2018年甘肃省兰州市高三一诊数学(文)试题及解析
甘肃省兰州市2018届高三第一次模拟数学(文)附答案
甘肃省兰州市2018届高三第一次模拟数学（文）附答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，集合，则()UM N =ð（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数的实部为B ．复数的虚部为C ．复数的共轭复数为D ．复数的模为3．已知数列为等比数列，且，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．若双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点，为坐标原点．若的面积为，则的值为（ ） A ．BC ．D ．5．已知圆：，直线：，则圆上任取一点到直线的距离大于的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A ．B ．C ．D ．7．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（ ）4π3π2π43π2214x y -=()220x py p =>A B OOAB △1p 14C 2216x y +=l y x =C A l 2342312133430x y ++=6140x my +-=281751710A ．B ．C ．D ．8．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设：实数，满足，：实数，满足，则是的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件10．若等比数列的前项和为，其中，是常数，则的值为（ ）p x y ()()22111x y -+-≤q x y 111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩p q {}n a n ()*2n n S a b n =⋅+∈N a b a b +A ．B ．C ．D ．11．抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，若，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若，则．14．已知样本数据，，的方差是，如果有，那么数据，，的均方差为 ．15．设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则．16．若向量，，且，则的最小值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为，求的值．321024y x =F ()11,A x y ()22,B x y )122AB x x =++AFB ∠23π56π34π3π()y f x =R 0x >()()0f x x f x '+⋅<()0.20.233a f =()()log 2log 2b f ππ=2211log log 44c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b c a c b >>c a b >>c b a >>b a c >>(),1m n =-a ()(),10,0n m n =>>b ⊥a b 14n m+18．（12分）如图所示，矩形中，，平面，，为上的点，且平面．（1）求证：平面；C BGF（2）求三棱锥的体积．19．（12分）交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示：（1）分别求出，，，的值；（2）从第，，组回答正确的人中用分层抽样方法抽取人，则第，，组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中至少有一个第组的人的概率．1565n a b x y 2346234622220．（12分）已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，，，为不同的四个点）．①设，证明：；②求四边形的面积的最小值．21．（12分）已知函数． （1）若图象上处的切线的斜率为，求的极大值；（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值．()()321,3f x x ax bx a b =+-∈R ()y f x =111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭4-()y f x =()y f x =[]1,2-a b +请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．（1）求圆心的直角坐标；（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，恒有，求的取值范围．2018届甘肃省兰州市高三第一次模拟考试卷数学（文）答案一、选择题．1-5：CDCBB 6-10：AABCD 11、12：AC二、填空题．13．14．15．16．9三、解答题．π517．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知：，∴的最小正周期为．（2）由（1）知：，当时，．∴当时，的最小值为．又∵的最小值为，∴，即．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵面，∴，又，∴．∵面，∴． 又，∴面，即平面．（2）∵，∴，， 又∵为中点，∴．∵面，∴面．∴．19．【答案】（1），，，；（2）2，3，1；（3）．【解析】（1）第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴．（2）第，，组回答正确的人的比为， ∴第，，组每组应各依次抽取人，人，人．（3）记抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，则从名幸运者中任取名的所有可能的情况有种，他们是：，，，，，，，，，，，，，，．132AE EB BC ===EC =BF CF G AC 1GF =AE ⊥BCE GF ⊥BCE 1111323C BGF G BCF V V --==⨯⨯180.990.235150.510÷=100.1100n =÷=21000.220⨯=200.918a =⨯=31000.330⨯=27300.9x =÷=41000.2525⨯=250.369b =⨯=51000.1515⨯=3150.2y =÷=23418:27:92:3:1=234231621a 2a 31b 2b 3b 4c 6215()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()1,a c ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()2,a c ()12,b b ()13,b b ()1,b c ()23,b b ()2,b c ()3,b c其中第组至少有人的情况有种，他们是：，，，，，，，，．故所求概率为． 20．【答案】（1）；（2）①见解析；②． 【解析】（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，则，， ，由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，，，，的方程为．（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，则有， 又因，，，为不同的四个点，． ②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为． 若两条直线的斜率存在，设的斜率为，则的方程为，解方程组，得，则，同理得，∴，当且仅当，即时等号成立．综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为．219()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()1,a c ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()2,a c 93155=21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，由题意得且，即，解之得，．