直线上独立随机环境中的随机游动[1]

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一类随机环境中的随机游动

粉 ∑
一
（２）
这里由过程的定义可知当ｚａ时，辛（）０Ｐ（）ｌ当ｚ三ｂ，ｊｚ：ｌＰｚ一，・ｚ一；三时Ｐ＝（），
Ｐｔｚ）＝０］（．
ｌ
返性准则和一些极限性质．
关键词随机环境；随机蝣动；常返性；首中时
中图分类号
Ｏ２１６１．２
文献标识码
Ａ
Ｘ■
一
ｔ
随机环境中的随机过程是概率论的一个新的分枝，机环境中的随机游动（记为随简
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第３期
柳向东等：类随机环境中的随机游动一
・９２９・
（若∑ 。一．。且∑ ，… ｉ）（。）一。， … 一＜。，ｉ… Ｘ一。ａ．。。则ｌａｒ．ｃ．ｅ（）ｉ若∑二（ … ）一ｏ，ｊ．．。且∑二一。，一ｏ一ｌｎ—Ｘ＜ｌ一 … 。则。ｉｆ，．ｉｍ｛Ｉｎ
与Ｓｌｎ一致的结果．ｏｏｍｏ
定义ｌ设｛，，．， ∈ ｚ）为概率空间（，（。）），，０，Ｐ）卜的一列随机向量，中（，其／）｝
独立同分布，ｅ一｛，，．， ∈ ｚ）定义在ｚ上的．足ｒ记（。）），满列条件为ＲＩＷＲＥ：
（ｉｉ）如果Ｅｏａ＞０则ｌ … 。一一 ∞ Ⅱ ｅｉｌｇ，ｉａｒ．．

[理学]2-3 Bonulli试验和直线上的随机游走_OK

16
2.二项分布
根据乘法原理，A 要在 n 次试验中恰好发生 k 次，由三个步骤组成：哪 k 次试验 → A 发生 k 次 → A 不发生 n – k 次
因此，当P (A 发生) = p， P (A 不发生) = q = 1 – p ，每次试验的结果要么 A 发生，要么 A 不发生。独立重复进行 n 次试验，其中 A 恰好发生 k 次的概率是：
则称试验E1，E2，…，Eｎ是相互独立的.
5
例如: 1. n次有放回摸球所构成的n个试验是相
互独立的； 2. n次不放回摸球所构成的n个试验不
独立。
6
例若试验E1是掷一枚硬币，=1 {正,反} ，试验E2是从装有红白黑三球的袋子中摸出一球，=2 {红,白,黑}，则复合试验E 表示先掷一枚硬币再一球，它相应的样
建议： 1. 用r:s来分配 2.用最终甲乙取胜的概率P甲：P乙来分配
25
分析：
• 甲若想获胜，需要再胜n=t-r局 • 乙若想获胜，需要再胜m=t-s局 • 记A={甲获胜},P(A)=p,P(Ac)=q • 甲若想获胜，当甲再胜n局时，乙再胜的局数k<m
局，即A的第n次成功发生在第n+k次(k<m)试验
例：布朗运动的近似股票价格涨落和汇率变化
29
无限制随机游动模型：
sn 为质点在ｔ＝ｎ时刻的位置
{sn k}
表示ｔ＝ｎ质点位于Ｋ，即其向右移动的次数比向左移动多了K次
Ｘ为前ｎ次移动中向右移动的次数Ｙ为前ｎ次移动中向左移动的次数
ｘ＋ｙ＝ｎＸ－ｙ＝ｋ
Ｘ＝（ｎ＋ｋ）／２（整数）
即ｋ与ｎ必具有相同的奇偶性
C p q k
k nm1k
nm1
k n

第7章 Brown运动

定义：设函数f(t)在，上有定义上有定义，定义设函数在[0，T]上有定义，在[0，T]上定义一个，上定义一个剖分Π
0 = t0 < t1 < L < t N = T
N −1 k =0
则相应于剖分Π, f(t)的二次变差定义为的二次变差定义为
QΠ =
∑
f
(t k +1 ) −
{
}
的条件下，设s<t，在给定，在给定B(t)=x0的条件下，B(s)的条件密度的条件密度函数为
f B( s ) B( t ) ( x x0 ) = 1 = 2π s 1 = 2π s t = s f B( s ), B( t ) ( x, x0 ) f B( t ) ( x0 ) f s ( x ) ft − s ( x0 − x ) = ft ( x0 )
第七章 Brown运动运动
第一节基本概念与性质
一、直线上的随机游动设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△ 时间，设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t 时间，等概率地向左或向右移动△ 的距离的距离。表示时刻t粒子的概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表示时刻粒子的表示时刻位置，则位置，
( B ( t ) ,L , B ( t ) )
1 n
的联合密度函数为
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ft1 ( x1 ) f t2 −t1 ( x2 − x1 )L ftn −tn−1 ( xn − xn −1 )
其中
1 ft ( x ) = e 2π t , 服从n维正态分布维正态分布。由此可以看出 ( B( t1 ) ,L B( tn ) ) 服从维正态分布。

