分式培优竞赛题
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
（2）若商店按售价为每个书包 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高 ，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用 元网购的 型口罩与小磊家用 元在药店购买的 型口罩的数量相同， 型与 型口罩的单价之和为 元，求 两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？
八年级分式培优习题
八年级分式培优习题一、填空题1、下列分式中，有意义的分式是（）A、 B、 C、 D、2、下列各分式中，最简分式是（）A、 B、 C、 D、3、下列各分式中，当x取何值时，分式有意义？（）A、 B、 C、 D、4、下列各分式中，分式的值等于零的是（）A、 B、 C、 D、5、下列各分式中，分式的值不存在的是（）A、 B、 C、 D、二、解答题6、请解以下分式方程：（1）（2）61、请解以下分式方程：（1）（2）611、请解以下分式方程：（1）（2）6111、请解以下分式方程：（1）（2）请解以下分式方程：（1）（2）八年级培优计划一、目标：通过培优，使优生更上一层楼，提高优生的学习能力和思维能力，提高他们的竞争意识和一定的应试技巧，但也帮助他们发现不足，进一步提高他们学习的自觉性，以真正取得理想的成绩。
二、具体措施：1、思想方面培优辅差。
做好学生的思想工作，经常和学生谈心，关心他们，关爱他们，让学生觉得老师是重视他们的，激发他们学习的积极性。
了解学生们的学习态度、学习习惯、学习方法等。
从而根据学生的思想心态进行相应的辅导。
定期与学生家长、班主任沟通了解学生的家庭、生活、思想等各方面的情况，以利于教师做好学生的思想引导工作。
2、培优辅差内容：数学方面：在讲完新课后，编拟一些较高思维层次的专题知识渗透到教学中，培养优生的发散思维能力、探究能力和创新思维能力。
3、辅差内容：对差生主要从以下几个方面进行：1）认真备课，设计好每一节课的层次教学，利用多种多样的教学手段吸引差生的注意力，让差生有机会表现自己，多设计一些对应差生的问题，提高差生的学习信心。
2）经常与家长，了解差生各方面的情况，对症下药，讲究方法。
3）采用“一帮一”的方法，安排学习优秀的学生对后进生进行辅导训练。
并开展“手拉手”活动，让优生和差生结成对子。
4）注意保持和蔼可亲的态度去面对学生，不能对他们采用强硬的态度和手段。
这样会使他们对老师既亲近又尊重，更愿意接近老师并乐于接受教育。
分式培优练习题(完整答案)
分式 (一)一 选择1 下列运算正确的是（ ）A -40=1B （-3）-1=31 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -12 分式28,9,12zy x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 72xyz 2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz 23 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ）A 0.00036B -0.0036C -0.00036D -360004 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A 2B -2C 2或-2D 2或35计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B x+1 C x x 1+ D 11-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-xx 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 47 在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 58 若分式方程xa x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 29 若3,111--+=-ba ab b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二 填空1 一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 第n 个式子是2 7m =3,7n =5,则72m-n =3 ()2312008410-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=4 若2222,2b a b ab a b a ++-=则= 三 化简 1 ()d cd b a c ab 234322222-∙-÷ 2 111122----÷-a a a a a a 3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x 四 解下列各题1 已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值2 若0<x<1,且xx x x 1,61-=+求 的值 五 （5）先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代入求值六 解方程 1 12332-=-x x 2 1412112-=-++x x x 七 2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？分式(二)一、选择题：1．已知230.5x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.132．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需要的天数是（ ） A ．12 B.35 C.24 D.473．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2±二、填空题：4. 若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 无解，则m 的值为__________. 5.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________． 6. 已知2242141x y y x y y +-=-+-，则的24y y x ++值为______. 三、解答题：7. 计算： ()3322232n m n m --⋅8. 计算（1）168422+--x x x x （2）m n n n m m m n n m -+-+--2 9. 先化简，后求值：222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-，其中2,33a b ==- 10. 