例谈数列中的数学思想
例谈用函数思想指导数列不等式的证明
只‰ ≤
当
， 欲 证 ％＝
≤
前 述 证 明 其 实 就 是 构 建 函数 后 采 用 作 差 比较 法 探 究 函 数 的单 调 性 ． 与此 法 相 应 的 还 有 构 造 恰 当 的 函 数 探 究 其 最 值 来 实
ｆ ～ ｂ ｎ ＋ ｌ ＋ １ １ — ｂ ＂ － — ２ ＂ ．
２
证 明： 由ｌ 知， 问题 的关键 即证
０， Ｐ≠ １ ） （ ） 亦 即 证 （
Ｐ≠ １ ．
ｐ＂ －Ｉ Ｐ 叶 ＋ １ ）
≤ （ ｐ ” ｌ ＋ １ ） （ ｐ ＞
（ ＋ １ ） （ 善 － １ ） （ ０ ＜ ６ ．
ｉ ￣ － ｂ ＝ ２ ｘ（ ＞ ０， ≠ １ ） ， 则 问题 车 戈 ＋（ １ － ｘ） （ １ ＋ ２ ｎ） ｘ 一 １ ＞０ ／
） （
） ＝ ２ ｎ （ ｐ － １ ） ｐ ＂
（ ｐ＞ ０， （ Ｐ 一１ ） （ ｐ 肿 ＋ Ｊ ） ） ｜ ． － ｌ Ｊ
（ ＞ １ ） ， 或 ＋ （ １ ） （ １ ＋ ２ ｎ ） ｘ ＂ － Ｉ ≤ ０ （ ０ ＜ １ ） ．避厂 （ ）
・
函数 进 行 研 究．
证明 ： 当６ ＝ ２时 ， ＝ ２， ＋１ ＝ ２， 成 立．
散 函 数 的 视 角去 看 ． 则 又是 一 番 景 象．上 面 的 证 明 中利 用相 邻
例谈方程函数思想在初中数列中的妙用
个是 ３ 第 三 个 数 是 Ｉ 则 第 ｎ个数 是 Ｉ
Ａ） ８ － Ｂ） ｎ＋ ｎ５ ｚ２ Ｃ） ４ ｌ ｎ－
（
）
Ｄ） ２ ２４ ＋ ｎ－ ｎ ５
７ ７ ＝ １ ＝ ＋６ ３ ７ １ ：７ ＋ ９ ＋６ ６ ：７ ０ ＋６ ： ＋ ｌ ７ ６ ： ＋ ２ ７ ６ ＝ ＋ ３ ７ ６，
｛ 芝 之： ： 解得｛ 二
所以，Ａ ｎ与 ｎ的一次函数 的解析式为 Ａ ＝ ｋ １ ｎ ４－ ，因此，新数列的第 ｎ
个数是 ４一 。 ｎ １ 三 、具 体 应 用 俗话 说 ：“ 了 鸟枪 ，就 要 打 鸟 ” 请 看下 面的 例 子 吧 ！ 挂 ， 例 ｌ ，如 图 ，将 一 个 正 三角 形 纸 片 剪成 四个 全 等 的 小 三 角形 ， 再将 其 中 的一 个 按 同样 的 方 法 剪 成 四个 更 小 的 三 角 形 ， 如 此 继 续下 去 ， 结 果如 下表 ：
数 列 的 第 ｎ项 的函 数 解 析 式 的方 法 以及 在 解 决 较 难 问题 时 的妙 用 。
【 词１ 函数 关键
数列
妙用
“ 中数列 ”这 种说 法可能有点不妥当 。等差数列 、等 比数列 、公 初
差 、公 比 、 通项 公式 等 这 些 概 念 在 初 中 数 学 中 是 不 出现 的 ，但 其在 初 中 数 学 中 应用 是 非 常 广泛 的 。 所 解 决 数 列 问 题 在 通 常 情 况下 ，教 师是 通 过逐 项 分 析 、研 究 、哉 公 差 ，找 公 比 ， 最 后 摸 索 出通 项 公 式 ，再 利 用 其 它数 学知 识 ，解 决题 目 中 出 现 的 问题 。 这 样 做 对 初 中 学生 来 说 ， 确 实具 有很强 的挑 战性 ，而具有挑 战精 神的优 秀学生却乐此不彼。因此 ，我根 据平 时 的教 学经 验 ，摸 索 出 符 合 初 中生 特 点 的 用 方 程 函数 思 想 来 解 决 这 类 问题 的 方 法 。现 就 等 差 数 列 及 其相 关 内容 ，谈 一 谈 个 人看 法 并 写 出来 供 同行 参 考 。 提 出问题 请 看 这 道题 ：试 一 试 ， 观 察下 面 几 组 数 ：
以《数列》为例谈数学文化在教材中的引入
以《数列》为例谈数学文化在教材中的引入作者：谢晨明来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第06期【内容摘要】十九大提出了“发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人”的核心素养，明确把数学文化纳入到新课程标准中，那么如何把握教材中的文化资源，把数学文化素养纳入课堂之中，一直是高中老师的一大困惑，本文结合《数列》苏教版教材，界定出高中教材中主要的数学文化内容，为教材中数学文化的研究提供新的方向。
【关键词】数列数学文化苏教教材刚刚结束的党的十九大明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。
”教育部于近日刚刚发布的《普通高中课程方案于标准》中更加明确的数学学科的核心素养是“学生学习该学科课程后应形成正确价值观念、必备品格和关键能力，并围绕学科核心素养的落实，精选、重组教学内容，设计教学活动，提出考试评价建议”明确了要把数学文化融入到课程内容，在前段时间教育部考试中心函件《关于2018年普通高考考试大纲修订内容的通知》再次要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。