直线上独立随机环境中的随机游动

线上的ＲＷＩＥ则假定环境是随机变化，有 ∈ｚＲ即
得本引理．
（全体整数）处转移概率Ｐ…＋是随机变化，为随。称机环境．Ｖ．Ｋｏｌｖ在文献［］中首先提出Ｍ．ｚｏ１ＲＷＩＲＥ，后Ｓｌｍｎ在文献［］其ｏｏ２中研究环境是独
Ｓ ” 一ｌｇｏｐ
主要结果如下：定理１设｛为独立随机变量序列，ａ）
（）１（）２
Ｐ（Ｘ卅ｌ — ０Ｘ１ｉ，，一一ｉｌＸ — ＩＸ０，一１ … Ｘ１，一
ｆＪ一十ｌｌ
—
引理１若对几乎所有的环境， ≥ ０在此Ｘ，环境下某一性质成立，直线上ＲＷＩＥ几乎必然则Ｒ
具有此性质．
证
完全类似文献［］２中定理０１的证明可证．
点处确定一个环境，质点按确定的环境作运动，而直
文章编号：２３９８（０２０ — ５９００５ — ８８２０）５０３ — ５
直线上独立随机环境中的随机游动
毛明志，胡亦钧
（汉大学数学与统计学院，北武汉４０７）武湖３０２
摘
要：主要讨论直线上独立随机环境中的常返性和非常返性，进一步研究常返性中的正常返和零常返，并非
的，际上有实

一类随机环境中的随机游动

Ｏ１
ｙｌ０
０
Ｏｒ１ｙ２
…
０口２
ｙ
口
记状态空间为（，，中Ｖ—Ｚ，上分布记为Ｐ，Ｐ—ＰＰ为（Ｖ量）其其：则ｏ：ｎ×ＶＯｘｍ＿８分布．，）Ｌｆ
／０上的推移０义为（）一∞ ．｛）定钆抖
同［］１可证这类ＲｗＩＲＥ是存在的，ｆｐ＝假设ｉ．￣ｌ
，
［收稿日期］２０ —９１０５０ —２［基金项目］安徽省高校青年教师资助计划项目（ｏ７１６）２ｏｊ１２ｑ
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第２期
（Ａ）Ｐ平稳遍历；
定义在Ｚ＝｛，，，上的Ｒ０１２ …）ＷＲＥ是
Ｐ（一０一１），
ＰＸ＋一ｌ＝０Ｘ１１ … ，１１Ｘ一ｉ∞ （１Ｘ０，一ｉ，Ｘ一一ｉ，，）一
ｆ ∞，
Ｉ
— １＋，
Ｉ，一ｉ１－，
给出非常返、常返、常返的充要条件，正零并讨论了极限性质．为推论，出Ｐ独立同分布时的相应结论．作给１键词］随机环境；机游动；［关随常返性；常返；稳；历非平遍［图分类号］Ｏ１．２中２１６［文献标识码］Ａ［章编号］１７ —４４２０）２００ —５文６２１５（０７０ —１８０
由遍历性，（＜。）．以ｌｕＸ＜。Ｐ—ａｓ由假设（）Ｐ（一１一０所以ＸＰＮ。。一１所ｉｓｐ。，ａｒ．．Ａ３，），常返．

