数列中的数学思想和方法

数列中的数学思想和方法数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下面我们一起来看一看吧！一、方程思想方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.例1 已知等差数列{}n a 的公差d 是正数，且3712,a a =-464a a +=-，求其前n 项和n S 。

解：由等差数列{}n a 知：3746a a a a +=+，从而373712,4a a a a =-+=-，故37,a a 是方程24120x x +-=的两根，又0d >，解之，得：376,2a a =-=。

再解方程组：112662a d a d +=-⎧⎨+=⎩1102a d =-⎧⇒⎨=⎩， 所以10(1)n S n n n =-+-。

<法一>法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程 知三求二点评：本题利用了3746a a a a +=+这一性质构造了二次方程巧妙的解出了376,2a a =-=，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与n m p q a a a a +=+（或n m p q a a a a ⋅=⋅）找出解题的捷径。

关注未知数的个数，关注独立方程的个数。

点评基本量法：性质法 技巧备用：设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ， 又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0. 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2. 小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在数列间题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。

在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．二、函数思想函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.例2、已知等差数列{}n a 中，129a =，1020S S =，则该数列前多少项的和最大？寻求通项 ，借助数列的单调性解决解：1020111092019,102022S S a d a d ⨯⨯=∴+=+， 又129a =，2d ∴=-29(1)(2)231n a n n ∴=+-⨯-=-+ 令0,15,n a n n N *>≤∈，所以数列首项为正，公差为负，前15项为正，从第16项开始为负，所以前15项的和最大，1511514152252S a d ⨯=+=。

巧用等差数列下标的性质，关注数列的单调性解：10201112131920,0S S a a a a a =∴++++=，由等差数列下标的性质可得：111213192015165()0a a a a a a a ++++=+=， 又1290a =>，15160,0a a ∴><∴ 当15n =时，n S 取得最大值。

又129a =，2d ∴=-29(1)(2)231n a n n ∴=+-⨯-=-+令0,15,n a n n N *>≤∈，所以数列首项为正，公差为负，前15项为正，从第16项开始为负， 所以前15项的和最大，且1511514152252S a d ⨯=+=。

思路2：从函数的代数角度来分析数列问题 解：1020111092019,102022S S a d a d ⨯⨯=∴+=+， 又129a =，2d ∴=-21(1)302n n n S na d n n ⨯-∴=+=-+ 2(15)225n =--+∴ 当15n =时，n S 取得最大值225。

思路3：从函数图象入手，数形结合解：设2n S An Bn =+，数列对应的图象是过原点的抛物线上孤立的点，又1290a =>，1020S S =，∴对称轴为1020152n +==且开口向下， ∴ 当15n =时，n S 取得最大值。

四种方法的比较设数列{a n }的公差为d ，∵S 10＝S 20，∴10×29＋10×92d ＝20×29＋20×192d ， 解得d ＝－2，∴a n ＝－2n ＋31，设这个数列的前n 项和最大，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2n ＋31≥0，－2n ＋1＋31≤0，∴14.5≤n ≤15.5，∵n ∈N *，∴n ＝15.方法二 设数列{a n }的公差为d ，∵S 10＝S 20，∴10×29＋10×92d ＝20×29＋20×192d ， 解得d ＝－2.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S 10＝S 20，知x ＝10＋202＝15是其对称轴， 由d ＝－2知二次函数的图象开口向下，故n ＝15时S n 最大．备用：数列{}n a 中，21,n a n n n N *=+∈，求数列{}n a 的最大项。

.小结：利用二次函数的性质解决等差数列的前n 项和的最值问题，避免了复杂的运算过程. 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响．三、分类讨论思想复杂问题无法一次性解决,常需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的问题. 分类讨论是一种逻辑方法,同时又是一种重要的解题策略,在数学解题中有广泛的应用.所谓分类讨论,是在讨论对象明确的条件下,按照同一的分类标准,不重复、不遗漏、不越级的原则下进行的.它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.例3、已知等差数列{}n a 的前n 项的和32n n S =+，求n a 。

解：(1)当1n =时，115a s ==；(2)当2n ≥时，111222n n n n n n a s s ---=-=-=；综合(1) (2)可知15122n n n a n - ,=⎧=⎨ ,≥⎩。

点评：此例从分的体现了n a 与n s 的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是1n n n a s s -=-中脚码1n -必须为正整数。

备用：已知数列{}n b 的前n 项和n n s n 182+-=， 试求数列{}n b 的前n 项和n T 的表达式.分析:解题的关键是求出数列{}n b 的通项公式,并弄清数列{}n b 中各项的符号以便化去n b 的绝对值.故需分类探讨．解:当n=1时,171181211=⨯+-==s b ;当n≥2时, ()[]n n n n n s s b n n n 21918118221-=+---+-=-=-.∴当1≤n≤9时,0>n b ,当n≥10时,0<n b .从而 当1≤n≤9时,n T =n b b b +⋅⋅⋅++21=n n s b b b n n 18221+-==+⋅⋅⋅++;当n≥10时,n T =n b b b +⋅⋅⋅++21=9109212s s b b b b b n n +-=-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅++16218)9189(218222+-=⨯+-+-n n n n .∴n T =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤+-)10(,16218)91(,1822n n n n n n 小结：数列中的分类讨论多涉及对公差d 、公比q 、项数n 的讨论,特别是对项数n 的讨论成为近几年高考的热点.四、整体的思想整体思想就是从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题的目的.例4、在等差数列{}n a 中，已知1479a a a ++=，25815a a a ++=，求369a a a ++的值。

解：258147()3a a a a a a d ++=+++，2d ∴=，369258()321a a a a a a d ∴++=+++=例4、在等比数列{}n a 中，910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +=________.分析 根据题设条件可知a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝b a ， 而a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90，故可整体代入求解． 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝b a ， 又a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90＝(q 10)9＝⎝⎛⎭⎫b a 9， 故a 99＋a 100＝⎝⎛⎭⎫b a 9(a 9＋a 10)＝b 9a 8. 答案 b 9a 8 小结：解决此题如果不把它与整体思想联系起来，那么直接解决要走很多弯路也不容易直接求出它的准确答案，因此此题应用了整体思想来解决了数列问题是非常重要的.备用：已知数列{}n b 为等差数列，前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,求公差d .分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，计算量较大,注意考虑用整体思想去解决,解法十分简捷.解:由题意令奇数项和为x 27,偶数项和为x 32.因为：,35459322712==+=x x x s 所以：6=x .而5,63052732=∴===-d d x x x .五、转化与化归的思想等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象,使之成为大家熟悉的或容易解决的问题.这是解决数列问题重要方法.例5． 已知数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，且)(24*1N n a S n n ∈+=+，求{}n a 的通项公式。