八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案
分式的化简与求值
典例剖析
【例l 】 已知2
310a a -+=，则代数式3
61
a a +的值为 ．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a
+=，需要对所求代数式变形含“1
a a +”．
【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，
356
124234567
a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944
（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．
【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．
求
222
()()()()()()
()()()
x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．
【例4】 已知
1,2,3,xy yz zx
x y y z z x
===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）
解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．
【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111
a b c a b c
++=
++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．
解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．
（北京市竞赛试题）
【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=
②
1
4
b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．
（全国初中数学联赛试题）
能力训练
1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d
-+-+-+的值是 ．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知2
131
x
x x =-+，则242
91x x x =-+ ． （广东竞赛试题）
3．若2
2
2
1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c
++--- 的值为 ．
（“缙云杯”竞赛试题）
4．已知
232325
x xy y x xy y +-=--，则11
x y -= ．
5．如果111,1a b b c
+
=+=，那么1
c a +=（ ）．
A ．1
B ．2
C ．12
D ．1
4
（“新世纪杯”竞赛试题）
6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则
222222222
111
b c a c a b a b c
+++-+-+-的 值为（ ）．
A ．正数
B ．负数
C ．零
D ．不能确定
7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则222
222
23657x y z x y z
++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定
8．已知211
x
x mx =-+，则36
33
1x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．
313m + C ．2132m - D ．2
131
m + 9．设0a b c ++=，求222
222222a b c a bc b ac c ab
+++++的值．
10．已知111
x y z y z x
+
=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）
11．设,,a b c 满足
1111
a b c a b c
++=
++， 求证212121212121
1111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）
（波兰竞赛试题）
12．三角形三边长分别为,,a b c ．
（1）若a a b c
b c b c a ++=
+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111
a b c a b c
-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．
13．已知1ax by cz ===，求
444444
111111
111111a b c x y z
+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）
14．解下列方程（组）： （1）
1827
2938
x x x x x x x x +++++=+
++++； （江苏省竞赛试题）
（2）
5968419221
19968
x x x x x x x x ----+=+
----； （“五羊杯”竞赛试题）
（3）111211131114
x y z y z x z x y ?+=?+??+=?+??+=?
+?．
（北京市竞赛试题）
B 级
1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c
=
++， 111111
()()()y a b c b c c a a b
=+++++，则23x y xy ++= ．
2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b
+++==，则
()()()
a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．
4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222
x y z y z x z y x
+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知
a c c b
b a b a
-==+，那么有（ ）
． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =
6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111
a b c
++的值为（ ）．
A ．3
B ．8
C ．16
D ．20
7．已知2
519910x x --=，则代数式42(2)(1)1
(1)(2)
x x x x -+----的值为（ ）．
A ．1996
B ．1997
C ．1998
D ．19999
8．若615325x y x y y x y x -==-，则22
2245623x xy y x xy y
-+-+的值为（ ）． A ．
92 B ．9
4
C ．5
D ．6 （全国初中数学联赛试题）
9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3
3
3
3a b c abc ++=； （2）求(
)()a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
---++++---的值． （北京市竞赛试题）
10．已知2
410a a ++=，且423
2
1
322a ma a ma a
++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）
11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、
（天津市竞赛试题）
12．设222222222
,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab
+-+-+-===，当3A B C ++=-时，
求证：2002
200220023A B C ++=．
（天津市竞赛试题）
13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？
（江苏省竞赛试题）
专题07 分式的化简求值
例1 181
提示：3
36
31
11
a
a a a +=+
例2 A 提示：7665544332216
a a a a a a a a a a a a k ?????=
=71a a =58328，得k=3
1±，又25
4
43322151k a a a a a a a a a a =???= 例3
油x+y+z=3a ，得（x-a ）+（y-a ）+（z-a ）=0.设x-a=m ，y-a=n ，z-a=p ，则m+n+p=0，即p=-（m+n ）.
原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222
n m n m n m mn ++++-=-2
1 例4 x=51
2 提示：由已知条件知xy ≠0，yz ≠0，取倒数，得：????????
?+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即??????