∴，， 令得，， 列表可得∴当时，取极大值． （2）∵在上是减函数，∴在上恒成立，∴，即，作出不等式组表示的平面区域如图当直线经过点时，取最小值．5332()3213f x x ax bx =+-()2'2f x x ax b =+-()'14f =-()1113f =-12411133a b a b +-=-⎧⎪⎨+-=-⎪⎩1a =-3b =()32133f x x x x =--()()()'13f x x x =+-()'0f x =11x =-23x =1x =-()f x 53()y f x =[]1,2-()2'20f x x ax b =+-≤[]1,2-()()'10120440'20f a b a b f -≤⎧--≤⎧⎪⇒⎨⎨+-≤≤⎩⎪⎩210440a b a b +-≥⎧⎨-+≤⎩z a b =+1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭z a b =+3222．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴圆的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．方法2：直线的普通方程为，∴圆心到直线距离是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，∴，∴或，解集为．（2），∵，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，∴．。
2018届甘肃省兰州一中高三上学期月考数学试题及答案
一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{}{}224120,log (1)0A x x x B x x =--<=-<，则=⋂B A （ ） A ．{}6<x x B ．{}12x x << C ．{}26<<-x x D ．{}2<x x2. 下列函数中既是奇函数，又在()0+∞，上单调递增的是（ ）A ．sin y x =B ．21y x x=-+ C ．33y x x =+ D ．x y e =3．下列命题中错误的是（ ）A ．命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝则p ⌝”互为逆否命题.B ．命题[]0,1,1x x e ∀∈ ≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p q ∨为真.C ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题.D ．“若22am bm <”，则a b <的逆命题为真命题. 4.函数f (x )＝ln⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，不等式()()0f x x f x '+⋅<成立，若a ＝30.2⋅f (30.2)，b ＝ (log π2)⋅f (log π2)，c ＝21log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅f 21log 4⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b，c 间的大小关系( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a c b >> 6．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p⌝，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]7．若点P 是函数x x x f ln )(2-=上任意一点，则点P 到直线02=--y x 的最小距离为（ ）A ．2 B ．22C ．21D ．38．已知)(x f 满足1)2()4(=-=f f ，)(x f '为导函数，且导函数)(x f y '=的图象如图所示则1)(<x f 的解集是（ ）A ．)0,2(-B ．)4,2(-C ．(0,4)D ．),4()2,(+∞⋃--∞ 9. 设f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋1)＝－f (x )，已知(0,1)x ∈时，12()log (1)f x x =-，则函数()f x 在（1，2）上 （ ）A ．是增函数，且()0f x <B ．是增函数，且()0f x >C ．是减函数，且()0f x <D ．是减函数，且()0f x > 10.已知函数2log (5),1()(1)1,1x x f x f x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则(2014)f =（ ）A ．2012B ．2018C ．2018D ．201811. 若函数()cos 2'(),()()633f x x xf f f πππ=+-则与的大小关系是( ) A ．()()33f f ππ-=B ．()()33f f ππ->C ．()()33f f ππ-< D ．不确定12. 设函数a xx x f -+=2log )(3在（1,2）内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3(0,log 2)B ．3(log 2,1)C ．3(1,log 2) - -D ．3(1,log ) 4二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分） 13.（文）过点(1,1)A 与曲线3:C y x =相切的直线方程是 .（理）如图，矩形ABCD 内的阴影部分是由曲线f (x )＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 围成的，现向矩形ABCD 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．14. 设5234,2021+⋅-=≤≤-x x y x 则函数的最大值是 .15. 若函数()y f x =(R x ∈)满足(2)()f x f x +=且[1,1]x ∈-时，2()1f x x =-,函数7log (0)()1(0)x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则函数()()()h x f x g x =-在区间[7 , 7]-内零点的个数有___个.16. 存在区间[,]M a b =（a b <），使得{|(),}y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数： ①()x f x e =；②3()f x x =；③()cos 2f x x π= ； ④()ln 1f x x =+其中存在“稳定区间”的函数有___ .（把所有正确．．的序号都填上）三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分) 17. 设()(44)(22)2(x x x x f x a a a --=+-+++为常数） （1）当2a =- 时，求()f x 的最小值； （2）求所有使()f x 的值域为[1,)-+∞的a 的值. 18. 设2()ln(1)f x x x ax =+--.(1) 当1x =时，()f x 取到极值，求a 的值；(2) 当a 满足什么条件时，()f x 在区间[－12，－13]上有单调递增区间？19．已知函数22()(23)()x f x x ax a a e x R =+-+ ∈，其中a ∈R.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率； (2)当23a ≠时，求函数()y f x =的单调区间与极值．20. 某旅游风景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。
2018年甘肃省兰州市高三第一次诊断考试文科数学试题及
兰州市高三第一次诊断考试数学（文科）试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。
