2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习：第6章 不等式、推理与证明 2 第2讲 分层演练直击高考 Word版含解析
2019届高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第1节 不等关系与不等式练习 新人教A版
解析：若c>0，则①不成立；由ac2>bc2，知c≠0，则a>b，②成立；由a<b<0，知a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，③成立；由c>a>b>0，得0<c－a<c－b，故 > ，④成立；若a>b， － ＝ >0，则ab<0，故a>0，b<0，⑤成立．故所有的真命题为②③④⑤.
5．(导学号14577499)若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()
A．－n＜m＜n＜－mB．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜nD．m＜－n＜n＜－m
解析：D[法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．
法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．]
9．(导学号14577503)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证： ＞ .
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
∴0＜ ＜ .
又∵e＜0，∴ ＞ .
10．(导学号14577504)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
2．(导学号14577496)(2018·临汾市质检)下列命题中，正确的是()
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
2019版高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 6.6 直接证明与间接证明模拟演练 理
2019版高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 6.6 直接证明与间接证明模拟演练 理1．[2017·绵阳周测]设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则下列关于t 和s 的大小关系中正确的是( )A ．t >sB ．t ≥sC ．t <sD ．t ≤s答案 D解析 s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t ，选D 项．2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.3．[2017·东城模拟]在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 C解析 由sin A sin C ＜cos A cos C ，得cos A cos C －sin A sin C ＞0，即cos(A ＋C )＞0，所以A ＋C 是锐角，从而B ＞π2，故△ABC 必是钝角三角形．4．[2017·郑州模拟]设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ≤Q D ．P ≥Q答案 A解析 因为2x＋2－x≥22x ·2－x＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.5．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2 D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋( z x ＋z y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋zx ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C.6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________．答案 ①③④解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b>0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋ab≥2成立． 7．[2016·兰州调研]已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．答案 x ＜y 解析 ∵a ＋b2>ab (a ≠b )⇒a ＋b >2ab ⇒2(a ＋b )>a ＋b ＋2ab ⇒a ＋b >a ＋b22⇒a ＋b >a ＋b2，即x <y .8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．答案 c n ＋1＜c n解析 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n .9．[2017·唐山模拟]已知a ＞0，1b －1a＞1，求证：1＋a ＞11－b.证明 由已知1b －1a>1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －bab>1， 即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，则d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. 因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． [B 级 知能提升](时间：20分钟)11．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.12．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)， ∴1m ＋1＋m<1m ＋m －1，即a <b .13．[2017·邯郸模拟]设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)答案 ③解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾， 因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.14．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)要证1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2成立， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9， 即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，只需证b 2a 2＋4a 2b 2≥4，根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2b 2a 2·4a 2b2＝4成立．当且仅当2a 2＝b 2时等号成立，所以原不等式成立．(2)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1，由(1)知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.又a 2＋b 2＝m －2＞0，1a 2＋4b 2＝2m －1＞0，所以m ≥72.。
2019高三数学(理)一轮总复习课件：第六章 不等式与推理证明 6-2
有两相异实根 根 x ＝x ＝ 1 2 ＋bx＋c＝0 (a＞0) x1，x2(x1＜x2) b 的根 － 2a (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
(－∞，x1)∪ (x2，＋∞)
b x|x≠－ 2a
一元二次方程 ax2
3．(2014· 高考江苏卷)已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任 意 x∈[m ， m ＋ 1] ，都有 f(x)<0 成立，则实数 m 的取值范围 是 ．
解析：由 f(x)＝x2＋mx－1＝mx＋(x2－1)，可视 f(x)为关于 m 的一次函数，故根据题意有
2 2 f（m）＝m ＋m －1<0， 2 f （ m ＋ 1 ）＝（ m ＋ 1 ） ＋m（m＋1）－1<0，
g（x）≥0 f（x）· 求解． g（x）≠0
(5)若不等式中含有参数，并影响以上各步时，要分类讨论．
考点二 有关一元二次不等式求参数问题 命题点 1 已知不等式解集求参数
一元二次不等式的解集类型 判别式Δ＝b2－ 4ac 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a＞0)的图象 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
4 1．不等式 ≤x－2 的解集是( x －2 A．(－∞，0]∪(2，4] C．[2，4)
)
B．[0，2)∪[4，＋∞) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析： 选
x－2＞0， x－2＜0， B.原不等式可化为 或 2 2 （ x － 2 ） ≥ 4 （ x － 2 ） ≤4，
解析：选 D.集合 S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得 S∩T＝(0，2]∪[3，＋∞)．
2． (2015· 高考山东卷)已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}， B＝{x|2 ＜x＜4}，则 A∩B＝( A．(1，3) C．(2，3) ) B．(1，4) D．(2，4)
2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习练习：第6章 不等式、推理与证明 5 第5讲 分层演练直击高考
