随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明
第四章马尔可夫链
i1
Pi , j 0
j . i 1 ,i-1 , i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
.
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移p12 p1n Pp21 p22 p2n
称为系统状态的一步转移概率矩阵，它具有 如下性质：
1. pij 0, i, jI
2. pij 1, i, jI jI
满足上述两个性质的矩阵成为随机矩阵
.
定义4.4
称条件概率 p i(n ) j P { X m n j|X m i}i,j I,m 0 ,n 1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率，并称
0 1 1
.
马尔可夫链的状态分类
周期、非周期 常返、非常返
其中，常返分为正常返、零常返 非周期的正常返称为遍历状态
到达和互通
.
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 状态转移图如下图
8
9
2
7
1
3
6
5
4
观察状态1
.
定义4.6 如集合{n: n≥1,pii(n)>0}非空，则称该集合的 最大公约数d=d(i)=G.C.D{n:pii(n)>0}为状态i 的周期。如d>1就称i为周期的，如d=1就称i 为非周期的。
.
第三章多维随机变量及其分布
p1 p 2
p j
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第32页
3.2.3
边际密度函数
巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)， 则
X 的密度函数为 ： Y 的密度函数为 ：
1 June 2018
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第33页
注 意 点 (1)
解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为: X Y 其对应的概率分别为： 0 4 P(X=0, Y=4)= 0.54=1/16 1 3 1 3 P(X=1, Y=3)= C4 0.5 0.5 =1/4 2 2 P(X=2, Y=2)= C42 0.52 0.52 =6/16 3 1 P(X=3, Y=1)= C43 0.53 0.51 =1/4 4 0 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16
试求常数 A.
1 June 2018
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
解:
0
0
Ae(2x3y ) dxdy
A e dx e3y dy
2x 0 0
1 2 x 1 3 y A e e 2 0 3 0
e )dx
6
(6 2 x ) / 3 0
6
2 (e
2 x
1 7e
1 June 2018
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第28页
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？
直线上独立随机环境中的随机游动
得 本 引理 ．
（ 全体 整 数 ） 处转 移 概 率 Ｐ…＋ 是 随机 变化 ， 为 随 。 称 机 环 境 ． Ｖ．Ｋｏ ｌｖ 在 文 献 ［ ］中 首 先 提 出 Ｍ． ｚｏ １ ＲＷＩ ＲＥ， 后 Ｓ ｌｍｎ在 文 献 ［ ］ 其 ｏｏ ２ 中研 究 环 境 是 独
Ｓ ” 一 ｌｇ ｏｐ
主 要 结果 如 下 ： 定理 １ 设 ｛ 为 独立 随机 变 量 序列 ， ａ）
（ ） １ （ ） ２
Ｐ（ Ｘ卅 ｌ — ０ Ｘ１ ｉ， ， 一 一 ｉ ｌ Ｘ — Ｉ Ｘ０ ， 一 １ … Ｘ １ ， 一
ｆ Ｊ一 十 ｌ ｌ
—
引理 １ 若 对 几 乎 所 有 的 环 境 ， ≥ ０在 此 Ｘ ， 环境 下 某 一 性 质 成 立 ， 直 线 上 ＲＷＩ Ｅ几 乎 必 然 则 Ｒ
具 有此 性 质 ．
证
完 全类 似 文 献 ［ ］ ２ 中定 理 ０ １的 证 明可 证 ．
点 处 确定 一 个环 境 ， 质点 按 确定 的环境 作 运 动 ， 而直
文 章 编 号 ： ２ ３ ９ ８ （ ０ ２ ０ — ５ ９ ０ ０ ５ — ８ ８ ２ ０ ） ５０ ３ — ５
直线 上独立随 机环境 中 的随 机 游动
毛 明志 ，胡 亦 钧
（ 汉 大 学 数 学与 统计 学 院 ， 北 武 汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ２
摘
要 ：主要 讨 论 直 线 上 独 立 随 机 环 境 中 的 常 返 性 和非 常 返 性 ， 进 一 步 研 究 常 返 性 中 的正 常返 和零 常 返 ， 并 非
的 ， 际 上 有 实
暂留与常返 基本概念与常返性的判别
于是 Py(Xn ̸= x, n ≥ 1) = 0, 从而存在 n 使得 Py(Xn = x) > 0, 即 y 可达 x. 下面我们设 pm(x, y) > 0, pn(y, x) > 0. 这样
∑ ∞
∑ ∞
∑ ∞
pv(y, y) ≥ pm+n+v(y, y) ≥ pn(y, x)pv(x, x)pm(x, y) = ∞.
