2020北京四中初二(下)期中数学
2020-2021学年北京部分学校八年级(下)期中数学试卷
2020-2021学年北京部分学校八年级（下）期中数学试卷一、单选题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1，b＝1，c＝B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝1，b＝，c＝2D．a＝3，b＝4，c＝2．（3分）下列方程中，一元二次方程是（）A．x2﹣2x+1＝0B．x﹣2y＝0C．ax2+bx+c＝0D．3．（3分）如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（）A．13海里B．16海里C．20海里D．26海里4．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝ODC．AC＝BD D．AB∥CD，AD＝BC5．（3分）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA ＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB 长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（）A．B．C．7D．296．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．16B．18C．20D．247．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（）A．40°B．55°C．75°D．80°8．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a≥1且a≠0 9．（3分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（）A．125.6（1﹣x）2＝130B．125.6（1+2x）＝130C．130（1﹣x）2＝125.6D．125.6（1+x）2＝13010．（3分）等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（）A．7B．8C．4D．7或8二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．12．（3分）方程（x﹣4）（x﹣5）＝0的解为．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，BC＝6，点E是AD的中点，连接OE，则OE＝．14．（3分）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2021的值为．15．（3分）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为．16．（3分）如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD 的长是．17．（3分）如图是一张直角三角形纸片，直角边AC＝6，斜边AB＝10，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD＝．18．（3分）如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC 于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；③CF﹣BF＝EF；④GF＝OF；⑤FH2+HG2＝2OH2，正确的有．（填序号）三、解答题（每题4分，共24分）19．（8分）计算题：（1）；（2）．20．（16分）解方程：（1）4x2＝16．（2）x2﹣3x＝0．（3）x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．（4）x2+x＝1（用公式法）．四、解答题（第21、22题每题5分，第23、24题每题6分，共22分）21．（5分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．（）（填推理的依据）∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形．（）（填推理的依据）22．（5分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．23．（6分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．24．（6分）定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD ＝；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．25．（10分）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，即t2＝81，∴t＝±9．∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．26．（10分）已知正方形ABCD，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形ABCD的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形ABCD的内等边三角形．（1）若正方形ABCD的边长为10，点E在边AD上．①当点E为边AD的中点时，求作：正方形ABCD的内等边△AEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②若△AEF是正方形ABCD的内等边三角形，连接BF，DF，则线段BF长的最小值是，线段DF长的取值范围是；（2）△ADP和△AMN都是正方形ABCD的内等边三角形，当边AM的长最大时，画出△ADP和△AMN，点A，M，N按逆时针方向排序，连接NP，找出图中与线段NP相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．2020-2021学年北京部分学校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1，b＝1，c＝B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝1，b＝，c＝2D．a＝3，b＝4，c＝【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：A．∵12+12＝（）2，∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵12+（）2＝22，∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵32+（）2＝42，∴以3，4，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．2．（3分）下列方程中，一元二次方程是（）A．x2﹣2x+1＝0B．x﹣2y＝0C．ax2+bx+c＝0D．【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：A．属于一元二次方程，符合题意；B．属于二元二次方程，不符合题意；C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；D．属于分式方程，不符合题意．故选：A．3．（3分）如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（）A．13海里B．16海里C．20海里D．26海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了24，18．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了12×2＝24（海里），5×2＝10（海里），根据勾股定理得：＝26（海里）．答：离开港口2小时后两船相距26海里，故选：D．4．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝ODC．AC＝BD D．AB∥CD，AD＝BC【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．【解答】A、当AB＝CD，AC⊥BD时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项A不符合题意；B、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项C不符合题意；D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项D不符合题意．故选：B．5．（3分）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA ＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB 长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（）A．B．C．7D．29【分析】利用勾股定理列式求出OB判断即可．【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，∴点C表示的无理数是．故选：B．6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．16B．18C．20D．24【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，∵在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．故选：C．7．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（）A．40°B．55°C．75°D．80°【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC ＝60°，又可得∠E＝∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，∴∠E＝∠DAE，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°．∴∠BAE＝90°﹣15°＝75°，故选：C．8．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a≥1且a≠0【分析】利用二次项系数非零和根的判别式△≥0，即可得出关于a的不等式组，解之即可得出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，∴，∴a≤1且a≠0，故选：C．9．（3分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（）A．125.6（1﹣x）2＝130B．125.6（1+2x）＝130C．130（1﹣x）2＝125.6D．125.6（1+x）2＝130【分析】设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2018年销量×（1+增长率）2＝2020年销量，根据等量关系列出方程．【解答】解：设年平均增长率为x，可列方程为：125.6（1+x）2＝130，故选：D．10．（3分）等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（）A．7B．8C．4D．7或8【分析】由于一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根，有两种情况：①当腰长为4时，直接把x＝4代入原方程即可求出m的值，然后求出方程的另一根，即可判断能否构成三角形；②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值，然后就可以求出方程的解，即可判断能否构成三角形．【解答】解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根，①当腰长为4时，把x＝4代入原方程得16﹣24+m+1＝0，∴m＝7，∴原方程变为：x2﹣6x+8＝0，设方程的另一个根为a，则4+a＝6，∴a＝2，∴能构成三角形；②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根是相等的，∴△＝（﹣6）2﹣4（m+1）＝0，∴m＝8，∴方程变为x2﹣6x+9＝0，∴方程的两根相等为x1＝x2＝3，∴能构成三角形．综上，m的值是7或8，故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠ABC＝90°或AD⊥AB，使平行四边形ABCD是矩形．【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空．【解答】解：添加条件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．故答案是：∠ABC＝90°．12．（3分）方程（x﹣4）（x﹣5）＝0的解为x1＝4，x2＝5．【分析】直接利用因式分解法解方程即可．【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣5）＝0，∴x﹣4＝0或x﹣5＝0，∴x1＝4，x2＝5；故答案为：x1＝4，x2＝5．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，BC＝6，点E是AD的中点，连接OE，则OE＝3．【分析】由菱形的性质可得BO＝DO，AB＝BC＝6，由三角形中位线定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AB＝BC＝6，∵点E是AD的中点，∴OE＝AB＝3，故答案为3．14．（3分）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2021的值为2022．