第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，则=Q P ( ) A ．)0,2(-B ．)2,0(C ．)3,2(D ．)3,2(-2. i 是虚数单位,复数31ii--= ( ) A ． 2i +B ．12i -C ．i 21+D ．2i -3.已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++，S 13=( )A ．78B ．68C ．56D ．524.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．63π+B ．π343+C ．π3433+D ．633π+5.设3212a=log 2b=log 3c=log 5，，,则（ ）A ．c ﹤b ﹤aB ．a ﹤c ﹤b C. c ﹤a ﹤b ． D ．b ﹤c ﹤a6. 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂； ③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂其中正确的命题是 （ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7. 对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i )(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是a x y +=31：，且x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6，则实数a 的值是（ ） A. 161 B. 81 C. 41 D. 218．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=9. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )(A)3 (B)43(C)12(D)－2(第10题图)A ．1B ．2C ．3D ．411.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外 两个顶点n n D C ,在函数())0(1>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，则=+++1032a a a （ ）A ．208 B.216 C.212 D.220 （第11题图）12. 设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件则称()f x 为闭函数：①()f x 是D上单调函数；②存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上值域为[,]a b .现已知()f x k =+为闭函数，则kA．1k >- D ．1k < 分） 二、 填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比为q ，nS 是其前n 项和，则nS =_____________.14．如果实数x ，y 满足条件10010x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥y ＋1≥＋＋≤，那么目标函数z ＝2x －y 的最小值为____________.15．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 。
甘肃省兰州市2018届高三第一次诊断性考试数学(文)试题解析版
1．C【解析】，，所以或，，故选C．2．D故A，B两点的横坐标分别是，又的面积为，本题选择B选项．5．B【解析】如图所示，设直线与直线之间的距离为，弧ACB和弧EFG上的点满足题意，且：，由角度型几何概型计算公式可得圆上任取一点到直线的距离大于的概率：．本题选择B选项．点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．6．A【解析】模拟程序框图的运行过程，每四个和为，可得出该程序运行后输出的算式：+，所以该程序运行后输出的值是，故选A．8．B【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是底面为边长为1的正方形，且一长为1的侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，可将其补形为棱长为1的正方体，则其外接球的表面积为正方体的外接球的表面积，显然外接球半径为，所以其外接球的表面积为本题选择B选项．点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．9．C10．D【解析】很明显，否则为常数，只能是，与是等比数列矛盾，时，时，；时，，为等比数列，本题选择D选项．11．A点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12．C【解析】构造函数，则，当时,不等式成立，∴当时,,函数单调递减．∵函数是定义在上的偶函数，，∴在上是奇函数，∴在上是减函数．而，．本题选择C选项．13．【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和图象的变换，属于中档题．已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2）时，是偶函数．16．9【解析】，，当且仅当时取等号．所以的最小值为9．17．（1）．（2）．【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强．解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．18．（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由线面垂直的性质结合矩形的性质可得，由线面垂直的性质可得，则平面．（2）由题意可得，，，由三角形中位线的性质可得．结合(1)的结论转化顶点可得．试题解析：（1）因为面，所以，【解析】试题分析：(1)由题意结合频率分布表和频率分布直方图可得，，，．（2）由题意结合分层抽样的概念可得第，，组每组应各依次抽取人，人，人．（3）记抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，列出所有可能的结果，结合古典概型计算公式可得所抽取的人中至少有一个第组的人的概率为．试题解析：（1）第组人数，所以，第组人数，所以，第组人数，所以，第组人数，所以，第组人数，所以．（2）第，，组回答正确的人的比为，所以第，，组每组应各依次抽取人，人，人．（3）记抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，则从名幸运者中任取名的所有可能的情况有种，他们是：，，，，，，，，，，，，，，．（2）①由题意可知，而，，，为不同的四个点，故．②若或的斜率不存在，四边形的面积为．否则，设的方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，同理得，则，当且仅当时等号成立．则四边形的面积取得最小值为．试题解析：（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，则，，，由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，，，，的方程为．（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，则有，点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．（1）见解析．（2）．【解析】试题分析：（1）由题意可得函数的解析式，则，故时，取极大值．（2）由题意可得在上恒成立，则，结合线性规划的结论可得的最小值为．试题解析：极大值极小值∴当时，取极大值．（2）∵在上是减函数，∴在上恒成立，∴，即，作出不等式组表示的平面区域如图当直线经过点时，取最小值．22．（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式展开解析式，两边同乘以利用即可得圆的直角坐标方程，从而可得圆心坐标；（2）参数方程利用代入法消去参数可，得直线的普通方程为，可得圆心到直线距离是，于是直线上的点向圆引的切线长的最小值是．试题解析：（1）∵，∴，∴圆的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是时，，∴只需即可，所以．试题解析：（1）当时，，所以，所以或，解集为．（2），因为，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，所以．。
甘肃省兰州第一中学2018届高三8月月考数学(文)试题含答案