半直线上时间随机环境中随机游动的渐近性质

２０年５月０ｒ７
半直线上时间随机环境中随机游动的渐近性质
胡学平
（安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽省安庆２６１）４０１
摘要：给出了半直线上时间随机环境下随机游动的模型，并利用马氏链理论研究了该随机游动的常返暂留准则和依概率收敛的大数定律，得到在非常返情形下的中心极限定理．关键词：随机环境；随机游动；常返；大数定律；中心极限定理中图分类号：０１．２２１６文献标识码：文章编号：６１４９２０）３０３－Ａ１７－８（０７０－３９０５５
ｔｅｒｈｎｈｇｔｉｅ，ｔｅｈｔｄｅｂｕｅｕｌｎｅｔｎｉｎｅｃｔｒａａｄｌｔｔｅｒｍｙｕｉｇｓｍｅｒｌｔｅｉｌｈｎｔｅｓｕｉｓａｏｔｒｃｒｃ — ａｓｅｃｒｅｎｉｈｏｅｂｓｎｏｅａｉ￣ｒｉｉｍｉｖｈｏｉｆＭａｋｖｃａｎ，ｔｅｒｓｏｒｏｈｉｓａｄｆａｌｅｔｒｌｔｅｒｍｆｉａｄｍａｋｎｔｅｎｎｒｃｒｅｃａｅｅｎｎｌａｃｎｅｍｉｔｏｅｏｓｒｏｗｌｓｉｏ — ｕｒｎｅｃｓ．ｉｙｉｈｈｔｎｈｅ
ＡｓｍｐｏｉｏｅｔｅｏｎｄｍａｋｎＴｉｅｒｎｏｙｔｔｃＰｒｐｒｉｓｆｒＲａｏＷｌｓｉｍ－ａｄｍＥｎｉｏｍｅｔｎｔｅＲｉｈｔＬｉｅｖｒｎｎｓｏｈｇｎ

随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明

，
能的跳幅，给出（，）Ｑ上的一列随机变量（），ＰＡ且满足 ∑ Ｐｗ＝１－．，），ａ．ｅ及椭圆条件
￡＞０Ｖ， ∈Ａ ≠０（ｚｐ）￡ —．．，，Ｐ／Ｒ，ａ．ｅ
收稿日期：０８０ —５修订日：０９１ —９２０ —５１；期２０２２
让７Ｍ，是Ｍ关于（，Ｔ的最大的Ｌａｏｎｖ指数．在Ｌ中考虑Ｌ（Ｔ）Ｑ，，）ｉｐｕｏ范数，
即ｌｌＣ：｛１ ∈Ｒ，ｉ）ＬＸ＞０和它与球面的交集：
种直觉来自于电网络中电压与概率的联系．我们先简要的介绍一下模型，文采用Ｂ６ｎ［中的记号．本ｒｍｏｔ］。给定可逆的动力系统（，，Ｑ）即概率空间（，和可逆变换，，Ｑ，）且及其逆都是可测的，且保持测度，假定关于是遍历的．这里的Ｑ可看为随机环境的空间．给出两个取定的整数Ｌ１和Ｒ１引入整数集合Ａ＝ｆ，，，们代表游动可， —Ｌ … Ｒ｝它
数学物理学报
２１，０２：９２６００８Ａ（２－９）８ｈｔ：ａｔｍｓｉａ．ｔ／ｃａ．ｐｃＧｐ／ｗｍ．ｎ
随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明
王士东洪文明
（北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统实验室北京１０７）０８５
２０９
数
学物
理
学
报
Ｖ１０Ｏ３ｌ．Ａ

§2.3伯努利试验随机游动

虑带有反射壁及弹性壁的随机游动等类型.
当 p = q = 1 时，随机游动称为是对称的，这时质点向右或向左的概2 率是一样的. 这里只介绍两种最简单的随机
游动模型.
无限制的随机游动
假定质点在时刻0从原点出发，以 Sn表示它在时刻 t = n时的
位置. 为了使质点在时刻 t = n 时位于 y( k也可以是负整数 )，当且仅当在前 n 次游动中向右游动的次数（记为 x）比向左游动的次数（记为 y）多 k 次.故有
以 f (k; r, p) 记其概率.
Ck 发生当且仅当前面的k-1 次试验中有 r -1 次出现成功， k - r 次失败，而在第 k 次试验的结果是成功，这两个事件的
概率分别为
C p q r−1 r−1 k −r k −1
和
p
利用试验的独立性得
f
(k;
r,
p)
=
Cr−1 k−1
pr−1qk−r
(2)事件A 在每次试验中出现的概率 p 保持不变.
(3)各次试验相互独立,
(4)共进行n次试验.
n 重伯努利试验的基本结果可以记作
ω = (ω1,ω2,",ωn )
其中 ω i 或者为A,或者为 A .这样的 ω 共有 2 n 个，这
2n 个样本点组成了样本空间 Ω .
设样本点 ω = (ω1 , ω2 ," , ω n ) 中有 k 个A ，n- k 个
并称出现 A 为“成功”，A 为“失败”.
这种只有两个结果的试验称为伯努利试验.
在伯努利试验中，首先要给出下面的概率：
P( A) = p, P( A) = q = 1− p. 其中： p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1.

