式=3278a- ，不符合题意， 故选：C ． 【点睛】此题考查了分式的乘方，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．D解析：D 【分析】设原来参加游览的学生共x 人，增加2人后的人数为（x+2）人，用租价180元除以人数，根据后来每名同学比原来少分摊3元车费列方程． 【详解】设原来参加游览的学生共x 人，由题意得18018032x x -=+， 故选：D ． 【点睛】此题考查分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．8．B解析：B 【分析】根据公式列出12月与5月厨余垃圾分出率，根据12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍列方程即可． 【详解】5月份厨余垃圾分出率=660660x+，12月份厨余垃圾分出率=84007840010x + ，∴由题意得6608400147660840010x x⨯=++，故选：B ． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．9．A解析：A 【分析】根据单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式运算法则判断即可． 【详解】A 、()23233412ab a b -=-，故这个选项正确；B 、()222(2)2224x xy y x y xy x --++=--，故这个选项错误； C 、()24222842a b a b b -÷=-，故这个选项错误； D 、()3263327a b a b -=-，故这个选项错误；故选：A ． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．10．B解析：B 【分析】先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．原式=()()16333yx y x y x y --+- =()()3633x y y x y x y +-+-=()()333x yx y x y -+-=13x y+， 当227x ,y ==-，原式=112221=-，故选B ． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．11．C解析：C 【分析】根据分式的加减运算的法则计算即可． 【详解】222()()a a b a b a b a b b a a b a b a b+-++=-=-----. 故选：C 【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．12．B解析：B 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0确定答案． 【详解】A 、若3x-2≠0，即23x ≠时分式有意义，故该选项不符合题意； B 、∵230x +>，∴无论x 取何值，分式都有意义，故该项符合题意；C 、∵20x ≥，∴x ≠0时分式有意义，故该选项不符合题意；D 、若210x +≠即12x ≠-时分式有意义，故该选项不符合题意； 故选：B ．此题考查分式有意义的的条件：分母不等于0．二、填空题13．2×10-10【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10−n与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解解析：2×10-10【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000000022＝2.2×10−10，故答案为：2.2×10−10．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m值再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m解析：1或4【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可．【详解】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，整理得：（m-1）x=9，∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，把x=3代入（m-1）x=9，解得：m=4，综上，m的值为1或4．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．15．4【分析】将x=2代入求解即可【详解】将x=2代入=1得解得k=4故答案为：4【点睛】此题考查分式方程的解解一元一次方程正确理解方程的解是解题解析：4 【分析】将x=2代入求解即可． 【详解】 将x=2代入31k x x x -+-=1，得112k -=，解得k=4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查分式方程的解，解一元一次方程，正确理解方程的解是解题的关键．16．m ＜5且m≠1【分析】将分式方程去分母转化为整式方程表示出x 根据x 为正数列出关于m 的不等式求出不等式的解集即可确定出m 的范围【详解】解：关于的方程的解是正数且解得m ＜5且m≠1故答案为：m ＜5且m≠解析：m ＜5且m≠1 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，表示出x ，根据x 为正数列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可确定出m 的范围． 【详解】 解：1322m xx x-+=-- ()m+32=-1-x x5-m x=2关于x 的方程1322m xx x-+=--的解是正数， 5-m 02>且5-m22≠ 解得m ＜5且m≠1，故答案为：m ＜5且m≠1 【点睛】此题考查了分式方程的解，得出关于m 的不等式是解题的关键，注意任何时候考虑分母不为0．17．4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程解分式方程即得问题答案【详解】解：∵=1∴方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1解得：x ＝4检验：当x ＝4时x ﹣1≠01﹣x≠0即x ＝4是分式方程的解析：4 【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．【详解】解：∵211111xx --=1， ∴21111x x-=--， 方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x ﹣1≠0，1﹣x≠0，即x ＝4是分式方程的解，故答案为：4．【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．18．【分析】先计算括号内的加法再将除法化为乘法再计算乘法即可【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查分式的混合运算掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键 解析：11a - 【分析】先计算括号内的加法，再将除法化为乘法，再计算乘法即可．【详解】 解：2121211a a a a +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭ =2112211a a a a a +-+÷-+- =211(1)1a a a a +-⋅-+ =11a -， 故答案为：11a -． 【点睛】 本题考查分式的混合运算．掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．19．