平稳随机过程的谱分析
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
第二章 平稳随机过程的谱分析
u 2T
2T
2015-2-10
u 2T
u 2T
17
《随机信号分析》教学组
则
2T 1 1 2T S X ( ) lim { 0 d 2T RX ( )e j du T 2T 2
0 2T 1 2T d 2T RX ( )e j du} 2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
2015-2-10
S X ( )d
14
《随机信号分析》教学组
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
率。 2 解： E[ X (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
0
RX ( )
2015-2-10
1
0
S X ( ) cos d
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《随机信号分析》教学组
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2T 1 1 2T lim{ d RX ( )e j du} 2T 2 T 2T 2T 1 2T j lim ( 2 T ) R ( ) e d X T 2T 2T 2T lim (1 ) RX ( )e j d T 2T 2T 2T j RX ( )e j d RX ( )e d lim
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experiment number = 49; %学号49 I = 8; %幅值为8 u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5; N = 64; C0 = 1; %计数 p(1) = exp(-u);for m = 2:N k = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/222(){()()}(2)!m k mk m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X XC m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。
随机信号分析教学大纲
《随机信号分析》教学大纲（Random Signal Analyzing）总学时数：48 ，学分数： 3 其中：实验(上机)学时：0适用专业：通信工程执笔者：党建武（教授/博士）编写日期：2006-04 一、课程的基本要求应掌握随机变量、随机过程、窄带随机过程的基本概念及其统计特性，学会平稳随机过程的谱、随机过程通过线性系统的分析和随机过程通过非线性系统的分析方法。
二、课程内容和学时分配1、概率论随机变量、概率分布、数字特征、极限定理（8学时）。
2、随机过程随机过程的基本概念及其统计特性、平衡随机过程、复随机过程、正态随机过程、Poisson和Markov过程（8学时）。
3、平稳随机过程的谱分析功率谱密度、功率谱密度与自相关函数之间的关系、联合平衡随机过程的互谱密度、自噪声（8学时）。
4、随机信号通过线性系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析、随机信号通过离散时间系统的分析、白噪声通过线系统的分析、线性系统输出端随机信号的概率分布（8学时）。
5、窄带随机过程Hilbdrt变换、窄带随机过程的表示方法，窄带高斯随机过程的包络和相位的概率密度，窄带高斯过程包络平方的概率密度（8学时）。
6、随机信号通过非线性系统的分析矩函数求法、直接法、特征函数法、非线性变换的包线法、非线性系统输出端信噪比的计算（8学时）。
三、与其它课程的关系本课程是在先修了概率论、信号与系统两门基础课之后开设的一门理论性很强的专业基础课，该门课程是学生理解与通信专业有关的专业课程的基础,也是学习“信号处理”、“信号检测与估值”和“通信原理”等后续课程的基础。
四、教材与参考书目主要参考书：1、朱华、黄辉宁等，随机信号分析，北京理工大学出版社，19902、A．帕普斯：概率、随机变量、随机过程，保铮等译，西北电讯工程学院，1986。
原名：A papoulis: probability, Random V ariables and stochastic processes, MC Graw-Hill, Inc 1984。
随机过程-平稳过程
FX () S（） , d X
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t
随机信号的谱分析
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX () 是偶函数，
因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
FX
()
2 lim T
1 T
E
T 0
X
(t) eitd t
2
,
0
0 ,
0
FX () 20G,X () ,
0 0
GX()
FX()
平稳随机序列的功率谱
对于平稳随机序列X (n)，若它的自相关函数RX (m) 满足
[解]
GX
()
2
ea
0
cos(0
) cos() d
ea
0
[cos(0
)
cos(0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () .
若 X (t) 和 Y (t)相互正交，则
RW ( ) RX ( ) RY ( )
GW () GX () GY ()
[例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)
也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。
X (t)
[解]
Y (t)
延迟T
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )] E{[ X (t) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2RX ( ) RX ( T ) RX ( T )
GX
() e j
d
N0
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
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第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？●相关函数与功率谱的关系●功率谱的应用●采样定理●白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。
即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以得到：——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量（单位阻抗）。
因此，等式右边的被积函数2)(ωX X 表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称2)(ωX X 为能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
x(t):截取函数T图2.1 x(t)及其截取函数x(t)满足绝对可积条件。
因此，当x(t)为有限值时，裁取函数Tx(t)的傅里叶变换存在，有Tx(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达很明显，T式的变化）用2T 除上式等号的两端，可以得到等号两边取集合平均，可以得到:令∞→T，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)ωωπd TT X E dt t X E T X T T T T 2]),([lim 21)]([21lim 22⎰⎰∞∞-∞→-∞→=上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q 。
再看等式的右边，它当然也存在，并且等于Q 。
又因为2),(ωT X X 非负，所以极限TT X E X T 2]),([lim 2ω∞→必定存在，记为)(ωX S ：ωωπd S dt t X E T Q X T T T ⎰⎰∞∞--∞→==)(21)]([21lim 2注意：（1）Q 为确定性值，不是随机变量（2）)(ωX S 为确定性实函数。
