数列中体现的数学思想
高考数列题中涉及的数学思想方法归类与分析
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【 评析 】 涉 及 到 等 比数 列 前 项 的求 和 ， 要 讨 常 论 公 比 ｑ的各 种 情 况 ； 比较 两个 数 大 小 时 ， 在作 差 在 常 以后 因式 分 解 ， 论 各个 因式 的符 号 以达 到 求 解 目的． 讨
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【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想由于一般的项公式、第一个n项和序列的公式都是关于n的函数的，所以可以从函数的角度，利用函数的思想来解决一些序列问题，相关的问题有：序列的单调性、求基本量、最大值、，利用序列对应函数的特征和序列对应函数的性质可以解决上述问题2.方程思想在等差和等比的顺序中有五个基本量。
利用方程的思想，我们可以“知三求二”，当一些量已知时，其他量可以通过一系列方程或方程来求解。
此外，本章中常用的待定系数法实际上是方程思想的体现3.转化与化归思想本章中变换思想的应用主要体现在将非特殊序列问题转化为特殊序列问题求解上。
例如，递归序列的通项公式可以通过构造转化为特殊序列的通项公式，而非特殊序列的求和问题可以转化为特殊序列的求和问题，它是指将相等数量的项目或研究对象转化为相等数量的点，例如相等数量序列或最差数量序列的基础4.分类讨论思想本章分类讨论的思想主要体现在解决一些参数级数问题，尤其是比例级数的求和或相关问题上。
如果包括参数，我们不能忽视q=1的讨论5.数形结合思想借助于序列对应函数的图像，解决一些问题将非常直观和快速。
例如，为了解决算术序列前n项之和的最大值问题，我们可以组合二次函数的图像6.归纳思想归纳思维是指从本章中的个别事实中归纳出一般结论的数学思维，根据序列的前几项归纳出序列的一般术语公式，图的归纳数是根据图的归纳数或归纳数在图中的应用7.类比思想类比思维指的是一种数学思维，即一种对象具有某些特征，而一个相似的对象也具有这些特征。
它的推理方式是从特殊推理到特殊推理，作为两种特殊数列，等差数列和等比数列有许多相似之处。
例如，在等差数列中，if，then；在比例数列中，如果，那么通过类比可以得出许多有用的结论，并且可以发现许多有趣的性质8.整体思想在研究序列（即等距或比例序列的前k项之和）时，我们使用整体思想，即将其视为序列中的一项，依此类推，我们可以得到序列的特征首页上一页12下一页末页共2页。
例谈数列问题中的数学思想
点 评 ： 等 价 转 化 法 的 关 键 是 要 明 确 转 化 的 方 向 或 者 说 转 化
的 目标 ． 本 题 转 化 的 关 键 就 是 将 研 究 慨 ２ ３ 取 值 范 围 问 题 转 ｌ 的
２ 解 填 空 题 不 要 求 求 解 过 程 ， 而 结 论 是 判 断 是 否 正 确 的 ． 从 唯一标准 ， 因此 解 填 空 题 时要 注 意 如 下 几 个 方 面 ： （ ） 认 真审题 ， 确要求 ， 维严谨 、 密 ， 算有 据 、 １要 明 思 周 计 准
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将 所 给 的命 题 进 行 等 价 转 化 ，使 之 成 为 一 种 容 易 理 解 的 语 言 或 容 易 求 解 的模 式 ． 过 转 化 ， 问题 化 繁 为 简 、 陌 生 为 熟 通 使 化
确 ； ２ 要 尽 量 利 用 已知 的 定 理 、 质 及 已有 的结 论 ； ３ 要 重 视 （） 性 （） 对 所 求 结 果 的检 验 ．
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化 成 了形 的 问题 ， 而利 用 图 形 的性 质 解 决． 从
点 评 ： 函 数 有 关 的 填 空 题 ， 据 题 目条 件 ， 活 地 应 用 函 与 依 灵 数 图 像 解 答 问 题 ， 往 可 使 抽 象 复 杂 的 代 数 问题 变得 形 象 直 观 ， 往
数学思想在数列问题中的应用举例