兰州一中2018届高三8月份月考试卷数学（文科)一、选择题（本题共12个小题，每小题只有一个正确答案, 每小题5分,共60分）1.已知全集U Z =,2{1,0,1,2},{|}A B x xx =-==，则U A C B 为（ ）A ．{1,2} B ．{1,0}- C ．{0,1} D ．{1,2}- 2.复数43i1+2i +的实部是( ）A ．2-B ．2C ．3D ．4 3。
已知{}na 是等差数列，1010a =，则=19S （ )A 。
190 B.95 C 。
170 D 。
854.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还。
”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地，请问第2天走了( ）A.192里 B 。
96里 C 。
48里 D 。
24里5.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为（ )A. 22 B 。
20 C 。
18 D 。
166.四张卡片上分别写有数字1，2，3，4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ）A ．13B ．12C ．23D ．347。
有一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ) A.16 B 。
20 C.24 D 。
328.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且满足sin cos a B b A =,则cos B C -的最大值是（）A 。
1 B.3C 。
7D 。
279．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π 10。
过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作圆222xy a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率是（ ）A . 2B 。
2018年甘肃省兰州市高三一诊考试文科数学试卷
2018年甘肃省兰州市高三一诊考试文科数学试卷2018.3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}0M x x =≥，集合{}21N x x =<，则()U M C N ⋂=（ ）A. ()0,1B.[]0,1C. [)1,+∞D. ()1,+∞ 【答案】C【解析】解得集合{}11N x x =-<<，所以{}1U C N x x x =≤-≥或1，故(){}1U M C N x x ⋂=≥. 【备注】考察集合间的基本关系，属于基础题.2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A.复数z 的实部为5B.复数z 的虚部为12iC.复数z 的共轭复数为512i +D.复数z 的模为13 【答案】D【解析】复数z a bi =+，a 为实部，b 为虚部，共轭复数是z a bi =-，复数的模z = 13.【备注】考察复数的基本性质，属于基础题.3.已知数列{}n a 为等比数列，且2264a a a π+=，则35a a =（ ）A.4π B. 3π C. 2π D. 43π 【答案】C【解析】在等比数列中，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a =，所以2264a a a =，故根据题意可知，22442,2a a ππ==，23542a a a π==.【备注】考察等比数列的基本运算，属于基础题. 4.若双曲线2214x y -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =>的准线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆的面积为1，则p 的值为（ ）A. 14 【答案】B 【解析】双曲线2214x y -=的两条渐近线是：12y x =±，抛物线()220x py p =>的准线是：2p y =-，可得,,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2121222OAB p p S p ∆=⨯⨯==，2p =. 【备注】考察双曲线的基本性质及曲线与直线的交点个数，属于基础题.5.已知圆22:16C x y +=，直线:l y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离大于2的概率是（ ）A.34 B. 23 C. 12 D. 13【答案】B【解析】根据题意，先得到弦心距为2的直线，此时该直线所对的圆心角为120，这样的直线在圆上有两条，这两条直线所对的劣弧上的点到直线的距离均大于2，可得概率为23. 【备注】考察点到直线距离及几何概型，通过角度代替弧长计算，属于基础题. 6.已知直线3430x y ++=与直线6140x my +-=平行，则它们之间的距离是（ ）A. 2B. 8C. 175D. 1710【答案】A【解析】根据题意两直线平行，可得8m =，根据平行线间距离公式可得：3725d +==.【备注】考察两条平行直线之间的系数关系和距离，属于基础题. 7.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A.1008B.2017C.2018D.3025 【答案】A【解析】由程序框图可知，输出的S 的值为： 122018S a a a =+++220181cos 12cos 12018cos 1222πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅+++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6504120171008=⨯+-=【备注】考察流程图及三角函数的计算，属于基础题.8.刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块,这两块叫做堑堵,再把一块堑堵沿斜线分成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积比为2:1,这个比率是不变的,如图是一个阳马的三视图,则其外接球的表面积为（ ）A.4πB.3πC.3πD.3π 【答案】B【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示：根据图中数据，计算其外接球的半径3r =，则表面积243S r ππ==.【备注】考察三视图的还原及四棱锥外接球体积的计算，属于中档题.9.设:P 实数,x y 满足()()22111x y -+-≤,:Q 实数,x y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则P 是Q 的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由:Q 实数,x y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩画出可行域：则实数,x y 满足()()22111x y -+-≤，反之不成立,例如取点()12，.则P 是Q 的必要不充分条件. 【备注】考察命题及线性规划，属于基础题.10.若等比数列{}n a 前n 项和为()2n n S a b n N *=⋅+∈,其中,a b 是常数，则a b +的值为（ ）A.3B.2C.1D.0【答案】D【解析】等比数列{}n a 前n 项和为()2n n S a b n N *=⋅+∈，,a b 是常数，1n ∴=时，1112a S a b ==⋅+2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=⋅，1n =时上式成立，1a a ∴=即2a a b =+0a b ∴+=.【备注】本题考察n a 与n S 之间关系及等比数列性质运用，属于基础题. 11.抛物线的焦点为F ，()()1122,y ,B ,y A x x是抛物线上两动点，若)122,AB x x =++则AFB ∠的最大值为（ ） 2A.3π 5B.6π 3C.4π D.3π 【答案】A【解析】由抛物线定义可知，121,1AF x BF x =+=+，又)122,AB x x =++可得)AB AF BF +,所以)222222cos 22AF BF AF BF AF BF AB AFB AF BF AF BF⎫+-+⎪⎪+-⎝⎭∠==⋅⋅ 22113131442=2842AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF +-⋅⎛⎫=+-≥- ⎪⎪⎝⎭ 因为0AFB π<∠<,所以..