【分析】将变形为=5a 根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a 即可得到答案【详解】∵∴=5a ∴故答案为：【点睛】此题考查分式的化简求值完全平方公式根据已知等式变形为=5a 将所求代数式的分母变形为 解析：124【分析】 将215a a+=变形为21a +=5a ，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入21a +=5a ，即可得到答案．【详解】 ∵215a a+=， ∴21a +=5a ， ∴2421a a a =++()()2222222221242451a a a a a a a a ===-+- 故答案为：124． 【点睛】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为21a +=5a ，将所求代数式的分母变形为22(1)a a +-形式，再代入计算是解题的关键． 20．【分析】设慢车的速度为x 千米/小时则快车的速度为12x 千米/小时根据题意可得走过150千米快车比慢车少用小时列方程即可【详解】解：设慢车的速度为则快车的速度为根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查了 解析：15011502 1.2x x-= 【分析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用12小时，列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为xkm /h ，则快车的速度为1.2xkm /h ， 根据题意得：1501150x 2 1.2x-=． 故答案为：1501150x 2 1.2x-=． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．三、解答题21．（1）小强步行的平均速度为100米/分钟，小强爸骑电瓶车的平均速度为500米/分钟；（2）小强不能按时到校，将会迟到，理由见解析【分析】（1）设小强步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用24分钟，据此列方程求解； （2）计算出小强从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23进行比较即可．【详解】解：（1）设小强步行的平均速度为x 米/分钟，则小强爸骑电瓶车的平均速度为5x 米/分钟，根据题意得：30003000245x x-=， 解得100x =，经检验，100x =是分式方程的解，且符合题意，∴5500x =，即小强步行的平均速度为100米/分钟，小强爸骑电瓶车的平均速度为500米/分钟； （2）由（1）得，小强半途步行返家所需时间为3000210015÷÷=分钟，小强爸骑电瓶车送小强到学校所需时间为30005006÷=分钟，所以，从小强半途步行返家到小强爸骑电瓶车送他到学校共用时间为154625++=分钟23>分钟，故小强不能按时到校，将会迟到．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．22．（1）购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；（2）商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个；方案②：购进A 商品65个，B 商品15个；方案③：购进A 商品64个，B 商品16个【分析】（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，列出分式方程求解；（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，根据题意列出不等式组求出m 的范围，取整数解．【详解】解：()1设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，依题意， 得：30010010x x=+，解得：5x =，经检验， = 5x 是原方程的解，且符合题意，1015x ∴+=，答：购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；()2设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，依题意，得：()()804158051000158051060m m m m m m ⎧-≥⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩，解得：1416m ≤≤， m 为整数，14m ∴=或15或16，∴商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个，方案②：购进A 商品65个，B 商品15个，方案③：购进A 商品64个，B 商品16个．【点睛】本题考查分式方程的应用和不等式的应用，解题的关键是掌握根据题意列分式方程和不等式的方法．23．（1）7；（2）32a ．【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方的运算分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先根据多项式乘以多项式的法则进行计算，再合并同类项即可．【详解】解：（1）2031(2021)|13|(2)416128=+--7=（2）2222()()a b a ab b a b a ab b322223a a b ab a b ab b =-++-++322223a a b ab a b ab b ++---3333a b a b =++-32a =．【点睛】考查了整式的混合运算以及负整数指数幂、零指数幂、立方、绝对值运算等知识，熟练运用这些法则是解题关键．24．（1）第一次水果进价是每千克4元；（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利，且盈利3104元【分析】（1）设第一次水果的进价是每千克x 元，则第二次水果的进价是每千克1.2x 元，根据数量=总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量=总价÷单价可求出第一次购进水果数量，由总利润=每千克利润×销售数量可求出第一次购进水果的销售利润，同理可求出第二次购进水果的销售利润，将二者相加即可得出结论．【详解】解：（1）设第一次水果进价为每千克x 元，则第二次水果进价为每千克1.2x 元． 依题意列方程得，2000249620 1.2x x+= 解得，4x =经检验，4x =是方程的根，且符合题意． ∴第一次水果进价是每千克4元．（2）第一次售完水果盈利为：()20009425004-⨯=（元） 第二次售完水果盈利为：()()200010 4.81005 4.8(20100)6044-⨯+-⨯+-=（元） 25006043104+=（元）∴该水果店在这两次销售中，总体上是盈利，且盈利3104元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．25．（1）24m mn +；（2）x=1【分析】（1）根据单项式乘多项式法则和完全平方公式，即可得到结果；（2）通过去分母，把分式方程化为整式方程，即可求解．【详解】（1）原式=22222mn n m mn n -+++=24m mn +；（2）2132163x x x -=--- 213213(21)x x x -=--- 2(21)3x x --=-423x x --=-55=xx=1，经检验，x=1是方程的解，∴x=1．【点睛】本题主要考查整式的混合运算以及解分式方程，熟练掌握完全平方公式以及解分式方程的步骤，是解题的关键．26．（1）甲每天挖30米，乙每天挖42米；（2）m=15【分析】（1）设甲、乙每天分别挖x 、y 米．等量关系：3（甲+乙）216=米、2⨯甲5+⨯乙270=；（2）由题意可知20天后甲完成（30×20）米，剩余1(24003020)2⨯-⨯米，乙完成（4220⨯）米，剩余1(24004220)2⨯-⨯米，根据关键描述语：甲、乙两台挖掘机在相同时间里各完成隧道总长的一半列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设甲、乙每天分别挖x 、y 米．依题意得：3()21625270x y x y +=⎧⎨+=⎩． 解得3042x y =⎧⎨=⎩． 答：甲每天挖30米，乙每天挖42米；（2）由题意可知：20天后甲完成（30×20）米，剩余1(24003020)2⨯-⨯米，乙完成（4220⨯）米，剩余1(24004220)2⨯-⨯米， 依题意得：112400302024004220223042m m⨯-⨯⨯-⨯=+-， 解得：m=15，经检验：m=15是原方程的解．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键，切记，分式方程一定要验根．。