数学思想在数列问题中的应用举例李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班㊀０５４０００)摘㊀要:数列常常与函数㊁方程㊁不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程㊁等价转化㊁分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１㊀等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀Ｂ.１７０㊀㊀Ｃ.２１０㊀㊀Ｄ.２６０解㊀设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬʑＳ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０.㊀㊀二㊁利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２㊀在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐʂｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解㊀由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬʑ点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ().㊀㊀三㊁利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３㊀求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋ ＋ｎｘｎ－１ｘʂ０().解㊀ȵＳｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬʑｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘʂ１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ.㊀㊀四㊁利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４㊀求和Ｓｎ＝１ ２＋２ ３＋３ ４＋ ＋ｎｎ＋１().解㊀ȵｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ()ꎬʑＳｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋ ＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋ ＋ｎ２()＋１＋２＋ ＋ｎ()７＝１６ｎｎ＋１()２ｎ＋１()＋１２ｎｎ＋１()＝１３ｎｎ＋１()ｎ＋２().㊀㊀五㊁利用数形结合思想解题恩格斯曾经这样定义数学: 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的数学 .数形结合不仅是一种重要的解题方法ꎬ而且也是一种重要的思维方法.它形象㊁直观ꎬ有利于我们解题.例５㊀设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ已知ａ３＝１２ꎬＳ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ(１)求公差ｄ的取值范围ꎻ(２)指出Ｓ１ꎬＳ２ꎬＳ３ꎬ ꎬＳ１２中那一个值最大?并说明理由.㊀㊀解㊀(１)易得－２４７<ｄ<－３.(２)ȵｄ<０ꎬʑＳｎ＝ｆｎ()的图象为经过原点且开口向下的抛物线上的一群离散点.设抛物线与横轴的另一个交点为Ａｎ０ꎬ０()ꎬ由Ｓ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ可知１２<ｎ０<１３ꎬ对称轴ｎ＝ｎ０２ɪ６ꎬ６.５()ꎬ故当ｎ＝６时ꎬＳ６最大.㊀㊀六㊁利用构造思想解题构造法解题可以化繁为简ꎬ它主要体现在利用原数列构造新数列求通项的问题.例６㊀设正项数列ａｎ}{满足ａ１＝２ꎬａｎ＝２ａｎ－１ꎬ求ａｎ.解㊀ȵａｎ>０(ｎɪＮ)ꎬʑａｎ＝２ａｎ－１.两边取以为２底的对数ꎬｌｏｇ２ａｎ＝１＋１２ｌｏｇ２ａｎ－１.令ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎꎬ则有ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１.用迭代法得ｂｎ＝２－(１２)ｎ－１ꎬʑａｎ＝２２－(１/２)ｎ－１.㊀㊀参考文献:[１]孙丰亮ꎬ娄树庆.数学思想方法在数列教学中的运用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１３(３１).[责任编辑:杨惠民]探究过度放缩后的一种 修正术江凤华１㊀江国荣２(１.