???=+=+=+,
3
1
11,2
1
11,11
1x z z y y x ①+②+③，得
12
11111=++z y x 例5 提示：由已知条件，得()()
a bc ac
b ab
c bc ac b ab +++++++2
2
=()()[]()c a b a c b a b ++++
=()()()0=+++a c c b b a
例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c ，①或b=a+c ，②或c=b+a ，③，联立①③，只需证a=16或
或b ＝16或c ＝16，即（a －16）（b －16）（c －16）＝0. ④ 展开只需证明
0＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋162（a ＋b ＋c ）－163＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋163 ⑤ 将①平方、移项，有a 2＋b 2＋c 2＝322－2（ab ＋bc ＋ca ），⑥ 又将②移项、通分，有 0＝
1
4
－（++b c a bc ＋+c a b ac －＋a b c ab ++）
①
② ③
＝1
4
－（
2
+
ab ac a
abc
-
＋
2
+
bc ab b
abc
-
＋
2
ac bc c
abc
+-
）
＝
222 8()4()
4
abc ab bc ac a b c
abc
-+++++
＝
2
8()4[322()]
4
abc ab bc ac ab bc ca
abc
-+++-++
把⑥代入等式中，
0＝
3 16()16
4
abc ab bc ac
abc
-+++
＝
23 16()16()16
4
abc ab bc ac a b c
abc
-+++++-
＝(16)(16)(16)
4
a b c
abc
---
当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c
为斜边的直角三角形.
同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a 个直角三角形.
A级
1. 0或－2
2. 1
5
∵
231
x x
x
-+
＝1，∴x＋
1
x
＝4.
又∵
42
2
91
x x
x
-+
＝5，∴
2
42
91
x
x x
-+
＝
1
5
3. 1
8
4.3
5. A
6. C 提示：b 2＋c 2－a2＝－2bc
7.B
8. C 提示：取倒数，得x＋1
x
＝1＋m，原式的倒数＝x3＋
3
1
x
－m3
9. 1 提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）
10. 提示：由x＋1
y
＝y＋
1
z
，得x－y＝
1
z
－
1
y
，得zy＝
y z
x y
-
-
11. 提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝0
12. （1）∵
()
a b c
bc
+
＝
()
b c
b c a
+
+-
，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝
0.
∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.
（2）∵1
a
＋
1
c
＝
1
+
a b c
-
＋
1
b
，∴
a c
ac
+
＝
()
a c
a b c b
+
-+
∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0, a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.
13. 3 x＝1
a
，y＝
1
b
，c＝
1
z
，∴
4
1
1a
+
＋
4
1
1x
+
＝
4
1
1a
+
＋
4
1
1
1
a
+
＝1，∴原式＝3.
14. （1）x＝－11 2
（2）x＝123 14
（3）（x，y，z）＝（23
10
，
23
6
，
23
2
）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.
B级
1. 2
2. －1或8 提示：设a b
c
+
＝
b c
a
+
＝
c a
b
+
＝k，则k＝－1或2 3.
1128
35
4. 0 提示：由
x
y z
+
＝1－
y
z x
+
－
z
x y
+
，得：
1
4
＝x－
xy
z x
+
－
xz
x y
+
5. A
6. C
7. D 提示：原式＝
4
(2)(2)
(1)(2)
x x x
x x
-+-
--
＝
3
(2)
1
x x
x
-+
-
＝
32
6128
1
x x x x
x
-+-+
-
＝
2(1)5(1)8(1)
1
x x x x x
x
---+-
-
＝x2－5x＋8
8. A 提示：由已知条件得x＝3y
9. （1）由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ∴a 3＋b 3＋c 3＝－3ab （a ＋b ）＝3abc
（2）∵（a b c -＋b c a -＋c a b -）·c
a b
-＝1＋22c ab ， ∴同理：
（a b c -＋b c a -＋c a
b -）·a b
c -＝1＋22a bc ，
（a b c -＋b c a -＋c a b -）·b
c a -＝1＋22b ac ，
∴左边＝3＋22c ab ＋22a bc
＋22c ab ＝3＋3332()
a b c abc ++＝9
10. ∵a 2＋4a ＋1＝0，∴a 2＋1＝－4a ，①
a ≠0. 42321
22a ma a ma a
++++＝2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++＝3.把①代入上式中，
222216(2)8a m a a ma +--+＝3，消元得1692)
8m m
+--+＝3，解得m ＝19.
11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天，则
,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ?=??+??
=??
+?
?=??+?
即111,111,111p a b c q b a c x c a b ?=+?=+?=+
解得x ＝
1
4
. 12. 由A ＋B ＋C ＝－3得（2222b c a bc
+-＋1）＋222222
(1)(1)0.22c a b a b c ac ab +-+-+++=
即222222
()()()0222b c a c a b a b c bc ac ab
+-+-+-++=
分解因式，得(b ＋c －a )(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝0
b ＋
c －a ， a ＋b －c ，a －b ＋c 中至少有一个为0，不妨设b ＋c －a ＝0，代入式中， A 2002＋B 2002＋C 2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．
13．（1）设女孩速度x 级/分，电梯速度y 级/分，男孩速度2x 级/分，楼梯S 级，则
2727
1818.
S x y S x
y -?=??
?