的最大值为23π. 【备注】本题考察抛物线的第一定义及余弦定理，属于中档题.12.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，不等式()()'0f x x f x +⋅<成立，若()()()0.20.2221133,log 2log 2,log log ,44a f b f c fππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则,,a b c 之间的大小关系为（ ）A.a c b >> .Bc a b >> .C c b a >> .Db a c >> 【答案】C【解析】当0x >时，不等式()()'0f x x f x +⋅<成立，令()()g x xf x =，所以当0x >时，()()'0,g x g x <单调递减， 因为函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，所以()g x 为定义在R 上的奇函数，()g x 为定义在R 上的减函数 因为0.221log log 234π<< ，所以c b a >>. 【备注】考察导数中原函数的还原及单调性的运用，属于难题.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上. 13.若2sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭______．【答案】25-【解析】因为442πππαα-++=，所以根据诱导公式可得sin sin 424πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos 45πα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.【备注】考察三角函数中角的整体转换及诱导公式的运用，属于简单题.14.已知样本数据122018,,...,a a a 的方差是4，如果有()2i 1,2,...,2018i i b a =-=，那么数据122018,,...,b b b 的方差为______．【答案】4【解析】因为2i i b a =-，所以i b 和i a 的方差相等.故答案为4. 【备注】考察方差的计算，属于简单题.15.设函数()()sin 2||2x x f πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=______．【答案】3π【解析】将原函数向左平移3π个单位()2sin 2sin 233g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为奇函数，则()20sin 03g πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 又2πϕ<，即23πϕπ+=，3πϕ=.故答案为3π. 【备注】考察三角函数的平移及奇偶性，属于简单题. 16.若向量(),1a m n =-，()()n,1m 0,n 0b =>>，且a b ⊥，则14n m+的最小值为______．【答案】9 【解析】a b ⊥，则=0a b ⋅，即10mn n +-=，则.1n m n -=，11nm n =-，m 0,n 0,10n >>∴->，所以()111444n 14911n n n n m n n -++=+=+-+≥--,即最小值为9. 【备注】考察向量的基本运算及均值不等式求最值，属于中档题.分）已知向量(()cos2,sin2,3,1a x b ==，函数a b m =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是5，求m 的值.【答案】(1) π;(2)5【解析】(1)由题意得：1()3cos2sin 22sin 22sin 223f x a b m x x m x x m x m π⎫⎛⎫=⋅+=++=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则可得22T ππ==.(2)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则42,333x πππ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦在此区间上sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在2x π=处取得最小值为3-，则可得32553m m ⎛⎫⋅-+=⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭. 【备注】考察向量与三角函数的结合及三角函数的简单性质，属于简单题.18.（12分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，G 是AC 中点，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥C BGF -的体积． 【答案】(1)略;(2)13【解析】（1）AD ⊥平面ABC ,AD BCBC ∴⊥平面ACE ,则AE BC ⊥又BF ⊥平面ACE ，AE BF ∴⊥ 又BC BF B ⋂=AE ∴⊥平面BCE（2）BF ⊥平面ACE ，BF CE ∴⊥又BE BC =，F ∴为CE 的中点，又G ∴是AC 的中点，∴由中位线定理得: AF FG ，112FG AE ==, 由（Ⅰ）得，AE ⊥平面BCE ； 则FG ⊥平面BCE 又BC ⊥平面ABE ∴BC BE ⊥又2AE EB BC ===，22CE ∴=在Rt BCE 中，122BF CF CE ===则12212CFBS=⨯⨯= 1133C BFG G BCF CFBV V SFG --===【备注】考察空间几何体点、线、面基本关系及三棱锥体积计算，属于基础题.19.（某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市1565～岁的人群抽样，回答问题统计结果（1）分别求出 a,b,x,y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人? （3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率？【答案】(1)18; 9；0.9；0.2；(2)2；3；1；（3）35【解析】（1）第1组人数50.5=10÷，所以n 100.1100=÷=; 第2组人数1000.2=20⨯，所以a 200.918=⨯=; 第3组人数1000.3=30⨯，所以x 27300.9=÷=; 第4组人数1000.25=25⨯，所以b 250.369=⨯=; 第5组人数1000.15=15⨯，所以y 3150.2=÷=. （2）第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=, 所以第2,3,4组每组各依次抽取人数2人，3人，1人.（3）抽取的6人中，第2组的为12a ,a ,第3组的为123b ,b ,b ,第4组的为c ,则从6人中任取2人的所有可能的情况有15种，他们是：()()()()()()()()()()()()()()()1211121312122232121312323a ,a ,a ,b ,a ,b ,a ,b ,a ,,a ,b ,a ,b ,a ,b ,a ,,,,,,,,,,,,,c c b b b b b c b b b c b c 第2组至少有1人的情况有9种，他们是：()()()()()()()()()1211121312122232a ,a ,a ,b ,a ,b ,a ,b ,a ,,a ,b ,a ,b ,a ,b ,a ,c c 故所求概率为93=155. 【备注】考察频率分布直方图及概率计算，属于中档题.20.（12分）已知圆()22:18C x y ++=，过点()1,0D 且与圆C 相切的动圆圆心为P ,(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)设过点C 的直线1l 交曲线E 于,Q S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于,R T 两点， 且12l l ⊥，垂足为W （,,,Q R S T 为不同的四个点） ①设()00,W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值. 