江苏省无锡市辅仁高级中学高三９班㊀２１４１２３ꎻ２.江苏省无锡市市北高级中学㊀２１４０４５)摘㊀要:用放缩法证明不等式是高中数学学习中的难点之一.学习时不容易掌握ꎬ我们放缩的 步幅 大了ꎬ常常偏离目标值.有没有一种方法在发现过度放缩以后采取一点修补办法证出目标呢?本文围绕这个目标做了一点尝试ꎬ发现还是可行的.关键词:放缩法证明ꎻ逐步留项ꎻ高中难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００８－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:江凤华(２００１－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ在校学生.江国荣(１９７１－)ꎬ男ꎬ江苏省海门人ꎬ教师ꎬ从事数学教学及数学教育研究.㊀㊀一㊁探究过程例１㊀证明:ðｎｉ＝１１ｉ２<５３.试证１㊀当ｎ＝１ꎬðｎｉ＝１１ｉ２＝１<５３.当ｎȡ２ꎬȵ１ｉ２<１ｉ (ｉ－１)＝１ｉ－１－１ｉꎬʑðｎｉ＝１１ｉ２＝１１２＋１２２＋１３２＋ ＋１ｎ２<１＋(１１－１２)＋(１２－１３)＋ ＋(１ｎ－１－１ｎ)＝２－１ｎ<２.８。
数学数列的本质是什么？
数学数列的本质是什么？数列是数学中的一个重要概念，它是指按照一定的规律排列的一列数。
数列的本质可以从以下几个方面来理解：一、数列是一种数学模型数列是一种数学模型，它可以用来描述和研究现实世界中的各种现象和规律。
例如，人们可以用数列来描述人口增长、物价变化、股票价格波动等现象。
通过对数列的研究，人们可以更好地理解这些现象的本质和规律，从而为实际问题的解决提供数学支持。
二、数列是一种函数数列可以看作是一种特殊的函数，它的自变量是正整数，因变量是数列中的第项。
因此，数列可以用函数的概念和方法来进行研究。
例如，数列的通项公式就是一种函数表达式，它可以用来表示数列中每一项与项数之间的关系。
通过对数列通项公式的研究，人们可以更好地理解数列的本质和规律。
三、数列是一种极限数列可以看作是一种极限，它是一个无穷序列的极限。
例如，人们可以用数列来表示一个无穷级数的和，而这个无穷级数的和就是这个数列的极限。
通过对数列极限的研究，人们可以更好地理解无穷级数的求和方法和性质，从而为实际问题的解决提供数学支持。
四、数列是一种数学结构数列可以看作是一种数学结构，它具有一定的性质和规律。
例如，数列的前项和公式就是一种数学结构，它可以用来表示数列中前项的和与项数之间的关系。
通过对数列前项和公式的研究，人们可以更好地理解数列的本质和规律。
五、数列是一种数学思想数列是一种数学思想，它体现了数学中的归纳法和递归法。
通过对数列的研究，人们可以更好地理解数学中的归纳法和递归法，从而培养自己的数学思维能力和创新能力。
综上所述，数列的本质是一种数学模型、函数、极限、数学结构和数学思想。
通过对数列的研究，人们可以更好地理解数学的本质和规律，从而为实际问题的解决提供数学支持。
高中数学数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透
智者创建时机，强者掌握时机，弱者坐等时机。
数列教课中数学思想方法的发掘与浸透数学思想方法是数学知识的精华,是知识转变为能力桥梁.可否存心识地正确运用数学思想方法解答数学识题，是权衡数学素质和数学能力的重要标记．数列中蕴涵了很多重要的数学思想，在数列教课中着重数学思想方法的发掘与浸透拥有十分重要的意义．１.函数思想函数思想是用联系和变化的看法观察数学对象.数列是一类特别的函数,以函数的看法认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.例 1 等差数列的前n项和为.已知问数列的多少项和最大?分析 :易知所给数列不是常数列,等差数列的前n 项和是n的二次函数，且常数项为零,因此可利用函数思想研究的最值.解法 1:由得,∴.进而;故前 13 项的和最大 ,其最大值为169.解法2:,的图象是张口向下的抛物线上一群失散的点,由知最高点的横坐标为,即前 13 项的和最大.２.方程思想方程思想就是经过设元成立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、乞降公式及性质结构方程（组），是解数列问题基本方法.例 2 等差数列的前n项和为，若，求.分析 :解本题的重点是求出数列的通项公式,可利用已知条件列出对于和d的方程组求出基本量和 d,也可用待定系数法确立.解得∴.进而.解法 2:易知所给等差数列不是常数列,因此它的前n 项和可设为,由已知条件得解得∴,.3.