”针对数学文化的考查，相信大家一定会比较迷惑：考什么？怎样考？怎么教？正如冯光庭在《基于“体现数学的文化价值”的数学教学策略探究》中所提到的：“要在数学教学过程中有效地体现数学的文化价值，并使数学教育真正成为数学文化的教育，第一要素是教师的认识问题，第二才是具体的操作问题”。
本文结合高中苏教必修五数列一章界定出高中教材中主要的数学文化内容，为教材中数学文化的研究提供新的方向。
一、首先了解“数学文化”的含义美国学者怀尔德在《作为文化系统的数学》一书中最早提出数学文化的概念，其特点在于：注重问题解决、数学应用、数学交流、数学思想方法和学生的情感态度。
例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
例谈数列问题中的数学思想
点 评 ： 等 价 转 化 法 的 关 键 是 要 明 确 转 化 的 方 向 或 者 说 转 化
的 目标 ． 本 题 转 化 的 关 键 就 是 将 研 究 慨 ２ ３ 取 值 范 围 问 题 转 ｌ 的
２ 解 填 空 题 不 要 求 求 解 过 程 ， 而 结 论 是 判 断 是 否 正 确 的 ． 从 唯一标准 ， 因此 解 填 空 题 时要 注 意 如 下 几 个 方 面 ： （ ） 认 真审题 ， 确要求 ， 维严谨 、 密 ， 算有 据 、 １要 明 思 周 计 准
） ＋
—一 的最大值 为 ， 最
４ 等 价 转 化 法 ．
分析 ： 直接
１ ！！里
２ ＋Ｃ Ｓ Ｏ
，
） 的最大 值 、 小值显然 不可取． 最 化袱 ） ＝
￣ＪＴｇ ） 奇 偶 性 Ｊ （ 的 Ｊ
＋ ＣＯＳ 戈
．
将 所 给 的命 题 进 行 等 价 转 化 ，使 之 成 为 一 种 容 易 理 解 的 语 言 或 容 易 求 解 的模 式 ． 过 转 化 ， 问题 化 繁 为 简 、 陌 生 为 熟 通 使 化
确 ； ２ 要 尽 量 利 用 已知 的 定 理 、 质 及 已有 的结 论 ； ３ 要 重 视 （） 性 （） 对 所 求 结 果 的检 验 ．
化 成 了直 线ｙ ｍ与 曲线ｙ ｆ ｘ） 三 个 交点 的 问题 ， 数 的 问题 转 ＝ ＝（ 有 将
化 成 了形 的 问题 ， 而利 用 图 形 的性 质 解 决． 从
点 评 ： 函 数 有 关 的 填 空 题 ， 据 题 目条 件 ， 活 地 应 用 函 与 依 灵 数 图 像 解 答 问 题 ， 往 可 使 抽 象 复 杂 的 代 数 问题 变得 形 象 直 观 ， 往
例谈与数列有关的综合问题的解题技巧
例谈与数列有关的综合问题的解题技巧作者：徐义来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第04期通过对近几年的数学高考题目进行一定的观察和总结，发现有关数列的题目出现频率比较高，不仅仅和函数、不等式等数与代数的部分相结合，有时还涉及三角形、立体几何等图形方面的知识。
数列是一种比较特殊的函数，需要教师熟练掌握相关概念，联想题目的特征，联想自身做题经验，找到解题方向，提高做题的效率。
数列就是按照一定的排序方式排列的一列数字，数列中每一个数都是这个数列的项。
数列也是一定定义域为正整数集的函数，而且数列所对应的数列通项公式也就是其函数的解析式。
对于高中生来说，数列的学习是一个重要部分，其中蕴含着多种多样的数学思想和数学方法，数列中涉及的问题也比较考查学生的归纳能力和逻辑能力，反映了学生对数列学习的深度，表现着学生的技巧性，所以数列的相关内容经常出现在每年的高考题目中，成为一道必考题。
数列作为特殊函数，在实际中也有广泛的应用，比如银行的信贷、养老保险等，这就需要学生不仅仅能够熟练掌握有关数列的相关问题，还要能够善于观察题目的特点，结合原有解题经验，迅速锁定解题的方向，提高解题的效率。
下文笔者就将针对数列题目来归纳一般的解题方式和思路。
一、与不等式知识结合在不等式和数列结合的题目中，主要考查的是数列的定义和等差数列的定义，题目上一般是已知Sn求an的基本题目，其中涉及的数学思想和数学方法为归纳法或者是利用放缩法去证明不等式。
这种函数和数列相结合的题目在高考中考到的几率比较大，学生应该多多掌握求出前n项和的各种方式，比如通过相加、相减或者相乘的方式来化简，从而提高解题的效率。
三、与最值、极限相结合数列和最值结合的题目主要就是考查学生对不等式和最值定义性质、数列性质等知识的掌握，大多数题目都会给出Sn和an之间的关系，并且要求出相应的通项公式，然后再构造出一个不等式来使之恒成立，其中涉及某个未知数的值，一般会要求学生求出未知数的最大值或者最小值。
例谈函数思想的应用
点评 本题在 求解过程很巧妙 地利 用 了函数 的单
调性 来产生函数的最值 ，并通过 求函数 的最值使 问题
例 １若 、 为锐角 ，且
＝ ．