2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题(带答案)
姓名： 班级： 考号： 考场： 座号： 密 封 线 内 不 要 答 题2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题（时间 120分钟 分值 120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 为常数） B ．x 2﹣x ﹣2＝0 C ．+﹣2＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣12．一元二次方程x 2+ax+a ﹣1＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．有实数根D ．没有实数根3．如果关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣34．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛． A.6 B.7C.8D.95．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ）A.1B.2C.-1D.-26．已知点A(－3，y 1)，B(2，y 2)，C(3，y 3)在抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 3＞y 17．某烟花厂为春节烟火晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m )与飞行时间t(s )的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s 8．已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数,a ≠0)，下列结论正确的是( )A ．当a ＝1时,函数图象过点(－1,1)B ．当a ＝－2时,函数图象与x 轴没有交点C ．若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小D ．若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大9．在同一坐标系内，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是( )10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点A(－2，0)，B(1，0)， 直线x ＝－0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ， 在直线上取点D ，使MD ＝MC ，连接AC ，BC ，AD ，BD ， 某同学根据图象写出下列结论：①a－b ＝0；②当－2<x<1时，y>0；③四边形ACBD 是菱形； ④9a－3b ＋c>0，你认为其中正确的是( )A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③ 第10题图二．填空题（本大题共8小题，其中11-14小题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分） 11．如果y ＝（m ﹣2）是关于x 的二次函数，则m ＝__________．12. 如果一元二次方程x 2﹣4x+k ＝0经配方后，得（x ﹣2）2＝1，那么k ＝ ． 13．若m 是方程2x 2+3x ﹣1＝0的根，则式子4m 2+6m+2019的值为 ．14. 已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A(－2,7)，B(6,7)，C(3,－8)，则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是__________．15. 若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点,则a 的值为 __________．16.已知关于x 的方程（k ﹣2）2x 2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________． 17．把二次函数y ＝12x 2＋3x ＋52的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．18．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)． 若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P ′(2，－2)， 点A 的对应点为A ′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________． 第18题图三．解答题（本大题共7小题，共62分）19.（8分）选择适当方法解下列方程（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x20.（7分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（1）当m＝0时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．21.(8分)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？22．（8分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2016年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2018年投资18.59万元．（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；（2）从2016年到2018年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？23．(9分)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．24．(10分)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？25.（12分）在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式．(2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．(3)喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h(米)应满足h>2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界(排球压线属于没出界)，请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．姓名： 班级： 考号： 考场： 座号： 密 封 线 内 不 要 答 题2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题答案一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. B2. C3. A4.B5. D6.B7.B8. D9. C 10.D二．