-?=??，得13.5271818S S -=-，327418S S -=-，∴S ＝54． （2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编，走过楼梯n 编，则女孩走过扶梯(m －1)编，走过楼梯(n －1)编，男孩上扶梯4x 级/分，女孩上扶梯3x 级/分．
545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+，即11
4231m n m n --+=+
，得6n ＋m ＝16，m ，n 中必有一个是正整数，且0≤︱m －n ︱≤1． ①16
m
n -=，m 分别取值，则有
②m ＝16－6n ，分别取值，则有 显然，只有m ＝3，n ＝126满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋1
26
×54＝198级．
∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．
分式化简求值几大常用技巧
分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果1 2x x +=，则242 1x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2 x ，得 原式=. 2222 1111 1 1 213 1()1x x x x = ==-++ +-. 2、倒数法 例2 如果1 2x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 42222 22 1111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=1 3 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则221 x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2222 1124,42 2.x x x x ++ =∴+=-= 4、设参数法 例4 已知 0235a b c ==≠，求分式2 22 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式=22222 2323532566 .(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===
∴3 c ak bk k ck k k ck ==?=??=， ∴3 1,1k k == ∴a b c == ∴原式= 1.a b c a b c +-=-+ 5、整体代换法 例6 已知 113,x y -=求2322x xy y x xy y +---的值. 解：将已知变形，得 3,y x xy -=即3x y xy -=- ∴原式= 2()32(3)333 .()23255 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+?-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0 ，且满足a a b ba b 2 2 22++--=，求a b a b 33 13+-的值。 解：因为a a b ba b 2 2 22++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1 所以a b a b a ba a b b a b 3322 1313+-= +-+-()() = -?-+-= -+-11331 2222() a a b b ab a a b b ab = +--=---= --()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331 =-1 评注：本题应先对已知条件a a b ba b 22 22++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法 例7 已知1,abc =则 111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab = ∴原式=1 11111a b ab ab a b ab b a ab ab ++ ++?++?++
人教八年级数学上册第十五章 分式的化简求值 专项训练(含答案解析)
人教八年级数学上册第十五章 分式的化简求值 专项训练 1.如果a-3b=0，那么代数式222 2ab b a b a a a ??---÷ ??? 的值是（ ） A. 12 B.12- C.1 4 D.1 2.若ab=1，11 11m a b = +++，则m 2019的值为（ ） A.2019 B.0 C.1 D.2 3.先化简，再求值：24441224a a a a -+? ?-÷ ?+-?? ，其中102(2018)a π-=+-. 4.先化简，再求值：69933a a a a a a +???? +÷+ ? ?--???? ，其中3a =. 5.若2 20x x +-=，则2 21 x x x x +-+的值为（ ） A. 32 B.12 C.2 D.3 2 - 6.如果2210a a +-=，那么代数式2 4· 2 a a a a ??- ?-? ?的值是（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 7.若13x x -=，则2 41x x +的x 值是（ ） A.11 B.7 C. 111 D.1 7 8.如果2 10a ab --=，那么代数式222a b ab a a b a ?? -?+ ?-?? 的值是（ ） A.-1 B.1 C.-3 D.3 9.如果m=n+4，那么代数式2·m n mn n m m n ??- ?+??的值是______. 10.已知221 124 4 m n n m +=--，则11 m n -的值等于（ ） A.1 B.0 C.-1 D.1 4 - 11.已知()(2)0(0)x y x y xy --=≠，则x y y x +的值是（ ） A.2 B. 12 2- C.-2或122- D.2或1 22 12.已知14a a +=，则2 1a a ?? -= ??? ________. 13.先化简，再求值：222 21a ab b a b a ab a b +++-÷--，其中a ，b 满足2 (1)|1|0.a b +++= 14.已知2131 x x x =--+，求2 42 91x x x -+的值.
八年级数学_二次根式的化简求值_练习题及答案
二次根式的化简求值 练习题
m n，m n，则 m B. 2n )n)n()n 13 33= 3 23 23 = 2 (23) (23)(23) =43, 分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化 1 276 3 23 . 13 3 23(23)(23) ，33，23.
1111(20121)21 3 2 4 3 2012 2011 . 111 1 (1)(1 ) n n n n n n n n n n ，将各个分式分别分母有理化 324320122011）1）=（2012）2-12=2012-1=2011. 3 232,b=32 3 2 ,23ab b 的值. 2 2(32)5263 2 (32)(32)，同理22632 ；26+526=10，a b=（526）（526）=1，然后将所要求值的式子用表示，再整体代入求值即可252632 ，22632 ，26+526=10，a b=26）（526）23ab b =2()5a b ab 51=95.
