曲线积分与曲面积分习题课
曲线积分及曲面积分习题46页PPT
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
闭合
Q P
I
( D
x
)dxdy y
y x 非闭 补充曲线或用公式
例 计算
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y0.
解 P (exsiy n m ) e yxco y m s y y
Q (exco ys m )exco ys x x
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
二、典型例题
对坐标的曲线积分
P(x,y)dxQ(x,y)dy的计算法
L
思路
ILPdxQdy
(x,y)
I
PdxQdy非闭
(x0,y0)
P
Q
ILPdxQ dy0f(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
曲线积分与曲面积分习题课0657
提示:
完整ppt
23
首 上 下 返回 束
提示: 方法1 利用称性
完整ppt
24
首 上 下 返回 束
方法2 利用斯托克斯公式 三角形区域 , 方向向上,
完整ppt
25
首 上 下 返回 束
提示: 以半球底面 助面 ,
且取下 , 半球域 ,利用
高斯公式有
完整ppt
7
首 上 下 返回 束
或：
注: 格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面区域 D(空曲面 Σ)上重分 (曲面分 )与界曲 上曲分之关系 .
完整ppt
8
首 上 下 返回 束
2. 基本技巧
(1) 利用称性化算 ;
(2) 利用分与路径无关的等价条件 ;
于曲分
直段 (合 P、Q考 ).
(3) 利用格林公式(适用于封曲 )化定分 .
注: 若曲 L不是封的 ,直接算又困 , 可考添
加
助曲 C, 使L+C完封整ppt 曲 , 再利用格林公式.6
首 上 下 返回 束
(4) 利用斯托克斯公式(适用空封曲分 ). 利用行列式号可：
L参数方程
L直角坐方程
完整ppt
L极坐方程
4
首 上 下 返回 束
坐的曲分 算方法： (1) 直接化参量的定分
注: 下限起点 , 上限点
完整ppt
5
首 上 下 返回 束
(2) 利用分与路径无关的条件
若
, 分只与 L的起点与点有关
,故可取便于算的路径 ,如折段、弧段、
完整ppt
2
首 上 下 返回 束
弧的曲分 解步： (1) 写出曲 L方程及相弧微分公式 ds ① L参数方程 :
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(一)
2 [ a cos t ( a sin t ) b sin t ( b cos t )] dt 0
- 12 -
a b
2
2
2
习 题 课（一）
三 格林公式及其应用 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
第 十 章
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P x y d xd y D
y dx
L
2
2
2
-8-
习 题 课（一）
（3） L ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y ) dz , 其中
2 2 2 2 2 2
L
为球面的一部分
x y z 1, x 0 , y 0 , z 0
2 2 2
第 的围线，其方向从 z 正向看去是逆时针的。 十 y2 z2 1 章 z 解 L L1 L 2 L 3 x 0 曲 L2 x2 z2 1 x cos t 线 积 L y 0 L3 t :0 1 y sin t 分 2 o 与 z 0 L1 曲 x x2 y2 1 面 积 z 0 分 y cos t z cos t t :0 L 3 x sin t L 2 z sin t t :0 2 2 x 0 y 0
Pd x Qd y
L
曲 在D 内具有一 线 设D 是单连通域 , 函数 积 分 阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 与 P Q . 曲 (1) 在 D 内每一点都有 y x 面 积 Pd x Qd y 0 . 分 (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L
A11-曲线积分与曲面积分习题课习题课
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y)]1 zx 2 zy2 dxd
D xy
(dS面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
其中 L P Q d x L d ( P c yo Q c so ) ds s
PdydzQdzdxRdxdy
(Pcos Qcos Rcos)dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
y C
B(x A 2 y )d x (y 2 x )d y D
曲线积分与曲面积分习题课
（一）曲线积分与曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
辽宁工业大学高数习题课(10)
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
0
1
从而
I
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
曲线积分与曲面积分
练习题-1、∫e矿ds,其中L为圆周x2+y2=a,直线y=x-及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、∫x2yzds,其中L为折线ABCD,这里A,B,C,D-依次为点0,0,0，0,0,2，1,0,2， ,3,2：-3、∫x2+y2ds,其中L为曲线-[x=acost +tsint-y=asint-tcost 0≤t≤2π；-上页-返回