填空题（本大题共8小题，其中11-14小题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分）11. m=－1 12. 3 13. 2021 14. (1，－8) 15. －1或2或1 16. k ≥ 17. (－1，1) 18. 12三．解答题（本大题共7小题，共62分）19.（8分）解：（1）3x ﹣1＝±（x ﹣1）………………………………………………1分 即3x ﹣1＝x ﹣1或3x ﹣1＝﹣（x ﹣1）……………………3分 所以x 1＝0，x 2＝；……………………4分（2）3x （x ﹣1）+2（x ﹣1）＝0…………………………………1分（x ﹣1）（3x +2）＝0x ﹣1＝0或3x +2＝0…………………3分 所以x 1＝1，x 2＝﹣．……………………4分20.解：（1）当m ＝0时，方程为x 2+x ﹣1＝0． △＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0． ∴x ＝， ∴x 1＝，x 2＝．…………………4分（2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0即（﹣1）2﹣4×1×（m ﹣1） ＝1﹣4m +4 ＝5﹣4m ＞0 ∵5﹣4m ＞0∴m ＜．…………………7分21. （8分）解：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米，根据题意得 (100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5，………………4分 则100－4x ＝20或100－4x ＝80，∵80＞25，∴x 2＝5舍去， 即AB ＝20，BC ＝20，则羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米。
2019-2020学年北京市东城区汇文中学八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2019-2020学年北京市东城区汇文中学八年级（下）期末数学试卷一．选择题（每题2分，共20分）1．（2分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2．（2分）函数y＝x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣64．（2分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．5．（2分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°7．（2分）在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，08．（2分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（）A．B．C．D．9．（2分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则CM的长为（）A．2cm B．3cm C．2cm或8cm D．3cm或7cm 10．（2分）如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（）A．B．C．2D．2二．填空题（每题2分，共16分）11．（2分）二次函数y＝x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．12．（2分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝．13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC 于点D，则OD的长为．14．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x＝2时，y的值为．15．（2分）如图，半径为8的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于．16．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④OA•OB＝﹣．其中正确结论的序号是．17．（2分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2n的坐标是．（n 为正整数）18．（2分）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．三．解答题（共64分）19．（9分）解方程：（1）（x+3）2﹣16＝0；（2）2x2﹣3x﹣1＝0；（3）2x2﹣x﹣15＝0．20．（4分）计算：2sin30°﹣2cos60°+tan45°．21．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？22．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，DC＝2cm，求⊙O 的半径长．23．（4分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．24．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，tan A＝，BC＝6，求AC的长和sin A的值．25．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0）．求：（1）抛物线的表达式；（2）求这条抛物线与x轴的另一个交点的坐标．（3）直接写出y≥0时x的取值范围．26．（5分）小明同学骑自行车去郊外春游，如图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需小时，此时离家千米．（2）求小明出发两个半小时离家多远？（写出解答过程）27．（5分）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝6，GE＝6，求△GOE的面积．28．（5分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（3）要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降件多少元？29．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝+的图象和性质．小军根据学习函数的经验，对函数y＝+的图象和性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝+的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345…y…﹣22m…①其中，m＝；②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，2）．结合函数图象，写出该函数的其它性质（写出一条即可）：．（4）直接写出≤3时，x的取值范围．30．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移4个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，直接写出a的取值范围．31．（6分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝x+3上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF是以EF为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．2019-2020学年北京市东城区汇文中学八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题2分，共20分）1．【分析】根据函数的意义求解即可求出答案．