第四章随机过程

设状态空间为 S ，一步转移概率为 P ，初始分布为 p i = P( X 0 = i ), i ∈ S 的齐次
Markov 链 {X n , n ≥ 0}，令 Pij( n ) = P ( X n + m = j X m = i ) = P (X n = j X 0 = i ), n ≥ 2 ，表示
证：
5
Pij( n ) = P( X n = j X 0 = i ) = ∑ P(τ ij = l , X n = j X 0 = i )
l =1 n n
= ∑ P(τ ij = l X 0 = i ) P( X n = j τ ij = l , X 0 = i )
l =1 n
= ∑ P(τ ij = l X 0 = i ) P( X n = j X 0 = i, X 1 ≠ j , L X l −1 ≠ j , X l = j )
4.4 常返与瞬过
在事件 {X 0 = i}上引入一个重要的概率 f ij( n ) ，表示从 i 出发在 n 步转移时首次到达 j 的概率。用式子表示即是
f ij( 0) = 0, f ij( n ) = P( X n = j , X k ≠ j , k = 1, L n − 1 X 0 = i ) 。
i =1
(m) 定理 4.3.3 的一个直接推论是：若 Pji > 0 ，存在正整数 N 使得对所有的 ( m + nd ( i )) n > N 恒有 Pji > 0。
定理 4.3.4：设 P 为不可约、非周期、有限状态 Markov 链的一步转移概率矩阵，则存在正整数 N 使得当 n > N 时， n 步转移概率矩阵 P ( n ) 的所有元素都大于 0。

半直线上随机环境中随机游动的常返性和非常返性

＝
｛， ≥ １，的每个实现称为环境．ａ，｝它同［］以证明在给定的环境下的ＲＩＥ是存在的．１可ＷＲ固定一环境，时｛， ≥ ０是ｚ此Ｘ｝上的简单随
机游动，为齐次马氏链．
一
＝＝
０ｎ／
Ｘ， ≥ ０是：ｎＰ（ｘｎ＝０）＝１，
ａ，Ｊ＝ｉ＋１，
Ｐ（＋Ｘ１＝ＪＩＸｏ＝０ｘ１ｉ，，一，＝１… Ｘｎ１＝ｉ一，１Ｘｎ＝ｉａ， ∈ Ｚ）；
，
Ｊ＝ｉ一１ａｓ，．
０其它情况，其中ｉ，ｉ∈ Ｚｋ＝１ … ，一１０≤ ａ ≤ １ａ＋＝１称随机变量列｛， ≥ １为随机环境，ｅ，，，，，ａ，｝记
．
环境．ｏｍｏ文献［］中系统地讨论了全直线上的ＲＲＳｌｎ在ｏ１ＷＩＥ的性质，毕秋香在文献［］中讨论了半直线上２的ＲＲＷＩＥ的有关性质，文献［，］１２考虑的都是随机环境为独立同分布的情况，献［］虑的半直线上随机文３考环境是独立的情况．文则着重讨论一般环境下在０点上具有反射壁的右半直线上的ＲＩＥ的常返性和非本ＷＲ常返性，并将这一结果推广到随机环境是独立的和独立同分布的情形．定义１设ａ０＝１ａ， ≥ １，为概率空间（Ｆ，上的随机变量序列，＝｛，，，｝的ＲＲｎ，Ｐ）ｚ０１２ … 上ＷＩＥ

