函数定义域与解析式
04 函数的概念、定义域及解析式(考点+解析)
1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：y =f (x )，x ∈A 。
注意：（1）“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x )”；（2）函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A →B ”。
6．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系) A .f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln x B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝1－x 2，g (x )＝1－|x |，x ∈【－1,1】D ．f (x )＝log a a x (a >0且a ≠1)，g (x )＝3x 3【分析】 对于两个函数y ＝f (x )和y ＝g (x )，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y ＝f (x )和y ＝g (x )才表示同一函数．若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然．【解析】 A 定义域不同，B 值域不同，C 对应法则不同，故选D.【拓展练习】1．下列各组函数是同一函数的是（ ）①32)(x x f -=与x x x g 2)(-=， ②x x f =)(与2)(x x g =，③0)(x x f =与1)(=x g ，④12)(2--=x x x f 与12)(2--=t t t g A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 【解析】：①定义域不同 ③定义域不同0)(x x f = k 中0≠x ②④中两个函数定义域，解析式，值域相同，是相同函数 答案：C【例2】(RJA1第22页题改编)以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11+x ；(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ； (3)A ＝{α|0°≤α≤180°}，B ＝{x |0≤x ≤1}．f ：求余弦；(4)A ＝{平面α内的矩形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：作矩形的外接圆．【分析】 应该这样思考，什么是映射？映射这个概念应满足什么要求？然后作出判断．【解析】 (1)当x ＝－1时，y 值不存在，所以不是映射．(2)不是映射，如A 中元素x ＝1时，在f 作用下，B 中有两个元素±1，不具备惟一性．(3)不是映射，例如当α＝180°时，在B 中没有元素与之对应．(4)由于平面内每一个矩形只有一个外接要点 梳 理 考点剖析相同函数判断问题 判断是否是映射问题 第4讲函数的概念、定义域及解析式圆与之对应，所以这个对应是从集合A 到B 的一个映射． 【点评】 欲判断对应f ：A →B 是否是从A 到B 的映射，必须做两点工作： ①明确A 、B 中的元素．②根据对应判断A 中的每个元素是否在B 中能找到惟一确定的对应元素． 【拓展练习】2.已知A ＝{1，－1}，映射f ：A →A ，则对于x ∈A ，下列关系中一定错误的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝－1C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝x ＋2【解析】 对于对应法则：f (x )＝x ＋2，当x ＝1时，x ＋2＝3∉A ＝{1，－1}；而对应法则f (x )＝x ，f (x )＝－1，f (x )＝x 2能使“若x ∈A ，则f (x )∈A ”成立，故选D.【例3】(2015全国1文12)设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a=--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.【考点】函数对称；对数的定义与运算【名师点睛】对已知两个函数的关系及其中一个函数关系式解另一个函数问题，常用相关点转移法求解，即再所求函数上任取一点，根据题中条件找出该点的相关点，代入已知函数解析式，即可得出所求函数的解析式.【拓展练习】3.(2015全国1文10)已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14-【解析】∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A.【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解. 4.(2016·山东文9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝f 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.2【解析】 当x ＞12时，f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝f 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.【例4】(2015湖北文6)函数256()4||lg3x x f x x x -+--的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得44≤≤-x ,2>x 且3≠x ，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性. 【拓展练习】 5.(2014·山东文3) 函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2. C求函数解析式 函数的定义域6.(2014山东理)函数f (x )＝1log 122-）（x 的定义域为( )A.⎪⎭⎫⎝⎛210， B ．(2，＋∞) C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，∪(2，＋∞) D.⎥⎦⎤⎝⎛210，∪[2，＋∞)【解析】 (log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求的定义域是⎪⎭⎫⎝⎛210，∪(2，＋∞)． 7.(2016全国2文10）. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．8.(2014江西理) 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)【解析】由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 9.(2015重庆文3)函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1)(C)(,3][1,)-∞-+∞(D) (,3)(1,)-∞-+∞ 【解析】由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ，故选D.【考点定位】函数的定义域与二次不等式. 【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解.本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零..【例】已知221)1(xx x x f +=+ ,求)1(-x f .【错解】 由已知得 2)1()1(2-+=+xx x x f , ∴2)(2-=x x f∴122)1()1(22--=--=-x x x x f . 【错解分析】 在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的变化而致错.也就是说在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换【正解】 由已知得2)1()1(2-+=+x x x x f ,但xx 1+≥2,则2)(2-=x x f (|x |≥2),从而122)1()1(22--=--=-x x x x f (x ≥3或x ≤-1).1．(2013·安徽文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【解析】当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．【点评】本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力．2．a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1【解析】 ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (ba )＝1，则有ba ＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (ba )＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.3.(2013·安徽文11) 函数y ＝1ln(1+)x+________．【解析】 实数x 满足11+x>0且21x －≥0.不等式11+x >0，即1x x+>0，解得x >0或x <－1；不等式21x －≥0的解为－1≤x ≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．4.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =___； 【解析】：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()5(5)11(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。
函数解析式、定义域、值域
的充要条件是
m 0
(6m)2
4m(m
8)
0
0
m
1
综上可知0≤m≤1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问
题。
例4 已知函数 f (x) kx 7 kx 2 4kx 3
三：换元法
• 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无 理函数化为代数函数来求函数值域的方法 (关注新元的取值范围).