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．故选：D．【点评】主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．2．【分析】根据k＞0确定一次函数经过第一三象限，根据b＜0确定与y轴负半轴相交，从而判断得解．【解答】解：一次函数y＝x﹣2，∵k＝1＞0，∴函数图象经过第一三象限，∵b＝﹣2＜0，∴函数图象与y轴负半轴相交，∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，k＞0，函数经过第一、三象限，k＜0，函数经过第二、四象限．3．【专题】一元二次方程及应用．【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，只有选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α＝∠ACD是解题关键．5．【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．6．【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故选：C．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．7．【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．8．【分析】连接CD，可得出∠OBD＝∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD＝3，OC＝4，由勾股定理得出CD＝5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD 即可．【解答】解：连接CD，如图所示：∵D（0，3），C（4，0），∴OD＝3，OC＝4，∵∠COD＝90°，∴CD＝＝5，∵∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．9．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．【解答】解：连接AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5（cm）当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得：OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴CM＝5﹣3＝2（cm）；综上所述，CM的长为8cm或2cm，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．10．【专题】动点型；面积法．【分析】由图2知，菱形的边长为a，对角线AC＝，则对角线BD为2＝2，当点P在线段AC上运动时，y＝AP×BD＝×x，即可求解．【解答】解：由图2知，菱形的边长为a，对角线AC＝，则对角线BD为2＝2，当点P在线段AC上运动时，y＝AP×BD＝×x，由图2知，当x＝时，y＝a，即a＝××，解得：a＝，故选：B．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二．填空题（每题2分，共16分）11．【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．【解答】解：∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴二次函数y＝x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x＝﹣1．故答案为：（﹣1，﹣1），x＝﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法，熟练配方是解题关键．12．【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，利用网格计算即可．【解答】解：tan∠ABC＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角三角函数的定义．13．【专题】压轴题．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，∵OB＝AB＝5，∴OD＝＝4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．14．【分析】把三点坐标代入二次函数解析式求出a，b，c的值，即可确定出二次函数解析式，然后把x＝2代入解析式即可求得．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），∴，解得：，则这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2．把x＝2代入得，y＝﹣×4+×2+2＝2．故答案为2．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15．【专题】动点型；与圆有关的计算；推理能力．【分析】由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，【解答】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×8+×2π×8＝8π，故答案为：8π．【点评】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度．16．【分析】观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“a＜0，c＞0，﹣＞0”，再由顶点的纵坐标在x轴上方得出＞0．①由a＜0，c＞0，﹣＞0即可得知该结论成立；②由顶点纵坐标大于0即可得出该结论不成立；③由OA＝OC，可得出x A＝﹣c，将点A（﹣c，0）代入二次函数解析式即可得出该结论成立；④结合根与系数的关系即可得出该结论成立．综上即可得出结论．【解答】解：观察函数图象，发现：开口向下⇒a＜0；与y轴交点在y轴正半轴⇒c＞0；对称轴在y轴右侧⇒﹣＞0；顶点在x轴上方⇒＞0．①∵a＜0，c＞0，﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，①成立；②∵＞0，∴＜0，②不成立；③∵OA＝OC，∴x A＝﹣c，将点A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c中，得：ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，③成立；④∵OA＝﹣x A，OB＝x B，x A•x B＝，∴OA•OB＝﹣，④成立．综上可知：①③④成立．故答案为：①③④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验证四条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的正负是关键．17．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【分析】先求出A1的坐标，再根据正方形的性质求出B1的坐标，再求出A2的坐标，根据正方形的性质求出B2的坐标，同理可得B3的坐标，分别找出横坐标和纵坐标的规律，即可求出B2n的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点A1的坐标为（0，1），∴OA1＝1，∵四边形A1B1C1O为正方形，∴OC1＝B1C1＝OA1＝1，∴点B1的坐标为（1，1），点C1的坐标为（1，0），当x＝1时，y＝x+1＝2，∴点A2的坐标为（1，2），∴A2C1＝2，∵A2B2C2C1为正方形，∴C1C2＝B2C2＝A2C1＝2，∴点B2的坐标为（3，2），点C2的坐标为（3，0），同理，可得点B3的坐标为（7，4），∴B2n的坐标为（22n﹣1，22n﹣1），故答案为：（22n﹣1，22n﹣1）．