切线长定理及三角形的内切圆

如图，P为⊙O 外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
OP交 ⊙O于C，若PA＝6，PC＝2 ，求3 ⊙O的半径OA
及两切线PA、PB的夹角。
解：连接OA，则OA⊥AP
A
在Rt△AOP中，设OA＝x 则OP＝ x＋2 3
O· c
·P
∴OA2＋PA2＝OP2
即 x2＋62＝（x＋2 3）2
B
解得x＝2 3 ，即OA＝OC＝2 3
证明：连接ＢＤ．
∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径
12
D
∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线
∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点
· A E O B
∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２
∴ＯＣ⊥ＢＤ
∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径
∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ
∴ＤＥ∥ＯＣ
练习：
• 1、如右图，PA，PB分别为⊙O为的切线， PA=3cm，
• ∠APB=60°，则∠APO= ，PB= ， • ∠AOP= • 2、如图，PA，PB分别为⊙O为的切线，
复习引入：1. 过圆O上点A，你能作出圆的切线？（说出画法） 2. 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相
切？角平分线的判定和性质是什么？
如图，已知⊙O外一点P，你能作几条直线 与⊙O相切？
用尺规过作图 A
o
· o′
p
B
通过作图你能发现什么呢？
1.过圆外一点作圆的切线可以作两条 2、A、B关于直线PO对称。
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得
B
PA 2 + OA 2 = OP 2
即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm
所以，半径 OA 的长为 3 cm.
2： 问题 （1）若PO与圆相分别交于C、D,连接 AB于PO交于点E,图中有哪些相等的线 段？有哪些相等的角，有哪些相等的 弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些 全等的三角形。 （2）你能说说在什么情况下适用切线 长定理？
∴OP⊥AB，且OP平分AB
A⌒D与B⌒D 相等吗？
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一 点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切 点所成的弧。
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点. 直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形.
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线
段的长，叫做这点到圆的切线长。
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心 的连线平分两条切线的夹角
∵ PA、PB是⊙O的切线，
A
A、B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
o
·
p
又∵OA＝OB，OP＝OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
B
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
②内切圆的作法
• 已知△ABC，画它的内切圆⊙O • 作法： • 1、分别作∠A，∠B的 ，两平分线交
于点O • 2、过点O作AB的垂线段，交AB于D • 3、以点 为圆心，以 的长为半径，画
圆
• 例1：△ABC 的内切圆⊙O 与AC、AB、 BC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘 米，
• BC＝9厘米，AC＝6厘米， 求AE、BF和
PO=13， • OB=5，∠AOB=150°，则∠APO= ，
PA= 。
3. 三角形的内切圆
• ①内切圆相关概念 • 如图3，与三角形各边都 的圆叫做三角 • 形的 ，三角形的内切圆的圆心叫 • 做三角形的 ． • 这个三角形叫做圆的 ．三角形的内
心就是三角形三条内角 的交点． • 即：如图3，如果⊙I与△ABC的三边 ， • 则⊙I叫做△ABC的 ，圆心I叫做
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
解：(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A
∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点
o
·C D
p
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
B
如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？
∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
∴OP＝4 3 在Rt△AOP中，OP＝2OA ∴∠APO＝30° ∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠APB＝2∠APO＝60°
∴⊙O的半径为2 3，两 切线的夹角为60°
例2 如图，已知：在△ABC中，∠B＝9Hale Waihona Puke Baidu°，O是 AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB
于点E，与AC交于点D。求证：DE∥OC C
CD的长。
y4
• 小结： • 1、切线长定理：从圆外一点可以引
圆的两条切线，切线长相等。这一点
• 与圆心连线平分两条切线的夹角。 • 2、三角形的内切的内心是三角形三条
角平分线的交点，它到三角形三条边
• 的距离相等。