解下列分式方程．11. 计算：（1）1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x （2）4214121111x x x x ++++++- 12．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，求所有符合条件的x 的值． 13．先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用()12-m 元，（m 为正整数，且12-m ＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用()12-m 元．设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元；③批发价每支应为 元．（用含x 、m 的代数式表示）．14． A 、B 两地相距20 km ，甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后，乙骑车自B 地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去，两车在距B 地12 km 的C 地相遇，求甲、乙两人的车速.分式(三)一、填空题1、在有理式22xy ，πx ，11+a ，y x +1，122-m 中属于分式的有 .2、分式33+-x x 的值为0，则x= .3、分式x x 2-和它的倒数都有意义，则x 的取值范围是 .4、当_____=x 时，x --11的值为负数；当x 、y 满足 时，)(3)(2y x y x ++的值为32； 5、若分式y x y -3的值为4，则x,y 都扩大两倍后，这个分式的值为6、当x= 时，分式11+x 与11-x 互为相反数.7、若分式方程=-1x m 1-x -11有增根，则m= .8、要使方程=-11x a x -2有正数解，则a 的取值范围是9、+++)2)(1(1 x x )3)(2(1++x x +)2007)(2006(1.....+++x x =_____________10、若=a 3b 4=c 5，则分式222c b a ac bc ab +++-=____________二、选择题11、已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数,|x|=2,则ab x x n m -++2的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、512. 下列式子:（1）y x y x yx -=--122；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x yx y x yx +-=--+-中正确的是 （ ）A 、1个B 、2 个C 、3 个D 、4 个13. 下列分式方程有解的是（ ）A 、++12x 13-x =162-x B 、012=+x x C 、0122=-x D 、111=-x14. 若分式m x x ++212不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≥1B 、m ＞1C 、m ≤1D 、m ＜115、晓晓根据下表，作了三个推测：①3-x-1x (x>0)的值随着x 的增大越来越小；②3-x-1x (x>0)的值有可能等于2；③3-x-1x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2．则推测正确的有( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个16. 已知分式xy yx -+1的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ，则a 、b 关系（）A 、相等B 、互为相反数C 、互为倒数D 、乘积为－1三、解答题17、化简：[22222a b a ab b -+++2ab ÷(1a +1b )2]·2222a b ab -+.18、当21,23-==b a 时，求⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a ab b a b a ab b a ＋44的值.19、A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B 玉米试验田是边长为（a －1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.（1）那种玉米的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？四、探索题20、观察以下式子：1112122132+→=+＞，5527544264+→=+＜，3354355555+→=+＞， 773722232+→=+＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论.21、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.谁的购货方式更合算？22、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，①这个八年级的学生总数在什么范围内？②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？分式（一）参考答案一 CACBC CBBA B二 1 -()n n n ab a b 137201,--， 2 9/5， 3 2， 4 53 三 1 ac1 ，2 1-a a ，3 32+-x 四 1 提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab 。
分式培优练习题(完整标准答案)
分式培优练习题(完整标准答案)分式（一）选择1.下列运算正确的是（）。
A。
-4=1 B。
(-3)-1=1 C。
(-2m-n)2=4m-n D。
(a+b)-1=a-1+b-12.分式 y-z/x+z+x-y 的最简公分母是（）。
A。
2 B。
C。
D。
23.用科学计数法表示的数-3.6×10-4写成小数是（）。
A。
0. B。
-0.0036 C。
-0. D。
-0.若分式 x-2/x-5x+6 的值为 k，则 x 的值为（）。
A。
2 B。
-2 C。
2或-2 D。
2或35.计算 |1+(1/x-1)/(x-1)| 的结果是（）。
A。
1 B。
x+1 C。
x+1/x-1 D。
x/(x-1)6.工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派 x 人挖土，其它的人运土，列方程①72-x=3x+72④=3.上述所列方程，正确的有（）个。
A。
1 B。
2 C。
3 D。
47.在分式a/(x^2+2πx+y)+m/(x-2) 中，分式的个数是（）。
A。
2 B。
3 C。
4 D。