1．(2018·扬州质检)用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设“a ，b 中没有一个能被5整除”．答案：a ，b 中没有一个能被5整除2．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________． 解析：因为a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6， 且7＋6＞6＋5＞3＋2＞0， 所以a ＞b ＞c . 答案：a ＞b ＞c3．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n . 答案：c n ＋1<c n4．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________． 解析：因为cos(α＋β)＝sin(α－β)，所以cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. 所以cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)． 因为sin β＋cos β≠0，所以cos α＝sin α，所以tan α＝1. 答案：15．对于实数a ，b ，c ，d ，下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③a b ＋ba≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，其中不成立的不等式有________个． 解析：利用综合法可证①②④成立，若a ＝1，b ＝－1，a b ＋ba ＝－2，则③不成立．答案：16．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件的序号是________．解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为________．解析：因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数． 所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C . 答案：A ≤B ≤C 8．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：据已知定义可得不等式x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，故Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)≤0，解得－12≤a ≤32，故a 的最大值为32.答案：329．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：法一：(补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 法二：(直接法)依题意有f (－1)>0或f (1)>0， 即2p 2－p －1<0或2p 2＋3p －9<0， 得－12<p <1或－3<p <32，故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32. 答案：⎝⎛⎭⎫－3，32 10．设M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1，且a ＋b ＋c ＝1(a 、b 、c 均为正数)，则M 的取值范围是________．解析：因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a ，①同理1b －1＝a ＋c b ≥2ac b ，②1c －1＝a ＋b c ≥2ab c，③ ①×②×③，即⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8a 2b 2c 2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．答案：[8，＋∞)11．求证：a ，b ，c 为正实数的充要条件是a ＋b ＋c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＞0和abc ＞0. 证明：必要性(直接证法)： 因为a ，b ，c 为正实数，所以a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0， 因此必要性成立． 充分性(反证法)：假设a ，b ，c 是不全为正的实数，由于abc ＞0， 则它们只能是两负一正，不妨设a ＜0，b ＜0，c ＞0. 又因为ab ＋bc ＋ca ＞0，所以a (b ＋c )＋bc ＞0，且bc ＜0， 所以a (b ＋c )＞0.①又因为a ＜0，所以b ＋c ＜0.所以a ＋b ＋c ＜0， 这与a ＋b ＋c ＞0相矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a ，b ，c 均为正实数． 12．设{a n }是公比为q (q ≠0)的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾，故数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列． 当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3， 则2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，所以2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2， 因为q ≠1，所以q ＝0，这与q ≠0相矛盾．综上可知，当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．1．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0，1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的反设应该是________．答案：∃x 1，x 2∈[0，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥122．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系为________．解析：因为M <1210＋1210＋1210＋…＋1210(共210项)， 所以M <1210×210＝1.答案：M <13．已知函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，恒有f (3x )＝3f (x )成立，且当x ∈(1，3)时，f (x )＝3－x .记f (3n ＋1)＝k n ，则∑i ＝1nk i ＝________．解析：k 1＝f (3＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫3×43＝3f ⎝⎛⎭⎫43＝3⎝⎛⎭⎫3－43； k 2＝f (32＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫32×32＋132＝32×⎝⎛⎭⎫3－32＋132；…k n ＝3n⎝⎛⎭⎫3－3n＋13n ＝3n ＋1－3n －1＝2×3n －1，所以∑i ＝1nk i ＝2(3＋32＋ (3))－n ＝2×3（3n －1）3－1－n ＝3n ＋1－n －3.答案：3n ＋1－n －34．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数的序号为________．①y ＝log 2x ；②y ＝x ；③y ＝x 2；④y ＝x 3.解析：可以根据图象直观观察；对于③证明如下： 欲证f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2，即证⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222，即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22. 即证(x 1－x 2)2>0.显然成立．故原不等式得证． 答案：③5．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a ＜b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a ＞－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ， 即12b 2－b ＋32＝b ， 解得b ＝1或b ＝3. 因为b ＞1，所以b ＝3.(2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a ＞－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎨⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．6．(2018·常州模拟)已知非零数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝a n －2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1a n 是等比数列；(2)若关于n 的不等式1n ＋log 2⎝⎛⎭⎫1＋1a 1＋1n ＋log 2⎝⎛⎭⎫1＋1a 2＋…＋1n ＋log 2⎝⎛⎭⎫1＋1a n<m －3有解，求整数m 的最小值；(3)在数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1a n－（－1）n 中，是否存在首项、第r 项、第s 项(1<r <s ≤6)，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r 、s ；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由a n a n ＋1＝a n －2a n ＋1，得1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1a n 是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得，1a n ＋1＝2n ，故1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n <m －3，设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，则f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，所以f (n )单调递增，则f (n )min ＝f (1)＝12，于是12<m －3，即m >72，故整数m 的最小值为4.(3)由(1)(2)得，a n ＝12n －1，则设b n ＝1＋1a n －(－1)n ＝2n －(－1)n ，要使得b 1，b r ，b s 成等差数列，即b 1＋b s ＝2b r ，即3＋2s －(－1)s ＝2r ＋1－2(－1)r ，得2s －2r ＋1＝(－1)s －2(－1)r －3，因为s ≥r ＋1，所以(－1)s －2(－1)r －3≥0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧s ≥r ＋1，（－1）s＝1，（－1）r ＝－1，故s 为偶数，r 为奇数，因为4≤s ≤6，所以s ＝4，r ＝3或s ＝6，r ＝5或s ＝6，r ＝3.。
2019届高考(文科)江苏版一轮复习：第2章 6 第6讲 指数与指数函数分层演练直击高考