k=1
1
(1.1)
∑n = Px(Xn = y|Xk = y; Xv ̸= y, v ≤ k − 1)Px(Xk = y; Xv ̸= y, v ≤ k − 1)
k=1
∑n = Py(Xn−k = y)Px(τy = k),
k=1
于是
∑n pn(x, y) = Px(τy = k)pn−k(y, y).
即 An 发生无穷多次. 设 Xn 是可数状态 Markov 链, 状态空间为 S, 转移概率为 p(x, y). 记 Px(·) := P(·|X0 = x), 即在概率 Px 下, Markov 链 Xn 从状态 x 出发. Ex 表示相对于概率 Px 的期望.
定义 1.1. 称状态 x 常返 (recurrent), 若 Px(Xn = x i.o.) = 1, 即 Markov 链 Xn 以概率 1 返 回状态 x 无穷多次. 若 x 不是常返的, 则称 x 是暂留 (transient) 的.
令 Ry 为 Markov 链 Xn 到达状态 y 的次数, 即
∑ ∞
Ry =
1{Xn=y}.
n=0
则 x 常返当且仅当在概率 Px 下 Rx = ∞ a.s.. 因此, 如果
[
]
∑ ∞
∑ ∞
随机变量序列的大数定律及常返性定理
[收稿日期]2005211217 [基金项目]国家自然科学基金资助项目(10571001);安徽大学创新团队基金项目第23卷第4期大 学 数 学Vol.23,№.42007年8月COLL EGE MA T H EMA TICSAug.2007随机变量序列的大数定律及常返性定理何江宏, 胡舒合(安徽大学数学与计算科学学院,合肥230039) [摘 要]对一类有界独立或相依的随机变量序列|ξn |,获得了它的伯努利大数定律、波雷尔强大数定律及常返性定理.作为应用,得出了Lo ève 专著[1]中的推广的伯努利大数定律、常返性定理,改进了[1]中的推广的波雷尔强大数定律.[关键词]贝努里大数定律;波雷尔强大数定律;常返性定理[中图分类号]O212 [文献标识码]A [文章编号]167221454(2007)04200762041 引 言设ξ1,ξ2,…,ξn ,…是定义在概率空间(Ω,F ,P )上的随机变量列,存在常数M ,使得|ξk |≤M <∞,a.s.,k =1,2,….记X n =1n∑nk =1ξk, p 1(n )=1n∑nk =1E ξk,p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nE (ξj ξk ), d (n )=p 2(n )-p 21(n ),于是|E ξk |≤M , |E (ξj ξk )|≤M 2, |p 1(n )|≤M , |p 2(n )|≤M 2,E X 2n =1n2E∑nk =1ξ2k +2∑1≤j <k ≤nξj ξk=1n2∑nk =1E ξ2k +n -1np 2(n ),D (X n )=1n2∑nk =1E ξ2k +n -1n p 2(n )-p 21(n )=d (n )+1n2∑nk =1E ξ2k -1np 2(n ).(1)引理1 设X 为随机变量,M 为正实数,如|X |≤M ,a.s.,则对任意的ε>0,P (|X |≥ε)≥E X 2-ε2M2.(2)证 因为E X 2=∫(|X|≥ε)X 2(ω)P (d ω)+∫(|X|<ε)X 2(ω)P (d ω)≤M2∫(|x|)≥εP (d ω)+ε2∫(|X|<ε)P (d ω)≤M 2P (|X |≥ε)+ε2,由此得出(2)式.2 随机变量列的大数定律定理1(Bernoulli 型大数定律) 设|ξn |为随机变量列(可相互独立也可不相互独立),存在实数M ,使得|ξn |≤M ,a.s.,n =1,2,…,则X n -E X n P0的充要条件是d (n )=p 2(n )-p 21(n )→0.证 易见|X n |≤M ,a.s.,从而|X n -E X n |≤2M ,a.s.,于是由引理1及车贝晓夫不等式知D (X n )-ε2(2M )2≤P (|X n -E X n |≥ε)≤D (X n )ε2, Πε>0.(3)由此知,欲使X n -E X nP0,必须且只须D (X n )→0.又由(1)式知|D (X n )-d (n )|=1n2∑nk =1Eξ2k-1np 2(n )≤2M 2n→0,(4)所以D (X n )→0等价于d (n )→0,证毕.如果d (n )→0且有一定的收敛速度,则我们可得到更强的结论:定理2(Borel 型强大数定律) 设存在实数M 使得|ξn |≤M ,a.s.,n =1,2,…,d (n )满足条件∑∞k =1|d (k 2)|<∞,则P (lim n →∞(X n -E X n )=0)=1.(5)证 记ηi =ξi -E ξi ,i =1,2,…, Y n =X n -E X n =1n∑ni =1ηi,则|ηi |≤2M ,a.s.,i =1,2,….又对每个自然数n ,存在相应的自然数k =k (n ),满足k 2≤n <(k +1)2,因此|Y n -Y k2|=1n-1k2∑k2i =1ηi+1n ∑ni =k 2+1ηi≤n -k 2nk2・2M k 2+n -k 2n ・2M ≤8Mk ,a.s.,|Y n |≤|Y n -Y k 2|+|Y k 2|≤8Mk+|Y k 2|,a.s..(6)再由车贝晓夫不等式,(4)式及∑∞k =1|d (k 2)|<∞知:对每个自然数m ,∑∞k =1P|Y k2|≥1m≤m2∑∞k =1D (Yk2)=m2∑∞k =1D (Xk2)≤m2∑∞k =1|d (k 2)|+2M 2k2<∞.于是,由文[1]第18页的一个命题知Y k 2k →∞0,a.s..又注意到当n →∞时,k →∞,从而在(6)式两边令n →∞,得Y n =X n -E X n →0,a.s.,证毕.3 常返性定理设|ξk |≤M <∞,a.s.,k =1,2,…,ε>0,如果n >2M 2/ε,则由(1)式得p 2(n )=p 21(n )-1n2∑nk =1E ξ2k+1np 2(n )+D (X n )≥p 21(n )-2nM 2≥p 21(n )-ε.(7)引理2 对随机变量ξ1,ξ2,…,ξn (|ξi |≤M <∞,a.s.,i =1,2,…,n ),ε>0,只要n >2M 2/ε,就至少存在着两个随机变量ξj 与ξk ,1≤j <k ≤n ,使得E (ξj ξk )≥p 21(n )-ε.(8)证 用反证法,如对Π1≤j <k ≤n ,E (ξj ξk )<p 21(n )-ε,则p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nE (ξj ξk )<2n (n -1)n 2(p 21(n )-ε)=p 21(n )-ε,此与(7)式矛盾,证毕.特别,由引理2知,如果对任意的自然数k ,E ξk ≥p >0(此时p 21(n )≥p 2),则对Πε>0,每个这种随机变量列{ξk },至少存在两个随机变量ξj 和ξk ,使得E (ξj ξk )≥p 2-ε.定理3(常返性定理) 设M ,p 为正实数,|ξk |≤M <∞,a.s.,E ξk ≥p >0,k =1,2,…,则对Πε>0,77第4期 何江宏,等:随机变量序列的大数定律及常返性定理恒存在{ξk }的子序列{ξk v },使得对Πl ≠m ,均有E (ξk l ξk m)≥p 2-ε.(9)证 首先注意,在定理的条件下有p 21(n )≥p 2.先给出一个ξj 与ξk “ε相交”的定义:如果E (ξj ξk )≥p 2-ε,则称ξj 与ξk “ε相交”.那么,存在一个{ξk }的子序列,其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.现对这一结论采用反证法.假设这种子序列不存在,则对任何自然数n ,必存在整数m n ,使得ξn 皆不能与ξn ′“ε相交”(n ′≥n +m n ),即E (ξn ξn ′)<p 2-ε, Πn ≥1,n ′≥n +m n .(10)于是,取n 1=1,n 2=n 1+m n 1=1+m 1,n 3=n 2+m n 2,n 4=n 3+m n 3,…,则ξn 1,ξn 2,ξn 3,…中任两个ξn j ,ξn k 均有E (ξn j ξn k )<p 2-ε(因为ξn 2=ξn 1+m n 1=ξ1+m 1与ξn 1非“ε相交”,ξn 3=ξn 2+m n 2与ξn 2非“ε相交”,ξn 3=ξn 2+m n 2与ξn 1非“ε相交”.同理有ξn 4与ξn 1,ξn 2,ξn 3均非“ε相交”,等),此与引理2的结论矛盾.即证明了存在一个{ξk }的子序列,其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.同理可以证明:对{ξk }的任何子列{ξk ′},存在{ξk ′}的子列{ξk ″},其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.因此我们可以从{ξk }中取一个子序列ξ11,ξ21,ξ31,…,ξn 1,…,使得第一项与其后任何一项皆“ε相交”.同理,可再从{ξ21,ξ31,…,ξn 1,…}中取一个子序列ξ12,ξ22,ξ32,…,ξn 2,…,使之具有同样的性质(即ξ12与ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中的任何一项皆“ε相交”);再从{ξ22,ξ32,…,ξn 2,…}中取一个子序列ξ13,ξ23,ξ33,…,ξn 3,…,使之具有同样的性质.把这种手续延续下去,所得到的序列ξ,ξ12,ξ13,…中任何两项皆“ε相交”(此因ξ11与ξ21,ξ31,…,ξn 1,…中每一项皆“ε相交”,而ξ12,ξ13,…都是从ξ21,ξ31,…,ξn 1,…中取出的,所以ξ11与ξ12,ξ13,…中任何一项皆“ε相交”.又因ξ12与ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中的任何一项皆“ε相交”,而ξ13,ξ14,…都是从ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中取出的,所以ξ12与ξ13,ξ14,…中的任何一项皆“ε相交”,等),证毕.4 定理的推论设A k ∈F ,{A k }可相互独立也可不相互独立,取ξk =I A k ,k =1,2,…,则X n =1n ∑nk =1I A k ,p 1(n )=1n∑nk =1P (A k ),p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nP (A j A k ),仍记d (n )=p 2(n )-p 21(n ),于是由定理1,定理2,定理3分别得出下面的3个系:系1 X n -E X n =1n∑nk =1(I A k -P (A k ))P0的充要条件是d (n )=p 2(n )-p 21(n )→0.系2 如∑nk =1|d (k 2)|<∞,则X n -E X n =1n∑nk =1I A k -1n∑nk =1P (A k )a.s.0.系3 如果对每一个n ,P (A n )≥p >0,则对任何ε>0,恒存在事件A n 的子序列,使得对于这个子序列中任二项A j 与A k ,均有P (A j A k )≥p 2-ε.注 1)系1即为[1]中第26页的“推广的伯努利大数定律”,系3即为[1]中第27页著名的Poincare 常返性定理.若取d (n )=O 1n,则由系2得出[1]中第26页的“推广的波雷尔强大数定律”,注意条件“∑nk =1|d (k 2)|<∞”比“d (n )=O1n”弱.因此系2改进了[1]中的“推广的波雷尔强大数定律”.2)由定理3知:不存在有界随机变量序列{X n },满足E X n =E X 1>0,Cov (X i ,X j )=C <0,Πn ≥1,i ≠j.因此,如果这样的{X n }存在,则对0<ε<-C ,E (X i X j )=Cov (X i ,X j )+E X i E X j =(E X 1)2+C <(E X 1)2-ε, Πi ≠j ,这与定理3相矛盾.另一方面,我们可构造正态随机变量列{ξk },满足E ξk =E ξ1=μ>0,D (ξk )=σ2>0,Cov (ξi ,ξj )=ρσ2<0,Πi ≠j.于是对0<ε<-p σ2,87大 学 数 学 第23卷E (ξi ξj )=Cov (ξi ξj )+E ξi E ξj =(E ξ1)2+ρσ2<(E ξ1)2-ε,Πi ≠j ,这表明定理3中ξk 有界的条件不能去掉.[参 考 文 献][1] Lo ève M.Probability Theory I (4th Edition )[M ].New Y ork ,Heidelberg ,Berlin :Springer 2Verlag ,1977.La w of Large Numbers and R ecurrence Theorem forR andom V ariable SequenceH E J i ang 2hong , H U S hu 2he(School of Mathematics and Computation Science ,Anhui University ,Hefei 230039,China )Abstract :We obtain Bernoulli law of large numbers ,Borel strong law of large numbers and recurrence theorem forbounded ,independent or dependent random variable sequence {ξn }.As appllications ,we get the extended Bernoulli law oflarge numbers ,recurrence theorem in [1]and improves the extended Borel strong law of large numbers in [1].K ey w ords :Bernoulli law of large numbers ;Borel strong law of large numbers ;recurrence theorem97第4期 何江宏,等:随机变量序列的大数定律及常返性定理。
一类一般随机环境中单边二重随机游动的常返性
１２８．
[
４]COGBURN R．TheEr
i
ct
he
o
r
fMa
r
kovcha
i
ns
god
yo
i
nr
andomenv
i
r
onmen
t
s[
J]．
Z Wahr
a
ch Ve
rw Geb
i
e
Ｇ
t
e,
１９８４,
６６:
１０９
Ｇ
１２８．
[
５]COGBURN R．Ond
i
r
e
c
tc
onve
r
eandpe
r
i
如果c ＝０,则有
¥
αn
１
１
βn
El
n
n
→０ 且 ∑El
→０,
∑
ni
αn
n i＝１
βn
＝１
n
n
¥
由引理 ３ 可知 ∑
１
β１
１)可得
＝ ¥,结合定理 １ 的(
n＝１ ρn
{
,
}是零常返的
Xn n ≥０
．
定理 ２ 设 {
Xn ,
n ≥ ０}是 随 机 环 境 e ＝
{(
αn ,
n ≥１}中 的 单 边 二 重 随 机 游 动,如 果
imP
ε
成立 ．
n
n
１≤i≤j≤n
c
ov(
ξi ,
ξj )≤
＋
∈ N ,对任意的 n ＞ N０ ,有
１
| ∑Eξi －c|＜ε
n i＝１
随机第四章4
1
3
1.70,
例：设马氏链具有状态空间I 0,1, 2, 其中pi 0，qi 0，pi ri qi 1，
， 转移概率为：pii 1 pi , pii ri , pii 1 qi i 0
称这种马氏链为生灭链，它是不可约的。 p0 p1 p j 1 记a0 1，a j j 1 q1q1 q j 试证此马氏链存在平稳分布的充要条件为 a j 。
令m 取极限得： 1 pkj (n) j k 0 k 再令N 取极限得： 1
N
1 j k 0 k 1
N
1 pkj (n) kI k
pkj (n)
(1)
下面来证明等号成立，由 1 pik (n) pik (n)
j
kI
k
1
j
kI
1
k
lim p n
1
n kj j kI
1
k
kI
1
k
1
1 , j I 是平稳分布。 j
有限马尔可夫链性质：
1所有非常返状态组成的集合不可能是闭集； 2没有零常返状态； 3必有正常返状态； 4不可约有限马氏链只有正常返态； 5I D C1 C2 Cn。
回顾
定理：如果i j，if i常返，then j也常返， 且f ji 1 ，i j。
定理4. 4：( 1) 若 i零常返 lim pii (n) 0；
n
(2) 若 i正常返 lim pii (n) n
1
i
0
引理：C是闭集的充要条件为对任意i C及k C 都有pik (n) 0，n 1。
随机环境中单边二重随机游动的常返性
1) { X n ，n # 0 } 常 返 色 = Q n n=1 "
2) {X n ，n # 0 } 正常返 n n=1 ^
n= 1 $ n
3) {X n ，n #n=1 ^ n
n n=1 $
4) {X n ，n # 0 } 非 常 返 ） * n=1 "n
摘 要 ：随机环境中的单边二重随机游动是随机环境中随机游动的推广，研究了随机环境中单边二重随 机 游 动 的 常 返 性 . 在 随 机 环 境 满 足 一 定 的 条 件 下 给 出 二 重 随 机 游 动 的 非 常 返 、正 常 返 、零常返和常 返 的 判 别 准则.
关键词：单边二重随机游动；随机环境；非常返;零常返;正常返 中图分类号：0211.62 文献标识码：A
第40卷第2 期 V o l.40 N o.2
文章编 号 ：1673-2103 (2018 )02-0001-04
菏泽学院学报 Journal of Heze U niversity
2018年 4 月 A p r. 2018
随机环境中单边二重随机游动的常返性！
任敏
(宿 州 学 院 数 学 与 统 计 学 院 ，安 徽 宿 州 234000)
随机水文学-第3章
ˆk rk
(x
t 1
t k
x )(xt x )
2 ( x x ) t t 1
26
(k 0,1,2, ,10)
r0
(x
t 1 26
26
t
x )(xt x )
2 ( x x ) t t 1
1
r1
(x
t 1
25
t 1
1200 1000
降水量（mm）
800 600 400 200 0 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
200.00
150.00
降水量(mm)
100.00
50.00
0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ˆ( k ) Cov ˆk rk ˆ t ˆt k
ˆk rk
(x
t 1
nk
t k
x )(xt x )
2 ( x x ) t t 1
n
(k 0,1,2,, m; m n)
式中：
1 n x xt n t 1
当n>50时，m<n/4整数，常取m在n/10左右； 当n<50时，m取n/4左右的某值； 或取m<n-10。参加计算的数值至少在10项以上 上式计算的自相关系数一般偏小，对 r1 用下式进行修正。
r4
(x
t 1
22
t 4
x )(xt x )
t
(x
暂留与常返 基本概念与常返性的判别
(10/24/2013)
1 基本概念与常返性的判别
对事件族 An, 我们记
{An i.o.} := {ω : 存在无穷多个 n 使得 n ∈ An},
即 An 发生无穷多次. 设 Xn 是可数状态 Markov 链, 状态空间为 S, 转移概率为 p(x, y). 记 Px(·) := P(·|X0 = x), 即在概率 Px 下, Markov 链 Xn 从状态 x 出发. Ex 表示相对于概率 Px 的期望.
(n1 · · · nd)−1/2P(S(i) = ni ∀i)
|n|=∑ 2n
∑
≍
ε(n)P(S(i) = ni ∀i) +
Cdn−d/2P(S(i) = ni ∀i),
[ ] ∃ni̸∈
n d
,
3n d
[ ] ∀ni∈
n d
,
3n d
其中 ε(n) ∈ [0, 1]. 由于
∑ P(S(i) = ni ∀i) ≤ Cd exp(−cdn),
定义 1.1. 称状态 x 常返 (recurrent), 若 Px(Xn = x i.o.) = 1, 即 Markov 链 Xn 以概率 1 返 回状态 x 无穷多次. 若 x 不是常返的, Markov 链 Xn 到达状态 y 的次数, 即
令
P(Sn
>
αn)
≤
exp
( −n(α
−
1/d)2
) /2
.
由此可以得到引理的结论.
定理 2.1 的证明. 对指标 n = (n1, . . . , nd), 令 |n| := n1 + · · · nd. 在此证明中, 我们假设 ni 均 为偶数. 记
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能的跳幅，给出 （ ， ） Ｑ 上的一列随机变量 （ ） ， Ｐ Ａ 且满足 ∑ Ｐ ｗ ＝１ －．， ） ， ａ． ｅ 及椭圆条件
￡＞０ Ｖ ， ∈Ａ ≠０ （ｚｐ ） ￡ —．． ， ， Ｐ ／Ｒ ， ａ ． ｅ
收稿 日 期： ０ ８ ０ —５ 修订 日 ： ０ ９１ —９ ２ ０ —５１ ； 期 ２ ０ ２２
让 ７Ｍ ， 是 Ｍ 关于 （ ， Ｔ 的最大 的 Ｌａ ｏｎｖ指数 ．在 Ｌ中考 虑 Ｌ （ Ｔ） Ｑ， ， ） ｉｐ ｕ ｏ 范数 ，
即 ｌ ｌ Ｃ：｛ １ ∈Ｒ ，ｉ ） ＬＸ ＞０ 和它与球面的交集：
种 直觉来 自于 电网络 中 电压与 概率 的联 系． 我 们先 简要 的介绍 一下模型 ， 文采用 Ｂ ６ ｎ ［ 中的记 号． 本 ｒｍｏ ｔ ］ 。 给定 可逆 的 动力系统 （ ， ， Ｑ ） 即概率 空 间 （ ， 和可逆 变换 ， ， Ｑ， ） 且 及其 逆都是 可 测的 ，且 保持测 度 ， 假定 关 于 是遍 历 的．这 里 的 Ｑ可看 为 随机环境 的空 间． 给 出两 个取 定的 整数 Ｌ １和 Ｒ １ 引入整 数集 合 Ａ＝ ｆ ， ， ， 们代表 游动 可 ， —Ｌ … Ｒ｝ 它
数学物理学报
２１，０ ２： ９ ２６ ００８ Ａ（ ２ －９ ）８ ｈｔ ： ａｔｍｓ ｉ ａ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ｃＧ ｐ／ ｗ ｍ． ｎ
随机环境 中有界跳幅随机游动 常返性 暂 留性 的 另一 证 明
王 士东 洪文 明
（ 北京师 范大学数学科 学学院数 学与复杂系统实验 室 北京 １ ０ ７ ） ０ ８ ５
２０ ９
数
学 物
理
学
报
Ｖ１０ Ｏ３ ｌ． Ａ
对于给定的环境 ， 可定义 ｚ上的马氏链 ｛ ｝ ０ 如下， Ｘ ＝０ ｏ 及转移概率
Ｖ ｘ∈ｚ （ １ ， 叶 ：Ｘ＋ＺＸｎ＝Ｘ ： ｕ Ｉ ）：Ｐ （ ）
规 定跳 空 间上 由 Ｘ ｕ ０及 Ｘｏ＝ Ｘ诱 导 出来 的测度 为 ， （） 称为 “ｕ ｎ ｈ ｄ ｑ ｅ ｃｅ ”概 率 ，与其对 应 的 Ｐｏ＃ｗ ￣ （）称为 “ｎ ｅｌ ”概 率． ｄ ａ ｎａ ｄ ｅ 代 表 对 应 的数 学期 望． Ｘ＝ ０ 时分别记 为 和 ． 约 定：在本 文 中，我 们隐含 随机变 量对 于 的依赖 ，例如 ｆ Ｔ ） （ 总是 简记为 ． 厂或 者 ， ． （）
Ｅ— ａ ｌ ｍ ｉ：ｗｍ ｈ ｇ ｂｎ ｅ ｏｎ ＠ ｕ． ｄｕ．ｎ； ｈ ｄｏ — ｎ ｃ ｓ ｉ ｎｇ ｗａ ｇ＠ｙａ ｏｏ．ｏｍ ． ｎ ｈ ｃ ｃ
（） １
