高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算221向量加法运算及其几何意义同步优化.doc
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义aa高一数学
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
12/13/2021
三维目标
1．知识与技能 理解向量加法的含义，会用三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和，掌握向量 加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算． 2．过程与方法 掌握向量的加法，会作两向量的和向量，并理解其几何意义． 3．情感、态度与价值观 通过对向量加法的学习，设学生学会建立数学模型解决与向量有关的简单问题，提高学 生学习的热情．
12/13/2021
当堂自测
1．在四边形 ABCD 中，C→B＋A→D＋B→A＝( ) A.D→C B.C→A C.D→B D.C→D
[答案] D
[解析] C→B＋A→D＋B→A＝(C→B＋ B→A)＋A→D＝C→A＋A→D＝C→D.
12/13/2021
当堂自测
2．A→B＋C→D＋D→A＋B→C＝( ) A.B→D B.A→C C．0 D.A→B
例 3 如图 2-2-5 所示，在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所在直线上取点 E，F，使 BE＝DF，求证：四边形 AECF 是平行四边形．
12/13/2021
图 2-2-5
考点类析
证明：∵A→E＝A→B＋B→E，F→C＝F→D＋D→C， 又∵A→B＝D→C，B→E＝F→D，∴A→E＝F→C，∴AE 綊 FC， ∴四边形 AECF 是平行四边形．
12/13/2021
考点类析
考点一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
[基础夯实型]
例 1 如图 2-2-3 所示)O→A＋O→C＝__________； (2)B→C＋F→E＝__________； (3)O→A＋F→E＝______________．
12/13/2021
2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义
③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义 定义:求两个向量 和 的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形 法则
法则
前提 作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修4
则救护车行驶的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次行驶的位 移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1600(km)．
又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|A→C| ＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)．
C→D|＝____1____.
解析 由题意知△ABD 为等边三角形，∴|B→C＋C→D|＝ |B→D|＝1.
5．如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，根据图示计 算：
(1)O→A＋O→C； (2)B→C＋F→E； (3)O→A＋F→E.
解 (1)因为四边形 OABC 是以 OA，OC 为邻边的平行 四边形，OB 为其对角线，所以O→A＋O→C＝O→B.
2．设 P 是△ABC 所在平面内一点，且B→C＋B→A＝2B→P，
则( )
A．P→A＋P→B＋P→C＝0 B．P→A＋P→B＝0
C．P→C＋P→A＝0
D．P→B＋P→C＝0
解析 因为 P 是△ABC 所在平面内一点，B→C＋B→A＝ 2B→P，所以 P 是 AC 的中点，所以P→C＋P→A＝0.
(2)如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，若 AB＝1，则 |A→B＋F→E＋C→D|等于( )
A．1
B．2
C． 3
D． 5
解析 ∵A→B＋F→E＋C→D＝A→B＋B→C＋C→D＝A→D，
∴|A→B＋F→E＋C→D|＝|A→D|＝2.
(3)(教材改编 P81 例 1)如图所示，已知向量 a，b，c 不共
线，求作向量 a＋b＋C．
解 a，b，c 不共线中隐含着 a，b，c 均为非零向量， 因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行 四边形法则作图．
高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算222向量减法运算及其几何意义课件新人教A版必修
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
一级达标重点名校中学课件
(2)如图2-2-16所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 【导学号：84352190】
图2-2-15
图2-2-16
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[思路探究] (1)利用向量减法和加法的几何意义，将D→C向A→B，B→C，A→D转
化；
(2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值． (1)A [D→C＝A→C－A→D＝(A→B＋B→C)－A→D＝a＋c－b.]