【点评】本题考查了一次函数与正方形的综合，涉及一次函数的图象上点的坐标特征，正方形的性质，找出横坐标和纵坐标的规律是解题的关键．18．【专题】压轴题．【分析】此题考查图形旋转问题，求出B点坐标代入函数就可以了．【解答】解：连接OB，∵旋转75°，∴x轴正半轴与OA的夹角为75°，∵∠AOB＝45°，∴OB与x轴正半轴夹角为75°﹣45°＝30°，过B作BD⊥x轴于D，∵BC＝OC＝1，∴OB＝，∴BD＝，∴OD＝，∴B（，），把B点坐标代入y＝ax2中得：，解之得：a＝．【点评】此题主要考查坐标转换问题，先给一个确定的坐标再通过旋转求出旋转以后的坐标，问题就解决了．三．解答题（共64分）19．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】（1）根据方程特点运用直接开平方法即可解答；（2）根据方程特点运用公式法即可解答；（3）运用十字相乘法进行因式分解即可解答．【解答】解：（1）（x+3）2﹣16＝0，移项得（x+3）2＝16，直接开平方得x+3＝4或x+3＝﹣4，解得x1＝﹣7，x2＝1；（2）2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣1）＝17，∴x＝，x1＝，x2＝；（3）2x2﹣x﹣15＝0，因式分解得（2x+5）（x﹣3）＝0，解得x，x2＝3．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各种方法并灵活运用．20．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：2sin30°﹣2cos60°+tan45°＝2×﹣2×+1＝1﹣1+1＝1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．21．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．【解答】解：（1）由题意得，，解得，，则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．22．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝4，在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得，R＝5，答：⊙O的半径为5cm．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．23．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（Ⅱ）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．【解答】（Ⅰ）证明：当m＝0时，此方程为一元一次方程，此时x＝1．方程有实数根，当m不等于0时，Δ＝（m+2）2﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（Ⅱ）解方程得，x＝，x1＝，x2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2，m＝2不合题意，∴m＝1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．24．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案．【解答】解：∵△ABC中，tan A＝，BC＝6，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝【点评】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．25．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】（1）直接利用顶点式代入函数解析式求出即可；（2）利用二次函数对称性进而求出抛物线与x轴的另一个交点即可；（3）根据二次函数的性质，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）2+1，将（3，0）代入函数解析式得：0＝a（3﹣2）2+1，解得：a＝﹣1．故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），∴其对称轴为直线x＝2，∵这条抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），∴这条抛物线与x轴的另一个交点的坐标为：（1，0）；（3）∵a＝﹣1，∴抛物线开口向下，∵抛物线与x轴交点坐标为（1，0）和（3，0），∴当1≤x≤3时，y≥0．【点评】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数对称性，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．26．【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据图象，可直接写出小明到达离家最远的地方需几小时，此时离家的距离；（2）根据函数图象中个的数据，可以计算出当2≤x≤3时，y与x的函数关系式，然后将x＝2.5代入求出相应的函数值．【解答】解：（1）由图象可得，小明到达离家最远的地方需3小时，此时离家25千米，故答案为：3，25；（2）当2≤x≤3时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，∵点（2，15），（3，25）在该函数图象上，∴，解得，即当2≤x≤3时，y与x的函数关系式为y＝10x﹣5，当x＝2.5时，y＝10×2.5﹣5＝20，即小明出发两个半小时离家20千米．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．27．【分析】（1）连接OE，由知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝3，即OE＝3，再根据三角形的面积公式得解．【解答】解：（1）如图，连接OE，∵，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵BF⊥GF，∴OE⊥GF，∴GF是⊙O的切线；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，解得：r＝3，即OE＝3，＝•OE•GE＝×3×＝9．则S△GOE【点评】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．28．【专题】整式；一元二次方程及应用；应用意识．【分析】（1）利用当天销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出当天销售该商品获得的利润；（2）利用日销售量增加的数量＝2×每件商品下降的价格，可用含x的代数式表示出日销售量增加的数量；利用每件商品的销售利润＝50﹣每件商品下降的价格，可用含x的代数式表示出每件商品的销售利润；（3）利用商场销售该商品的日盈利＝每件商品的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合为了尽快减少库存，即可得出每件商品应降价25元．【解答】解：（1）（50﹣3）×（30+2×3）＝（50﹣3）×（30+6）＝47×36＝1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）依题意得：商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元．故答案为：2x；（50﹣x）．（3）依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，整理得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，又∵为了尽快减少库存，∴x＝25．答：每件商品应降价25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．