58.若分式方程 (1-a)/(x-2)+(a+x)/(x-1)=3 有增根，则 a 的值是（）。
A。
-1 B。
C。
1 D。
29.若 1/(11-ba)=1/(ab+ba)=-3，则 (a-b)/(a+b) 的值是（）。
A。
-2 B。
2 C。
3 D。
-310.已知 b0，且ab≠0，其中第 7 个式子是 1/(a+7b)，一组按规律排列的式子：-b^2/a，-b^5/a^2，-b^8/a^3，-b^11/a^4，……，其中第 n 个式子是 -b^(3n-2)/a^n。
若 7m=3，7n=5，则 72m-n=（）。
A。
-1 B。
1 C。
2 D。
311.化简 (a^2-ab+b^2)/(a-b)^2.2.若 0<x<1，且 x+1/x=6，求 x-1/x 的值。
八年级数学分式培优试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各式中，不是分式的是（）A. 2a + bB. a/bC. 3/xD. a/(2b + 1)2. 已知a、b是实数，且a ≠ 0，b ≠ 0，下列分式中，值为1的是（）A. a/bB. b/aC. a/b + b/aD. a/b - b/a3. 已知x + y ≠ 0，下列分式中，分母有理化后为x + y的是（）A. x/(x + y)B. y/(x + y)C. x - y/(x + y)D. x + y/(x - y)4. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 0，则下列分式中，值为0的是（）A. a/b + b/cB. b/a + c/bC. c/a + a/bD. a/b + c/a5. 下列各式中，值为-1的是（）A. 1 - 1/2B. 1 + 1/2C. 1 - 2/3D. 1 + 2/3二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知x + 2/x = 5，则x = __________。
7. 已知a/b + b/a = 2，则a² + b² = __________。
8. 已知a、b、c是等差数列，且a + b + c = 0，则b² + c² = __________。
9. 若x² + y² = 1，则x² - y² = __________。
10. 已知a、b、c是等比数列，且a + b + c = 0，则a² + b² + c² =__________。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 已知a、b是实数，且a ≠ 0，b ≠ 0，求证：a² + b² ≥ 2ab。
12. 已知x + y + z = 0，求证：(x + y)² + (y + z)² +(z + x)² = 2(x² + y² + z²)。
浙教版七下数学第5章《分式》单元培优测试题(含参考答案)
浙教版七下数学第5章《分式》单元培优测试题考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.在﹣3x、、﹣、、﹣、、中，分式的个数是( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【考点】分式的定义【解析】【解答】解：、、是分式，其余都是整式。
故答案为：A【分析】根据分母中含有字母的有理式是分式，逐个判断即可。
2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】分式的约分，分式的加减法【解析】解答: A、分式的分子和分母同时乘以一个不为0的数时，分式的值才不改变，故A错误。
B、分式的分子和分母同时加上一个不为0的数时，分式的值改变，故B错误，C、，故C正确，D、，故D错误，故选C．分析: 根据分式的基本性质对前三项进行判断，D是同分母的分式加减运算，分母不变，分子直接相加即可．3.若分式的值为0，则的取值范围为（）A. 或B.C.D.【答案】B【考点】分式的值为零的条件【解析】【解答】解：由题意得：（x+2）(x-1)=0,且∣x∣-2≠0，解得:x=1;故答案为：B。
【分析】根据分子为0，且分母不为0时分式的值为0，列出混合组，求解即可。
4.计算的结果为（）A. 1B. xC.D.【答案】A【考点】分式的加减法【解析】【解答】解：原式==1故答案为：A．【分析】根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减，并将计算的结果约分化为最简形式。
A. x=1B. x=2C. 无解D. x=4【答案】C【考点】解分式方程【解析】【解答】方程两边都乘以x-2得：1=x-2+1，解这个方程得：-x=-2+1-1-x=-2，x=2，检验：∵把x=2代入x-2=0，∴x=2是原方程的增根，即原方程无解，故答案为：C．【分析】方程两边都乘以最简公分母x-2，化分式方程为整式方程，解这个整式方程求出x的值，把x的值代入最简公分母中检验，若最简公分母不为0，则x的值是原分式方程的解，若最简公分母为0，则x的值是原分式方程的增根，原分式方程无解.6.计算的结果是（）A. ﹣yB.C.D.【答案】B【考点】分式的乘除法【解析】解答: 原式=故选B．分析: 在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分7.已知公式（），则表示的公式是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】解分式方程【解析】【解答】解：∵，∴,∴,∴,∴∴,∵，∴;故答案为：D。
浙教版数学七年级下册分式培优题
浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题一．选择题（共6小题）1．若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．2．对于正数x，规定f（x）=，例如：f（3）==，f（）==，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为（）A．2016 B．2015 C．2015.5 D．2014.53．分式方程有增根，则m的值为（）A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．24．已知：a，b，c三个数满足，则的值为（）A．B．C．D．5．甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（）A． B．C．D．随所取盐水重量而变化6．已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（）A．1996 B．1997 C．1998 D．1999二．填空题（共6小题）7．有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：则第n次运算的结果y n．（用含有x和n的式子表示）8．已知分式=，则=．9．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算=．