(2)法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作
→ OA
＝a，
→ AB
＝b，则O→B＝a＋b，再作O→C→C
判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减
法的几何意义将|A→D－A→B|＝|B→C－B→A|变形进一步判断此四边形的形状．
(2)由||A→B|－|A→D||≤|A→B－A→D|≤|A→B|＋|A→D|求范围．
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(1)B (1)∵A→B＝D→C ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵|A→D－A→B|＝|B→C－B→A|，∴|B→D|＝|A→C|. ∴四边形ABCD为矩形．
高中数学第二章平面向量22平面 向量的线性运算222向量减法运 算及其几何意义课件新人教A版
必修
一级达标重点名校中学课件
学习目标：1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意 义．(难点)2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运 算．(重点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)
③O→B－O→A－O→C－C→O＝________. (2)如图2-2-18，
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
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A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
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(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
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4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
一级达标重点名校中学课件
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2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
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3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版
3.做一做:化简:(������������ + ������������)+������������= 答案:������������
.
解析:(������������ + ������������)+������������=(������������ + ������������)+������������ = ������������ + ������������ = ������������.
(4)三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀: ①三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点; ②平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线. (5)规定:对于零向量与任一向量a,规定:a+0=0+a=a.
一
二
三
(6)当向量a,b是共线向量时,不能用平行四边形法则作出两个向 量的和向量,但可以用三角形法则作出两个向量的和向量,分两向 量同向和反向两种情形: ①同向
一
二
三
一、向量的加法及其运算法则
【问题思考】 1.某对象从 A 地经 B 地到 C 地,两次位移������������, ������������的结果,与 A 地 直接到 C 地的位移������������的关系如何?
提示:结果相同,即������������ + ������������ = ������������.
一
二
三
(3)向量加法的平行四边形法则:已知两个不共线向量 a,b,作 ������������=a,������������=b,以 a,b 为邻边作▱OACB,则以 O 为起点的对角线������������就 是 a 与 b 的和(如图).这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则.一二三
高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
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2. 2. 1向量加法运算及其几何意义
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.如图2-2-1所示，在圆0中,)
图2-2-1
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析：指定大小和方向后就可以确定一个向量，不能说某些向量是有相同起点的，A错；本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量，B错；这三个向量的方向是不同的，所以不是相等的向量，D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等.
答案：C
2.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P,则这些向量的终点构成的几何图形为 ___________________ .
(2)把平行于直线1的所有单位向量的起点平行移动到直线1上的点P,这些向量的终点构成的儿何图形为 _________________ .
(3)把平行于直线1的所有向量的起点平行移动到直线1上的点P,这些向量的终点构成的儿何图形为 _________________ •
解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.
(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.
(2)因为平行于直线1的所有单位向量只有两个方向，故这样的单位向量只有两个，起点为P, 则终点应为：直线1上与P的距离相等的两个点.
(3)因为平行于直线1的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线1上的任意一点.
答案：(1)一个圆.
⑵直线1上与点P的距离相等的两个点.
⑶直线1上的任意一点.
3.如图2-2-2,试作出向量a与b的和a+b・
(1)⑵⑶
图2-2-2
解析：如图，首先作04 =a,再作AB=b,则OB =a+b.
0 ABO BA
(1) ⑵
4•若a二“向北走8 km", b=“向东走8 km",贝!j|a+b|= 解析：
如图所示.
答案：8V2 东北方向
10分钟训练（强化类训练，可用于课中）
1 •如图2-2-3,正方形ABCD的边长为1,贝】JMB+BC+DC + AD|等于（）
解析：| AB + BC + DC + AD |=| 2AC |=2| AC |= 2^/2 .
答案：D
2•如图224,四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（
C.AC^BA = AD
D. AC + AD = DC
解析：由三角形法则和平行四边形法，可知AB+BC = AC,A错；BA^AC = BC, B错;
CA + AD = DC, D错•只有C是正确的.
答案：c
3.已知向Sa/7b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向（）.
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析：己知a平行于b,如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.
A. AB + BC = CA
；a+b的方向是
AJ B.V2 C.3 D. 2>/2
图2-2-3
答案：A
4•如图225所示，已知向量a, b, c, d,求向量a+b+c+d.
图 2-2-5
解：在空间中任取一点 0,作 0A 二a, AB =b» BC =c, C£)=d* 则 0D =a+b+c+d.