举一反三： 2.如图,数轴上与1,2对应的点分别为A,B，点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-2|+2 x =（） A.2 B.22 C.32 D. 2 解析：因为点B和点C关于点A对称，点A和点B所表示的数分别为1，2，所以点C表 示的数为2-2，即x=2-2，故|x-2|+2 x =|2-2-2|+2 22 =22-2+22=32. 例3 比较大小:(1)11-3与10-2；(2)22-5与10-7. 解析：（1）用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小. 答案：解：（1）（11-3）2=11-2×11×3+3=14-233， （10-2）2=10-2×10×2+4=14-240. ∵33<40,∴33<40,∴-233>-240,∴14-233>14-240, ∴（11-3）2>（10-2）2.又∵11-3>0,10-2>0,∴11-3>10-2. （2） 1 225 =225 (225)(225) =225 3 ， 1 107=107 (107)(107) =107 3 . ∵225 3 =85 3 <107 3 ，
人教版初中八年级数学上册分式的化简练习题精选28
————— 5abc2 x2－36 ————— x2＋12x＋36 2m2－4my＋2y2———————4m－4y 5a3b2c ————— 45ab3c ————— x2y3 2x2－2xy —————8(x－y)2 8z2＋8za —————4z2－4a2 7x2－7y2—————3(x＋y)2
————— 30a3b3c x2－16 ————— x2－6x＋8 2x2－4xy＋2y2———————5x－5y －5a3b2c ————— 50ab2c ————— x2y3 2x2＋2xy —————4(x＋y)2 2y2＋2ya —————4y2－4a2 7x2－7y2—————2(x－y)2
————— 45a3b2c3 x2－64 ————— x2＋12x＋32 2a2＋4an＋2n2———————4a＋4n 20abc ————— 35a3b3c ————— xy3 4x2－4xy —————3(x－y)2 2y2－2yb —————3y2－3b2 5x2－5y2—————4(x－y)2
————— －45a3b2c x2－9 ————— x2－7x＋12 4a2＋8ab＋4b2———————10a＋10b －10a3b ————— －50a3bc2————— xy 4x2＋4xy —————7(x＋y)2 10z2＋10zb —————4z2－4b2 9x2－9y2—————5(x－y)2
40abc ————— －45abc x2－1 ————— x2－4x＋3 3x2－6xn＋3n2———————5x－5n 5a2b ————— －50a2b2c3(3x－5y)y ————— xy3 2x2－2xy —————6(x－y)2 4x2－4xc —————4x2－4c2 5x2－5y2—————4(x－y)2
初中数学-化简求值-练习-有答案
类型1 实数的运算 1．(2016·玉溪模拟)计算： (2 016－π)0－|1－2|＋2cos45°. 解：原式＝1－(2－1)＋2× 22 ＝1－2＋1＋ 2 ＝2. 2．(2016·邵阳)计算：(－2)2＋2cos60°－(10－π)0. 解：原式＝4＋2×1 2－1 ＝4＋1－1 ＝4. 3．计算：(－1)2 017＋38－2 0170－(－12)－2 . 解：原式＝－1＋2－1－4 ＝－4. 4．(2016·宜宾)计算： (1 3)－2－(－1)2 016－25＋(π－1)0. 解：原式＝9－1－5＋1 ＝4. 5．(2016·曲靖模拟改编)计算： (－1 2)－3－tan45°－16＋(π－3.14)0. 解：原式＝－8－1－4＋1 ＝－12. 6．(2016·云南模拟)计算： (13)－1－2÷16＋(3.14－π)0 ×sin30°. 解：原式＝3－2÷4＋1×1 2 ＝3－1 2＋1 2 ＝3. 7．(2016·广安)计算： (1 3)－1－27＋tan60°＋|3－23|. 解：原式＝3－33＋3－3＋2 3 ＝0. 8．(2016·云大附中模拟)计算：
－2sin30°＋(－13)－1－3tan30°＋(1－2)0＋12. 解：原式＝－2×12＋(－3)－3×33 ＋1＋2 3 ＝－1－3－3＋1＋2 3 ＝3－3. 类型2 分式的化简求值 9．(2016·云南模拟)先化简，再求值：x －32x －4÷x 2 －9x －2 ，其中x ＝－5. 解：原式＝x －32（x －2）·x －2（x ＋3）（x －3） ＝12（x ＋3）. 将x ＝－5代入，得原式＝－14 . 10．(2016·泸州改编)先化简，再求值：(a ＋1－3a －1)·2a －2a ＋2 ，其中a ＝2. 解：原式＝（a ＋1）（a －1）－3a －1·2（a －1）a ＋2 ＝a 2 －4a －1·2（a －1）a ＋2 ＝（a ＋2）（a －2）a －1·2（a －1）a ＋2 ＝2a －4. 当a ＝2时，原式＝2×2－4＝0. 11．(2016·红河模拟)化简求值：[x ＋2x （x －1）－1x －1]·x x －1 ，其中x ＝2＋1. 解：原式＝[x ＋2x （x －1）－x x （x －1）]·x x －1 ＝ 2x （x －1）·x x －1 ＝2 （x －1） 2. 将x ＝2＋1代入，得 原式＝2（2＋1－1）2＝2（2）2＝22 ＝1. 12．(2015·昆明二模)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1. 解：原式＝a －（a －b ）a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b ＝b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b ＝a ＋b. 当a ＝3＋1，b ＝3－1时， 原式＝3＋1＋3－1＝2 3. 13．(2016·昆明盘龙区一模)先化简，再求值：x 2－1x 2－x ÷(2＋x 2 ＋1x )，其中x ＝2sin45°－1.
