一类时间随机环境中随机游动

（ｉ Ｐ＝去 Ｐ ＜０） ＝Ｐ Ｔ ＜。） ０ ｉ ｉ ） 时， （ （ ＝１ （ｎ 。， ３ ｎ ．
证
一
ｎ＝ ０ 由 的定义知 ＝ ０ 故Ｐ（ ＜。 ） １ 时， ， 。 ： ．以下 只证 明礼＞ ０ 时结论 成立．由
维 紧邻随机游 动 的性 质， 从０ 出发 ， 首达１ 的步数一定为 奇数， 即孔 ＝ ２ ｎ＋１礼＝ ０ １… ． ， ，， 记 从０ 出发， ｎ＋ １ 第２ 步首达 １ 的一条路径 为 ＝ （， ｌＸ ， ， １， ２＋ ， 上述路径 的 ０Ｘ ， ２… ２ ，）Ｅ ｎ １ 是 １
从而可得 ， １
１ 是条件独立 同分布 的， 且有
（ ＝２＋ ） ｒ ｎ １＝Ｕ｛ｏ ０ １ １ １＝２＋ ，： ｎ （ ＋） ｌ Ｘ ＝ ， ＝一， ， ｋ １ １ 一２ １． Ｘ ｏ ＝２ ｋ ）
即质 点必须先从０ 点运动到一１ 再经过２ ， ＋１ 步从一１ Ｎ达０ 最后再经２ 点， ｎ一（ ２ ＋１步首达１ １ 点．
Ｊ ＋ ＝ｊ ｏ ， ＝Ｘ ， ， 一 ＝ｚ ～ ， ＝ ；） Ｆ ） （ １ ｌ ＝０Ｘ１ ｌ… １ ｎ １ ｘ ｅ＝
｛ （ ， ｆ ｎ扎 ）） ， １（
一
【， ０
其中Ｘ ， Ｊ （ ｋｉ ∈ｚ 表示整数） ＝１２… ， ， ， ｋ ，， 佗一１０＜ｗ ｎ ＜１ 称｛ ， ０为ｚ ， （） ． ｎ ｝ 上的时间随机 环境ｅ 中随机游 动（Ｗ Ｒ ） Ｒ Ｅ． 令Ｚ ＋＝｛，，， ｝）＝【 １ ＝ｘ ， 表示 上的Ｂ ｒ 一 给定（ ） ０１２… ， （ ０］ ，， ｏ ｌ 域． ｅ ， 上的一概率 测度Ｑ 使得ｅ （ 独立同分布的概率测度）则ｅ 是一个随机环境． ， ∈ 给定环境ｅ ｆ ， ０ 是ｚ ， 佗 ｝ 上 的非时齐马 氏链．令Ｘ ＝ Ｚ 用 表示（ ，） ， 上的分布律， 它满足 （ ｏ＝ ｘ ）＝ １ ．可定 义（ ×Ｘｚ ， × ） 十 上的概 率测度Ｐ ： ：Ｑ ， 它由下式扩 张：
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第 １ ６ 期
记 Ｔ ＝ ０ ＝ｉｆｋ＞０： ：ｎ （ ０为｛ ， ０从０ ｏ ， ｎ｛ ） ｎ≠ ） ｎ ） 出发首次击中状态他 的时刻， 若｛ ＞ ０： ＝ ｎ ， ｝＝ 则 ＝ ＋。， 。 从而 为停时．令 ＝ 一Ｔ — ，ｎ＞ ０； ｎ ｌ（ ）类似 可定
＝
１． ｏ
＋ ｌ ｊ
１
．
０ ＝ｍｉ ｎｎ＞０ ＝－ ， ＝０ ＝ｍ ｎｎ ｎ＞０Ｘ１ ｎ ， ｛ ， １ ） ｉ｛ ， ， ＝－ ， ＋ ：０ ． １ １ ）
表示对 ＝ ＋ 而言， １ 质点从一１ 出发首次到达０ 的时刻． 令
＝
， １ ＝ｍ ｎｎ ｎ＞０ ｉ｛ ， ， ＝０ ， ：１． ）
，
＝
∑ Ⅱ （ ｚ 一＝ ＝ 一 ）
ｖＥ Ｅ２ｎ＋ ｌ １ ｉ １ ＝
，
（ Ｊ
＝０ （ ） ） （ ）１ １）１ ２）・（ 一 Ｊ ） ２ （ … ｔ （ 一 ｌ ２ ）（ 一 ）・・１ （ ） 佗＋１． （ ）