10．如表：方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程：﹣=1﹣=1﹣=1（1）若方程﹣=1（a＞b）的解是x1=6，x2=10，则a=b=．（2）请写出这列方程中第n个方程：方程的解：．11．已知a、b、c为整数，a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，则（++）abc=．12．若xyz≠0，并且满足3x=7y=63z，则=．三．解答题（共6小题）13．先化简代数式（x+2﹣）÷，然后选择取一个合适的x的值，代入求值．14．2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？15．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．16．2014年12月25日，石家庄至济南客运专线重点控制工程衡景特大桥箱梁架设任务全面展开，该项目在招标时接到了甲、乙两个施工单位的投标书，从投标书中得知如图所示的信息．（1）求甲、乙两个施工单位单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲施工单位每天的施工费为18.3万元，乙施工单位每天的施费为15.6万元．根据实际情况，该工程由甲、乙两个施工单位共同完成，需要预算约多少万元？（不足一天按一天算）17．为了节约用水，石家庄物价局于2015年3月20日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过15m3（包括15m3）时，则按规定标准2.8元/m3（含污染费和排污费），若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8m3收费（含污染费和排污费）．（1）小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年4月起计划平均每月用水量比2014年4月到2015年3月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，求小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量；（2）小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余的四个月的用水量与2014年4月到2015年3月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费．18．“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2016•大庆校级自主招生）若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x=2xy，再代入则分式中求值即可．【解答】解：整理已知条件得y﹣x=2xy；∴x﹣y=﹣2xy将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得====．故答案为B．【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可．2．（2015•湖南自主招生）对于正数x，规定f（x）=，例如：f（3）==，f（）==，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为（）A．2016 B．2015 C．2015.5 D．2014.5【分析】根据题中所给出的例子找出规律，进而可得出结论．【解答】解：∵对于正数x，规定f（x）=，∴f（1）==，f（2）==，f（）==，f（3）==，f（）==…，∴f（n）+f（）=1，∴f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=[f（）+f（2015）]+…+f（1）=2014+=2014.5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，此题属规律性题目，根据题意找出规律是解答此题的关键．3．（2014春•靖江市校级月考）分式方程有增根，则m的值为（）A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．2【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x﹣1）（x+1）=0，所以增根是x=1或﹣1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x+1﹣（x﹣1）（x+1）=m，∵方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）（x+1）=0，即增根是x=1或﹣1，把x=1代入整式方程，得m=2，把x=﹣1代入整式方程，得m=0，经检验，m=0时，故选：A．【点评】本题主要考查解分式方程中产生增根的知识，有增根可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4．已知：a，b，c三个数满足，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知可得，，，，则ac+bc=3abc，ab+ac=4abc，bc+ab=5abc，把三式相加，可得2（ab+bc+ca）=12abc，即可求解．【解答】解：由已知可得，，，，则ac+bc=3abc①，ab+ac=4abc②，bc+ab=5abc③，①+②+③得，2（ab+bc+ca）=12abc，即=．故选A．【点评】此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．5．（2012•天水）甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（）A． B．C．D．随所取盐水重量而变化【分析】设从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水x，列式计算即可．【解答】解：设从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水x，则混合制成新盐水的含盐量为：=，故选：A．【点评】本题考查了分式的混合运算，一定要注意浓度问题的算法：溶质除以溶液．6．已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（）A．1996 B．1997 C．1998 D．1999【分析】首先要化简分式到最简，再把已知条件变形，代入即可．【解答】解：=====x2﹣5x+8；∵x2﹣5x﹣1991=0，∴x2﹣5x=1991，∴原式=1991+8=1999．故选D．【点评】解答此题的关键是把分式化到最简，这个过程难度较大．二．填空题（共6小题）7．