分式化简求值练习题库(经典精心整理)复习过程
分式化简求值练习题库(经典精心整理)
1．先化简，再求值： 12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值： ，其中a=﹣1． 3、（2011?綦江县）先化简，再求值： ，其中x=． 4、先化简，再求值：，其中． 5先化简，再求值 ，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 6、化简： b a b a b a b 3a -++-- 7、（2011?曲靖）先化简，再求值： ，其中a=． 8、（2011?保山）先化简211111 x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．
9、（2011?新疆）先化简，再求值：（ +1）÷，其中x=2． 10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9，其中x = 10–3 11、（2011?雅安）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算． ． 12、先化简，再求值： 12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、（2011?泸州）先化简，再求值： ，其中． 14、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212 x x --≤??
求值：2222121111a a a a a a a +-+?---+，其中12 a =-。 18．先化简，再求值：? ?? ??1＋1x －2÷x 2 －2x ＋1x 2－4，其中x ＝－5． 19. 先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+?? ，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根. 20 化简，求值： 111(1 1222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =． 21、（1）化简：÷．（2）化简：22a b ab b a (a b )a a ??--÷-≠ ??? 22、先化简，再求值： ，其中． 23请你先化简分式2223691,x 1211 x x x x x x x +++÷+--++再取恰的的值代入求值. 24、（本小题8分）先化简再求值()1 21112222+--++÷-+a a a a a a 其中a=3+1 25、化简，其结果是． 3
八年级数学上册整式的化简求值专项培优卷(含答案)
2017-2018学年八年级数学上册 整式的化简求值专项培优卷 1、计算：19902-19892+19882-19872+…+22-1. 2、已知x 2-2x=2,将下式先化简，再求值:(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1). 3、先化简，再求值：(-a-b)2-(a+1-b)(a-1-b)，其中a=0.5,b=-2. 4、已知2x-1=3，将下式先化简，再求值:(x-3)2+2x(x+3)-7的值． 5、已知x2+x=6，将下式先化简，再求值:x(x 2+2)-x(x+1)2+3x 2 -7的值．6、先化简再求值：2(x-2)(x+9)+(x+3)(3-x)-(x-3)2，其中x=-3. 7、已知x 2+x-1=0,求下列代数式的值： (1)2x 2+2x-1；(2)221 x x ；(3)x 3+2x 2 +1.
8、已知a 2+b 2+2a-4b+5=0,先化简，再求(a-2b)2-(a+2b)2的值． 9、计算：)101 1)...(41 1)(31 1)(21 1(2222的值． 10、若x ＋y=2，且(x ＋2)(y ＋2)=5，求x 2＋xy ＋y 2 的值．11、先化简再求值：(2a+b)2-(2a-b)(a+b)-2(a-2b)(a+2b)，其中a=0.5,b=-2. 12、先化简再求值：(a-2b)(a 2+2ab+4b 2)-a(a+3b)(a-3b)，其中a=-91 ,b=1. 13、已知x 2+3x-1=0，先化简再求值：4x(x+2)+(x-1)2-3(x 2 -1). 14、已知x 2-x--6=0，先化简再求值：x(x-1)2-x 2(x-1)+10的值．
八年级奥数：分式的化简求值
八年级奥数：分式的化简求值 解读课标 先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类． 给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，不但要经常用到整式化简求值的知识、方法，而且还常常用到如下技巧策略： 1．适当引入参数； 2．拆项变形或拆分变形； 3．整体代入； 4．取倒数或利用倒数关系等． 问题解决 例1 已知，则_____________． 例2 a 、b 、c 为非零实数，且，若，则 等于（ ）． A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 例3 已知，求的值． 例4 已知，且，求x 的值． 012 =--x x =++5412x x x 0= /++c b a a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+abc a c c b b a ))()((+++11,11=+=+ c b b a a c 1+012 =--a a 1129322322324-=-++-a xa a xa a
例5 已知a 、b 、c 满足，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1． 数学冲浪 知识技能广场 1．请你先化简：=___________，再选取一个你喜爱又使原式有意义的数代人求值得_____________． 2．已知实数，则代数式的值为_____________． 3．若，且，则 的值为_______________． 4．若，则的值为_______________． 5．若，则的值为（ ）． 6．若的值为，则的值为（ ）． A ．1 B ．-1 C ． D ． 7．当时，代数式的值是（ ）． A ．-1 B ． C ． D ．1 12222 22222222=-++-++-+ab c b a ac b a c bc a c b 1 )111(2 2-÷-+x x x 01442=+-x x x x 212+2002,2003,2004222=+=+=+m c m b m a 24=abc c b a ab c ca b bc a 111---++a d d c c b b a ===d c b a d c b a +-+-+-31=+x x 1212++x x x 10.A 8.B 101.C 8 1.D 73222++y y 141 6412-+y y 17-15 6 1-=m 3339952122+--+÷----m m m m m m n m m 12-12