分类议论思想复杂问题没法一次性解决,常需分类研究,化整为零 , 各个击破 . 数列中包含着丰富的分类议论的问题 .例 3 已知数列的前n项和，试求数列的前n项和的表达式.分析 :解题的重点是求出数列的通项公式, 并弄清数列中各项的符号以便化去的绝对值 .故需分类商讨．解: 当 n=1 时 ,;当 n≥2时,.∴当 1≤n≤9时 ,,当 n≥10时 ,.进而当 1≤n≤9时 , ==;当 n≥10时, =.∴=４.等价转变思想等价转变就是将研究对象在必定条件下转变并归纳为另一种研究对象 ,使之成为大家熟习的或简单解决的问题 .这是解决数列问题重要方法 .例 4 等差数列的前n项和为,.若中,最大,数列的前多少项和最大?分析 :求的最大值有多种转变方法.本题可将知足的要求转变为公差 d 知足的要求；再将 k 所知足的条件转变为它的几何意义，借助图示直接写出结果.解:设数列的公差为d,则最大.设的前k项和最大,则有, 且, 故有.（* ）,.如图，数轴的两个暗影区间中，左侧是的取值范围，右侧是的取值范围，（*）的成立等价于k 取两个区间之间的自然数，因此k=3，即的前3项和最大.５.整体思想整体思想就是从整体着眼 ,经过问题的整体形式、整体结构或其余整体办理后，达到简捷地解题的目的 .例 5 已知数列为等差数列，前12 项和为 354，前 12 项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,求公差 d.分析 :本题惯例思路是利用乞降公式列方程组求解，计算量较大,注意考虑用整体思想去解决, 解法十分简捷 .解: 由题意令奇数项和为,偶数项和为.∵.而.6.递推思想递推思想就是经过探究、结构和运用所给问题中的递推关系解决问题的思想方法.数列问题，从某种意义上讲是递推关系的表现形式.利用递推思想解决某些数列问题可表现递推思想解决问题的优胜性.例 6 设数列的前n项和为,若对于全部的自然数n,都有,证明数列是等差数列 .分析 :证明等差数列一般考虑用等差数列的定义.这里可利用递推关系,将变换得,而后再对,的递推关系持续探究.解:由得,∴当 n≥2时 ,,即.同理.两式相减得,即,进而有(n ≥2).由此可知数列是等差数列 .7.概括、猜想与证明思想经过对个别、特别状况的分析、察看，发现规律,概括出一般的结论或性质，再追求证明方法.这是我们由已知探究未知的重要门路.例 7 已知数列知足条件:,试求数列的通项公式 .分析 :本题求解思路不清楚，从特例下手，察看、猜想结论,再加以证明不失为一种好方法. 解: 由已知条件 ,分别取 n=1,2,3, ，得,经过察看、概括、可得出猜想:.用数学概括法简单证明这一结论是正确的(证明略 ).8.建模与解模思想数列的工具性决定了应用的宽泛性 ,着重建立数列模型解实质问题 ,有益于培育学生用数学的意识和数学能力的提升 .例 8 从社会效益和经济效益出发，某地投入资本进行生态环境建设，并以此发展旅行家产，依据规划，今年度投入万元，此后每年投入比上年减少.今年度当地旅行业收入估计为万元，因为该项建设对旅行业的促使作用，估计此后的旅行业收入每年会比上年增加（Ⅰ）设 n 年内（今年度为第一年）总投入为an 万元，旅行业总收入为bn 万元．写出an，bn 的表达式；（Ⅱ）起码经过几年旅行业的总收入才能超出总投入？分析：建立等比数列的通项和前n 项和模型，再用换元法和不等式知识求解.(1) 第一年投入为800 万元 ,第二年投入为800(1万元,，第n年投入为800万元，因此， n 年内的总投入为；第一年旅行业收入为400 万元，第二年旅行业收入为400万元，，第n年旅行业收入为 400万元.因此n年内的旅行业总收入为.(2) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,即, 所以,化简得,换元化归为一元二次不等式,可得,解得 n≥5,故起码经过 5 年旅行业的总收入才能超出总投入.还有一些重要的思想方法，如数形联合、 分析与综合、联想与类比，结构模型等思想方法已在上述例题中有所波及，限于篇幅，不再赘述.（此文发布在江西师大《中学数学研究》2003 年第 12 期）都是“定义域”惹的祸函数三因素中， 定义域是十分重要的， 研究函数的性质时应第一考虑其定义域． 在求解函数有关问题时，若忽略定义域，便会直接致使错解．下边我们举例分析错从何起．一、求函数分析式时例 1． 已知 f ( x 1) x 2 x ，求函数 f (x) 的分析式 . 错解 ：令 tx 1，则 xt 1， x (t 1)2，f (t) (t 1)2 2(t 1) t21， f ( x) x 2 1分析 ：因为 f ( x 1)x 2 x 隐含着定义域是 x 0 ，因此由 t x 1得 t 1 ，f (t)t 21 的定义域为 t 1 ，即函数 f ( x)的分析式应为 f ( x) x 2 1（ x 1 ）这样才能保证转变的等价性 .正解： 由 f ( x 1) x 2 x ，令 tx 1得 t 1 ， xt 1 2 代入原分析式得f (t)t 2 1 （ t 1），即 f ( x) x 2 1 （ x 1）．二、求函数最值（或值域）时例 2． 若 3x 2 2 y 2 6x, 求 x 2 y 2 的最大值．错解： 由已知有y 23 x 2 3x ①，代入 x 2 y 2 得1 x 21 2 9 9 ．x 2y 23x x 3 2 ，∴当 x 3 时， x2y 2 的最大值为2222分析：上述错解忽略了二次函数的定义域一定是整个实数的会合，同时也未发掘出拘束条件 3x 22 y 2 6x 中 x 的限制条件．正解： 由 23 2 3 0 得，yxxx22x 2y 21 x2 3x1 x 3 29 ，x 0,2 ，因函数图象的对称轴为 x 3 ，222∴当 x 0,2 是函数是增函数，故当当x 2 时， x 2y 2 的最大值为 4 ．例 3．已知函数 fx 2 log 3 x 1 x9 ，则函数 yf x 2f x 2的最大值为（）A ．33B ．22C ．13D ．6错 解 ： yf x2f x 22 log3 x2log 3 x 2log 3 x 3 23 在=2 =1 x9y2fx 2 在 x 9 时获得最大值为 33．上是增函数，故函数 f xyf x 2f x21 x9x 3正解： 由已知所求函数的定义域是1x 2 得 1，9y f x 2 fx 22 log3 x 22 log3 x 2log 3 x23 在 1 x 3 是增函数，= = 3故函数 y2 f x 2 在 x3 时获得最大值为 13．f x例 4． 已知 f x 3x2 2x4 ，求 y f1x 2f1x 2的最大值和最小值．错解： 由 f x3x 2 2 x 4 得 1y 9 ．∴ f1x2 log3 x 1 x 9 ．∴ yf 1 2f1x 22 log3 x 2 2 log 3 x 2log 3 2 x6log 3 x 6xlog 3 x 3 23． ∵1 x 9，∴ 0 log 3 x 2 ．∴ y max22 ， y min6 ．分析： ∵ f 1x 中 1 x 9 ，则 f1x 2 中 1 x 29 ，即1 x 3 ，∴本题的定义域应为 1,3 ．∴ 0 log 3 x 1 ．正解：（前方同上）ylog 3 x 3 2 3，由 1 x3 得 0 log 3 x 1 ．∴y max13 ， y min6 ．例 5． 求函数 y4x 52x 3 的值域．错解： 令 t2x 3 ，则 2xt 2 3 ，∴ y 2 t 23 5 t2t 2 t 127 ,2 t 17 7 ．故所求函数的值域是 ．488 8分析： 经换元后，应有大而无量增大．因此当 t 三、求反函数时例 6． 求函数 yx 2t 0 ，而函数 y 2t 2 t 1在 0, 上是增函数，跟着 t 增 0 时， y min 1 ．故所求函数的值域是 1,．4x 2 (0 x2) 的反函数．错解 ：函数 yx 24 x 2 ( 0 x 2) 的值域为 y2,6 ,又 y (x2) 2 6 ，即 ( x 2) 2 6 yx 26 y ， 所求的反函数为y 26 x 2x 6 ．分析 ：上述解法中忽略了原函数的定义域，没有对 x 进行合理弃取 , 进而得出了一个非函数表达式．正解： 由 yx 24x 2 (0 x 2) 的值域为 y2,6 , 因 ( x 2)26 y ，又x 2 0x 26 y ， 所求的反函数为 y26 x 2x 6 ．四、求函数单一区间时例 7． 求函数 f ( ) lg( 4x 2) 的单一递加区间 .x错解 ：令 t 4x 2 ，则 y lg t ，它是增函数 .t4 x 2 在 ( ,0] 上为增函数，由复合函数的单一性可知，函数 f ( x) lg( 4x 2 ) 在 ( ,0] 上为增函数，即原函数的单一增区间是 (,0] .分析： 判断函数的单一性，一定先求出函数的定义域，单一区间应是定义域的子区间．正解：由 4x 20 ，得 f ( x) 的定义域为 ( 2,2) .t 4x 2 在 ( 2,0] 上为增函数，由可复合函数的单一性可确立函数f ( x)lg( 4 x 2 ) 的单一增区间是 ( 2,0] .例 8． 求 y log 0. 7 x 2 3x 2 的单一区间．错解： 令 tx 2 3x 2 ， ylog t ， x, 3 时， t x 2 3x 2 为减函数，2x3 , 时， t x 23x 2 为增函数， 又 y log t 为减函数， 故以复合函数单一性2知原函数增区间为, 3，减区间为 3 ,．22分析： 在定义域内取x 1， y 值不存在，明显上边所求不对，根来源因正是大意了定 义域，单一区间一定在函数定义域内．由x 23x 2 0，得x 1或 x 2 ，故增区间为,1 ，减区间为 2,．例 9． 指出函数 y x 2 2ln x 的单一增区间．错解： ∵ yx22ln x ，∴ y2x2，∴当 y 0 时， x 1或 x 1 ，∴函数y x 2x2ln x 的单一增区间为, 1,1,．分析： 本题错在没有考虑函数的定义域 0,，故本题的答案为1,．五、判断函数的奇偶性时例 10． 判断 f x1 x1 x 的奇偶性．1x错解： ∵ fx1 x 1x1 x 21 x1 x1x fx ， ∴ f x1 x 1 x1 x为偶函数．分析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件， 即第一定义域一定是对于原点的对 称区间．而此函数的定义域为 1,1 ，不知足上述条件，即应为非奇非偶函数．六、词语点将（据意写词）。
数列运算中的数学思想
唰 。 …
在数学学习过程 中， 同学们要 加强数 学思想方 法 的学
点评
此题常规解法是设 出基本 量 ａ ， ， 出方程组 ｑ列
习， 培养数学思 维能 力 。数 列是 高 中数 学 的重要 内容 ， 是 求解 ， 但计 算较 繁 ； 能利 用整体 思维 ， 可少走 弯路 ， 若 则 使 进一步学 习高等数学 的基 础 ， 每年高考 中都 占有一定 比 计算合理又迅 速。本 解法 不在 求 ０ ， 做 文章 ， 是将 在 ｑ上 而 重 。在求解 高考数列 问题时 ， 要注 意数学 思想的应用 。下 Ｓ 变形整理用 Ｓ 和 ｑ 表示 ， 使解答过程 大大简化 。 面举例说 明在数列运 算中的数 学思想方法。
一
二 、 数 思 想 函
、
整体思想
数列是一 种特 殊 的函数 。运 用 函数思 想处 理 数列 问
从 整体上考虑 问题 ， 往能 够避 免局部 运 算 的 困扰 ， 往 使 问题 得以迅速求解 。通过研 究问题 的整体形 式 、 体结 整 构， 达到快速解题 的 目的。
题， 往往能把握问题的本质 ， 使求解过程简捷 。 例 ２ 已知数列 ｛ 的通项 ％ ＝ｎ－Ｊ￣－ ｎ｝
ｓ №＋ 。 ＝
（。 ） 。— ｄ ｎ
，
＝ ｎ 萼２ ＋
故点（ ｓ） ， 在形
解析
要使
兰
：ｌ（ 一。 成 ｇｓ ）
（） １ （） ２
如） 一 ＋ （ ＜ ） 抛物线上， ， 。 ０的 ＝ 对称轴为 ｝。 ＝ 旦
若 ｐ＋ｑ为偶数 ， 当 ｎ： 则
为奇数 ， ｎ＝ 则 卫 点评
五、 方程 思 想
例 ３ 设等差数列 ｛ ） ％ 的首项 ｎ ０ 前 ｎ项和 为 ｓ ， ＞ ，
由递推公式求数列通项中的数学思想
由递推公式求数列通项中的数学思想成都市玉林中学 周先华递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。
在近几年高考题目中均有此类题，特别是2004年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。
另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。
学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。
因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。
一．引入问题：已知数列{a n }满足a 1=1, 且a n+1 =3n a +1,求a n 。
分析一：归纳法。
由递推公式，可求出a 2=4，a 3=13，a 4=40。
则a 2-a 1=3=31，a 3-a 2=9=32，a 4-a 3=27=33。
由此猜测：a n -a n-1=3n-1（可用数学归纳法证明），所以a n-1-a n-2=3n-2，a n-2-a n-3=3n-3……，a 4-a 3=33，a 3-a 2=32，a 2-a 1=31，把上式子累加，得，a n -a 1=31+32+33+……+3n-1=，得a n =312n -。
分析二：构造法。
由a n+1 =3n a +1，得a n+1 +12=3（a n +12），即数列{a n +12}为一个公比为3的等比数列，则 a n +12=(1+12)·3n-1 =312n -。
分析三：迭代法。
a n =3a n-1+1=3(3a n-2+1)+1=32a n-2+3⨯1+1=…=3n-1a 1+3n-2 ⨯1+3n-3⨯1 +…+3⨯1+1=312n - 点评：（1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；（2）分析二中构造出新数列，由新数列求出a n 的通项；（3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。
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数列中体现的数学思想
恩施市第一中学高二（11）班杨义内容摘要：数学思想犹如一把开启解题的大门，拥有它就能在解答数学问题中游刃有余。
能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志。
在解题时如果能够充分运用数学思想方法，可以使很多数列问题获得直观、简捷、巧妙地解答。
关键词：数列函数方程整体分类讨论等价转化
在数列中蕴涵了许多重要的数学思想方法，例如整体思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，等价转化思想，等等。
本文主要通过例题剖析来体现数列中的数学思想，下面就简单介绍数列中几种常见的数学思想。
1.整体思想
整体思想就是从整体着眼,把一些看起来很复杂，很繁琐的数学形式看成一个整体，看成一个元素，从而达到简捷地解题的目的.
例已知数列为等差数列，前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,求公差d.
分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，但是计算量较大,应考虑利用整体思想去解决,解法十分简捷。
解: 由题意令奇数项和为,偶数项和为.
∵.
而
2.方程思想
方程思想就是通过设未知数建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.
例 在等比数列{}a n 中，已知a a 6424-=，a a 3564=，求{}a n 的前8项的和S 8.
解：a a a q q 64132124-=-=() （1） 由a a a q 3513264==() （2） 由（1）（2）得：
a q 138=±
将a q 138=-代入（1），得q 22=-（舍去） 将a q 138=代入（1），得q =±2.
当2=q 时，a 11=，S 8255=；当q =-2时，a S 18185=-=,. 3.函数思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
数列是一类特殊的函数,因此可以用函数的观点来认识和理解数列，这是解决数列问题的有效方法. 例 等差数列的前n 项和为
.已知
问数列的多少
项和最大?
分析:易知所给数列不是常数列,等差数列的前n项和是n的二次函数，且常数项为零,所以可利用函数思想研究的最值。
解法1:由得
,∴.
从而;
故前13项的和最大,其最大值为169.
解法2: ,的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点,由知最高点的横坐标为,即前13项的和最大.
4.分类讨论思想
我们在解答某些数学问题时，通常会遇到多种情况，此时需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.. 例已知数列的前n项和，试求数列的前n 项和的表达式.
分析:解题的关键是求出数列的通项公式,并弄清数列中各项的符号以便化去的绝对值.故需分类探讨．
解: 当n=1时,;
当n≥2时,
.
∴当1≤n≤9时,,当n≥10时,.从而
当1≤n≤9时,=
=;
当n≥10时,=
=
.
∴=
5.等价转化思想
等价转化是把未知解的问题转化成为同学们熟悉的或容易解决的问题的一种重要的思想方法，这是解决数列问题重要方法之一.
例等差数列的前n项和为,.若中,最大,数列的前多少项和最大?
分析:求的最大值有多种转化方法.本题可将满足的要求转化为公差d满足的要求；再将k所满足的条件转化为它的几何意义，借助图示直接写出结果.
解设数列的公差为d，则最大
.
设的前k项和最大,则有,且,故有
.（*）
, .
如图，数轴的两个阴影区间中，左边是的取值范围，右边是
的取值范围，（*）的成立等价于k取两个区间之间的自然数，所以k=3，即的前3项和最大.
参考文献：
[1] 曲一线. 5年高考3年模拟. 2011 6 7.
[2] 贾鸿玉. 绿色通道. 2010 6 2。