【答案】(1)2212x y +=;(2) ①略;②169 【解析】（1）易得圆C 的圆心为()1,0C -,半径为r ，由题意，,PC r PD r ==，2PC PD ∴+=∴点P 的轨迹E 为以,C D 两点为焦点的椭圆，设E 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，则21a c ==，解得222,1a b == ∴点P 的轨迹E 的方程为2212x y +=. （2）①.当直线1l 与2l 斜率不存在或为0时，可得()1,0W 或()1,0W 满足题意；当1l 、2l 斜率都存在时，设()1:1l y k x =+，()21:1l y x k =--，联立()()111y k x y x k ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩得221x y +=，()00,W x y 满足方程，即22001x y +=，显而易见220012x y +<.②.当直线1l 与2l 斜率不存在或为0时，则可设22|||22b QS RT a a ====， 则1||||22QRST S QS RT =⋅⋅=当1l 、2l 斜率都存在时，设()1:1l y k x =+，()()1122,,S ,Q x y x y ，()21:1l y x k=--，()()3344,,T ,R x y x y .联立()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2222124220k x k x k +++-=，则22121222422,1212k k x x x x k k -+=-=++，||QS同理可得||RT()()()2222224112||||22221225QRSTk S QS RT k k k k+=⋅⋅==-++++1629≥（当且仅当1k =±时取等号）综上可得四边形QRST 面积最小值为169. 【备注】考察椭圆的定义及椭圆中相交直线的弦长和几何体面积的最值问题，属于中档题. 21.已知函数()321(),3f x x ax bx a b R =+-∈(1)若()y f x =图象上的点111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线斜率为4-，求()y f x =的极大值；(2)若()y f x =在区间[]1,2-上是单调减函数，求a b +的最小值． 【答案】(1) 53;(2) 32【解析】(1) ()22f x x ax b '=+-,由题意可知：()14f '=-且()1113f =-， 即12411133a b a b +-=-⎧⎪⎨+-=-⎪⎩ 解得13a b =-⎧⎨=⎩ ,则 ()32133f x x x x =--,()()()22313f x x x x x '=--=+-, 令()0f x '=，得121,3x x =-=, 由此可知：x(),1-∞-1-()1,3-3 ()3,+∞()f x '+ 0-+∴当1x =-时，()f x 取极大值53. (2)()y f x =在区间[]1,2-上是单调减函数，∴2()20f x x ax b '=+-≤在区间[]1,2-上恒成立．根据二次函数图象可知()10f '-≤且()20f '≤，即 120,440a b a b --≤⎧⎨+-≤⎩即 210,440a b a b +-≥⎧⎨-+≤⎩ 作出不等式组表示的平面区域如图：当直线z a b =+经过交点1,22p ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z a b =+取得最小值13222z =-+=，∴z a b =+取得最小值为32. 【备注】考察导数求函数切线及参数值，通过单调性利用线性规划求函数最小值，属于难题. 请考生在22，23题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目，如果多做，则按做得第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程【答案】(1) 220x y +=;(2)11【备注】考察参数方程与直角坐标的转换及线段的最值转换，属于中档题.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若存在()2,x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.【答案】(1) (][),13,-∞⋃+∞;(2) 2a ≥【解析】（1）2a =时,2221x x x -+≥+,所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，所以解集为(][),13,-∞⋃+∞.（2）()3,,x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，所以当2x ≥-时()2f x x a a ≥+>-+，只需20a -+≥即可，所以2a ≥. 【备注】考察绝对值不等式性质问题及求参数取值范围，属于中档题.。
甘肃省兰州市第一中学2017-2018学年高三一轮复习检测数学(文科)试题 Word版含答案
2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知R 为实数集，集合{}2x -4y y ==M ， }1{-==x y x N ，则=)(N C M R （）A ．{}|01x x ≤<B ．{}|21x x -≤<C ．{}|02x x ≤<D ．{}|11x x -≤<2．（原创）设复数z i +，则||z 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．-1 3．下列结论正确的是（ ）A ．若直线//l 平面α,直线//l 平面β,则//αβB ．若直线l ⊥平面α,直线l ⊥平面β,则//αβC ．若两条直线12,l l 与平面α所成的角相等,则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点,A B 到平面α的距离相等,则//l α 4．根据如图所示的流程图，则输出的结果i 的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．95．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是（ ）A ．1B C D ．26．（原创）若抛物线2y ax =的焦点与椭圆2213y x +=的焦点重合，则a 的值为（ ）A ．B ．±C ．18±D ．7．（原创）已知{}n a 为等差数列，11a =，公差0d ≠，1a 、2a 、5a 成等比数列，则关于方程2201540300x x a -+=的根的说法正确的为 （ ）A ．该方程有两个相等实根B ．该方程两个根分别为1、4029C ． 该方程无实根D ．该方程有一正一负实根 8．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）9．（改编）“)0(∞+∈∀，x ，01313＞+-x x ”的否定是（ ） A ．)0(0∞+∉∃，x ，0131030≤+-x x B ．)0(0∞+∈∃，x ，0131030≤+-x xC ．)0(∞+∉∀，x ，01313≤+-x x D ．)0(∞+∈∀，x ，01313＜+-x x 10．（改编）在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（左下图），但是年龄组为[)25,30的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[)25,30的人数为（ ） A ．180 B ．160 C ．240 D ．23011．（改编）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ，若函数()f x 在1x =处的切线平行于x轴，则此时函数()f x 的极值情况为（ ）A ．没有极大值，只有极小值1B ．极大值0，极小值-1C ．极大值0，无极小值D ．没有极大值，没有极小值12．已知点()()1122,,,A x y B x y 是抛物线24y x =上相异两点，且满足124x x +=，若AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则AMB △的面积的最大值为（ ）A B ．