（见式）● 两个结论： 1．><=)]([2t X E A Q式中，><>=<∞→.21lim .TAT 表示时间平均。
它说明，随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。
显然， Q 不是随机变量。
若随机过程为平稳的，则)0()]([)]([22X R t X E t X E A Q ＝>=<=这是因为均方值与时间t 无关，其时间平均为它自身。
由于已经对2),(ωT X X 求了数学期望，所以)(ωX S 不再具有随机性，它是ω的确定性函数。
● 功率谱密度：)(ωX S 描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称)(ωX S 为随机过程X(t)的功率谱密度。
● 对)(ωX S 在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。
● 对于平稳随机过程，则有：⎰∞∞-=ωωπd S t X E X )(21)]([22.1.3、功率谱密度的性质证明：证明：因为2),(ωTX X进行了取模运算，这是ω的实函数，所以)(ωXS也是ω的实函数，且为确定性实函数。
证明：因此：即：得：证明：对于平稳随机过程，有：⎰∞∞-=ωωπd S t X E X )(21)]([22.2 联合平稳随机过程的互功率谱密度2.2.1、互谱密度可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法推广而来。
考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为)(t x 和)(t y ，定义两个截取函数()t x T 、()t y T 为：因为()t x T 、()t y T 都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。
在时间范围(-T ，T)内，两个随机过程的互功率)(T Q XY 为:（注意()t x T 、()t y T 为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）由于()t x T、()t y T 的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:注意到上式中，)(t x 和)(t y 是任一样本函数，因此，具有随机性，取数学期望，并令∞→T，得：])()(21[lim )]([lim dt t y t x TE Q T Q E TT T XYXY T ⎰-∞→∞→== ＝]),(21[lim dt t t R TTT XY T ⎰-∞→ ＝ωωωπd TT X T X E Y X T 2)],(),([lim 21*⎰∞∞-∞→ 定义互功率谱密度为：得：同理，有：又知以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的关系。
2.2.2、互谱密度和互相关函数的关系平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。
定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度)(ωXY S 与互相关函数),(τ+tt R XY 之间的关系为若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即：式中，><.A 表示时间平均。
显然：证明：略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。
结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。
2.3.3、互谱密度的性质互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率ω的正的、实的和偶函数。
性质1：)()()(*ωωωYX YX XY S S S =-=证明：⎰∞∞--=ττωωτd e R S j XYXY )()( ＝⎰∞∞---ττωτd e R j YX)( 令ττ-= ＝⎰∞∞-ττωτd e R j YX)(＝)(*ωYX S＝⎰∞∞---τττωd e R j YX)()(＝)(ω-YX S性质2：)(Re[)](Re[ωω-=XY XY S S ；)(Re[)](Re[ωω-=YX YX S S证明：式中Re[·]表示实部。
亦即互谱密度的实部为ω的偶函数。
ττωωτd e R S j XY XY ⎰∞∞--=)()(＝τωτωττd j R XY )]sin()[cos (⎰∞∞--+所以：τωττωd R S XY XY ⎰∞∞-=cos )()](Re[ 令ττ-=＝τωττd R XY ⎰∞∞--cos )(＝)](Re[ω-XY S其它同理可证。
性质3：证明：类似性质2证明。
性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有证明：若X(t)与Y(t)正交，则0),(),(2121==t t R t t R YX XY所以，0)()(==ωωYX XY S S性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值Xm 和Y m ,则证明：因为X(t)与Y(t)不相关，所以Y X m m t Y t X E =)]()([21ττωωτd eR S j XY XY ⎰∞∞--=)()(＝τωτd e m m j Y X ⎰∞∞--＝)(2ωδπY X m m （注意)(21ωπδ↔） 性质6：式中，A<∙>表示时间平均。
这给出了一般的随机过程（包含平稳）的互谱密度与互相关函数的关系式。
[例2.2] 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数)(τXY R 为:求互谱密度)(ωXY S ,)(ωYX S 解：先求)(ωXY S ：再求)(ωYX S2.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号：x(t)↔ )(ωj X 。
随机信号：平稳随机过程的自相关函数↔功率谱密度。
1．定义：若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：这一关系就是著名的维纳—辛钦定理、或称为维纳—辛钦公式。
2. 证明：下面就来推导这一关系式。
证明方法类似式的证明。
因为：由(3.1.14)式T T X E S X T X 2]),([lim)(2ωω∞→= )],(),([21lim *ωωT X T X E TX X T ∞→= ＝TT 21lim∞→])()([221121⎰⎰---T T t j T T t j dt e t X dt e t X E ωω 交换积分和数学期望顺序＝⎰⎰----∞→T T T T t t j T dt dt e t X t X E T21)(2112)]()([21lim ω ＝⎰⎰----∞→-T T T Tt t j X T dt dt e t t R T 21)(1212)(21lim ω 设12t t -=τ，12t t u +=，则22ut +=τ，21τ-=u t所以：2121212121),(),(21=-=∂∂=u t t J τττ+τ图2.2则dueRdTS jXT TTTXωτττττω--+-∞→⎰⎰=)(21{21lim)(222})(21222dueRd jXTTTωτττττ--+--⎰⎰+＝})(2121{lim2222dueRdTjXTTTTTωτττττ---+-∞→⎰⎰＝τττωτdeRTTjXTTT--∞→⎰-)()2(21lim22＝τττωτdeRTjXTTT--∞→⎰-)()21(lim22（1）＝⎰∞∞--ττωτdeR jX)(－τττωτdeRTjXTTT--∞→⎰)()2lim22(注意T∞→, 02→Tτ；且∞→τ时，0)(→τXR。
因此，通常情况下，第二项为0＝⎰∞∞--ττωτdeR jX)(证毕。
推论：对于一般的随机过程X(t)，有：则平均功率为：ωωπd S dt t X E T X T T T ⎰⎰∞∞--∞→=)(21)]([21lim 2（0＝τ）——时间平均加统计平均。
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：3．单边功率谱由于实平稳过程x(t)的自相关函数)(τX R 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。
有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。