＋ 堂 ＝ ，求证 ： ２
Ｓｌ ｌ ｌ Ｏ ｌ
Ｓ ｎＪ Ｉ ／
获解．
例 ３ 设等差 数列 ｛， 的前项和为 ｓ，若 ｏ＝ ２ ｎ】 Ｉ ． １， ３ ｓ ＞ ， ０ 请指 出 ｓ，ｓ， ，ｓ ０ ５， ， ＜ ｌ … 中哪个最 大 ，并说
％＋ ｎ 若数列 ｛ 中从 第 ２项起 以后所 有项 都大 ， —Ｉ ６ 】
于 ２ － ，求 的范围． ｋ５
杨
帆
审
—
分析 “ 若数列 ） 中从 第 ２项起 以后 所有项都 函数 不仅 是 高中数 学 内容 中的一 个重 要组成 部
大于 ２一 ” ｋ ５ ，假 若 能得 到 该 数 列 的 最 小项 ，只 需让 最
在对 三角等式证 明与三角 函数 式的 最值 求解 时 ，
一
些 问题 若 通 过 三 角 变换 去 完 成 解 题 过 程 相 当 冗 长 ，
项 ６｝ 砉， 砉＞一 得 ＜ 即 为 ＋＝ 由 ２５ １ ｋ， 为
所求 范围．
繁杂 的运算也是一种 隐性失分 ；若换个角度 ，巧妙地 利用函数思想 ，问题 的解答就 变得十分快捷 ，收到 事
（孕 ）．故 ， 时 Ｓ 大， Ｓ… ５ ＜５ 当ｌ ， 即Ｓ ， 一 ６． ： ６ 最 ，，
Ｓ 中 Ｓ 最大． ：
数列本 身就是特殊 的函数 ，两类特殊数列与 函数 有更密切 关 系：等差数 列的通 项 ％是 ｎ 的一 次函数 ，
点评 可 以看 出从 函数 的 角度观 察、分析 数列 问 题 ，开辟 了数 列问题 求解 的新天地 ，给 了我们一个全
在知识点交汇处看数列——例谈数列与向量、不等式、函数结合的典型综合问题
ｃ ｌ Ｉ ） 因 为 ｛ ｌ 三 ｌ ｚ ＂ ｛ ｌ － 卞 Ⅳ 一 ＿ ／ ５ Ｉ ｒ 以
点， 点Ａ（ 以 ， Ｏ ） （ 一１ ， ２ ， ３ ， … ） 在 轴 的正 半轴 上 ， △Ａ一 ＡＰ 是 正 三角 形 （ Ａ。 是 坐 标 原点 ） ． （ Ｉ） 写出 ｎ １ ， ｎ ２ ， ｎ ３ ； （ １ １ ） 求 出点 Ａ （ 口 ， Ｏ ） （ ｎ ＥＮ ） 的横坐标 ａ 关于ｎ的表达式 ；
ｆ ｚ ＋五 一 １ ＝２ ｎ ， ｆ Ｘ １ ＝ ＝ ＝ ２ 一 ，
Ｉ ＋Ｙ 一 １ —２ ” ¨ 【 １ —４ ～ ，
ｆ ｚ２ —４ 一ｚ １ —２ ＋ｘ ｏ ，
＜…＜ ） 是曲线 Ｃ： Ｙ 一３ ｘ（ ≥ ０ ） 上 的 个
图１
Ｉ ２ — ８ 一 １ — ４ ＋ ，
一
同理可得 Ｙ ＋ １ 一 一 ｌ ＝２ ．
Ａ 一 ｌ Ａ １ 一（ ＋ ｌ 一 一 １ ， ＋ ｌ －ｙ 一 １ ）
一（ ２， ２ ） ，
一
和综合性都有了质 的变化， 而这些变化恰恰 是我们的学生薄弱 的环节， 它对学生解决问 题的能力提出了一系列综 合性很高的要求。 下面就数列的交叉点处易出现的疑难问题谈
数列｛ ） 是递减数列． ｂ 的最大值为
．
１
１
可一 譬 ～ ，
口 ｎ 一口 一 １ ＝ ＝￣ ／ ２ （ ａ ． － １ ＋口 ），
６ 一 ＝ ＝ ： 百・
若对任意正整数 ， 当 ｍＥ［ 一１ ， １ ］ 时，
口 ： －２ ａ 一 ｌ ｎ ＋口 ： 一 １
—２ （ ｎ ＋口 一 １ ） （ ≥２ ， ∈ ） ， （ １ ）
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例谈数列中的数学思想高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。
下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.1、方程思想在数列中运用等差（比）数列一般涉及五个基本量：n n S a n q d a ,,),,1（或.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1：等差数列{}n a 的前n 项和为S n，且S 12=84，S 20=460，求S28。
解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+4602)112(2020842)112(121211d a d a ，解得4,151=-=d a .故10922)128(2828128=-+=d a S .在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。
等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。
例2、实数4321,,,a a a a 都不为0，且0)(2)(23224312242221=+++-+a a a a a a a a a ，求证：321,,a a a 成等比数列，且4a 为其公比。
分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以4a 为主研究简单。