【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2021的值．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．故答案为2022．15．（3分）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为．【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：BC＝2，根据三角形等面积法S＝AB•CD＝AC×2＝＝2，即可求出答案．△ABC【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由勾股定理可知：AB2＝2，∴S△ABC＝AB•CD＝AC×2＝＝2，∴CD＝2，∴CD＝故答案为．16．（3分）如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD 的长是5．【分析】利用矩形的性质得出BD＝AC，求得线段AC的长即可得出BD的长．【解答】解：连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴AC＝＝5，∴BD＝AC＝5，故答案为5．17．（3分）如图是一张直角三角形纸片，直角边AC＝6，斜边AB＝10，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD＝．【分析】利用翻折变换的性质得出AD＝BD，再利用在Rt△ACD中运用勾股定理就可以求出AD的长．【解答】解：设AD＝xcm，则BD＝AD＝xcm．∵将一张直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，CD＝BC﹣BD＝（8﹣x）cm，在Rt△ACD中，AD2＝CD2+AC2，则x2＝（8﹣x）2+62，64+x 2﹣16x+36＝x2，整理得：16x＝100，解得：x＝，即AD的长为．故答案为：．18．（3分）如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC 于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；③CF﹣BF＝EF；④GF＝OF；⑤FH2+HG2＝2OH2，正确的有①②④⑤．（填序号）【分析】由“AAS”可证△ABG≌△BCF，可AG＝BF，BG＝CF，故①正确，由线段和差关系可得CF﹣BF＝FG，故③错误；由“ASA”可证△AOG≌△CON，可得GO＝NO，AG＝CN，由等腰直角三角形的性质可得OF平分∠GFC，FG＝OF，故②，④正确；由等腰直角三角形的性质可得FM＝MG＝OM，由勾股定理可得FH2+HG2＝2OH2，故⑤正确，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°＝∠ABE+∠BAG，∴∠CBF＝∠BAG，又∵∠AGB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABG≌△BCF（AAS），∴AG＝BF，BG＝CF，故①正确；∴CF﹣BF＝BG﹣BF＝FG，故③错误；如图，连接GO，延长GO交CF于N，作OM⊥EB于M，∵点O是AC中点，∴AO＝CO，∵AG⊥BE，CF⊥BE，∴AG∥CF，∴∠GAO＝∠NCO，又∵∠AOG＝∠CON，∴△AOG≌△CON（ASA），∴GO＝NO，AG＝CN，∴BF＝CN，∴GF＝FN，又∵∠GFN＝90°，GO＝ON，∴∠GFO＝∠NFO＝45°，OF⊥GO，OF＝GO＝ON，∴OF平分∠GFC，FG＝OF，故②，④正确；∵OF⊥GO，OF＝GO，OM⊥FG，∴FM＝MG＝OM，∵FH2+HG2＝（FM+HM）2+（MG﹣HM）2＝2OM2+2MH2，OM2+MH2＝OH2，∴FH2+HG2＝2OH2，故⑤正确，故答案为：①②④⑤．三、解答题（每题4分，共24分）19．（8分）计算题：（1）；（2）．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式＝2﹣2+3﹣＝+；（2）原式＝﹣＝3﹣1＝2．20．（16分）解方程：（1）4x2＝16．（2）x2﹣3x＝0．（3）x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．（4）x2+x＝1（用公式法）．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用配方法解方程；（4）利用公式法解方程．【解答】解：（1）4x2＝16，两边除以4得：x2＝4，两边开平方得：x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2；（2）x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，∴x1＝0，x2＝3；（3）x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝5，∴（x﹣2）2＝5，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．（4）∵x2+x﹣1＝0，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x＝，∴x1＝，x2＝．四、解答题（第21、22题每题5分，第23、24题每题6分，共22分）21．（5分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE．在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形．（邻边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．【解答】（1）解：菱形ABEF即为所求．（2）证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，）（填推理的依据）∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形．（邻边相等的四边形是菱形）故答案为：AF＝BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的四边形是菱形．22．（5分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE∥BC，推出四边形BCED是平行四边形，得到CE＝BD．根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到．根据平行四边形的周长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形，∴CE＝BD．∵CE＝AC，∴AC＝BD．∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°，∴．∵四边形BCED是平行四边形，∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16．23．（6分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．【分析】（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据矩形的面积公式结合养鸡场面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x值，将其代入40﹣2x中可求出鸡场平行于墙的一边长；（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，根据矩形的面积公式结合养鸡场面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣100＜0即可得出假设不等式，即养鸡场面积不能达到250m2．【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据题意得：x（40﹣2x）＝200，解得：x1＝x2＝10，∴40﹣2x＝20．答：鸡场平行于墙的一边长为20m．（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，根据题意得：y（40﹣2y）＝250，整理得：y2﹣20y+125＝0．∵△＝（﹣20）2﹣4×1×125＝﹣100＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．24．（6分）定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝2；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．【分析】（1）利用勾股定理计算，再根据准矩形的特点求出即可；（2）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF，即可得证；（3）作DF⊥BC，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是准矩形，∴BD＝AC＝2．故答案为：2；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠EBF+∠EBC＝90°，∵BE⊥CF，∴∠EBC+∠BCF＝90°，∴∠EBF＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴四边形BCEF是准矩形；（3）作DF⊥BC，垂足为F，∵准矩形ABCD中，AC＝BD，AC＝DC，∴BD＝CD，∴BF＝CF＝BC＝，∴DF＝＝＝，∴S准矩形ABCD＝S△DCF+S梯形ABFD＝FC×DF+（AB+DF）×BF，＝××+（2+）×，＝+．25．（10分）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，即t2＝81，∴t＝±9．∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．【分析】（1）利用换元法将设2x2+2y2＝m，求出m的值即可求解；（2）根据题意设最小数为x，列出关系式，进而利用换元法即可求解．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝m，则（m+3）（m﹣3）＝27，∴m2﹣9＝27，即m2＝36，∴m＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设最小数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝120，即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝120，设x2+3x＝y，则y2+2y﹣120＝0，∴y1＝﹣12，y2＝10，∵x为正整数，∴y＝x2+3x＝10，∴x1＝2，x2＝﹣5＜0（舍去），∴这四个整数为2，3，4，5．26．（10分）已知正方形ABCD，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形ABCD的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形ABCD的内等边三角形．（1）若正方形ABCD的边长为10，点E在边AD上．①当点E为边AD的中点时，求作：正方形ABCD的内等边△AEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②若△AEF是正方形ABCD的内等边三角形，连接BF，DF，则线段BF长的最小值是5，线段DF长的取值范围是5≤DF≤10；（2）△ADP和△AMN都是正方形ABCD的内等边三角形，当边AM的长最大时，画出△ADP和△AMN，点A，M，N按逆时针方向排序，连接NP，找出图中与线段NP相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．【分析】（1）①以点A，点E为圆心，AE长为半径画弧，两弧交于点F，连接EF，AF，即△AEF是等边三角形；②由题意可得点F在与AD成60°的直线AF上移动，则当BF⊥AF时，BF有最小值，当DF⊥AF时，DF有最小值，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，即可求解；（2）如图3所示，结论：PN＝BN＝DM．利用全等三角形的判定解决问题即可．【解答】解：（1）①如图1所示，△AEF是等边三角形；②如图2，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，∴当BF⊥AF时，BF有最小值，此时，∵∠F AB＝∠DAB﹣∠EAF＝30°，∴BF＝AB＝5，∴BF的最小值为5，当DF⊥AF时，DF有最小值，此时，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝5，DF＝AF＝5，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，∴线段DF长的取值范围为5≤DF≤10，故答案为：5，5≤DF≤10；（2）图形如图3所示，结论：PN＝BN＝DM．理由：∵边AM的长最大，∴点M在BC上，点N在CD上，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，在Rt△ADM和Rt△ABN中，，∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL），∴DN＝BM，∠DAN＝∠BAM＝15°，∵△P AD是等边三角形，∴P A＝AD＝AB，∠P AD＝60°，∴∠BAP＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAN＝∠P AN＝15°，在△ABN和△APN中，，∴△ABN≌△APN（SAS），∴BN＝PN，∴PN＝BN＝DM．。
人教数学八年级下册北京四中第二学期期中考试初二年级学科试题及答案.docx
ACB （第4题图）初中数学试卷桑水出品数学试卷（时间：100分钟满分：120分） 姓名：班级：成绩: ____________一、选择题（每小题3分，共30分）1．□ABCD 中，∠A ：∠B ＝1：2，则∠A 的度数为（）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．某服装店试销一款女式防晒服，试销期间对不同颜色的防晒服的销售情况做了统计. 如果服装店经理最关心的是哪种颜色的防晒服最畅销，那么对经理最有意义的统计量是（）． A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差3．关于x 的一元二次方程222310x x a ---=的一个根为2，则a 的值是（）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．1±4．如图，一棵大树在离地面9米高的B 处断裂，树顶A 落在离树底部C 点12米处，则大树断裂之前的高度为（）．A ．9米B ．15米C ．21米D ．24米 5．某城2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（）． A ．300(1+x )=363 B ．300(1+x )²=363 C ．300(1+2x )=363 D ．363(1-x )²=3006．如图，□ABCD 中，AB=10，BC=6，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，若EF=7，则四边形EACF 的周长是（）．A ．20B ．22C ．29D ．317．不能．．判定为平行四边形的是（）． A ．一组对边平行，一组对角相等的四边形B ．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形C ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形D ．两条对角线互相平分的四边形8．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）．A ．2.5B ．5C ．322D ．29．如果关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（）．A BD CEF（第6题图）（第8题图）A ．14a >-B ．14a ≥-C ．14a ≥-且a ≠0D ．14a >-且a ≠010．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且13AE AB =，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论： ①EF =2BE ；②PF =2PE ；③FQ =4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④二、填空题（每小题2分，共20分）11．已知a 是方程22430x x +-=的一个根，则代数式22a a +=_______．12．矩形的两条对角线所夹的锐角为60º，较短的边长为12，则对角线长为______．13．如果把代数式223x x -+化成2()x h k -+的形式，其中h ，k 为常数，那么h+k 的值是． 14．如图，把两块相同的含30角的三角尺如图放置，若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为__________cm ．15．样本数据3，6，a ，4，2的平均数是5，则a =_____；这个样本的方差是______． 16．等腰ABC ∆两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形的周长是____________．17．如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是__________．18．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为♢※△=♢²-2△，根据这个规则，方程（x -3）※x 21=0的解为__________． （第14题图）（第17题图）（第19题图）19．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE =30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ =AE ，则AP 等于 cm ．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一边长为1的正方形OABC ，点B 在x 轴的正半轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB 1为边作第三个正方形OB 1 B 2C 2，…，照此规律作下去，则B 2的坐标是；(第10题图) C 3C 2C 1B 4B 3B 2B 1A BCO yxCA DB EB 2015的坐标是． 三、解答题 21．（每小题3分）解下列关于x 的方程 （1）3x (x －2)＝2x －4；（2）x 2－3x －28＝0；（3）3x 2－4x ＝2；（4）x 2＋mx ＋2＝mx 2＋3x ．(m ≠1) 22．（本题5分）如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，求四边形ACBD 的面积．23．（本题5分）如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 平分∠BAD ，CE//AD 交AB 于E. (1)求证：四边形AECD 是菱形；D C AB(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由.24．（本题5分）已知关于x 的方程.022)13(2=+++-m x m mx(1) 求证：无论m 取任何实数，方程恒有实数根；(2) 若该方程有两个整数根，且m 为整数，求m 的值． 25．（本题5分）列方程或方程组解应用题如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD ，为了节约材料，花园的一边AD 靠着原有的一面墙，墙长为8米（AD ＜8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB 的长． 26．（本题5分）四中在开展“好算手”系列活动中，为了解本校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下：20人数17 18D ECBA（1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估算该1200名学生共参加了多少次活动．27．（本题6分）已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF ．(1) 若AB =3，AD =4，求 DE 的长； (2) 求证：∠ADB=2∠DAF ．28．（本题7分）如图1，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，EF 是中位线，AD 与EF 相交于点O ．若将△AEO 与△AFO 分别绕E 、F 两点旋转180°，可与梯形EBCF 构成矩形PBCQ ，我们把这样形成的矩形称为△ABC 的一个等积矩形．（1）若△ABC 的边BC ＝5，高AD ＝6，则等积矩形PBCQ 的长为________，宽为________； （2）如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，试求△ABC 的所有等积矩形的长和宽；（3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，那么能形成这样的等积矩形的三角形有多少个？试探究其中周长最小的三角形的三边长．F EA DB C四、附加题1．(本题6分）如图在矩形ABCD 中，AB =3，AD =1，点P 在线段AB 上运动设AP =x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E ，F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原.（1）当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为； （2）当四边形EPFD 为菱形时，x 的取值范围为； （3）当x =2时，菱形EPFD 的边长为_____________．FCDDD A BC A B C DP Q E F O A C B B C A D 图1 图2 图32.（本题7分）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根，设s 1＝α＋β，s 2＝α2＋β2，…，s n ＝αn ＋βn ．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2－β－1＝0，将两式相加，得(α2＋β2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s 2－s 1－2＝0．根据以上信息，解答下列问题： （1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s 1，s 2的值；（2）猜想：当n ≥3时，s n ，s n -1，s n -2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性； （3）根据（2）中的猜想，求(1＋52)5＋(1－52)5的值．3.（本题7分）如图1，P 为正方形ABCD 的边CD 上一点，E 在CB 的延长线上，BE ＝DP ，∠CEP 的平分线交正方形的对角线AC 于点F ． （1）求证：AE ＝AF ；（2）如图2，AM ⊥PE 于M ，FN ⊥PE 于N ，求证：AM ＋FN ＝AD ；（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD 的边长为a ，N 为PM 的中点，求线段FN 的长（用含a 的代数式表示）．A B D C E F P 图1 图2 A BD CEF P M N一、选择题1.C.2.B.3.D4.D5.B6.C7.C8.B9.C 10.D 二、填空题11.3212.24 13.3 14.12 15. 10,8 16.7或8 17.3 18.7132±19.2或1 20.(0,22) ,10071007(22,22)- 三、解答题 21.(1)1222,3x x ==； (2)127,4x x ==-(3)12210210,33x x +-==；(4)1221,1x x m ==- 22.36 23.直角三角形 24.(1)略 (2)1m =±. 25.x=10.26.(1)平均数=3.3 众数4, 中位数3. (2)3960 27.(1)10 (2)略 28.（1）5 3（2）△ABC 可形成如下三个等积矩形：图①中的矩形的长为2，宽为2 图②中的矩形的长为4，宽为1 图③中的矩形的长为42＋22＝25，宽为 4×2 2×25＝255（3）能形成这样的等积矩形的三角形有无数个其中，当以BC 为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是4则这样的三角形的另一顶点P 在图④中的四个矩形拼成的图形中的EF 上 当P 为EF 的中点时，△PBC 的周长最小A CB A CB ACB图①图②图③PB ＋PC ＋BC ＝3＋32＋82＝3＋73当以AB 为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是6, 这样的三角形的另一顶点P 在图⑤中的EF 上 同理当P 为EF 的中点时，△P AB 的周长最小 PB ＋P A ＋AB ＝2＋22＋122＝2＋237∵3＋73＜12，2＋237＞14∴能形成这样的等积矩形的三角形的周长最小值为3＋73 三角形的三边长分别为3，732，732附加题:51.(1)2;(2)13;(3)4x ≤≤ 2. 解：（1）移项，得x2－x ＝1配方，得x2－2×x ×1 2＋(1 2)2＝1＋(1 2)2即(x － 12)2＝ 54开平方，得x － 12＝± 52，即x ＝1±52∵α＞β，∴α＝1＋52，β＝1－52·················································· 3分 于是s 1＝α＋β＝1，s 2＝s 1＋2＝3 ····················································· 5分 （2）猜想：s n ＝s n -1＋s n -2······································································ 6分 BCAD图⑤FE BACDE F PP图④证明：根据根的定义，有α2－α－1＝0两边都乘以αn-2，得αn－αn-1－αn-2＝0 ①同理，βn－βn-1－βn-2＝0 ②①＋②，得(αn＋βn)－(αn-1＋βn-1)－(αn-2＋βn-2)＝0∵s n＝αn＋βn，s n-1＝αn-1＋βn-1，s n-2＝αn-2＋βn-2∴s n－s n-1－s n-2＝0，即s n＝s n-1＋s n-2 ················································10分（3）由（1）知，s1＝1，s2＝3由（2）中的关系式可得：s3＝s2＋s1＝4，s4＝s3＋s2＝7，s5＝s4＋s3＝11，3.（1）连接AP∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°又BE＝DP，∴△ABE≌△ADP∴AE＝AP，∠BAE＝∠DAP∵∠BAP＋∠DAP＝90°∴∠BAP＋∠BAE＝90°，即∠EAP＝90°∴∠AEP＝∠APE＝45°∵正方形ABCD，∴∠ACB＝45°∴∠AEP＝∠ACB∵∠AEF＝∠AEP＋∠PEF，∠AFE＝∠ACB＋∠CEF又∠PEF＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE∴AE＝AF（2）过F作FH⊥AM于H则四边形MHFN是矩形，∴FN＝MH由（2）知，AE＝AP，AE＝AF∴AF＝AP易知△AEP是等腰直角三角形又AM⊥PE，∴AM＝PM，∠MAP＝45°∴∠HAF＝∠DAP＝45°－∠PAF又∠AHF＝∠D＝90°，∴△AHF≌△ADP∴AD＝AH＝AM＋MH＝AM＋FN即AM＋FN＝AD（3）设FN＝x，则PM＝AM＝a－x，AP＝2(a－x)∵△AHF≌△ADP，∴DP＝FH＝MN＝12PM＝12(a－x)在Rt△ADP中，a2＋[12(a－x)]2＝[2(a－x)]2ABDCEFPABDCEFPMNH整理得：7x2－14ax＋3a2＝0解得：x1＝a＋277a（舍去），x1＝a－277a即FN＝a－277a。
北京市第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
北京市第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．2x <C ．2x >D ．2x ≥2．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 3．下列各组数中，是直角三角形三边长的一组数为（ ） A ．1，2，3B ．4，5，6C ．15，9，17D ．1.5，2.5，24．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O 点，给出四组条件：①AB DC =，AD BC ∥； ②AB CD =，AB CD ∥； ③AB CD ∥，AD BC ∥； ④OA OC =，OB OD =．能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．45．一次函数24y kx k =-+的图象可能经过的点是（ ） A ．()0,4B ．()3,4C ．()0,3D ．()2,36．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC ＝4，BC ＝2时，则阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．4πC ．8πD ．87．若函数y kx b =-的图象如图所示，则关于x 的不等式()30k x b -+>的解集为（ ）A ．1x <B ．2x <C ．3x <D ．5x <8．已知112233()()()x y x y x y ，，，，，为直线23y x =-+上的三个点，且123x x x <<，则以下判断正确的是（ ）． A ．若120x x >，则130y y > B ．若130x x <，则120y y > C ．若230x x >，则130y y >D ．若230x x <，则120y y >二、填空题9．已知()113,P y -，()222,P y 是一次函数31y x =+图象上的两个点，则1y 2y （填“>”、“<”或“=”）．10．在平行四边形ABCD 中，30A ∠=︒，7AB =，21ABCD S 平行四边形=，则AD = ． 11．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A ，B ，C ，D 都是格点，AB 与CD 相交于点P ，则BPD ∠= ︒．12．小明做了一个矩形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准．小宁用刻度尺度量了这个四边形的四条边长和对角线长，然后告诉小明，纸板是标准的矩形．小宁得出这个结论的依据是（1） ；（2） ．13．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么三角形的面积为S ，S =，那么它的面积为 ．14．如图，在四边形ABCD 中，6AB =，10BC =，130A ∠=︒，100D ∠=︒，AD CD =．若点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，则EF 的长是 ．15．如图，矩形矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AB BE =且2CBD CAE ∠=∠，连结OE ，则AOEBOE S S V V 的值是 ．16．如图，正方形ABCD 边长为1，点M ，N 分别是边AD ，CD 上的动点且AM CN =，作NP BM ⊥于点P ，则AP 的最小值是 ．三、解答题 17．计算：2-+-；(2)． 18．直线15y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，与直线224y x =-交于点C ． (1)求交点C 的坐标；(2)直接写出当x 取何值时12y y <；(3)在y 轴上取点P 使得2OP OB =，直接写出ABP V 的面积．19．一次函数y kx b =+的图象由函数y x =-的图象平移得到，且经过点()1,1． (1)求这个一次函数的表达式；(2)当1x <时，对于x 的每一个值，函数()10y mx m =-≠的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．20．春季同学们到北海公园赏花游白塔（如图1），这座白塔位于北京市西城区文津街1号北海公园永安寺内，建在善因殿后的山顶．它始建于清顺治八年（1651年），由塔基、塔身和塔顶三部分组成．初二年级课外实践小组为测量永安寺白塔的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图2，84m AE =，30BDG ∠=︒，45BFG ∠=︒．已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则永安寺白塔BC 1.7 1.4，结果保留整数）21．如图1，在ABC V 中，D ，E 分别是边,AB AC 上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I ．若D 是AB 的中点，12DE BC =，则E 是AC 的中点； II ．若DE BC ∥，12DE BC =，则D ，E 分别是,AB AC 的中点； III ．若D 是AB 的中点，DE BC ∥，则E 是AC 的中点．(1)小明通过对命题I 的思考，发现命题I 是假命题．他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I 条件的点E ，从而直观判断E 不一定是AC 的中点．小明尺规作图的方法步骤如下：①在图2中，作边BC 的垂直平分线，交BC 于点M ；②在图2中，以点D 为圆心，以BM 的长为半径画弧与边AC 交与点E 和E '； 请你在图2中完成以上作图．(2)小明通过对命题II 和命题III 的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．22．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB DC =，对角线AC ，BD 交于点O ，且AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)连接OE ，交CB 于点F ，若20ACB ∠=︒，则∠=CFE __________︒． 23．已知：直线334y x =+，分别交x 轴，y 轴于点A 与点B ．(1)直接写出点A 与点B 的坐标；(2)如图1，在线段OB 上有一点C ，将ABC V 沿直线AC 折叠后，点B 恰好落在x 轴上的点D 处，求点C 的坐标；(3)将直线AB 绕点B 逆时针旋转45°交x 轴于点P ，求点P 的坐标．24．倡导垃圾分类，共享绿色生活：为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A 型和B 型两款垃圾分拣机器人，已知1台A 型机器人每小时分拣垃圾0.4吨，1台B 型机器人每小时分拣垃圾0.2吨．(1)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A 型和B 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A 型机器人a 台（1045a ≤≤），B 型机器人b 台，请用含a 的代数式表示b ；(2)机器人公司的报价如下表：在（1）的条件下，设购买总费用为w 万元，问如何购买使得总费用w 最少？请说明理由． 25．在菱形ABCD 中，()2045ABC αα∠=<<︒，对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是线段BO 上动点（不与B ，O 重合），将线段EO 绕点E 顺时针旋转2α得到线段EF ．(1)如图1，当点F 在线段BC 上时，求证：点E 是线段BO 的中点；(2)如图2，作点B 关于点E 的对称点G ，连结CG FG ，，猜想CFG ∠的度数，并证明． 26．定义：关于x ，y 的方程1m ax by c n dx ey f +++++=称为“双绝对值方程”；所有满足“双绝对值方程”的坐标点(),x y 组成的图形称为“双绝对值图形”． 例如：如图1是“双绝对值方程”1x y +=所对应的“双绝对值图形”，求：(1)画出“双绝对值方程”21x y +=所对应的“双绝对值图形”；(2)点()1,0A -，()1,1B ，()1,0C ，()1,1D --组成平行四边形，写出对角线BD 所在直线的函数解析式，并写出“双绝对值图形”ABCD Y 所对应的“双绝对值方程”；(3)对于线段MN ，其中()2,0M -，()0,1N -，1m y x y -+=对应的“双绝对值图形”与线段MN 有两个公共点，求出m 的取值范围；(4)类似的对于方程1x y x y +++=我们可以定义“三绝对值方程”，请画出其对应的“三绝对值图形”．四、单选题27．若12,,,n p p p ⋅⋅⋅是平面上的n 个点，12,,,m l l l ⋅⋅⋅是以这些点为端点的m 条线段，且这些线段的长度均为1，则称此图形为“(),n m 火柴棍图”．以下4个图依次是()12,21火柴棍图，()16,29火柴棍图，()19,35火柴棍图，()25,47火柴棍图，其中阴影四边形一定是正方形的为（ ）A ．B ．C ．D ．五、填空题28．在平面直角坐标系xOy 中，x ，y 表示自变量和对应的函数．一次函数1y ax b =+，2y cx d =+，3y ex f =+，若()()()123113210220x y y y x x x x ⎧-≤-⎪-+=+-<<⎨⎪-+≥⎩请给出一组满足的条件的函数：1y = ，2y = ，3y = ．29．横，纵坐标均为整数的点称为整点，例如：()2,3为一个整点．已知点A 为()1,1，点B为()5,1，点C 为()5,5，点D 为()1,5．（1）正方形ABCD 边及其内部，有 个整点；（2）若坐标系内取k 个整点，满足如下条件：对于正方形ABCD 边及其内部的任意整点，总可以在这k 个整点中找到一个点，和它所连的线段上没有整点（除端点外），我们把满足条件的k 的最小值称为此正方形的“分隔数”．问：正方形ABCD 的分隔数是 ．。
北京市第四中学2020-2021学年下学期八年级数学期中 试卷(PDF版含答案)
解得：
①
．
综上，原方程的根是
②
．
请参照例题解方程 x2 − | x − 3 | −3 = 0 ，则此方程的根是
③
．
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北京四中 2020-2021 学年度第二学期 期中测验 初二年级（数学学科） 第5页 共 8 页
24. （5 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 1， ABC = 60 ，点 E 是边 AB 上任意
则对角线 AC 等于（ ）．
A．5
B．10
C．15
D．20
5. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）．
A．2,3,4
B．4,5,6
C．8,15,17
D．11,12,13
6. 在下列条件中，不．能．判定四边形为平行四边形的是（ ）．
A．一组对边平行且相等
B．两组对边分别平行
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相平分
②连接 DA、DC； 所以四边形 ABCD 为所求矩形．
A
D
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是
B
C
．
16. 如图，已知边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，
C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 D，连接 BD．若
BD 的长为 2 3 ，则 m 的值为
．
17. 你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢!以方
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北京四中 2020-2021 学年度第二学期 期中测验 初二年级（数学学科） 第4页 共 8 页
20. （6 分）解下列一元二次方程
（1） x2 − 2x = 0 ；
（2）（用配方法解方程） x2 − 8x +1 = 0 ．
北京市2020〖人教版〗八年级数学下册复习试卷期中数学试卷参考答案与试题解析6
北京市2020年〖人教版〗八年级数学下册复习试卷期中数学试卷参考答案与试题解析创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、精心选择，一锤定音！（本题12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项是正确的）（请将正确的填在后面的答题栏内）1．（3分）（•娄底模拟）若分式的值为0，则x的值为（）A．4B．﹣4 C．±4D．3考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值为0，分母不为0，分子为0，从而求得x的值．解答：解：∵的值为0，∴|x|﹣4=0且x+4≠0，∴|x|=±4且x≠﹣4，∴x=4，故选A．点评：本题考查了分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，要熟练掌握．2．（3分）（•聊城）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选：D．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列选项中，从左边到右边的变形正确的是（）A．B．C．D．考点：分式的基本性质．分析：根据分式的基本性质进行解答．解答：解：A、当c=0时，等式不成立．故本选项错误；B、原式的变形不符合分式的基本性质．故本选项错误；C 、同时改变分式整体和分子的符号，得=﹣=﹣1．故本选项正确；D 、同时改变分式整体和分子的符号，得．故本选项错误；故选C．点评：本题考查了分式的基本性质．在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变．4．（3分）（•长沙）已知长方形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为图中的（）A．B．C．D．考点：反比例函数的应用．专题：应用题；压轴题．分析：由长方形的面积公式得y=，且x＞0，y＞0，而B中有x＜0，y＜0的情况，C，D中有x=0或y=0的情况，据此即可得出结果．解答：解：∵xy=10∴y=，（x＞0，y＞0）故选A．点评：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．5．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，C．6，8，11 D．5，12，23 考点：勾股定理的逆定理．专题：计算题．分析：根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．解答：解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形；B、∵12+12=，∴能构成直角三角形；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形．故选B．点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．6．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=D．y=考点：反比例函数的定义．专题：常规题型．分析：此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y=（k≠0）的形式为反比例函数．解答：解：A、是正比例函数，故错误；B、是反比例函数，故正确；C、不符合反比例函数的定义，故错误；D、不符合反比例函数的定义，故错误．故选B．点评：本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式（k≠0）是解决此类问题的关键．7．（3分）已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的范围（）A．B．C．D．考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数图象的性质可得到2k﹣1＞0，然后解不等式即可得到k的范围．解答：解：∵反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，∴2k﹣1＞0，解得，．故选A．点评：本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．8．（3分）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．B．C．D．3考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：如图，作CD⊥AB，则CD是等边△ABC底边AB上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD的长，代入面积计算公式，解答出即可；解答：解：作CD⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，∴AD=1，∴在直角△ADC中，CD===，∴S△ABC =×2×=；故选C．点本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数评：形结合思想．9．（3分）（•西宁）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（）A．﹣1 B．C．1D．2考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题．分析：根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．解答：解：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，故选B．点评：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．10．（3分）若关于x 的方程有增根，则k的值是（）A．0B．3C．4D．1考点：分式方程的增根．分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x ﹣3）=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣3），得k+2（x﹣3）=4﹣x，∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣3=0，解得x=3，当x=3时，k=1，符合题意，故选D．点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．（3分）三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（）A．6B．2.4 C．8D．4.8 考点：勾股定理的逆定理．分析：根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．解答：解：∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82=102，∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，设三角形最长边上的高是h，根据三角形的面积公式得：×6×8=×10h，解得h=4.8．故选D．点评：考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答．12．（3分）如图，直线MN和EF相交于点O，∠EON=45°，AO=2，∠AOE=15°，设点A关于EF的对称点是B，点B关于MN的对称点是C，则AC的距离为（）A．2B．C．D．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质得出∠AOB=∠BON=∠NOC=30°，进而利用勾股定理得出即可．解答：解：∵∠EON=45°，AO=2，∠AOE=15°，点A关于EF的对称点是B，点B关于MN的对称点是C，∴∠A0E=∠EOB，∠BON=∠NOC，AO=BO=CO=2，∴∠AOB=∠BON=∠NOC=30°，∴∠AOC=90°，则AC 的距离为：=2．故选：D．点评：此题主要考查了轴对称图形的性质，根据已知得出∠A0E=∠EOB，∠BON=∠NOC，AO=BO=CO=2是解题关键．二、耐心填空，准确无误（每题3分，共计18分）13．（3分）命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．考点：命题与定理．专题：常规题型．分析：先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．解答：解：因为原命题的题设是“在直角三角形中，一个锐角等于30度”，结论是“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，所以“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是“直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°”．故答案为：直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．点评：本题考查逆命题的定义，属于基础题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．14．（3分）已知，分式的值为 3 ．考点：分式的值．分析：把所求分式的分子、分母同时除以a，然后把已知条件代入求值即可．解答：解：===3．即分式的值为3．故答案是：3．点评：本题考查了分式的值．解答该题时，也可以通过已知条件求得a=2b，然后把a的值代入所求的代数式，通过约分可以求得分式的值．15．（3分）若函数是y关于x的反比例函数，则k= 2 ．考点：反比例函数的定义．分析：根据反比例函数的定义得到k2﹣5=﹣1，且k+2≠0据此可以求得k的值．解答：解：∵函数是y关于x的反比例函数，∴k2﹣5=﹣1，且k+2≠0，解得k=2．故答案是：2．点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．16．（3分）在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为14或4 ．考点：勾股定理的应用．专题：分类讨论．分析：根据勾股定理可分别求得BD与CD的长，从而不难求得BC的长．解答：解：∵AD为边BC上的高，AB=13，AD=12，AC=15，∴BD==5，CD==9，当AD在△ABC外部时，BC=CD﹣BD=4．当AD在△ABC内部时，B′C=CD+BD=14．故答案为：14或4．点评：此题主要考查学生对勾股定理的运用能力，易错点为学生容易忽略掉另外一种情况．17．（3分）（•台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为=．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：要求的未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下”；等量关系为：小林跳90下的时间=小群跳120下的时间．解答：解：小林跳90下的时间为：，小群跳120下的时间为：．所列方程为：．点评：题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．18．（3分）（•江西）函数y l=x（x≥0），（x＞0）的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为（3，3）；②当x＞3时，y2＞y1；③当x=1时，BC=8；④当x逐渐增大时，y l随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是①③④．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题；函数思想．分析：逐项分析求解后利用排除法求解．①可列方程组求出交点A的坐标加以论证．②由图象分析论证．③根据已知先确定B、C点的坐标再求出BC．④由已知和函数图象分析．解答：解：①根据题意列解方程组，解得，；∴这两个函数在第一象限内的交点A的坐标为（3，3），正确；②当x＞3时，y1在y2的上方，故y1＞y2，错误；③当x=1时，y1=1，y2==9，即点C的坐标为（1，1），点B的坐标为（1，9），所以BC=9﹣1=8，正确；④由于y1=x（x≥0）的图象自左向右呈上升趋势，故y1随x的增大而增大，y2=（x＞0）的图象自左向右呈下降趋势，故y2随x的增大而减小，正确．因此①③④正确，②错误．故答案为：①③④．点评：本题考查了一次函数和反比例函数图象的性质．解决此类问题的关键是由已知和函数图象求出正确答案加以论证．三、用心做一做，显显你的能力．（本大题共7小题，满分66分）19．（10分）（1）计算：（2）解方程：．考点：解分式方程；分式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）原式=•=x；（2）去分母得：1﹣x=﹣1﹣2（x﹣2），去括号得：1﹣x=﹣1﹣2x+4，解得：x=2，经检验x=2是增根，原分式方程无解．点评：此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．（6分）（1）已知在△ABC中，AB=，AC=，BC=5，则△ABC的形状为直角三角形．（直接写出结果）（2）试在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上．（每个小方格的边长为1）考点：勾股定理的逆定理；勾股定理．专题：作图题．分析：（1）由勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；（2）AB为直角边长为1，2的直角三角形的斜边，BC为直角边长为3，4的直角三角形的斜边；AC为直角边长为4，2的直角三角形的斜边，依次画出相应图形即可．解答：解：（1）在△ABC中，∵AB=，AC=，BC=5，∴AB2+AC2=5+20=25=BC2，∴△ABC为直角三角形．（2）如图所示：故答案为：直角三角形．点评：本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理及直角三角形在网格中的画法，注意题目已知条件是4×4的方格，不要将BC画成了格点中的正方形的一边．21．（10分）问题探索（1）计算与观察：把的分子分母同时加上1，得到，把的分子分母同时加上2，得到．比较的大小关系：＜，＜（填“＞”、“＜”）（2）归纳猜想：若正分数（a＞b＞0）中的分子和分母同时加上正数m，得到，结论又如何呢？＜（填“＞”、“＜”）（3）请证明你的猜想：考点：分式的加减法．专题：探究型．分析：一个真分数的分子和分母同时加上一个大于0的数，相当于分子、分母扩大了不同的倍数．由于原分数是真分数，分子小于分母，同时加上m，分子要比分母扩大的倍数大，所以得到的分数要比原分数大；如果这个分数是一个大于1的假分数，情况正好相反．此题也可以举例验证．解答：解：（1）∵=，=，∴＜，即＜．同理求得＜．（2）＜．（3）证明：一个真分数的分子和分母同时加上m以后，相当于分子、分母扩大了不同的倍数，即分子要比分母扩大的倍数大，所以得到的分数值一定比原分数大．如：原分数是，=，＞．故答案是：＜，＜；＜．点评：本题主要是考查分数的大小比较，本题分子、分母扩大了不同的倍数，所得到的分数与原分数不相等．22．（8分）已知：y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x=1时，y=3；x=﹣1时，y=1．求x=﹣时，y的值．考点：待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求正比例函数解析式．分析：依题意可设出y1、y2与x的函数关系式，进而可得到y、x的函数关系式；已知此函数图象经过（1，3）、（﹣1，1），即可用待定系数法求得y、x的函数解析式，进而可求出x=﹣时，y的值．解答：解：依题意，设y1=mx 2，y2=，（m、n≠0）∴y=mx2+，依题意有，∴，解得，∴y=2x2+，当x=﹣时，y=2×﹣2=﹣1．故y的值为﹣1．点评：考查了待定系数法求二次函数解析式，能够正确的表示出y、x的函数关系式，进而用待定系数法求得其解析式是解答此题的关键．23．（10分）如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD于E．（1）求证：BE=DE；（2）若AD=8，AB=4，求△BED的面积．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）先根据折叠的性质得出∠1=∠2，再由矩形的对边平行，内错角相等，所以∠1=∠3，然后根据角之间的等量代换可知DE=BE；（2）设DE=x，则AE=8﹣x，BE=x，在△ABE中，运用勾股定理得到BE2=AB2+AE2，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再根据三角形的面积公式，即可求得△BED的面积．解答：（1）证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴BE=DE；（2）解：设DE=x，则AE=AD﹣DE=8﹣x，在△ABE中，∵∠A=90°，BE=DE=x，∴BE2=AB2+AE2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴△BED的面积=DE×AB=×5×4=10．点评：此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后对应边、对应角相等．24．（10分）某公司从开始投入技术改造资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表：年度投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5产品成本y（万元/件）7.2 6 4.5 4（1）试判断：从上表中的数据看出，y与x符合你学过的哪个函数模型？请说明理由，并写出它的解析式．（2）按照上述函数模型，若已投入技改资金5万元①预计生产成本每件比降低多少元？②如果打算在把每件产品的成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？考点：反比例函数的应用．分析：（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；（2）直接把x=5万元和y=3.2分别代入函数解析式即可求解．解答：解：（1）由表中数据知，x、y关系：xy=2.5×7.5=3×6=4×4.5=4.5×4=18∴xy=18∴x、y不是一次函数关系∴表中数据是反比例函数关系y=；（2）①当x=5万元时，y=3.6．4﹣3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比降低0.4万元．②当y=3.2万元时，3.2=．∴x=5.625（1分）∴5.625﹣5=0.625≈0.63（万元）∴还约需投入0.63万元．点评：主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．25．（12分）如图，一次函数y=2x﹣2的图象与x轴、y轴分别相交于B、A两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M（3，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）先把M（3，m）代入y=2x﹣2求出m，确定M点的坐标，然后利用待定系数法确定反比例函数解析式；（2）先确定A点坐标为（0，﹣2），B点坐标为（1，0），再根据勾股定理计算出AB=；根据M点坐标得到MC=4，BC=2，则利用勾股定理可计算出BM=2，然后证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出BP，于是可确定P点坐标．解答：解：（1）把M（3，m）代入y=2x﹣2得m=2×3﹣2=4，∴M点坐标为（3，4），把M（3，4）代入y=得k=3×4=12，∴反比例函数的解析式为y=；（2）存在．作MC⊥x轴于C，如图，把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2；把y=0代入y=2x﹣2得2x﹣2=0，解得x=1，∴A点坐标为（0，﹣2），B点坐标为（1，0），∴OA=2，OB=1，在Rt△OAB中，AB==，∵M点坐标为（3，4），∴MC=4，BC=3﹣1=2，在Rt△MBC中，MB==2，∵MA⊥MB，∴∠BMP=90°，而∠OBA=∠MBP，∴Rt△OBA∽Rt△MBP，∴=，即=，∴BP=10，∴OP=11，∴点P的坐标为（11，0）．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。
北京2020年八年级下学期期中考试数学试卷
北京八年级下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分1．已知正比例函数y=（k﹣2）x的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k≥2 C．k≤2 D．k＜22．若关于x的方程3x2+mx+2m﹣6=0的一个根是0，则m的值为（）A．6 B． 3 C． 2 D． 13．下列方程中，一元二次方程的个数为（）（1）2x2﹣3=0；（2）x2+y2=5；（3）=5；（4）x2+=2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A．100° B．160° C．80° D．60°5．下面哪个点不在函数y=﹣2x+3的图象上（）A．（1，2）B．（0，3）C．（﹣1，5）D．（2，﹣1）6．用配方法解方程x2﹣4x+1=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2=4 B．（x﹣4）2=4 C．（x﹣2）2=3 D．（x﹣4）2=37．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：28．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25 B．20 C．15 D．109．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜B．x＜3 C．x＞D．x＞310．如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图象应为（）A．B．C．D．二．填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分.11．一次函数y=x+3与x轴的交点坐标是．12．函数的自变量x的取值范围是．13．若（k+4）x2﹣3x﹣2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是．14．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则短边的长度为cm．15．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个解为1和﹣1，则有a+b+c=；a ﹣b+c=．16．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10cm，则AB=cm，BC=cm．17．若在▱ABCD中，∠A=30°，AB=7cm，AD=6cm，则S▱ABCD=cm2．18．一次函数y=x﹣4和y=﹣3x+3的图象的交点坐标是．19．若+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是．20．等腰三角形的两条中位线分别为3和5，则等腰三角形的周长为．三．解答题：（共40分）21．（12分）（2015春•北京校级期中）解一元二次方程（1）y2=4；（2）4x2﹣8=0；（3）x2﹣4x﹣1=0．22．如图，一次函数y=kx+b的图象经过（2，4）、（0，2）两点，与x轴相交于点C．求：（1）此一次函数的解析式；（2）△AOC的面积．23．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE 与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明．24．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式5m2﹣5m+2004的值．25．某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？26．如图，在平面直角坐标系中，点O坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是y轴上的点，点Q第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请写出Q的坐标．八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分1．已知正比例函数y=（k﹣2）x的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k≥2 C．k≤2 D．k＜2考点：一次函数图象与系数的关系．分析：根据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，可确定k的取值范围，再根据k的范围从四个选项中选出答案即可．解答：解：∵若正比例函数y=（k﹣2）x的图象在第二、四象限，∴k﹣2＜0，∴k＜2．故选：D．点评：此题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线y=kx中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、四象限．2．若关于x的方程3x2+mx+2m﹣6=0的一个根是0，则m的值为（）A．6 B． 3 C． 2 D． 1考点：一元二次方程的解．分析：把x=0代入已知方程，可以得到关于m的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m的值．解答：解：把x=0代入方程：3x2+mx+2m﹣6=0，得2m﹣6=0，解得m=3．故选：B．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．下列方程中，一元二次方程的个数为（）（1）2x2﹣3=0；（2）x2+y2=5；（3）=5；（4）x2+=2．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：一元二次方程的定义．分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解答：解：（1）2x2﹣3=0符合一元二次方程的定义，正确；（2）方程x2+y2=5含有两个未知数，错误；（3）=5是无理方程，错误；（4）x2+=2是分式方程，错误．综上所述，符合题意的有1个．故选：A．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A．100° B．160° C．80° D．60°考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°，∴∠B=180°﹣∠A=80°．故选C．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．5．下面哪个点不在函数y=﹣2x+3的图象上（）A．（1，2）B．（0，3）C．（﹣1，5）D．（2，﹣1）考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：先分别计算出自变量为1、0、﹣1、2时的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点是否在直线y=﹣2x+3上．解答：解：A、当x=1时，y=﹣2x+3=1，则点（1，2）不在直线y=﹣2x+3上，所以A选项正确；B、当x=0时，y=﹣2x+3=3，则点（0，3）在直线y=﹣2x+3上，所以B选项错误；C、当x=﹣1时，y=﹣2x+3=5，则点（﹣1，5）在直线y=﹣2x+3上，所以C选项错误；D、当x=2时，y=﹣2x+3=﹣1，则点（2，﹣1）在直线y=﹣2x+3上，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．6．用配方法解方程x2﹣4x+1=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2=4 B．（x﹣4）2=4 C．（x﹣2）2=3 D．（x﹣4）2=3考点：解一元二次方程-配方法．分析：在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．解答：解：把方程x2﹣4x+1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣1方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣1+4配方得（x﹣2）2=3．故选C．点评：本题考查了解一元二次方程﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．7．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2考点：平行四边形的判定．分析：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．解答：解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选D．点评：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25 B．20 C．15 D．10考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC=60°，而AB=BC=AC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB=BC=5，那么就可求菱形的周长．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD=∠BAD，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵△ABC的周长是15，∴AB=BC=5，∴菱形ABCD的周长是20．故选B．点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．9．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜B．x＜3 C．x＞D．x＞3考点：一次函数与一元一次不等式．分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．解答：解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），∴3=2m，m=，∴点A的坐标是（，3），∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；故选A．点评：此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．10．如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图象应为（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：动点型．分析：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．解答：解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2﹣vt×1=4﹣vt（vt≤1）；②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2﹣1×1=3；③小正方形穿出大正方形，S=2×2﹣（1×1﹣vt）=3+vt（vt≤1）．分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．故选A．点评：考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．二．填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分.11．一次函数y=x+3与x轴的交点坐标是（﹣3，0）．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：根据x轴上点的坐标特征，计算函数值为0时所对应的自变量的值即可得到一次函数与x轴的交点坐标．解答：解：当y=0时，x+3=00，解得x=﹣3，所以一次函数与x轴的交点坐标是（﹣3，0）．故答案为（﹣3，0）．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．12．函数的自变量x的取值范围是x≥．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，2x﹣1≥0，解得x≥．故答案为：x≥．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．若（k+4）x2﹣3x﹣2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是k≠﹣4．考点：一元二次方程的定义．专题：常规题型．分析：根据一元二次方程的定义，二次项的系数不等于0列式计算即可．解答：解：根据题意得，k+4≠0，解得k≠﹣4．故答案为：k≠﹣4．点评：本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．14．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则短边的长度为11cm．考点：平行四边形的性质．分析：设出一组邻边，则根据平行四边形的性质可知，一组邻边的和为50，一组邻边的差为30，则较短边可求．解答：解：设较短的边为xcm，∵平行四边形周长为54cm，∴两邻边之和为27cm，∴x+x+5=27，解得：x=11，∴短边的长度为11cm，故答案为：11．点评：本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半．15．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个解为1和﹣1，则有a+b+c=0；a﹣b+c=0．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值．解答：解：将1代入方程得，a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0；将﹣1代入方程得，a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c=0，即a﹣b+c=0．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．16．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10cm，则AB=5cm，BC=5cm．考点：矩形的性质．分析：利用矩形的性质得出AO=CO=BO=DO=5cm，再利用等边三角形的判定得出即可．解答：解：如图所示：∵在矩形ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=10cm，∴AO=CO=BO=DO=5cm，则△ABO是等边三角形，∴AB=5cm，∠BAC=60°，∴在直角△ABC中，BC=AB•tan60°=5cm．故答案是：5；5．点评：此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定，得出△ABO是等边三角形是解题关键．17．若在▱ABCD中，∠A=30°，AB=7cm，AD=6cm，则S▱ABCD=21cm2．考点：平行四边形的性质．分析：首先过点D作DF⊥AB于点F，由∠A=30°，AD=6cm，根据含30°角的直角三角形的性质，可求得DF的长，继而求得答案．解答：解：过点D作DF⊥AB于点F，∵∠A=30°，AD=6cm，∴DF=AD=3cm，∴S▱ABCD=AB•DF=21cm2，故答案为：21．点评：此题考查了平行四边形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．18．一次函数y=x﹣4和y=﹣3x+3的图象的交点坐标是（2，﹣3）．考点：两条直线相交或平行问题．分析：两条一次函数联立方程组求解即可．解答：解：方程组，解得，所以交点坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是正确的解出方程组的解．19．若+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是﹣2．考点：一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0，m2﹣2=2，求出即可．解答：解：∵+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，m2﹣2=2，解得：m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）．20．等腰三角形的两条中位线分别为3和5，则等腰三角形的周长为22或26．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质．分析：因为三角形中位线的长度是相对应边长的一半，所以此三角形有一条边为6，一条为10；那么就有两种情况，或腰为10，或腰为6，再分别去求三角形的周长．解答：解：∵等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，∴等腰三角形的两边长为6，10，当腰为6时，则三边长为6，6，10；周长为22；当腰为10时，则三边长为6，10，10；周长为26；故答案为：22或26．点评：此题涉及到三角形中位线与其三边的关系，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．三．解答题：（共40分）21．（12分）（2015春•北京校级期中）解一元二次方程（1）y2=4；（2）4x2﹣8=0；（3）x2﹣4x﹣1=0．考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接开平方法．分析：（1）直接开平方即可求得x的值；（2）先移项，化系数为1，然后直接开平方来求x的值；（3）首先进行移项，得到x2﹣4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．解答：解：（1）由原方程，得y=±2，解得y1=2，y2=﹣2；（2）由原方程，得4x2=8，x2=2，解得x1=，x2=﹣；（3）解：∵x2﹣4x﹣1=0∴x2﹣4x=1∴x2﹣4x+4=1+4∴（x﹣2）2=5∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．总结：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．22．如图，一次函数y=kx+b的图象经过（2，4）、（0，2）两点，与x轴相交于点C．求：（1）此一次函数的解析式；（2）△AOC的面积．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：（1）由图可知A、B两点的坐标，把两点坐标代入一次函数y=kx+b即可求出kb 的值，进而得出结论；（2）由C点坐标可求出OC的长再由A点坐标可知AD的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：（1）∵由图可知A（2，4）、B（0，2），，解得，故此一次函数的解析式为：y=x+2；（2）∵由图可知，C（﹣2，0），A（2，4），∴OC=2，AD=4，∴S△AOC=OC•AD=×2×4=4．答：△AOC的面积是4．点评：此题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，先根据一次函数的图象得出A、B、C三点的坐标是解答此题的关键．23．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE 与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：利用平行四边形的性质和平行线的性质可以得到相等的线段和相等的角，从而可以证明△BCE≌△DAF，进而证得结论．解答：猜想：BE∥DF且BE=DF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CB=AD，CB∥AD，∴∠BCE=∠DAF，在△BCE和△DAF，∴△BCE≌△DAF，∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，∴BE∥DF，即BE∥DF且BE=DF．点评：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，本题的难点在于第一步的猜想，学生在解题时往往只考虑一种关系．24．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式5m2﹣5m+2004的值．考点：一元二次方程的解．分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m+1的值．解答：解：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0可得：m2﹣m﹣1=0，即m2﹣m=1，∴5m2﹣5m+2004=5（m2﹣m）+2004=5+2004=2009．点评：此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．25．某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？考点：一次函数的应用．专题：经济问题．分析：（1）未超过20吨时，水费y=1.9×相应吨数；超过20吨时，水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8；（2）该户的水费超过了20吨，关系式为：1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2．解答：解：（1）当0≤x≤20时，y=1.9x；当x＞20时，y=1.9×20+（x﹣20）×2.8=2.8x﹣18；（2）∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．∴用水量超过了20吨．1.9×20+（x﹣20）×2.8=2.2x，2.8x﹣18=2.2x，解得x=30．答：该户5月份用水30吨．点评：考查一次函数的应用；得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键．26．如图，在平面直角坐标系中，点O坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是y轴上的点，点Q第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请写出Q的坐标．考点：一次函数综合题．分析：（1）首先解方程，求得OA、OB的长度，即求得A、B的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）分P在B点的上边和在B的下边两种情况进行讨论，求得Q的坐标．解答：解：（1）∵x2﹣7x+12=0，∴（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x=3，x=4．∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．∵设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0）∴∴∴直线AB的函数表达式为y=﹣x+4．（2）当P在B的下边时，AB是菱形的对角线，AB的中点D坐标是（，2），设过D点，与直线AB垂直的直线的解析式是y=x+m，则+m=2，解得：m=，则P的坐标是（0，）．设Q的坐标是（x，y），则=，=2，解得：x=3，y=，则Q点的坐标是：（3，）．当P在B点的上方时，AB==5，AQ=5，则Q点的坐标是（3，5）．总之，Q点的坐标是（3，5）或（3，）．点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及菱形的性质，正确对P的位置进行分类讨论是关键．。