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直线上独立随机环境中的随机游动 Ξ
毛明志 , 胡亦钧
(武汉大学数学与统计学院 ,湖北武汉 430072)
摘要 : 主要讨论直线上独立随机环境中的常返性和非常返性 ,并进一步研究常返性中的正常返和零常返 ,非常返性中的大数定律 ,从而推广了 Solomn 的研究框架 1
关键词 : 随机环境 ; 随机游动 ; 常返性 ; 正常返性 ; 强大数定律 ; 平衡分布 ; 马尔可夫链中图分类号 : O 211162 文献标识码 :A
[4 ] Wang Rong2ming. Zero Recurrence of a Class of Random Walks in a Random Environments [J ] . Journal of East China Normal University ( Natural Science) ,1997 ,4 :9212 (Ch) .
n →∞Tn
lim Xn n →∞ n
= lim E ( A1 ) n →∞
+
1 E( A2) +An)
a. e.
(ii) 类似可证 1
推论 5 的证明来自推论 2 和定理 31
致谢 :作者衷心感谢审稿人所提出富有价值的修改意见 1
参考文献 :
[1 ] Kozlov M V. Random Walk in a One Dimensional Random Medium[J ] . Theory Prob Appl ,1973 ,18 :3872388.
,0
<
α i
<1
,αi
+
β i
=
1
,称
随机变量序列{αn } n ∈Z为随机环境 ,记 α= {αn } n ∈Z ,
每个现实为环境 1
同文献 [ 2 ] 可以证明在给定独立环境下的 RWIRE 是存在的 ,此时 ,对每一个固定环境 α, Xn , n
≥0 就是 Z 上的一个马尔可夫链 1
境 1M. V. Kozlov 在文献[ 1 ]中首先提出 RWIRE ,其后
Solomn 在文献 [ 2 ] 中研究环境是独立同分布的
RWIRE ,本文研究此环境是独立但不必同分布 1 定义 1 设 αn , n ∈Z 为概率空间 (Ω , F , P) 上
一列独立的随机变量序列 ,定义在 Z 上的 REIRE ,
Key words : random environment ; random walks ; recurrence ; positive recurrence ; the law of large numbers ; sta2 tionary distribution ; markov chain
第 48 卷第 5 期武汉大学学报 (理学版) 2002 年 10 月 J . Wuhan Univ. (Nat. Sci. Ed. )
Vol148 No15 Oct. 2002 ,539～543
文章编号 :025329888 (2002) 0520539205
543
lim Xn = lim n a. e.
n →∞ n
n →∞ Tn
(ii)
若
lim
n →∞
Xn
=
-
∞a. e. 且 lim Tn 存在 ,则
n →∞ n
lim
n →∞
Xn n
=-
lim
n →∞
n Tn
a. e.
证明参见文献[ 2 ]p7 28.
定理 3 的证明
(i)
lim
n →∞
Xn
=
∞ a. e. 对任意的
Abstract : We mostly consider the recurrence and nonrecurrence of random walks in a independent but not need identically distributed random environment on the line. Then further study positive recurrence and null recurrence in the recurrence ;the law of large numbers in the nonrecurrence. So we extend the frame solomn has studied.
Random Walks in a Independent Environment on the Line
MAO Ming2zhi , HU Yi2jun
(School of Mathematics and Statistics ,Wuhan University ,Wuhan 430072 ,Hubei ,China)
[2 ] Solomon F. Random Walks in a Random Environments [J ] . Ann Prob ,1975 ,3 :1231.
[ 3 ] Chung KL. Markov Chains with Stationary Transition Proba2 bilities [M] . Berlin :Springer ,1960.
0 引言
随机环境中的随机过程是概率论的一个新分
支 ,随机环境中的随机游动 (简记 RWIRE) 是它的特
例 ,通常所研究直线上的随机游动是在直线上每点
处确定一个环境 ,质点按确定的环境作运动 ,而直线
上的 RWIRE 则假定环境是随机变化 ,即有 n ∈Z(全
体整数) 处转移概率 Pn , n + 1 是随机变化 ,称为随机环
[ 5 ] Chung KL. A Course in Probability Theory [ M] . New York : Horcourt Brace and World ,1968.
[6 ] Alili S. Asymptotic Behaviour for Random Walks in Random Environments [J ] . J Appl Prob ,1999 ,36 :3342349.
{ Xn}是 :
P ( X0 = 0) = 1
P( Xn + 1 = j| X0 = 0 , X1 = i1 , …, Xn - 1 = in - 1 , Xn
αi j = i + 1
= i ,αn , n ∈Z =
β i
j
=
i
-
1
a. e.
0 其他情形
其中
ik
∈Z , k
=1
,
…, n
-
1
n , E (τ2n )
=
E
(
A
2 n
)
<
M
,由引理 7
lim [τ1
n →∞
+
…+
τ n
n
-
E (τ1 )
+
…+
n
E(τn )
]=0
a.
e.
进一步有
,
lim
n →∞
Tn n
=
lim
n →∞
E ( Tn ) a. e. 再由引理 8 , lim Xn = lim n a. e. ,从而
n
n →∞ n
引理 1 若对几乎所有的环境 , Xn , n ≥0 在此环境下某一性质成立 ,则直线上 RWIRE 几乎必然具有此性质 1
证完全类似文献 [ 2 ] 中定理 011 的证明可证得本引理 1
1 常返性主要结果及证明
为了叙述主要结果 ,引进若干记号 :
Ξ 收稿日期 : 2002207205 通讯联系人基金项目 :国家自然科学基金 (10071058) ; 国家教育部基金资助作者简介 :毛明志 (19772) ,男 ,硕士生 ,现从事大偏差理论研究 1 E2mail :Mingzhi - Mao @sina. com
540
武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期毛明志等 :直线上独立随机环境中的随机游动
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武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期毛明志等 :直线上独立随机环境中的随机游动