注意：-1.定积分的下限a一定要小于上限B;-2.fx,y中x,y不彼此独立，而是相互有关的-上页-下页回
例1求1=5d,L:椭圆--acost,-ly =bsint,-第I象限-Iacost.bsint -as nbcosdt-absint costsimcodt--。小ha=an7+a0-aba2+ab +b2-3 +b-上页-返回
2-化为对y的积分-=y2-B1,1-0.8-L:x=y2,y从0变到1，-0.6-0.4-原式=2y2: 2y+yM-0.2-0.40.6-o.640-=5y'dx -1.-1.4-3原式=o2xydx+xd-+ xyde+xdy-0.20.40.6-0101.2-上页-返回
在OA上，y=0,x从0变到1，-2xydx+xdy=[2x.0+x2.Od-B1,1-0.8-0.6-= .-0.2-在AB上，x=1,y从0变到1，-0.20.40.60f101.2-∫n2x+x24=2y.0 1=1.-.原式=0+1=1.-问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但-路径不同而积分结果相同.-上页回
曲线积分与曲面积分-上页-下页-返回
一、对弧长的曲线积分的概念-1.定义函数fx,y在曲线弧上对弧长的曲线积分-J,fx,d=m2fG,n.→0-i=1-n-1-M-M2-4-上页-返回
习题课曲线曲面积分练习题二
曲线、曲面积分练习题二（一）利用积分与路径无关的条件求解对坐标的曲线积分1、计算cos cos [sin ln()]x xx x L e e e e xy dx dy x y-+⎰，其中L 是圆周22(2)(2)2x y -+-=沿正向从点(1,1)A 到点(3,3)B 的一段圆弧.2、设()f x 在(,)-∞+∞有连续导数，求2221()[()1]L y f xy x dx y f xy dy y y++-⎰，其中，L 是从点2(3,)3A 到点(1,2)B 的直线段. 3、计算22L ydx xdy x y -+⎰，其中L 为： （1）圆周22(1)(1)1x y -+-=的正向；（2）正方形边界1x y +=的正向.4、设函数)(x f 在),(∞+-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，起点为),,(b a 终点为),,(d c 记⎰++=L dx xy f y y I )](1[12,]1)([22dy xy f y yx - (1)证明曲线积分I 与路径无关；(2)当cd ab =时，求I 的值。
5、设函数)(y ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++L y x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为常数。
则(1)对右半平面0>x 内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰L y x xydy dx y ϕ；(2)求函数)(y ϕ的表达式。
（二）利用格林公式求解对坐标的曲线积分 6、设C 为曲线32y x =和直线y x =所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分23C x ydx y dy +=⎰( )(A) 1;44 (B)1;44- (C)23;44 (D)23.44- 7、计算[sin ()](cos ),x x L I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.8、计算下列曲线积分[()cos ][()sin ]AMB I y x y dx y x dy ϕπϕπ'=-+-⎰，其中AMB 为连接点(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 之下方的任意曲线段，且该曲线与线段AB 所围图形面积为2.9、已知平面区域},0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D L 为D 的正向边界，试证sin sin sin sin 22y x y x L L xedy ye dx xe dy ye dx π---=-≥⎰⎰.（三）利用斯托克斯公式求解空间曲线上对坐标的曲线积分10、 计算333,z dx x dy y dz Γ++⎰，其中Γ是222()z x y =+与223z x y =--的交线，从Oz 轴的正向看Γ是逆时针方向的.（四）利用四个等价命题求解有关问题11、确定常数λ，使在右半平面0x >上，422422()()xy x y dx x x y dy λλ+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y .(五)第一类曲面积分12、计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分. 13、计算,zds ∑⎰⎰其中，∑为柱面222x y R +=被0,0,0x y z ===及1z =截得的第一卦限的部分. 14、计算2,z dS ∑⎰⎰其中∑为球面2222.x y z a ++= 15、计算,xdS ∑⎰⎰其中∑为圆柱面221x y +=被平面2z x =+及0z =所截得的部分. 16、计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是线段(01)0z y z x =⎧≤≤⎨=⎩绕Oz 轴旋转一周所得到的旋转曲面. 17、计算曲面积分⎰⎰∑,zdS 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的部分。