ｎ 表示从０ 出发在２ ｎ＋１ 时刻首次到达 １ 的所有 可能的不同路径 的数 目， 显然ｎ ０＝ａ ＝１ １ ．因为 随
而｛ （） ０ 是独立同分布的， ｎ 礼， ｎ ｝ 故｛ （ ＋ｍ） ｋ ｝ ｕ 佗， ｋ ｝Ｊ ， ｎ 一１与｛ （） ｎ 一１Ｄ分布， 从而
Ｐ丁＝ ） Ｅ （ ＝ ｛ ｅ＝ （＋ ． （ ＝ ｅ Ｅ ＋ （ Ｐ ＝ ） １ ） ）
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第２ 卷第 １ ６ 期
可见７与Ｔ ， Ｉ ｎ（ ｌ ｎ＞１是 同分布 的． ） 类似可得
Ｐ（ ＝ ｋ， ，ｎ ＝ ） ｌ… Ｔ ＝Ｐ（ ＋ ＝ ｋ，一， ｚ ＝ ｋ） ｌ・ ＋ ｚ ．
即｛ ｎ １是严格平稳的． ， ｝ 为证｛ ｎ １是遍历的， ， ） 只需证明｛ ， １是强混合的． ｎ ） 即证
（ｒ ｌ ｆ １ ∈Ａ ， ｒ －
＝
；ｍ＋ ∈Ｂ。ｌ ｓ Ｊ ７ 。 ＂ ， ）
（） ９
（ ∈Ａ ， ｒ 尼 （ｍ ∈Ｂ ， ｓ Ｊ １ ） 『 ＋ １ ）
对 １・ ， ， ，一 ， 有 ，一 Ｂ１・ Ｂｊｃ Ｚ，
ｌ ｉ Ｐ ∈Ａ ， ｒ ｍ ＿（ １
” ｏ 一十 。
：
； ＋ ∈Ｂ ｌ Ｓ Ｊ ， ）
（） ７
Ｐ（ ∈Ａ ， ｒ １
） ∈Ｂ １ Ｓ Ｊ． Ｐ（ ， ） ） 丁 ∈Ｂ ， ｓ Ｊ． Ｐ（ｓ １ ）
０
＝ 『 １
ｋ＝ Ｏ
【
ｆ） ３
比较（）（）
ｏ ０
∑
０
ｎ
设｛ ｎ ０生成的母函数为Ｓｘ ＝ ∑ ａ Ｘ ， ０ １ 对（） ０ ， ） （） ｎ （ ０＜Ｘ ） ４式两边同时乘 以 ， ． 再关
ｎ＝ ０
一 一
于ｎｎ＞ ０求和可得 （ １
机环境序 列是独立 同分布 的随机变量ＮＲＥｗ ｎ ＝Ｐ 对（） （） ， １式两边关于环境积分得
Ｐ Ｔ ：２ ＋１＝ ／ （ ＝２ ＋１ （ ） （ １ ｎ ） ｎ ） ｄ Ｑｅ
２ ｎ＋ １
＝
∈ ｎ ＋ ｌ １ ２ Ｅ
＝
－ ／ Ⅱ ｉ
＝
（ ＝ 五
一 １
¨ ） ｄ） Ｑ（ｅ
高校应用数学学报
２１ ，６１： ７３ ０１ ２ （） ２－２
一
类 时 间随机 环 境 中随机游 动
胡 学平
（ 安庆师 范学 院 数学 与计算科学学院， 安徽安庆 ２ ６ ３ ； ４ １３ 河海 大学 水利水电学院，江苏南京 ２ ０ ９ ） １ ０ ８
摘
要：利 用概率母 函数 方法， 通过对一 类时间随机 环境 中随机游动首 中时性质 的研
Ｐ Ｆ×Ｇ ＝ ／Ｐ （） （ｅ， ， ） （ ） Ｇ Ｑ ｄ） Ｆ∈ Ｇ∈ ． （
收稿 日期： ０ ９０ —９ ２ ０ ．５２ 修 回 曰 ： ０ ０１ —３ 期 ２ １。１ ２ 基金项 目： 安徽省教育厅 自 然科 学基金重点项 目（ ｊ００ ３） Ｋ ２ １Ａ２４
厂
２ ８
全 体 ， ∈Ｅ２＋ １ 且Ｘｎ １ １Ｘ ０ 即 １ ， ２＋ ＝ ，｛ ， １２… ，佗 于是 由条件概 率及 马氏性知： ＝ ，， ２．
．
＝
２ ｎ＋１ ＝ ）
ｖＥＥ２ ＋ ｌ１
，
（ ＝０Ｘ１ ｏ ， ＝
２ ｎ＋ １
一， ２ ２， ２＋ ＝１ Ｘ ＝ Ｘ ｎ １ ）