初中数学化简求值专题
初中数学化简求值专题 初中数学化简求值个性化教案 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！考点：①分式的加减乘除运 数学中考化简求值专项练习题 代数式及其化简求值 一、 代数式的定义：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方…）把数或者表示数的 字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。如： 1、 学习代数式应掌握什么技能？ 掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式 2、 用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序. 4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。 例练：一个数的1/8与这个数的和；m 与n 的和的平方与 m 与n 的积的和 3 例练：用代数式表示出来（1） x 的3 3倍 （2） x 除以y 与z 的积的商 4 例练：代数式3a+b 可表示的实际意义是 ____________________________ 二、 代数式的书写格式： 1、 数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“ ？ ”代替，更不能省略不写。 2、 数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。 3、 两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如： 4、 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5、 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 6、 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数 式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 如：甲同学买了 5本书，乙同学买了 a 本书，他们一共买了（ 5+a ）本 7代数式求值步骤：（1 ）确定代数式中的字母 （2 ）确定字母所代表的数 （3 ）将字母所代表的数带入到字母求解 典型例题代数式求值类型及方法总结 1、 直接代入法： 2 例练：当a=1/2 , b=3时求代数式 2a+6b-3ab 的值 3 例练：当x=-3时，求代数式2X 2+—的值 学生 数学 教师 课题 刘岳 化简求值专题练习 授课日期 年 级 授课时段 重点难 占 八、、 算②因式分解③二次根式的简单计算 教 学 内 容
专题训练七分式化简求值解题技巧
专题训练七分式化简求值 解题技巧 Prepared on 21 November 2021
【专题训练七】 分式化简求值解题技巧 例1、（1）如果242114x x x =++，那么42251553x x x -+= 。 （2）若 a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-=+-+ 。 例2、若a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++，则a b c 、、中 （ ） A 、必有两个数相等 B 、必有两个数互为相反数 C 、必有两个数互为倒数 D 、每两个数都不相等 例3、化简求值：22214( )2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 满足2210a a +-= 。 例4、已知2410,a a ++=且42321533a ma a ma a ++=++，求m 的值。 例5、已知a b c 、、满足222222222 1222b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1-。 针对性训练 1、已知30,x y -=那么22 2()2x y x y x xy y +?-=-+ 。 2、已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y -= 。 3、已知0abc ≠，且 a b c b c a ==，则3223a b c a b c ++=-- 。 4、已知2310x x -+=，则2 421 x x x =++ 。 5、已知0abc ≠，0,a b c ++=则111111()()()a b c b c c a a b +++++= 。 6、已知323x y -=，则23796x y xy xy y x --=+- 。 7、若4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则代数式222 222 522310x y z x y z +-=-- 。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
分式的化简 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 中考要求
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值：21 1 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 2221 (1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，安徽省中考 【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-?? -÷=?= ?----??- 例题精讲
八年级数学上册分式加减运算计算题练习(含答案)(可编辑修改word版)