曲线积分和曲面积分-习题课
环流量 Pdx Qdy Rdz 旋度
R Q P R Q P rotA ( )i ( )j ( )k y z z x x y
二、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 转化 定积分
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
L
Pdx Qdy
(
D
Q x
P y
)dxdy
A(M )为平面向量场
或
Qdx Pdy
L
(
D
P x
Q y
)dxdy
ห้องสมุดไป่ตู้
L
A ds
( rotA k )dxdy
dy
z2 ( x , y )
y1 ( x )
f ( x , y , z )dV
b
b
a
dx
y2 ( x )
f ( x , y , z )dz , (dV体元素)
y1 ( x )
z1 ( x , y )
f ( x , y )ds
L
f [ x , y( x )] 1 y dx , (ds线元素(曲))
三代一定
( )
二代一定 (与方向有关)
与路径无关的四个等价命题
条 件 等
价 命 题
在 单 连 通 开 区 域 D 上 P ( x , y ), Q ( x , y ) 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
曲线积分曲面积分习题课
曲线积分曲面积分习题课1．计算 ⎰=Lydx I ，其中L 为椭圆12522=++y xy x 的正向。
2． 计算 r d F L⎰⋅，其中{}y x x z z y F ---=,, ，L 为圆周：⎩⎨⎧==++βtan 2222x y a z y x ，20πβ<<，从x 轴正向看为逆时针方向。
3．质点M 沿着以AB 为直径的半圆, 从A (1,2) 运动到点B (3, 4)，在此过程中受力F作用，F的大小等于点M 到原点的距离，其方向垂直于OM ，且与 y 轴正向夹角为锐角，求变力F对质点M 所作的功。
4. 设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4242)(ϕ的值恒为同一常数。
（1）证明：对右半平面0>x 内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有042)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ。
（2）求函数)(y ϕ的表达式。
5.设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意0>t ，都有),(),(2y x f tty tx f -=，证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰Ldy y x xf dx y x yf 。
6. 设),(y x Q 在xoy 平面上具一阶连续偏导数，曲线积分⎰+Ldy y x Q xydx ),(2与路径无关，并且对任意的t ，有：⎰+)1,()0,0(),(2t dy y x Q xydx =⎰+),1()0,0(),(2t dy y x Q xydx ，求),(y x Q 。
7.计算dS z x S⎰⎰2，其中S 是柱面az z x 222=+被22y x z +=所截部分。
8．设P 是椭球面 1:222=-++yz z y x S 上的动点，若S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分 ⎰⎰∑-++-+=dS yzz y z y x I 44|2|)3(22，其中∑是椭球面S 上位于曲线C 上方的部分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考题
1. 设L 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形依
逆时针方向的周界，则曲线积分=⎰++L y x dy
dx ||||
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) –1
2. 设Ω是平面块：y=x,10,10≤≤≤≤z x 的右侧，则⎰⎰Ω
ydydz
的值是（ ）
3. 设Ω是平面4=++z y x 被园柱面
12
2=+y x 截下的有限部分，则⎰⎰Ω
yds 的值是：
（A ）π
（B ）33
4
（C ）34 （D ） 0 4. 设f(x)连续可微，且f(0)=2，若沿任意光滑封闭曲线L 都是：
⎰=+-L
x dy x f dx x f e 0)()](3[2,则f(x)= (A)x x
e e
23-- (B)x x e e --23
(C)x
x e e 2+- (D)x x e e 2---
5. 设S 是锥面22y x z +=
被平面ｚ＝０和ｚ＝１所截得
部分的外侧，则曲面积分
)()2(2
=-++⎰⎰dxdy z z ydzdx xdydz S
ππ
π
2
3)(32)(0
)(2
3)(D C B A -
6.设∑为由2
2
2y x z +=与)0(00 z z z =所围立体之表面
的内侧，则⎰⎰∑
dxdy z ＝
（ ） 2
2
2
2
3)()(3)()(z D z C z B z A ππππ--
7. 设2
22:a y x D ≤+，则⎰⎰==D
dxdy xy I )(
44
4
)(2
)
()(0
)(a D a C a B A π
9.，并设曲线积分是连续可微函数，且若1
)0()(=ϕϕx ⎰
-=)
4,4()
0,0()(tan )(π
πϕϕdy x xdx x y A
之值为与积分路径无关，则A
8
2
)(8
2)
(2
2
)(22)
(-
-
D C B A
10. 若∑为
)(22
2y x z +-=在xoy 面上方部分的曲面 , 则⎰⎰∑
ds 等于( C ).