（2015秋•孝南区期末）有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：则第n次运算的结果y n．（用含有x和n的式子表示）【分析】把y1代入确定出y2，依此类推得到一般性规律，即可确定出第n次运算结果．【解答】解：把y1=代入得：y2==，把y2=代入得：y3==，依此类推，得到y n=，故答案为：【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．8．（2015秋•浠水县期末）已知分式=，则=．【分析】已知等式左边分子分母除以x变形，求出x+，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式变形得：=，整理得：x+=4，则原式===，故答案为：【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2015•泗洪县校级模拟）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算=．【分析】根据题中的新定义将原式变形，利用拆项法整理即可得到结果．【解答】解：原式=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2015秋•北京校级期中）如表：方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程： ﹣=1﹣=1﹣=1（1）若方程﹣=1（a ＞b ）的解是x 1=6，x 2=10，则a= 12 b= 5 ．（2）请写出这列方程中第n 个方程：方程的解： x 1=n +2，x 2=2n +2 ．【分析】首先根据已知方程两个重要数字、方程的解，找出与方程序号之间的关系，写出第n 个方程，即可同时求出（1）、（2）两个问题答案．【解答】解：（1）根据已知方程序号、方程两个重要数字、方程的解发现以下规律：序号1，6=2×1+4 2=1+1 3=1+2 4=2×1+2；序号2，8=2×2+4 3=2+1 4=2+2 6=2×2+2；序号3，10=2×3+4 4=3+1 5=2+2 8=2×3+2；序号4，12=2×4+4 5=4+1 6=4+2 10=2×4+2；由序号4可以发现方程（a ＞b ）解x 1=6，x 2=10，12=2×4+4 5=4+1，∴a=12，b=5．故答案为：12，5．（2）有（1）分析得：序号n，2n+4=2×n+4 n+1=n+1 n+2=n+2 2n+2=2×n+2；∴这列方程中第n个方程：，且方程的解为：x1=n+2，x2=2n+2．故答案为：，x1=n+2，x2=2n+2．【点评】题目考查了分式方程的解，同时也是规律型题目求解，解决此类问题关键是学生找出题目中规律所在，题目难度适中，重点考查学生的观察能力和总结能力．11．（2014•雨花区校级自主招生）已知a、b、c为整数，a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b ﹣12c＜1，则（++）abc=1．【分析】利用条件和因式分解可得：0≤（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，即a=2，b=3，c=6，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：∵a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，∵（a﹣2）2≥0，（b﹣3）2≥0，（c﹣6）2≥0，∴0≤（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，∵a、b、c为整数，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2也是整数，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2=0，∴a=2，b=3，c=6，∴原式=（++）36=1【点评】本题考查分式化简求值，涉及因式分解，不等式的性质等知识，综合程度较高．12．若xyz≠0，并且满足3x=7y=63z，则=4．【分析】先根据3x=7y=63z，得出3x•7y=34z×72z，进而得到x=4z，y=2z，最后代入代数式进行化简计算即可．【解答】解：∵3x=7y=63z，∴3x•7y=（63z）2，又∵（63z）2=632z=（32×7）2z=34z×72z，∴3x•7y=34z×72z，即x=4z，y=2z，∴===4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了分式求值问题，解决问题的关键是从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．三．解答题（共6小题）13．（2013春•怀宁县期末）先化简代数式（x+2﹣）÷，然后选择取一个合适的x的值，代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，当x=1时，原式==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．14．（2015•铜仁市）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？【分析】（1）可设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，根据等量关系：①甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷；②甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等；列出方程组求解即可；（2）可设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，根据等量关系：这批帐篷有1490件，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，依题意有，解得，经检验，是原方程组的解．故甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬；（2）设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，依题意有100z+80（16﹣z﹣1）+50=1490，解得z=12，16﹣z=16﹣12=4．故甲种汽车有12辆，乙种汽车有4辆．【点评】考查了分式方程的应用和二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．15．（2015春•杭州期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．【分析】（1）设原计划每天加工x个，则现在每天加工1.5x个，根据题意可得，现在加工240个比原计划加工200个少用2天，据此列方程求解；（2）设加工竖式纸盒m个，横式纸盒n个，根据正方形纸板有1000张，长方形纸板有2000张列方程组求解．