八年级数学上册 分式加减运算 计算题练习 1、化简： a 2 - b 2 a - b ÷ (2 + a 2 + b 2 ab ) ． 2、化简： 1 - x 2 - 4x + 4 x + x 2 - 4 1 . 2x + 4 3、化简： a + 2 a - 2 ÷ 1 a 2 - 2a . 4、化简： 1 a -1 -1- a . 5、化简： (m + 2mn + n 2 ) ? m m 2 - mn m 2 - n 2 . 6、化简： 2x - 4 ÷ x 2 - 4 2x x + 2 -1. 7、化简： (1+ 1 a -1 ) ÷ ( 1 a 2 -1 +1) . 8、化简： ( x +1 + x -1 1 ) ÷ x 2 - 2x +1 x . x -1 9、化简： (1- 1 ) ÷ a -1 a 2 - 4a + 4 a 2 - a . 10、化简： (x - 4 - x ) ÷ x -1 x 2 - 4x + 4 . x -1 11、化简： a + 3 ? a 6 + a 2 + 6a + 9 2a - 6 a 2 - 9 . 12、化简： 2x 2 - 2x - x 2 -1 x ． x +1 13、化简： 2x - x +1 2x + 6 ÷ x 2 -1 x + 3 x 2 - 2x +1 . 14、化简： (1+ 2 ) ÷ x -1 x 2 + x . x 2 - 2x +1 15、化简： x x 2 -1 ÷ (1- 1 x +1 ) ． 16、化简： (1- 1 ) ÷ x + 2 x 2 + x . x 2 + 4x + 4 17、化简： (x - x ) ÷ x -1 x 3 - 2x 2 - x 2 - 2x +1 x x +1 . 18、化简： (x + 2 - 12 ) ÷ x - 2 4 - x . x - 2 19、化简： x - 2 ÷ x 2 -1 2x + 2 + x 2 + 2x +1 1 x -1 ． 20、化简： 3x - 3 ÷ x 2 -1 3x - x +1 1 ． x +1 21、化简： ( 2 + x + 3 1 ) ÷ 3 - x x x 2 - 9 ． 22、化简： ( x 2 + x - 2 4 ) ÷ 2 - x x + 2 . x +1
初二数学化简求值经典练习题
化简求值演练 1. 先化简，再求值：13181++÷??? ??+- -x x x x ，其中23-=x 2. 先化简，再求值 24--x x ÷(x+2－ 2 12-x ),其中x= 3 －4. 3. 先化简，再求值：2422-+-x x x ，其中23-= x 4. 先化简(1+1x-1)÷x x 2-1 ，再选择一个恰当的x 值代人并求值
5.化简、求值2(a2b＋2b3－ab3)＋3a3－(2ba2－3ab2＋3a3)－4b3，其中a＝－3，b＝2 6.先化简，然后请你选择一个合适的x的值代入求值： 244 3 x x x x x -- ÷ + 7.先化简： 121 a a a a a -- ?? ÷- ? ?? ，并任选一个你喜欢的数a代入求值 8. () ()的值。 求 无关， 的值与 若多项式 ] 4 5 2[ 5 3 7 8 5 2 2 2 2 2 2 m m m m x x y x x x mx + - - - + - - + + - 先化简，再求值：
化简求值考试 1. 化简求值： 2 2 a b ab b a a a ?? -- ÷- ? ?? ,其中a=2010,b=2009. 2.先化简：(a －2a—1 a)÷ 1－a2 a2＋a，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值． 3.已知|x+1|+(y-2)2=0，求代数式5(2x-y)-3(x-4y)的值.
5. 2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32x =． 6.先化简，再求值：2443x x x x x --÷+，其中0(21)x =- 7化简求值： 21x 2－2??? ??+--??? ??-222231322331y x y x ，其中x ＝－2，y ＝－34 8 先化简：??? ? ??++÷--a b ab a ab a b a 22222，当1-=b 时，请你为a 任选一个适当的数代入求值．
《分式化简求值的几种常见方法》公开课教案
《分式化简求值的几种常见方法》公开课教案 【教学目标】 1、复习分式计算的相关知识。 2、归纳总结分式化简的几种常见方法技巧。 3、通过探究把新旧知识有机结合起来找出解决问题的方法。 4、通过有效引导，提高学生解决问题的能力，激发学生数学学习的兴趣。 【教学重点】 熟练掌握分式化简求值的几种常见方法。 【教学难点】 能够根据题型特点迅速的找出解决问题的途径。 【教学方法】 合作探究，练习，归纳 【辅助手段】 多媒体 【教学过程】 一、复习准备 1、提问：平方差公式和完全平方式。 2、计算 （1）已知2x-y=3，则2y+9-4x的值是多少？ （2）（2x+3）2=
3、因式分解 （1）x 2-2x+1= （2）9x 2+9x+1= 二、问题研讨 （一）、连比设k 法 例1：已知x 3=y 4=z 5 ≠0，求 3x?2y+z x?2y?z 针对练习： （二）、整体代入法 针对练习： （三）倒数法 22 2317x x xy y y -==、已知:，则2、已知三条线段x,y,z,且x:y:z=3:5:7，x y z x y z ++-+则 的值为 23242x xy y x y xy x xy y +--=--例2、已知:，求: 的值。 11 12a b ab a b -=-=、已知:，则 112x+3xy-2y 2、已知:-=3，求:的值. x y x-2xy-y 111,y x x y x y x y +=+= +3、已知:则2 2 113,x x x x +=+=4、已知:则
针对练习： （四）非负代数式之和等于零 针对练习： 以上环节，教师展示例题之后学生合作探究，结果展示之后师生共同明确，教师引导学生归纳总结方法，特点以及注意事项。 针对练习原则上学生自主完成，个别同学板演，如果出现难度则由教师引导完成，如果时间紧张一部分由学生课下完成。 三、巩固练习 选用适当的方法进行化简求值 2 311x x ++++2 24x 1x 例、已知:=，求:的值x 7x 11+2 24x 、已知:x +4x+1=0，求:的值 x 2 231a =++2 24 a 、若a -3a+1=0，则a 2 2 a+b 例4、已知:a +b +4a-2b+5=0，求:的值 a-b 12a b -+21 、已知-4b+4=0，则 = 2(1)(1)ab a b -++2 1 2、已知:+(b-1)=0，则 = 1 a b c = ++2 1b+1+c -2c+1=0，则23::3:4:52a b c a b c a b c -+== -+2、若，则
人教版初中八年级数学上册分式的化简练习题精选27
－10a2bc3————— －45abc x2－4 ————— x2＋6x＋8 4a2－8an＋4n2———————2a－2n 25a3b3c ————— 40ab3c2(x－5y)y ————— x2y2 4x2＋4xy —————3(x＋y)2 10y2＋10yb —————3y2－3b2 5x2－5y2—————2(x－y)2