证明：由题设知，4a 是一元二次方程0)(2)(232231222221=+++-+a a x a a a x a a 的实数根所以0)(4))((4)(4231222322222123122≥--=++-+=∆a a a a a a a a a a 所以312231220a a a a a a =⇒=-因为)4,3,2,1(0=≠i a i 所以321,,a a a 成等比数列 由求根公式得：12312131222213124)()(2)(2a a a a a a a a a a a a a a =++=++= 所以4a 为其公比。
评注：对已知等式进行整体观察，发现4a 是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。
例3、已知),0(,51cos sin πααα∈=+，则αcot 的值是__________。
分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。
解：由),0(,51cos sin πααα∈=+，知ααcos ,101,sin 成等差数列 设公差是t ，则t t +=-=101cos ,101sin αα 由1)101()101(1cos sin 2222=++-⇒=+t t αα,解之得:107±=t又),0(πα∈,0,0101sin <>-=∴t t α107-=∴t 即53cos ,54sin -==αα,所以43cot -=α评注：也可将51cos sin =+αα同时平方得sin cos αα，进而得到57cos sin =-αα解方程组求解。
2、函数思想在数列中运用数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。
运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。
它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。
例4、已知数列}{n a 的通项n a n 21=，n S 为其前n 项的和。
求证：n S n <证明：构造函数n nn f -++++=21...32122121)( 则112121...32122121)1(+-++++++=+n n n n f 两式作差得：nn n n n n n f n f ++-+=-+-+=-+11121)1(121)()1(因为n n n ++>+112，所以nn n ++<+11121即)()1(n f n f <+，则函数)(n f 在其定义域内是减函数又因为0)1()(,021121)1(<≤∴<-=-=f n f f ，即021...32122121<-++++n n，也就是n S n < 评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明0)(<n f ，即0)(max <n f例5、已知数列}{n a 中，11=a ，且点))(,(*1N n a a P n n ∈+，在直线01=+-y x （1）求}{n a 的通项公式； （2）求)2,(1...11*21≥∈++++++n N n a n a n a n n的最小值。
分析:(1)由等差数列的通项是关于n 的一次函数,易判断}{n a 是等差数列;又一次函数的斜率就是其公差,易得通项公式;(2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口. 解：（1）由题设11=a ，11=-+n n a a ，即n n a n =⋅-+=1)1(1（2）构造函数n n n n n f ++++++=1...2111)( 则)1(21...3121)1(++++++=+n n n n f 于是11111(1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++ )()1(n f n f >+∴，即函数N n n n f y ∈≥=,2),(是增函数故)(n f 的最小值是127221211)2(=+++=f 评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。
这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。