8 D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（改编）某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由下表可得回归直线方程为a x yˆ4ˆ+-=，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为 ．14．（改编）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N 分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==，平面1MNCD 将此正方体分为两部分，这两部分的体积之比为 ．15．（原创）若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是单调递减函数．如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t>+时，那么t 的取值范围为 ．16．（原创）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3545a a =, 2614a a +=，数列{}n b 满足：1221222nn n b b b a +++=+(*)n ∈N ，设数列{}n b 的前n 项和为S n ，则数列{}n S 的前n 项和n T 的值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==；数列{}n b 的前n 项和为,2n n n S S b +=且．（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）若()nn n na c n N Tb +=∈，为数列{}nc 的前n 项和，求n T ．18．（本小题满分12分）（原创）为了调查了解高三学生考前心理情况（以题目的形式呈现，满分为100分），某学校随机抽查部分学生进行测验，并对测验结果进行统计分析，已知统计出的成绩频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)[)[]20,40,40,60,60,80,80,100，已知低于60分的人数为6人．（1）求x 与被抽查的学生人数n ；（2）现从被抽查低于60分的学生中随机选取2人进行访谈和心理疏导，求这2人在同一组的概率．19．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1111BB A B C ⊥底面，D 为AC 的中点，1112A B BB ==，111AC BC =，1160AC B ︒∠=，（1）求证11AB 平面BDC ；（2）求多面体111A B C DBA 的体积．21．（本小题满分12分）已知椭圆22221y x a b +=()0a b >>1F 的坐标为()0,1．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，N 为椭圆上不同于A 、B 的点，试求NAB △的面积的最大值．请从下面所给的22,23,24三题中选定一题作答．并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点．求证：直线PC 经过点E ．甘肃省兰州一中2016届高三一轮复习测试文科数学参考答案及解析1．A 本题重点考查不等式解法、集合的基本运算等知识．【解析】根据已知得{}|0M y y =≥，{}|1N x x =≥，{}|1R C N x x =<，{}()|01R MC N x x =≤<，故选A ．2．C 考查集合复数的基本运算，考查复数的运算求解能力。
甘肃省2018届高三第一次诊断性考试数学(文科)试题(优质解析)
2018 年甘肃省第一次高考诊断考试文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.全集 ，集合 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】集合，阴影部分所表示的集合为，故答案为：D.2.已知 为虚数单位，则A.B. C.D.【答案】C【解析】故答案为：C.（ ）3.函数A. 1B. 2C. 3则（ ）D. 4【答案】B【解析】=1,故答案为：B.4.已知等差数列中，，，则的值为（）A.15B.17C.22D.64【答案】A【解析】等差数列中，.故答案为：A.5.如图所示，若程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数的图象上，则pu实数的值依次为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据框图得到x=1,y=1,输出点（1，1），这个点在函数上，故得到b=0,x=2,y=3,输出（2，3）故得到a=3,b=0.故答案为：B.则的最大值是（）6.若实数，满足A. -1B. 1C. 2D.3【答案】C【解析】作出不等式的可行域，如图所示.即为，平移该直线至点A时最大.，解得，即A(0,1)，此时.故选C.7.某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（）A. B.2 C.1 D.【答案】B【解析】根据题意得到原图是一个圆柱挖去了两个半球，圆柱的直径为a,高为a,则剩余的体积为故答案为：B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=y,,解得x=3,y=4,故得到.故答案为：D.9.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】乙的成绩为：16，81，81，8y,91,91,96故中位数为：8y,故得到y=5,甲的成绩为：79，78，80，8x,80,85,92,96,平均数为各个数相加除以7，故得到x=5,故x+y=10.故答案为：D.10.设的面积为，若，，则（）A.1B.2C.D.【答案】A【解析】若,即故得到故答案为：A.11.在平面直角坐标系中，圆被直线（）截得的弦长为，角的始边是轴的非负半轴，终边过点，则的最小值（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】圆被直线（）截得的弦长为,根据垂径定理得到故最小值为1.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。
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兰州市2018年高三诊断考试数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =（ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2. 已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12i C ．复数z 的共轭复数为512i + D ．复数z 的模为133. 已知数列{}n a 为等比数列，且2264a a a π+=，则35a a =（ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ．43π4.若双曲线2214x y -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =>的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若OAB ∆的面积为1，则p 的值为（ ）A ．1B ．D ．45.已知圆C ：2216x y +=，直线l ：y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离大于2的概率是（ ）A ．34B ．23C ．12D ．136.已知直线3430x y ++=与直线6140x my +-=平行，则它们之间的距离是（ ） A ．2B ．8C ．175D ．17107. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1008B ．2017C ．2018D ．30258. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．4πB ．3π CD9.设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)1x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件10.