29．【专题】函数及其图象；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据分母不能为0，可得出x≠0；（2）①将x＝3代入函数解析式求出m的值即可；②用平滑的曲线，按照自变量由小到大的顺序依次连接，即可画出函数图象；（3）观察函数图象，找出函数的一条性质即可；（4）根据函数图象，找出≤3时，x的取值范围即可．【解答】解：（1）∵x在分母上，∴x≠0．故答案为：x≠0；（2）①当x＝3时，m＝+＝．故答案为：；②图象如图所示：（3）观察函数图象，可知：当x＞2时，y随x的增大而增大．故答案为：当x＞2时，y随x的增大而增大．（4）根据图象可知：≤3时，x的取值范围是：3﹣≤x≤3+或x＜0．故答案为：3﹣≤x≤3+或x＜0．【点评】本题考查了正比例函数、反比例函数，函数的图象与性质，自变量的取值范围，求函数值等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．30．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移4个单位长度，得到点C，∴C（4，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，∴a＞﹣，将x＝4代入抛物线得y＝5a，∴5a≥4，解得a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，解得a＜﹣，将x＝4代入抛物线得y＝5a，∴5a≤4，解得a≤，∴a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．31．【专题】代数几何综合题；新定义；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】（1）由3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，故点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+3），①M是点D、E的“美妙点”，则x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+3）＝m+9，即可求解；②分∠MEF为直角、∠MFE是直角两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，∴点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+3），①∵M是点D、E的“美妙点”．∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+3）＝m+9，∴m＝x﹣3，∴y＝（x﹣3）+9＝x+；②由①得，点M（9+3m，m+9），如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，6），∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2；∴点D（﹣2，2）；当∠MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，∴点D（﹣，）；综上，点D（﹣2，2）或（﹣，）．【点评】本题是一次函数综合题，考查了新定义，一次函数的性质，直角三角形的性质，理解新定义的概念，会运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．。
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； ； ；
．
6. 已知 A.
【答案】 C 【解析】
， B.
，则
的值为（ ）．
C.
D.
7. 若
． 的值为 ，则
的值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 ∵若
，
∴
，
∴
，
则
．
∴
．
8. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：
小明的做法是：原式 小亮的做法是：原式 小芳的做法是：原式
其中正确的是（ ）．
2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数 学试卷(详解)
一、选择题
（共20分，每小题2分）
1. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（
）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加 牛顿的压力才能使
米长的石墨烯断裂．其中
用科学记数法表示为（ ）．
A. 小明
B. 小亮
”． C. 小芳
【答案】 C 【解析】 原式
； ；
．
D. 没有正确的
， 所以小芳正确，故选 ．
9. 如图，已知
是等边三角形，点 是 上任意一点， 、 分别与两边垂直，等边三角
形的高为 ，则
的值为（ ）．
A.
【答案】 B 【解析】 ∵
∴
B.
是等边三角形， ，
C. ，
D. 不确定
又∵
【答案】 高铁列车的平均行驶速度为 千米/时．
【解析】 设普通快车的平均行驶速度为 千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为
时．
根据题意得
．
解得
．
经检验，
是所列分式方程的解，且符合题意．
∴
．
答：高铁列车的平均行驶速度为 千米/时．
千米/
26. 定义：任意两个数 ， ，按规则
扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”.
，
代入得原式
．
．
24. 如图，
和
是等边三角形，连接 ， ．求证：
．
【答案】 证明见解析． 【解析】 如图．
∵
和
是等边三角形，
∴
，
，
，
．
∴
．
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
．
25. 北京时间 年 月 日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得 年第 届冬季奥林匹克 运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成 为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批 复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约 千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速 度是普通快车的 倍，用时比普通快车用时少了 分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
．
（ 3 ） 将假分式
化成整式与真分式的和的形式：
．
【答案】（ 1 ）③
（2） （3）
; ，或
【解析】（ 1 ）根据题意可得，
，
，
都是假分式，
是真分式，
故答案为：③．
（ 2 ） 由题意可得，
，
若假分式
的值为正整数，
则
或
或
，
解得
或或．
（3）
，
故答案为：
．
30. 在等边
中，
（ 1 ） 如图 ， ， 是 边上两点，
．
（2）
．
【解析】（ 1 ）原式 ．
（ 2 ） 原式
．
22. 解方程：
．
【答案】
．
【解析】
检验：当 时，方程左右两边相等， ∴ 是原方程的解 ∴原方程的解是 ．
23. 回答问题： （ 1 ） 先化简，再求值：
，其中
．
（ 2 ） 已知
，
，求
的值．
【答案】（ 1 ） ．
（2）
．
【解析】（ 1 ）原式
将 （2）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】
．
2. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 根据轴对称图形定义，沿图形中间画一条垂线，直线两侧图形相同的是轴对称图
形．
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A.