• 例3 求函数 y=x- x-1 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法， 它可以使复杂问题简单化，但是在解题的 过程中一定要注意换元后新元的取值范围。
3、求下列函数的值：
是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。
解：因为1≤x≤2, 2≤2x≤4,
3≤2x+1≤5. 即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。
(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。 解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.
所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即 {x|-1/3≤x≤1/3}。
例3 已知函数 y mx 2 6mx m 8
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R 都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。
不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。
定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。
常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。
1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。
2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。
值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。
-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。
-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。
3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a=1时，指数函数的值域为{1}。
4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于具体的三角函数类型。
-正弦函数的值域为[-1,1]。
-余弦函数的值域为[-1,1]。
函数的定义域、解析式、值域
函数的定义域一、几类函数的定义域（1）如果f(x ）是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x ）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。
（4）如果2[()]f x ，那么函数的定义域是使f(x)不等于0的实数的集合。
（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即求各集合的交集）（6）满足实际问题的意义。
二、例题讲解例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例2 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x 11111++ ④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y例3 若函数a ax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （） Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x +=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =例8、若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，求实数m 的取值范围练习、若函数222(1)(1)1y a x a x a =-+-++的定义域为R ，求实数a 的取值范围例9、（1）设二次函数f （x ）满足f （x-2）=f （-x-2），且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f （x ）的解析式；（2）已知,2)1(x x x f +=+求f （x ）（3）已知f （x ）满足x xf x f 3)1()(2=+，求f （x ）例10、若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是_______________________例11. 已知函数m mx mx y ++-=862的定义域为R.(1)求实数m 的取值范围;(2)当m 变化时,若y 的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.例12. 若函数y=x 2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],则m 的取值范围( )A.(0,8]B.[3,8]C.[3,6]D.[3,+∞)例13. 已知1()1f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或函数的解析式我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
函数解析式与定义域
2014-7-11
技法
求函数值域的方法
一､换元法 【典例1】求函数y x 1 2 x的值域. t2 1 [解]令t 1 2 x (t≥0), 则x , 2 2 t2 1 1 2 所以y t t 1 1 t≥0 , 2 2 2 所以y ,1.(也可画图象得出)
第五讲
函数的定义域与值域
2014-7-11
回归课本
1.函数的定义域
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.
注意:(1)确定函数定义域的原则: ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的 集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投 影所覆盖的实数的集合;
这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域
必须写成集合或区间的形式.
2014-7-11
(2)确定函数的定义域
①当f(x)是整式时,其定义域为R.
②当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合.
③当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等 于0的实数的集合. ④对于x0,x不能为0,因为00无意义.
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二､配方法
【典例2】 求二次函数y=x2-5x+6(-3≤x≤2)的值域.
2014-7-11
[解]因为y x 2 5x 6, 且 3≤x≤2, 5 1 所以y x .因为 3≤x≤2是 2 4 函数减区间的一部分, 所以y max
3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其 值域为( )
A.{-1,0,3}
C.{y|-1≤y≤3}
B.{0,1,2,3}
函数的定义域与解析式
2．已知函数 f(x)的定义域是[－1,1]，求 f(log2x)的定义域．
解：∵函数 f(x)的定义域是[ －1,1] ，∴－1≤log2x≤1， 1 1 ∴ ≤x≤2.故 f(log2x)的定义域为 2，2. 2
三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有： 解析法 、 列表法 和 图象法 ．
四、分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别 用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 域等于各段函数的值域的 但它表示的是一个函数． 并集 ，其值
第二章 函数、导数及其应用
一、函数与映射的概念
二、函数的有关概念 1．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， x的取值范围A 叫做函 数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 2．函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 ．
函数的值域
[例 2] 求下列函数的值域： 1 (1)f(x)＝ ； (2)f(x)＝x－ 1－2x； 2＋ x－ x2 (3)f(x)＝log3 x＋logx 3－1.