1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝________． 解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9，即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7. 答案：72．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .答案：a >b >c3．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 34.⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________． 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：25．已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________． 解析：因为f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，f (a )＝－12， 所以e a －e －a e a ＋e －a ＝－12. 所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －a e a ＋e －a ＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12. 答案：126．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9，则f (x )的单调递减区间是________． 解析：由f (1)＝9得a 2＝9，所以a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|， 又因为g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，2]．答案：(－∞，2]7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．解析：因为x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 所以所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. 答案：⎣⎡⎦⎤34，57 8．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(－∞，1]9．(2018·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.答案：e10．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点．答案：(1，＋∞)11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1，6)，B (3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，①b ·a 3＝24，② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减，所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. 12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1， 解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )故a 的值为0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，e x ，x ≤0，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为________．解析：当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2； 当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．解析：方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不同实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，所以0<2a <1，即0<a <12. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f （x ）g （x ）＝a x ，所以f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12. 答案：2或124．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________． ①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c <2. 解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)，由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错；因为f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|，所以|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，所以2a ＋c <1， 所以a ＋c <0，所以－a >c ，所以2－a >2c ，③不成立． 答案：④5．(2018·苏锡常镇四市调研)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98， t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0， 过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a >0. 6．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 解：因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1.(1)因为f (1)>0，所以a －1a>0， 又a >0且a ≠1，所以a >1，f (x )＝a x －a －x ， 因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0， 所以f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，所以x >1或x <－4，所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．(2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0， 所以a ＝2或a ＝－12(舍去)， 所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32， 所以原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，w (t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.。
2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习练习：第6章 不等式、推理与证明 3 第3讲 分层演练直击高考含解析
1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )的最大值为________． 解析：因为x ＜0，所以f (x )＝－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 答案：－42．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________(填序号)．①a 2＋b 2>2ab ；②a ＋b ≥2 ab ；③1a ＋1b >2ab ； ④b a ＋a b≥2. 解析：因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以①错误．对于②、③，当a <0，b <0时，明显错误．对于④，因为ab >0，所以b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2. 答案：④3．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． 解析：f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x ，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.答案：364．(2018·江苏省高考名校联考(一))已知实数x ，y 满足xy ＋6＝x ＋9y ，且y ∈(1，＋∞)，则(x ＋3)(y ＋1)的最小值为________．解析：由条件知x ＝9y －6y －1，则(x ＋3)(y ＋1)＝（12y －9）（y ＋1）y －1＝12(y －1)＋6y －1＋27.又y ∈(1，＋∞)，所以y －1∈(0，＋∞)，故(x ＋3)(y ＋1)＝12(y －1)＋6y －1＋27≥122＋27，当且仅当y ＝1＋22时取等号． 答案：27＋12 25．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号． 答案：806．(2018·浙江省七校模拟)已知实数x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1y的最小值是________．解析：由已知，得lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ·8y ＝2，即2x ·23y ＝2，即x ＋3y ＝1， 所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋3y ) ＝4＋3y x ＋x y≥4＋23，当且仅当x ＝3y 时，等号成立． 答案：4＋2 37．不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________． 解析：根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·b a ＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．答案：(－2，1)8．若x ，y 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值为________． 解析：由题意，得 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12y ⎝⎛⎭⎫y ＋12x ＝2⎝⎛⎭⎫xy ＋14xy ＋1≥2⎝⎛⎭⎫2xy ·14xy ＋1＝4，当且仅当⎩⎨⎧x ＋12y ＝y ＋12x ，xy ＝12，即x ＝y ＝22时，“＝”成立．答案：4。
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
2019年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第六章 不等式与推理证明》6-4
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正 确．(×) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推 理．(√) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对 象较为合适．(×) (4)演绎推理的结论一定是正确的．(×)