若等比数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S a b n N =⋅+∈，其中a ，b 是常数，则a b+的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．011.抛物线24y x =的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上两动点，若122)AB x x =++，则AFB ∠的最大值为（ ） A ．23π B ．56π C ．34πD ．3π 12.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，不等式()'()0f x x f x +⋅<成立，若0.20.23(3)a f =，(log 2)(log 2)b f ππ=，2211(log )(log )44c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=．14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为． 15. 设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=．16.若向量(,1)a m n =-，(,1)(0,0)b n m n =>>，且a b ⊥，则14n m+的最小值为． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知向量(cos2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，ACBD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥C BGF -的体积.19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所示：（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数321()3f x x ax bx =+-(,)a b R ∈.（1）若()y f x =图象上11(1,)3-处的切线的斜率为4-，求()y f x =的极大值；（2）()y f x =在区间[1,2]-上是单调递减函数，求a b +的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+.（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集； （2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市2018年高三诊断考试 数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: DDCBB 6-10: AABCD 11、12：AC 二、填空题 13. 25-14. 4 15. 3π16. 9 三、解答题17.解：（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =)m ⋅+sin 2x x m ++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈.所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为m .又∵()f x 的最小值为5，∴5m =，即5m =18.解：（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥， 又//BC AD ，所以BC AE ⊥. 因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥. 又BCBF B =，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）因为2AE EB BC ===，所以EC =BF CF 又因为G 为AC 中点，所以1GF =. 因为AE ⊥面BCE ，所以GF ⊥面BCE .所以C BGF G BCF V V --=1111323=⨯⨯.19.解：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=， 第2组人数1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=， 第3组人数1000.330⨯=，所以27300.9x =÷=， 第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=， 第5组人数1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷=.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=， 所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为1a ，2a ，第3组的记为1b ，2b ，3b ，第4组的记为c ，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，1(,)a c ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，2(,)a c ，12(,)b b ，13(,)b b ，1(,)b c ，23(,)b b ，2(,)b c ，3(,)b c . 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，1(,)a c ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，2(,)a c . 故所求概率为93155=. 20.解：（1）设动圆半径为r ，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是椭圆，其方程为2212x y +=.（2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上， 则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2. 若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ， 则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT =∴12QSRTS QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）∵321()3f x x ax bx =+-，∴2'()2f x x ax b =+-，由题意得'(1)4f =-且11(1)3f =-，即12411133a b a b +-=-⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，解之得1a =-，3b =.∴321()33f x x x x =--，'()(1)(3)f x x x =+-，令'()0f x =得11x =-，23x =， 列表可得∴当1x =-时，()f x 取极大值3.（2）∵(0y f x =在[1,2]-上是减函数， ∴2'()20f x x axb =+-≤在[1,2]-上恒成立，∴'(1)0'(2)0f f -≤⎧⎨≤⎩120440a b a b --≤⎧⇒⎨+-≤⎩，即210440ab a b +-≥⎧⎨-+≤⎩， 作出不等式组表示的平面区域如图当直线z a b =+经过点1(,2)2P -时，za b =+取最小值32.22.解：（1）∵ρθθ=， ∴2cos sin ρθθ=，∴圆C 的直角坐标方程为220x y +=， 即22((1x y +=，∴圆心直角坐标为.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥ ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=， ∴直线l 上的点向圆C=.23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞.（2）3,(),x a x a f x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立， 又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可， 所以2a ≥.。