12 9 9 [听课记录] (1)(配方法)由于 2＋x－x ＝－(x－ ) ＋ ≤ ，此时有三种 2 4 4 1 9 1 9 情况，若－(x－ )2＋ ＜0，则 y＜0；若－(x－ )2＋ ＝0，则 y 无意义； 2 4 2 4 1 9 9 1 4 若 0＜－(x－ )2＋ ≤ ，则 y＝ ≥ . 2 4 4 1 9 9 －x－ 2＋ 2 4 4 ∴函数的值域为(－∞，0)∪[ ，＋∞)． 9
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结
一、常见函数解析式
1、二次函数
解析式：y=ax2+bx+c
定义域：全实数集
值域：ax2+bx+c的值
2、三角函数
解析式：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx
定义域：全实数集
值域：[-1,1]
3、反三角函数
解析式：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，
y=arcsecx，y=arccscx
定义域：-[1,1],(-∞,+∞)
值域：[-π/2,π/2]
4、双曲函数
解析式：y=sinhx，y=coshx，y=tanhx，y=cothx，y=sechx，y=cschx 定义域：全实数集
值域：[-1,1]
5、对数函数
解析式：y=lgx，y=lnx
定义域：x>0
值域：(-∞,+∞)
6、指数函数
解析式：y=ex
定义域：全实数集
值域：(0,+∞)
二、定义域和值域的求法
1、函数的定义域
定义域的求法：一般取出函数的变量，求出它所在的域，如果有多个变量，一般要满足多个变量的取值范围，才能满足函数的定义域，比如：函数f(x,y)=x2+y2，则它的定义域就是x,y取得所有实数
2、函数的值域
值域的求法：一般取定义域，将变量取不同的值，将函数求出不同的值并且收集，得到函数的值域，比如：函数f(x)＝x2+x+2，值域就是1，3，5，7……。
函数的定义域与解析式 - 解析版
函数定义域与解析式【教学目标】一、函数定义域【知识点】1.函数是一种非空的数集组成的映射，是从自变量x 到应变量y 的对应关系；期中x 的范围叫做定义域；2.定义域的常见形式有分式，根式，指数，对数，复合函数以及抽象函数；【定义域常见类型】一 、具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集二 、抽象函数常见类型1.已知()f x 定义域求()()f g x 定义域2已知()()f g x 定义域求()f x 定义域3. 已知()()f g x 定义域求()()f h x 定义域（一）具体函数【例题讲解】★☆☆例题1：求函数11y x =+的定义域； 答案： {}|1x x ≠−解析： 10,1x x +≠≠−，{}|1x x ∴≠−★☆☆练习1．求函数2123y x x =−−的定义域； 答案：{}|13x x x ≠−≠且解析：2230x x −−≠()()310x x −+≠，{}|13x x x ∴≠−≠且★☆☆例题2． 求函数y答案：{}R|1x x ∈≥解析：,x x −≥≥101，{}R|1x x ∴∈≥★☆☆练习1：求函数y =答案：[)(,-],−∞⋃+∞13解析：2230x x −−≥，()()310x x −+≥13x x ≤−≥或，(][),,∴−∞−⋃+∞13 ★☆☆例题3．求函数()023y x =−的定义域 3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭解析：230x −≠3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆练习1求函数0221x y x −⎛⎫= ⎪+⎝⎭的定义域 ()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆例题4．．求函数y解析：1010x x −≥−≥且★☆☆练习1．求函数()04y x =−的定义域； 答案：(][)(),13,44,+−∞−∞解析：2230x x −−≥且40x −≠(][)(),13,44,+x ∴∈−∞−∞（二）抽象函数★☆☆例题5．已知()f x 定义域是[]1,3，求()21f x +的定义域答案：[]0,1解析： 因为()f x 的定义是[]1,3,即()f x 中,[]1,3x ∈,那么()21f x +中,[]211,3x +∈,得[]0,1x ∈则()21f x +中,[]0,1x ∈∴ ()21f x +的定义域是[]0,1★☆☆练习1．已知()f x 定义域是()0,1，求()2f x 的定义域答案： ()()1,00,1−解析：因为()f x 的定义是()0,1,即()f x 中,()0,1x ∈,那么()2f x 中, ()20,1x ∈,得()()1,00,1x ∈−则()2f x 中, ()()1,00,1x ∈−∴ ()2f x 的定义域是()()1,00,1x ∈−★☆☆例题6．已知()1f x −定义域是[]3,3−，求()f x 的定义域.答案：[]4,2−．解析：∵()1f x −的定义域为[]3,3−，即33x −≤≤∴412x −≤−≤即函数()f x 定义域为[]4,2−．★☆☆练习1已知)2f 定义域是[]4,9，求()f x 的定义域答案：[]0,1即函数()f x 定义域为[]0,1．★☆☆例题7．已知()21f x +定义域是()3,5，求()41f x −的定义域答案：()2,3.解析：∵(21)f x +定义域为()3,5，即35x <<，∴72111x <+< ，则()f x 定义域为()7,11，∴(41)f x −定义域为74111x <−<，∴23x <<．