【解答】解：（1）设原计划每天加工x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得，﹣2=，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，且符合题意，答：原计划每天加工20个；（2）设加工竖式纸盒m个，横式纸盒n个，由题意得，，解得：．答：加工竖式纸盒200个，横式纸盒400个恰好能将购进的纸板全部用完．【点评】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．16．（2015秋•南皮县期中）2014年12月25日，石家庄至济南客运专线重点控制工程衡景特大桥箱梁架设任务全面展开，该项目在招标时接到了甲、乙两个施工单位的投标书，从投标书中得知如图所示的信息．（1）求甲、乙两个施工单位单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲施工单位每天的施工费为18.3万元，乙施工单位每天的施费为15.6万元．根据实际情况，该工程由甲、乙两个施工单位共同完成，需要预算约多少万元？（不足一天按一天算）【分析】（1）首先设乙施工单位单独完成这项工程需要x天，则甲施工单位单独完成这项工程需要x天，根据题意可得等量关系：甲10天的工作量+甲乙合作50天的工作量=1，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）首先计算出甲乙合作需要的天数，再利用两对合作每天的费用×时间可得答案．【解答】解：（1）设乙施工单位单独完成这项工程需要x天，由题意得：+（+）×50=1，解得：x=125，经检验：x=125是分式方程的解，×125=100（天）．答：乙施工单位单独完成这项工程需要125天，甲施工单位单独完成这项工程需要100天；（2）1÷（+）=≈56（天），费用：（18.3+15.6）×56=1898.4（元）．答：需要预算约1898.4万元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．17．（2015秋•故城县校级月考）为了节约用水，石家庄物价局于2015年3月20日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过15m3（包括15m3）时，则按规定标准2.8元/m3（含污染费和排污费），若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8m3收费（含污染费和排污费）．（1）小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年4月起计划平均每月用水量比2014年4月到2015年3月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，求小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量；（2）小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余的四个月的用水量与2014年4月到2015年3月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费．【分析】（1）设小敏家计划平均每月用水量是xm3，则计划前每月用水量为（x+4）m3，找出等量关系：在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，列方程求解即可；（2）分别计算出水量超20%和50%时每月的用水量，根据题意计算出相应的水费，相加即可得出一年应共交水费．【解答】解：（1）设小敏家计划平均每月用水量是xm3，则计划前每月用水量为（x+4）m3，由题意得，=，解得：x=11．经检验：x=11是原方程的解，即小敏家计划平均每月用水量是8.25m3；（2）计划用水量为8.25cm3，超过计划用水量20%时，用水量=8.25×（1+20%）=9.9，超过计划用水量50%时，用水量=8.25×（1+50%）=12.375cm 3，设2014年4月到2015年3月的平均每月用水量为a ，则9.9×4+12.375×4+4a=12a 解得：a=11.1375则应交水费：12×11.13758×2.8=374.22（元）．答：小玲家从2005年4月到2006年3月的这一年中应共交水费374.22元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．18．“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？【分析】（1）由800元×80%得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率；（2）因为西服标价低于850，所以其消费额最大为850×0.8=680（元），低于700元，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x 元，根据题意可列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）消费金额为800×0.8=640（元），获得优惠额为：800×0.2+100=260（元），所以优惠率为：=32.5%；（2）设西服标价x元，根据题意得，解之得x=750经检验，x=750是原方程的根．答：该套西装的标价为750元．【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．要注意题中给出的判断条件．此题关键是套用优惠率的公式．。
初中培优竞赛 第5讲 分式
第5讲分式一、选择题1.（2、3）（数学、初中数学竞赛、选择题、分式、整体代换）已知a2−3a+1=0,则4 a2−9a−2+91+a2的值为（）A . 3 B.5 C. 35 D. 65解析：显然a≠0，由题设得a+1a =3，所求式子=4a2−3a+3a−2+93a=−4+3×3−2=3.答案：A .技巧：通过对题设等式的整体变形，能整体求值的就整体求值代换，这样能简化运算，达到快捷解题的目的。
易错点：代换过程中容易变形失误而致错。
2. （3、4）（数学、初中数学竞赛、选择题、分式）若4x−3y−6z=0,x+2y−7z=0(xyz≠0)，则代数式5x2+2y2−z22x2−3y2−10z2的值为( )A.−12B.−192C.-15D.-13解析：由题意得4x−3y=6zx+2y=7z，解得x=3zy=2z，代人5x2+2y2−z22x−3y−10z得5×9z2+2×4z2−z22×9z−3×4z−10z=−13.答案：D.技巧：将三元化为一元，然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧。
易错点：这类题型在换元的时候容易计算错误。