(A)⎰⎰⋅+r
rdr r d 0
2
20
41π
θ (B)⎰
⎰⋅+2
22041rdr r d πθ
(C)⎰⎰⋅+2
022041rdr r d πθ
11. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高公式正确的是( B ).
(A)⎰⎰∑++外侧
dxdy y z dydz x )2(2 =
⎰⎰⎰Ω
+dxdydz x )22(
(B)⎰⎰∑+--外侧
zdxdy ydzdx x dydz yz x 232)(= ⎰⎰⎰Ω
+-dxdydz x x )123(2
2 (C)⎰⎰∑++内侧
dxdy y z dydz x )2(2
=⎰⎰⎰Ω
+dxdydz x )12(
12. L 为圆周，L 是
12
22=++z y x 与0=++z y x 的交线，其方向由x 轴正向看去为 逆时针方向，那么⎰
=++L
xdz zdy ydx
13.设S
是平面=++z y x 4
被圆柱面
12
2=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰S
yds 的
值是 14.设曲线积分⎰+L
dy x y dx xy )(2ϕ与路径无关，其中)(x ϕ具
有连续导数，且0)0(=ϕ，则⎰+)
1,1()
0,0(2
)(dy x y dx xy ϕ= 15. 设闭区域
D
由分段光滑的曲线
L
围成,函数
),(),,(y x Q y x P 及在
D
上具有一阶连续偏导数,则有
⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y
P
x Q )(
________________ 16.
利用高斯公式计算曲面积分
dxdy z dzdx y dydz x 333++⎰⎰∑
，其中∑为球面2222a z y x =++的外
侧
17.设曲线积分
⎰+L
dy x y dx xy
)(2
ϕ与路径无关，其中
)(x ϕ具有连续导数，且0)0(=ϕ，
计算⎰+)
1,1()0,0(2
)(dy x y dx xy ϕ的值
18. 求dy m y e dx my y e x L
x )cos ()sin (-+-⎰,其中m 为常数，L 为沿上半园周)0,0(2
2≥>=+y a ax y x ，从点A(a,0)
至点O(0,0).
19. 计算yzdz x ⎰Γ，其中Γ是用平面z y =截球面1222=++z y x 所得的截痕，从z 轴的正向看去，沿逆时针方向
20. 计算..,2
2222的上侧为其中y x R z dxdy y x z ---=∑+⎰⎰
∑
21.计算曲线积分
,)(sin ydx dy e x y L
-+⎰212)0,1(x y A L -=沿是从点其中到点)0.1(-B 的上半椭圆.
22.利用高斯公式计算22
()()z y dzdx x z dxdy ∑
-+-⎰⎰，其中∑为
旋转抛物面22
1z x y =--在01z ≤≤部分的外侧
23. 设曲线积分
⎰+-L
dy x dx x x y x y )()tan )(2sin (ϕϕ与路
径无关，其中)(x ϕ具有连续导数，且2)
0(-=ϕ.
1）求函数)(x ϕ； 2）计算⎰
+-)
4,4()
0,0()()tan )(2sin (π
πϕϕdy x dx x x y x y .
24.求均匀曲面2
22y x a z --=的质心的坐标.。