例6、已知等差数列}{n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）A 、130 B 、170 C 、210 D 、260 分析:等差数列的前n 项和n S =21()22d dn a n +-,可以看成关于 n 的二次式函数,则n S n可以看成关于n 的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点30(,)m m 100(2,)2m m 3(3,)3m S m m 就在同一条直线y an b =+上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210.选(C).例7、递增数列}{n a ，对任意正整数n ，2n a n n λ=+恒成立，求λ. 分析：2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+，它的定义域是{}1,x x x N ≥∈，要使函数2()f x x x λ=+为递增函数，即单调增区间为[)1,+∞,抛物线对称轴2x λ=-至少在1x =的左侧，不过由于函数为离散函数，对称轴2x λ=-在 1.5x =的左侧也可以，因为B 点可以比A 点高。
于是，322λ-<，得 3.λ>- 例8、若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合*{|},n n n a b n N =∈的元素个数最多是（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4解析：数列是特殊的函数，等差数列{}n a 是直线上的点 且直线的斜率是公差，由0d >等比数列{}n b 例9、已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比q 1111a b =，则（ ）A 、66a b =B 、66a b >C 、66a b <D 、6666a b a b ><或解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B ；可推广至：(1,2,3......)i i a b i >= 例10、在等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，公差0d ≠。
（1）若,()n m a m a n m n ==≠，求m n a +； （2）若()m n S S m n =≠，求m n S +。
解析：（1）由1()n a dn a d =+-知n a 是关于n 的一次式则三点(,),(,),(,)m n m n m a n a m n a ++三点共线，故任意两点连线斜率相等即()m n m n m a a a am n m n m+--=+--，解得0m n a +=（2）由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-可知:n S 是关于n 的二次式，且无常数项故可构造函数21()()22d d f x x a x =+-由()m n S S m n =≠得()()f m f n =则2m nx +=因此()(0)0f m n f +==，即0m n S +=另解：由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-得122n S d dn a n =+- 则n Sn大关于n 的一次式，所以三点(,),(,),(,)m n m n S S S m n m n m n m n +++共线利用任意两点连线斜率相等易求得0m n S +=。
例11、已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足675S S S >>，下列结论不正确的是（ ） A 、0d < B 、110S > C 、120S < D 、130S < 解析：由675S S S >>可知760,0a a <>，故0d <； 由n S 有最大值，且与n S 相对应的二次函数的对称轴在区间1113(,)22内 又00S =，所以130S >，故选D 。
例12、在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和是n S 取最小值的n 等于_______。
解析：传统解法是13170a d +=得1173()03a d +=，再由95a a >知0d > 所以670,0a a ><，即6n =但若注意到等差数列中n a 是一次函数，则由一次函数的线性特征1212()()...()...()n nf x f x f x x x x f n n++++++=可知59750a a +=即755912120a ⨯+⨯=所以2030a =，又670,0a a ><得6n =例13、已知*1111...()23n S n N n=++++∈，定义211()n n f n S S ++=-，试确定m 的取值范围，使得对于大于1的自然数n ，不等式22111()[log (1)][log ]20m m f n m m ->--恒成立。