3. （3、4）（数学、初中数学竞赛、选择题、分式）已知x ，y ，，z 满足2x=3y −z=5z+x，则5x −y y+2z的值为（ ）A.1B. 13C.−12D. 12解析：由2x=3y −z=5z+x得2(z +x )=5x ,2(y −z )=3x ，解之得y =3x ,z =32x . 所以5x −y y+2z=5x −3x 3x+3x=13⋅答案：B.技巧：将三元化为一元，然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧。
易错点：这类题型在换元的时候容易计算错误。
二、填空题4. （3、4）（数学、初中数学竞赛、填空题、分式）方程16+1x=1y有 组正整数解.解析：由原方程可得y =6x x+6=6−36x+6⋅ 又因为y 是正整数，所以x +6=9，12，18，36，得x =3，6，12，30，都是正整数. 故原方程共有4组解. 答案：4.技巧：将一个未知数用另一个未知数表示出来，再根据题设的限制条件（正整数解）来分析可能的正确解。
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1. 若ab a b +--=10，试判断1111
a b -+，是否有意义。
2. 计算：a a a a a a 2211313
+-+--+- 3、解方程：11765556
222-++=-+-+x x x x x x 4. 已知a a 269-+与||b -1互为相反数，求代数式
()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab
b a -++-÷+-++的值。
5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
6. 已知x y y =+-2332
，试用含x 的代数式表示y ，并证明()()323213x y --=。
6、中考原题：
例1．已知M x y xy y x y x y x y 22222
2-=--+-+，则M ＝__________。
例2．已知x x 2
320--=，那么代数式()x x x --+-11132的值是_________。
1. 当x 取何值时，分式2111x x
+-有意义 :
3. 计算：x y y x y x y y x
++-+-242442222 4. 解方程：x x x x x x x x ++-++=++-++21436587 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。
现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。
问规定日期是多少天
6. 已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，，求x y z x y z
+--+2的值。
9、（6分）已知02
=-a a ，求1112421222-÷+--•+-a a a a a a 的值． 21、（6分）设23111
x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等
3、计算（1）⎪⎭
⎫ ⎝⎛--++-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310
A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+，求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12
--x x =0，则5412x x x ++= 18、设1=abc ，则
=++++++++111c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ，20042=+x b ，20052=+x c ，且6012=abc ，求
c
b a ab
c ac b bc a 111---++的值 （
20、已知31=+b a ab ，41=+c b bc ，51=+c a ac ，求ac
bc ab abc ++的值 1．若73212++y y 的值为8
1,则96412-+y y 的值是（ ） （A ）21-
（B ）171- （C ）71- （D ）71 2．已知x z z y x +=+=531,则z
y y x +-22的值为（ ） （A ）1 （B ）
23 （C ）2
3- （D ）41 3．若对于3±=x 以外的一切数98332-=--+x x x n x m 均成立,则mn 的值是（ ） （A ）8 （B ）8- （C ）16 （D ）16-
4.有三个连续正整数,其倒数之和是60
47,那么这三个数中最小的是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
5．若d c b a ,,,满足a d d c c b b a ===,则2222d
c b a da c
d bc ab ++++++的值为（ ） （A ）1或0 （B ）1- 或0 （C ）1或2-（D ）1或1-
|
6．设轮船在静水中的速度为v ,该船在流水(速度为v u <)中从上游A 驶往下游
B,再返回A ，所用的时间为T,假设0=u ,即河流改为静水,该船从A 至B 再返回A,所用时间为t ,则（ ）
（A ）t T = （B ）t T < （C ）t T > （D ）不能确定T 与t 的大小关系
二、填空题（每题5分,共30分）
7.已知:x 满足方程20061120061
=--x x
,则代数式2007
200520062004+-x x 的值是_____. 8. 已知:
b a b a +=+511,则b
a a
b +的值为_____. 9.方程71011=++z
y x 的正整数解()z y x ,,是_____. 10. 若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数,则a 的取值范围是_____. 11. 若11,11=+=+z
y y x ,则=xyz _____. 12.设y x ,是两个不同的正整数,且
5211=+y x ,则._____=+y x 三、解答题（每题10分,共40分）
13． 已知
2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，求b a ,之值. 。
14．解方程:
708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x . 15． a 为何值时，分式方程()
01113=++++-x x a x x x 无解 16． 某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).
(1)扶梯在外面的部分有多少级.
(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人
各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶。