甘肃省兰州市2021-2022学年度高三一诊数学(理)试题及答案解析

兰州市高三诊断考试

数学（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =（ ）

A ．(0,1)

B ．[0,1]

C ．[1,)+∞

D ．(1,)+∞

2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）

A ．复数z 的实部为5

B ．复数z 的虚部为12i

C ．复数z 的共轭复数为512i +

D ．复数z 的模为13

3.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）

A 3．3C ．33

- D ．3±4.双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A ．54

B ．5

C 555.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（ ）

A ．49-

B ．43-

C ．43

D ．49

6.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =

，*()i N ∈，则122018b b b ++???+=（ ）

A ．20171009

B ．20172018

C ．20182019

D ．40362019

7.若1(1)n x x +

+的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）

A ．1

1π- B ．2

1π- C ．3

1π- D ．12

8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.

如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）

A ．

3π B ．3π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）

A ．1008

B ．2017

C ．2018

D ．3025

10.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+--322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤??+≥??≤?

，则p 是q

的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要的条件

11.已知圆C ：22

(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（ ）

A ．[2,6]-

B ．[3,5]-

C ．[2,6]

D ．[3,5]

12.定义在(0,

)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ?+?<成立，则有（ ）

A ．()2()64f π

π> B 3()()63f ππ> C ．()3()63f ππ> D ．()3()64f ππ

> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若2sin()45πα-=-，则cos()4

πα+=． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =???，那么数据1b ，2b ，……

2018b 的均方差为．

15.设函数()sin(2)f x x ?=+()2π

?<向左平移3

π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则?=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23

()123

x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =?+.

（1）求()f x 的最小正周期；

（2）当[0,]2x π

∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.

18.如图所示，矩形ABCD 中，AC

BD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，

且BF ⊥平面ACE .

（1）求证：AE ⊥平面BCE ；

（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.

19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C ）的相关数据，如下表：

x 11 9

8 5 2 y 7

8 8 10 12 （1）试求y 与x 的回归方程y bx a =+；

（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；

（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X

N μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，

试求(3.813.4)P X <<. 附：参考公式和有关数据1122211(

)()()n n i i i

i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑ 3.2≈ 1.8≈，若

2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.

20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .

（1）求点P 的轨迹E 的方程；

（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （

Q ，R ，S

，T 为不同的四个点）.

①设00(,)W x y ，证明：220012

x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.

21.

已知函数1()1

x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1

，②1x e x ->

； （2）证明：对任意

1x >，1t >-，有1()ln )2

f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程是22

x y t ?=????=+??（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；

（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.

23.[选修4-5：不等式选讲]

设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.

（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；

（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.

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数学（理科）试题参考答案及评分参考

一、选择题

1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC

二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3

π 16. 10 三、解答题

17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =m ?+

2sin 2x x m =++

2sin(2)3

x m π=++， 所以()f x 的最小正周期为T π=.

（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=+

+， 当[0,]2x π

∈时，42[,]333

x πππ+∈.

所以当4233

x π

π+=时，()f x 的最小值为m .

又∵()f x 的最小值为5，∴5m =，即5m =

18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，

又//BC AD ，所以BC AE ⊥.

因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.

又BC BF B =，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE

.

（2）方法1：

因为BF ⊥面ACE ，CE ?面ACE ，所以BF CE ⊥，

又BC BE =，所以F 为CE 中点，

在DEC ?中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，

222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=??3226

==??∴平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为

33

. 方法2：

以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，

设平面BCE 的法向量1n ，平面CDE 的法向量为2n ，易知1(0,1,0)n =， 令2(,,)n x y z =，则2200n EC n ED ??=???=??，故220220x z y z +=??+=?，令1x =，得111x y z =??=??=-?

，2(1,1,1)n =-， 于是，12cos ,n n <>121213n n n n ?==?3=此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.

19.（1）由题意，7x =，9y =，

1n i i i x y nx y =-∑28757928=-??=-， 221n i i x nx =-∑22955750=-?=，280.5650b =-

=-，a y bx =-9(0.56)712.92=--?=. 所以所求回归直线方程为0.5612.92y x =-+.

（2）由0.560b =-<知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， 0.56612.929.56y =-?+=，

即可预测当日销售量为9.56kg .

（3）由（1）知7x μ≈=

， 3.2σ≈=，所以

(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.

20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，

则PC r =，PD r =

，PC PD +=2CD >=，

由椭圆定义可知，点P 的轨迹E

是椭圆，a =1c =

，1b ==，

E 的方程为2

212

x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，

则有22001x y +=，

又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012

x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.

若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，

则1l 的方程为1(1)y k x =+， 解方程组122(1)12

y k x x y =+???+=??，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，

则QS =，

同理得RT = ∴12QSRT S QS RT =?2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4

k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.

综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169

.

21.解：（1

）令()ln

1)m x =

，则1'()2m x x =

-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数， 而(1)0m =

，所以()ln

1)0m x =<

，1<成立； 令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，

而(1)0n =，所以1()0x n x e

x -=->，1x e x ->成立. （2

）1()ln )2f x x >

+，即11x x t e x -+

-1ln )2x >

+ln =+， 由（1

）1<

，所以1+<，

ln

+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<

-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，

上式已知成立，故原式成立，得证.

22.解：（1

）∵ρθθ=

，

∴2cos sin ρθθ=，

∴圆C

的直角坐标方程为220x y +-=，

即22((1x y -++=

，∴圆心直角坐标为. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是

=

=≥， ∴直线l 上的点向圆C

引的切线长的最小值是方法2：直线l

的普通方程为0x y -+=，

∴圆心C 到直线l

|5=， ∴直线l 上的点向圆C

=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，

解集为(,1][3,)-∞+∞.

（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥?=?+

，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立， 又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，

所以2a ≥.