的常返性 和 中心极 限定理．本文首先给 出一个特殊 的时间随机环境 中随机游动模 型， 然后通 过 引进首 中时并利 用概率母 函数方法对 首 中时性质 的研 究， 得到 了时 间随机环 境 中随机游动 的常 返准则和一个 强大数定律 ．
＋
设ｅ ｛ （） ０是取值于［ １ ＝ 佗， ｎ ） ０】 ， 的一列独立同分布的随机变量列， ｗ ｎ ＝Ｐ 考虑随机 Ｅ （） ， 游动（ ， ０， ｘｎ礼 ｝ 如果满足： Ｐ Ｘ ＝０ ＝１ （ｏ ） ；
ｋ ０ ＝
佗一１
＝
∑ ｑ（ １＝ ｋ １ ＝ １ （Ｉ ２ 一 一 ） １ ＝ ） Ｐ ￣０ ２＋ Ｉ 一） Ｔ１ （ １ ｌ ０ Ｔ， Ｐ ￣＝ 礼 ＋
ｋ ０ ＝
ｎ— ｌ
０
０
＝
∑ ｑ（ ＝ ｋ ｌ ｏ ０ （ ２ 一 一 ） ｌ ｏ ０ Ｐ １ ２＋ ｌ ＝ ） ＝ （ ｋ １ ｌ ： ） Ｔ Ｘ Ｐ 凡 ＋Ｘ ．
义 ， ，ｎ＞０ ． （ ）
§ 的分布 及其 性质 ２
定理 ２１ 对 以上 随机游 动 ．
（ｐ去， ＜ ）１＜时 （＜ ） ， ０ ｉ ＞时 （ 。＝； 壶， 。＝ ｎ ； ） Ｐ 。 ｐ Ｐ 。 （ ｐ三， ＜）１＞时 （ ＜） ， ０ ｉ ＜时 （ ∞＝； ， ∞＝ 凡 ； ｉ ） Ｐ ｐ Ｐ
（） ８
为证 （） 先证： ｃ （， 一 ， ７式， 若Ｂ ０ｍ ］则对ｍ ＞ｋ 有 ， Ｐ（ｒ １Ｓｒ ７ ∈Ａ ， Ｉ ；ｍ ∈Ｂ ， ｓ Ｊ ＝ Ｐ（ｒ １ ｒ ｑ＋ － １ ） １ ∈Ａ ， ＿
事实上， 对固定环境ｅ ｛ 凡 ） ， ， 关于 为马氏 故有 链，
§ 模 型及 记 号 １
随机环境 中随机游动是随机过程 中研究的一个重要分支 ． 【２提 出的空 间随机 环境中随 文１］ —
机游动的研究结果相当丰富， 研究方法也比 较多． 而文［ ４ ３】 — 提出并研究了时间随机环境中马氏链 的有关理论， 得到 了常返 性， 遍历定理等结果． 【 研究 了右半直线上时 间随机环境 中随机游 动 文５ 】
由于Ｓ（） 为 的单增 函数， 故
ｘ ） （） ＝０ Ｓ （ 一ｓ ＋１ ． ｓ ：— ＿ｖ － ４ （） １ ／ － ｌ ｘ
．
（） ５ （） ６
将（ 式展开成幂级数有ｓ ＝ ∑ ６ ） （）
．
ｃ ， 而 得 从 可 口 ＝南 ｃ ．
ｎ＝Ｕ
ＰＴ＜ ） Ｅ Ｔ＝ 佗 １ ∑ １ ２ （） （ ∞ ＝ Ｐ ￣ ２＋） １ （ ＝ ｕ ｐ ｎ 口 ｐ
Ｐ ＜。＝ ＰＴ１ ｎ １ （ 。 Ｅ ＿ １ ） （ ２＋ ）
Ｅｒ ＜ ｐ ｑ Ｐ＞ｑ Ｊ － ｌ ， ” ；
一
ｑｑ ． （） Ｐ
定理２２ 当 时， ． ｐ 随机变量序列｛ 佗≥１为严格平稳遍历的， ， ） 且有
【＋ ∞，Ｐ ｑ ・
证 由定理２ 知当ｐ ． １
１
… ｔ ｚ）
／ ｎ （ ）（ ）－ （ （一 １ （一 ２） （一 ａ ｔ ・・ ） ） １ ）… １ １ ２ １ ）
） （ｎ ） （ｅ ） ２ ＋１Ｑｄ）
＝ａ￣ｐ ）． ｎ （ｑ
为求ｎ （ ｎ＞１． ） 利用概率母函数方法， 为此先对Ｔ ｎ Ｉ ２ ＋ 进行分解导 出０ 的关系式． 令