————— 50a3bc3 x2－81 ————— x2－14x＋45 3x2－6xn＋3n2———————5x－5n 15ab3c ————— 30abc2————— x2y 4x2－4xy —————6(x－y)2 6x2－6xa —————2x2－2a2 8x2－8y2—————3(x＋y)2
————— －25abc2 x2－16 ————— x2＋7x＋12 7x2＋14xb＋7b2———————7x＋7b 10a2b3————— －35a3bc3————— x2y2 2x2－2xy —————9(x－y)2 2y2＋2ya —————3y2－3a2 3x2－3y2—————2(x＋y)2
————— －40a3bc x2－81 ————— x2－14x＋45 3m2＋6mn＋3n2———————8m＋8n 10a2b2c ————— －50a2bc ————— xy 6x2－6xy —————8(x－y)2 2x2－2xa —————4x2－4a2 9x2－9y2—————4(x－y)2
－35ab2c3————— －25a3b3c2 x2－100 ————— x2－16x＋60 3x2＋6xy＋3y2———————7x＋7y 15ab ————— －50a3b2c2(3x＋6)y ————— x2y3 4x2＋4xy —————10(x＋y)2 10x2＋10xc —————3x2－3c2 4x2－4y2—————4(x＋y)2
条件分式求值的方法与技巧完整版
条件分式求值的方法与 技巧 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
学科: 奥数 教学内容：条件分式求值的方法与技巧 求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面： 一、将条件式变形后代入求值 例1已知 432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设4 32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝5 45443224322==+-?-?+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法． 例2已知的值求b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0， ∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0， 解得a ＝－3b 或a ＝2b ． 当a ＝－3b 时，原式＝233=+---b b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3 122=+--b b b b ． 二、将求值变形代入求值． 例3已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋ c ＝0， ∴ 原式＝－3． 例4已知31=+x x ，的值求1242++x x x ． 分析：∵ 1)1(11122 2224-+=++=++x x x x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值． 解：∵ 1)1(12224-+=++x x x x x 8132=-=，
最新八年级下册分式化简求值练习50题(精选)
分式的化简求值练习50题 1、先化简，再求值：（1﹣ ）÷，其中12x =． 2、先化简，再求值：2121(1)1a a a a ++-+，其中1a =． 3、先化简，再求值：22(1)2()11x x x x x +÷---，其中x = 4、先化简，再求值:211(1)x x x -+÷，其中12 x = 5先化简，再求值22122()121 x x x x x x x x ----÷+++，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 6、先化简22144(1)11 x x x x -+-÷--，然后从－2≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值. 7、先化简，再求值：2222211221 a a a a a a a a -+--÷+++，其中2a =a ． 8、先化简211111 x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． 9、先化简，再求值：2(1)11 x x x x +÷--，其中x =2． 10、先化简，再求值：231839 x x ---，其中3x =。
11、先化简242()222x x x x x ++÷--，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．． 12、先化简，再求值：21(2)1x x x x ---,其中x =2. 13、先化简，再求值：211()1211 x x x x x x ++÷--+-，其中x = 14、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212 x x --≤??
分式化简求值练习题带答案
分式的化简 一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d = ?=，比例的两外项之积等于两内项之积. 知识点睛 中考要求
⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c = ?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±= ?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n = ==，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??= ? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷ =?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=? =?个 个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±± =±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 例题精讲