基金项 目 ：国家 自然科学基金 （０ ２ ０ １ １ ７ １ ９ ）和教育部新世纪优秀人才支持计划 Ｎ Ｅ ０ —１ ３ 资助 Ｃ Ｔ（５０ ４ ）
摘要 ：假定环境是平稳遍历的，对具有有限跳 幅的随机环境 中的随机游动，该文给出了其常返 性暂 留性的另一证明． Ｂ ６ ｎ ２０ ） ｒｍｏ ｔ（０ ２ 的文章中，通过计算逃逸概率 的方法给出 了证 明，而
该文 的证 明采 用 了鞅 收 敛 定理 的方 法 ．
关键词：随机环境 中随机游动；鞅 收敛 定理 ；常返性；暂 留性．
下文 中，我 们取定 Ｒ ＝１ 引入 随机变 量 ， ａ ＝ （— ＋… ＋Ｐ Ｌ／ｌ １ ｉ Ｌ ｉ Ｐｉ — ）ｐ ，
定义 下列 非负可逆 Ｌ ＸＬ矩 阵，它将 在后 面的证 明 中起 到关键 作用 ．
一
一 …
ｃ ３
ｃ， ： 。 ＝
｛ ｅ ． （） ；＇ 。 ，） ＾１ ’
Ｍ Ｒ（ ０ ０ ２ ０ ）主题分类： ０ １ ； ０ １ 中图分 类号 ： １ ． 文献标识码： ６Ｊ ０ ６Ｊ５ Ｏ２ １６ Ａ 文章编号： ０ ３３ ９ （０ ００ —８—８ １０ —９ ８ ２ １ ）２２ ９０
１ 引言
近年 来 ，随机 环 境 中的随机 游动 （ 为 Ｒ 简记 ＷＲＥ 受到 了人 们的 广泛关 注 ，作 为一般性 ） 的介 绍可参 见 Ｚ ｉ ｕ ｉ＿ Ｓ ｎｔ ｎ 】 ｅ ｏ ｎ［ 或 ｚ ｉ ｔ ９ ｍａ ［ 的讲稿 ．在一维 的情形 ，已经 得到很 多结 果，特 别是 常返 性 ，暂 留性 的判别 法则 ．对 于 环境是 独立 同分 布 ，且跳 幅为 一步 的情形 ， Ｓ ｌ ｎ７给 ｏ ｍｏ ［ ｏ ］ 出 了常返性 暂 留性 的 判定 标准 ．而 这一 结果 被 Ａ ｉｆ 和 Ｚ ｉ ｕ ｉ】 ｌｉｊ ｌ ｅｔ ｎ［ 推广 到环 境是 平稳遍 历 ｏ 。 的情 形 ．对 于 环境独 立 同分 布情 形 ，且有 界跳 幅 ，向右 跳幅最 大 为 Ｒ， 向左最 大为 Ｌ Ｋｅ ［ ， ｙ０ ｌ 利用 （ Ｒ＋Ｌ ×（ ） Ｒ＋￡） 随机矩 阵 （ 赖于 随机 环境） 的 依 的第 Ｒ个 和第 （ ＋１ 个 Ｌ ａ ｕ ｏ ） ｙｐ ｎｖ 指数 给 出 了判 定法 则 ．对 于 上述 Ｒ ＝ １的 情形 ， Ｂ ６ ｎ［ 给 出 了与 Ｌ ×Ｌ矩 阵 Ｍ 的 ｒｍｏ ｔ ］ ３ 最大 Ｌａｕｏ ｙｐ ｎ ｖ指数相 关 的常返 性暂 留性 判别法则 ，这其 中涉及 到逃逸 概率 的计 算 ．在本文 中，受 Ｓ ｎｔ ｎ驯在 考虑 跳幅为 一步 时所 用方法 的 启发 ，我 们利 用鞅 收敛 定理 的方法 给 出 ｚｉ ｍａ ［ 了 Ｂ ６ ｎ ［ 判别法则 一个 全新 的证 明．而此证 明方法 的关键 一步是 构造 一个 合适 的鞅 ， ｒｍｏ ｔ ｊ ３ 这
ｉ １ ＝
Ｂ ＝Ｃ ∈Ⅱ ，ｘｌ １． ｎ｛ Ｉｌ ） ＬＩ ＝ 注意 到 个 形如 的矩 阵的乘 积 的所有 位置 上 的元素 都是严 格 正的 这个 事实 ，以及 Ｂ ６ ｏｔ】 ｒｍ ｎ【 所给出的有关随机矩阵的性质，我们归纳如下． 。