sin2n3＋π 1
－
2
＋
…
＋
sin22nn＋π1
－
2
＝
______________.
解析：根据已给出的等式归纳推理求解． 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后 面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数 的一半，43后面第二个数是第一数的下一个自然数，所以，所求结 果为43×n×(n＋1)，即43n(n＋1)． 答案：43n(n＋1)
(2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． ②特点：是由特殊到 特殊 的推理．
2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种 推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的 一般原理 ． ②小前提——所研究的特殊情况． ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(5)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(×) (6) 在 演 绎 推 理 中 ， 只 要 符 合 演 绎 推 理 的 形 式 ， 结 论 就 一 定 正 确．(×) (7)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定 是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√) (8)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 an＝n(n ∈N*)．(×)
近年届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第5讲直接证明与间接证明演练直击高考文(2021年整
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第5讲直接证明与间接证明1．（2018·扬州质检)用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．解析:“至少有一个"的否定是“一个也没有”，故应假设“a，b中没有一个能被5整除”．答案：a，b中没有一个能被5整除2．设a＝错误!－错误!，b＝错误!－错误!，c＝错误!－错误!,则a、b、c的大小顺序是________．解析：因为a＝错误!－错误!＝错误!，b＝错误!－错误!＝错误!，c＝错误!－错误!＝错误!，且错误!＋错误!＞错误!＋错误!＞错误!＋错误!＞0,所以a＞b＞c.答案：a＞b＞c3．已知点A n(n,a n）为函数y＝错误!图象上的点，B n（n，b n）为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*,设c n＝a n－b n,则c n与c n＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n＝a n－b n＝错误!－n＝错误!，所以c n随n的增大而减小，所以c n＋1〈c n.答案：c n＋1<c n4．已知α、β均为锐角,且cos(α＋β）＝sin（α－β），则tan α＝________．解析:因为cos（α＋β)＝sin（α－β)，所以cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β。
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。
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1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为
________．
解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0，即(a＋7)·(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
答案：(－7，24)
2．已知实数对(x，y)满足x≤2，y≥1，x－y≥0，则2x＋y取最小值时的最优解是________．
解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直
线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1，1)时，(2x＋y)min＝3.
答案：(1，1)
3．(2018·常州质检)若x，y满足约束条件x＋2y－2≥0，x－y＋1≥0，2x＋y－4≤0，
z＝x－2y，则z的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图．
由图可知当z＝x－2y过点A时，z取得最大值；
当z＝x－2y过点B时，z取得最小值，
由x－y＋1＝0，2x＋y－4＝0解得B(1，2)，则zmin＝1－2×2＝－3，
由x＋2y－2＝0，2x＋y－4＝0解得A(2，0)，则zmax＝2－2×0＝2，
故z＝x－2y的取值范围是[－3，2]．
答案：[－3，2]
4．设变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是
________．
解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，目标函数的几何意义是直线在y
轴上截距的相反数，其最大值在点A(2，0)处取得，最小值在点B12，3处取得，即最大值
为6，最小值为－32.
答案：－32，6
5．若非负变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋2y≤4，则x＋y的最大值为________．
解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令z
＝x＋y，易知当直线y＝－x＋z经过点C(4，0)时，直线在y轴上截距
最大，目标函数z取得最大值，即zmax＝4.
答案：4
6．(2018·泰州模拟)已知实数x，y满足x＋y－4≤0，2x－y＋1≥0，x＋4y－4≥0，则z＝|x|＋|y－3|的取值范围是
________．
解析：由条件可知，点(x，y)在由顶点(1，3)、(4，0)、(0，1)组成的三角形区域内，
从而x≥0，y≤3，故z＝x－y＋3，取x＝4，y＝0，得zmax＝7，取x＝1，y＝3，得zmin＝1，从而z∈[1，
7]．
答案：[1，7]
7．设D为不等式组x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0所表示的平面区域，则区域D上的点与点(1，0)之间
的距离的最小值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，
点B(1，0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255.
答案：255
8．已知O为坐标原点，A(1，2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件x＋|y|≤1，x≥0，则z＝OA→·OP
→
的最大值为________．
解析：如图作可行域，
z＝OA→·OP→＝x＋2y，显然在B(0，1)处zmax＝2.
答案：2
9．(2018·云南省师大附中模拟)设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则z＝yx－xy的取值范围
是________．
解析：由于yx表示可行域内的点(x，y)与原点(0，0)的连线的斜率，
如图，求出可行域的顶点坐标A(3，1)，B(1，2)，C(4，2)，则kOA＝13，
kOB＝2，kOC＝12，可见yx∈13，2，令yx＝t，则z＝t－1t在13，2上单调
递增，所以z∈－83，32.
答案：－83，32
10．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料
2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，
每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都
不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司可获得的
最大利润是________．
解析：设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，
相应的利润为z元，