5.如图2-2-6所示,已知向量a 、b 、c,求作向量a+b+c.
解：如图，首先作0A=b,再作AB =a, BC =c 则0C 二a+b+c.
30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.已知平行四边形ABCD, S （AB + CD ）+（ BC4-5A ）=a,而b 是一非零向量，则下列结论 正确的有（）
① a 〃b ② a+b 二 a ③ a+b 二 b ④ |a+b|<|a|+|b|
A.①③
B.②③
C.②④ 解析：在平行四边形ABCD 中，AB + CD=O, BC + DAM ）,所以a 为零向量，零向量和 任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确. 答
案：A 2.向量a 、b 都是非零向量，下列说法不正确的是（）
A.
向量
a 与
b 同向, B. 向量a 与b 同向， C. 向量a 与b 反向， D. 向量a 与b 反向，
贝1」向量a+b 与a 的方向相同
则向量a+b 与b 的方向相同
且|a|<|b|,则向量a+b 与a 的方向相同 且|a|>|b|,则向量a+b 与a 的方向相同
解析：向量a 与b 反向，且|a|<|b|,则向量a+b 的方向应该和模较大的向量相同，即和b 的方向相同，所以C 错.
答案：C
3.a 、b 为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是（）
A.a 〃b ，且a 与b 方向相同
B.a 、b 是共线向量
D.①②
图 2-2-6
C.a=-b
D.a^ b无论什么关系均可
解析:当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a>b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同（与a方向相反），且|a+b|=|b|-|a|.
答案:A
4.在平行四边形ABCD中，下列式子：
®AD=J B +~BD；@J D =AC+CD； @ + = ；®~AB + ~BC = ~AC；
⑤ AD = AB+BC + CD； ®AD=DC + CA.
其屮不正确的个数是（）
A」 B.2 C.4 D.6
解析：DC + CA = DA,所以⑥错，其他各项都是正确的.
答案：A
5.下列命题
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同;
②Z\ABC 中，必有AB + BC + G4=0；
③若4B + BC + CA=0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|—定相等.
英中真命题的个数为（）
A.O B」 C.2 D.3
解析：①假命题•当a+b=O时，命题不成立;②真命题;③假命题.当A、B、C三点共线时也可以有AB + BC + CA=O;④假命题.只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a+b| >|a|+|b|.
答案：B
A. AB = CD , BC = AD
6.如图2-2-7所示，在平行四边形ABCD中，0是対角线的交点.下列结论正确的是（）
C.AO + OD = AC + CD
D.AB+ BC-^-CD = DA
解析：因为AO + OD = AD, AC + CD = AD,所以AO + OD = AC + CD. 答案：C 7.已知向量a、b,比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
解：⑴当a、b至少有一个为零向量时,有|a+b|=|a|+|b|;
（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|；
(3)当a、b为非零向量且a、b同向共线时,有|a+b|=|a|+|b|；
(4)当a、b为非零向量且a、b异向共线时,有|a+b|<|a|+|b|.
&已知四边形ABCD,対角线AC与BD交于点0,且A0=0C, D0=0B.求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：由已知得AO = OC,BO = OD.
n
V AD = A0 + 0D = BO + OC = BC,且A、D* B、C 不在同一直线上・
故四边形ABCD是平行四边形.
9.轮船从A港沿东偏北30。
方向行驶了40 n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶
解: 设AB.分别表示轮船的两次位移, 则4C表示轮船的合位移, AC = AB^BC. 40 n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
在RtAADB 中，ZADB=90°, ZDAB=30°, | AB |=40 n mile,
东
所以I DB |=20 n mile,
在RtAADC 中，ZADC=90°, | DC |=60 n mile,
所W| AC |= 7l AD I2 + I 5C |2 = 7（20A/3）24-602 = 40^3 n mile.
因为|AC|=2|AD|,所以ZCAD=60°.
答：轮船此时位于A港东偏北60。
，且距A港40希n mile的C处.。