即()41f x −的定义域为()2,3.★☆☆练习1已知()1f x +定义域是()2,3−，求()222f x −的定义域2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝解析：∵()1f x +定义域为()2,3−，即23x −<<，∴114x −<+< ，则()f x 定义域为()1,4−，∴()222f x −定义域为21224x −<−<， 2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝★☆☆例题8．若函数()f x = 的定义域为R ，则实数a 的取值范围.答案：(],0−∞解析：偶次根号下非负，当x 的范围为R 时，20x a −≥在R 上恒成立，等价于2a x ≤在R 上恒成立求出a 的范围为0a ≤，(],0a ∴∈−∞★☆☆练习1若函数()212f x x ax a=−+ 的定义域为R ，则实数a 的取值范围. 答案：()0,1解析：分式型函数分母不为零，当x 的范围为R 时，220x ax a −+≠恒成立；2(2)40a a ∆=−−<即01a <<； 所以a 的取值范围是()0,1.知识点要点总结：一 具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集5. 实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．二．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．二、函数的解析式【知识点】求函数解析式的四种常用方法1. 拼凑法：将等号右侧的式子拼凑成关于f 后括号内东西的表达式，然后将其直接写成x ．2. 换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.3.待定系数法：已知函数类型．①正比例函数：(0)y kx k =≠； ②反比例函数：(0)k y k x=≠； ③一次函数：(0)y kx b k =+≠；④二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠．4.方程组法：两个f ，将题目中的x 换成另一个括号内的东西构造方程组．比如：若给出()f x 和()f x −，或()f x 和1()f x 的一个方程，则可以x 代换x −（或1x），构造出另一个方程，解此方程组，消去()f x −（或1()f x）即可求出()f x 的表达式。
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必修一函数解析式以及定义域的求法
求函数解析式的方法 一． 换元法
题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
练习1．若x
x x f -=1)1
(,求)(x f .2.设f(x)=22x -3x+1,g(x-1)=f(x) ,求g(x)及f [g(2)]. 二．配量法（凑配法）
题2．已知221)1(x
x x x f +=-, 求)(x f 的解析式
练习2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .3.已知23,f x =- 求 f (x ).
三．待定系数法
题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++求)(x f 与)(x g
练习3．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,f(0)=1,并且在x 轴上截得的线段长为22,求f(x)
四．解方程组法
4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式 练习4．已知()3()26,f x f x x --=+求()f x .
练习5.设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又1
1)()(-=+x x g x f ，求f(x)和g(x)的解析式。
五．赋值法题5．对于一切实数y x ,有x y x x f y x f )12()()(+--=-都成立，且.1)0(=f 求f(x).
六．代入法：（求已知函数关于某点或者某直线的对称函数时）
题6.已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点（-2,3）对称，求g(x)的解析式。
求函数的定义域
一.基本类型：求下列函数的定义域（1）x x x x f -+=0)1()(（2）()28x f x =-(3)124)(--=x x f (4)2)2
1()(1-=+x x f （5）若函数3412++-=mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．]43,0(
B ．)43,0(
C ．]43,0[
D ．)43,0[ 二.复合函数的定义域
1.若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域
2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f x g x x =
-的定义域 3函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域
4函数f (x 2)的定义域是[-2,2]，求函数f (x)的定义域.
5.已知)2(x f 的定义域为[0,3]，则f(x)的定义域为 .。