B.
C. 【答案】 D 【解析】
．
【答案】 或 【解析】 ①当等腰
为顶角是锐角，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
②当等腰
顶角为钝角，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
18. 已知
是正整数，则实数 的最大值为
【答案】 【解析】 由题
是一个完全平方数，且
． ，故其最小值为 ，
此时 取得最大值为
．
19. 关于 的分式方程
的解为正数，则 的取值范围为
．
【答案】 且
【解析】 方程两边同乘
叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称
为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：
；
．
（ 1 ） 下列分式中，属于真分式的是：
（填序号）．
①
；②
；③
；④
．
（ 2 ） 将假分式
化成整式与真分式的和的形式为：
．
若假分式
的值为正整数，则整数 的值为
，
，
∴
，
同理，
，
∴
在等边
中，高
∴
，
又∵等边三角形的高为 ，
∴
．
，
， ，
10. 如图，点 是
外的一点，点 、 分别是
两边上的点，点 关于 的对称点 恰好
落在线段 上，点 关于 的对称点 落在 的延长线上．若
，
，
，则线段 的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵点 、 关于 对称，
∴
，
∵
，
周长最小的点．
老师说：“小阳的作法正确．”
请回答：小阳的作图依据是
．
【答案】 两点之间线段最短；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【解析】 两点之间线段最短；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
三、解答题
（共60分） 21. 计算：
（1） （2）
． ．
【答案】（ 1 ）
想法 ：要证
，只需证
是等边三角形．
想法 ：在 上取一点 ，使得 ．
，要证
，只需证
≌
请你参考上面的想法，帮助小茹证明
【答案】（ 1 ）
．
（ 2 ）1 画图见解析．
2 证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即
（ 2 ）1
为
的外角，
．
为等边三角形，
．
，
，
，
，
，
．
（一种方法即可）．
得：
，
解得：
，
∵且
，
∴
，
解得： 且 ． 故答案为： 且 ．
20. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图， ， 是直线 同侧两点，请你在直线 上确定一个点 ，使
的周长最小．
小阳的解决方法如下： 如图，
（1）作点 关于直线 的对称点 ；
（2）连接 交直线 于点 ；
（3）连接 ， ．
所以点 就是使
（ 1 ）若
， ，直接写出 ， 的“如意数” ；
（ 2 ） 如果
，
，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数”
；
（ 3 ） 已知
，且 ， 的“如意数”
，则
．(用含 的
式子表示)
【答案】（ 1 ） （2） （3）
【解析】（ 1 ） （ 2 ）∵ ∴
． ．
． ，
∵ ∴．
（3）
．
27. 如图， ．
中，
， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，且
，连接
（ 1 ）若 （ 2 ）若
，求 的度数． 的周长为 ，
，求 长．
【答案】（ 1 ） ． （2） ．
【解析】（ 1 ）∵ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
（ 2 ）∵
周长 ，
，
∴
，
即
，
∴
，
即 的长为 ．
28. 如图，已知直线 及其两侧两点 ， ．
图 （ 1 ） 在直线 上求一点 ，使点 到 ， 两点距离之和最短．（画在图 上）
，那么 的取值范围是
．
，
14. 如图，正方形的边长为 ，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】
【解析】 ∵正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为
．
15. 比较大小：
【答案】 【解析】 ∵
∴ ∴
．（填“ ”、“ ”、“ ”）
，
．
．
．
16. 在实数范围内因式分解： 【答案】 【解析】
． ．
17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形的底角的度数为
，
，求
的度数．
图