北京四中八年级下数学期中试卷
北 京 市 第 四 中 学 -----------八年级下数学期中试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．不等式x 4316+>的正整数解的个数是（ ）(A) 1个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 无数个 2.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） (A)(a+3)(a-3)=a 2-9 (B)x 2+x-5=(x-2)(x+3)+1 (C) x 2+1=x(x+x1) (D) a 2b+ab 2=ab(a+b)3. 使分式1122+-x x 有意义的x 的取值为（ ）(A)x≠±1 ; (B)x≠1; (C) x≠-1; (D) x 为任意实数 .4. 把△ABC 的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A ′B ′C ′，下列结论不能成立的是（ ）A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．△ABC 与△A ′B ′C ′的各对应角相等C ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为41 D ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为315．如果32-a 是多项式942-+ma a 的一个因式，则m 的值是（ ）A ．0B ．6C ．12D ．—126． 如果（m+3）x >2m+6的解集为x < 2，则m 的取值范围是（ ）(A)m<0 (B) m<-3 (C)m>-3 (D)m 是任意实数 7． 解关于x 的方程113-=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于（ ）(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 2.8.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）9.若矩形的半张纸与整张纸相似，那么整张纸的长是宽的（ ）A.2B.4倍C.2倍D.3倍第11题A B C D10．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时1ν千米，下坡时的速度为每小时2ν千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是（ ）千米/时 A 、221v v + B 、2121v v v v + C 、21212v v v v + D 、无法确定二、填空题（每小题3分，共24分） 11．当x=1时,分式nx m x -+2无意义，当x=4时分式的值为零, 则n m +=__________.12．①若x:y:z=3:4:5 则zy x z y x ++-+234= 。
北京市北京四中初中数学八年级下期中测试卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID：9928]按图(1)﹣(3)的方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式维续摆放，如果摆放的餐桌为x张，摆放的椅子为y把，则y与x之间的关系式为( )A．y＝6x B．y＝4x﹣2C．y＝5x﹣1D．y＝4x+22．(0分)[ID：9906]在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 3．(0分)[ID：9901]如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺4．(0分)[ID：9895]如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．(0分)[ID ：9886]如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为,CE 且D 点落在对角线'D 处．若3,4,AB AD ==则ED 的长为（ ）A ．32B ．3C ．1D ．436．(0分)[ID ：9853]如图1，∠DEF ＝25°，将长方形纸片ABCD 沿直线EF 折叠成图2，再沿折痕GF 折叠成图3，则∠CFE 的度数为（ ）A ．105°B ．115°C ．130°D ．155°7．(0分)[ID ：9852]在矩形ABCD 中,AB=2,AD=4,E 为CD 的中点,连接AE 交BC 的延长线于F 点,P 为BC 上一点,当∠PAE=∠DAE 时,AP 的长为 ( )A ．4B ．174C ．92D ．58．(0分)[ID ：9849]若x < 0，则2x x x-的结果是（ ） A ．0 B ．－2 C ．0或－2 D ．29．(0分)[ID ：9844]在水平地面上有一棵高9米的大树， 和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行( )A ．12米B ．13米C ．9米D ．17米10．(0分)[ID ：9921]已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23，则另一条直角边的长是（ ）A ．4cmB ．43 cmC ．6cmD ．63 cm11．(0分)[ID ：9840]要使代数式23x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠B ．3x >C ．3x ≥D ．3x ≤ 12．(0分)[ID ：9898]下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A ．内角和为360° B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 13．(0分)[ID ：9885]如图，ABC 中，CD AB ⊥于,DE 是AC 的中点．若6,5,AD DE ==则CD 的长等于（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1014．(0分)[ID ：9863]如图，在正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，若将△ABC 沿A ﹣D 的方向平移AD 长，得△DEF （B 、C 的对应点分别为E 、F ），则BE 长为（ ）A ．1B ．2C 5D ．3 15．(0分)[ID ：9851]下列各组数据中，不可以构成直角三角形的是（ ） A ．7,24,25B ．2223,4,5C ．53,1,44D ．1.5,2,2.5 二、填空题16．(0分)[ID ：10025]如图，在矩形ABCD 中，2AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为__________．17．(0分)[ID ：10006]如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN.若AB=7，BE=5，则MN=_______.18．(0分)[ID ：10000]如图，平面直角坐标系中，点A 、B 分别是x 、y 轴上的动点，以AB 为边作边长为2的正方形ABCD ，则OC 的最大值为_____．19．(0分)[ID ：9999]化简()2-2的结果是________；3.14π-的相反数是________；364-的绝对值是_________.20．(0分)[ID ：9996]如果482x ⨯是一个整数，那么x 可取的最小正整数为________．21．(0分)[ID ：9982]将函数31yx 的图象平移，使它经过点()1,1，则平移后的函数表达式是____．22．(0分)[ID ：9963]已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，AC ＝10，BD ＝8，则MN ＝_____．23．(0分)[ID ：9946]如图，在平行四边形ABCD 中，P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．=，用含,a b的代数式表示0.54，结果为24．(0分)[ID：9944]设2a=，3b________．25．(0分)[ID：9971]如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，BE=________.三、解答题26．(0分)[ID：10129]如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是l，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：（1）画出一个平行四边形，使其面积为6；（2）画出一个菱形，使其面积为4．（3）画出一个正方形，使其面积为5．27．(0分)[ID：10094]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点C、D作CE∥BD、DE∥AC，CE、DE交于点E．（1）求证：四边形OCED是菱形．（2）将矩形ABCD改为菱形ABCD，其余条件不变，连结OE．若AC=10，BD=24，则OE的长为____．∆中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长28．(0分)[ID：10078]如图，在ABC线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD.(1)求证：四边形DBEC 是平行四边形.(2)若120ABC ∠=︒，4AB BC ==，则在点E 的运动过程中：①当BE =______时，四边形BECD 是矩形；②当BE =______时，四边形BECD 是菱形.29．(0分)[ID ：10068]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13；（3）如图3，点A 、B 、C 是小正方形的顶点，求∠ABC 的度数．30．(0分)[ID ：10043]一天李师傅骑车上班途中因车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，回答下列问题：（1）李师傅修车用了多时间；（2）修车后李师傅骑车速度是修车前的几倍．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．D4．C5．A6．A7．B8．D9．B10．C11．B12．C13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=OB=AB=2得出BD=2OB=4由勾股定理求出AD即可【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴OB=ODOA=OCAC=BD∴OA=OB∵A17．【解析】【分析】连接FC根据三角形中位线定理可得FC=2MN继而根据四边形ABCD 四边形EFGB是正方形推导得出GBC三点共线然后再根据勾股定理可求得FC的长继而可求得答案【详解】连接FC∵MN分别18．【解析】如图取AB的中点E连接OECE则BE=×2=1在Rt△BCE中由勾股定理得CE=∵∠AOB=90°点E是AB的中点∴OE=BE=1由两点之间线段最短可知点OEC三点共线时OC最大∴OC的最大19．4【解析】分析：根据二次根式的性质相反数的定义绝对值的意义解答即可详解：==2314﹣π的相反数为π﹣31=4故答案为2π﹣3144点睛：本题考查了二次根式的性质相反数的定义绝对值的意义是基础题熟记20．6【解析】【分析】直接利用二次根式的性质化简再利用二次根式乘法运算法则求出答案【详解】解：∵是一个整数∴∴是一个整数∴x可取的最小正整数的值为：6故答案为：6【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除正确21．y＝3x﹣2【解析】【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值设出相应的函数解析式再把经过的点代入即可得出答案【详解】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的∴新直线的k＝3可设新直线的解析22．3【解析】【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝DM ＝5根据等腰三角形的性质得到BN＝4根据勾股定理得到答案【详解】解：连接BMDM∵∠ABC＝∠ADC＝90°M是AC的中点23．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥CBAB∥CD∴∠DAB+∠CBA=180°又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA∴∠PAB=∠DAB∠PBA=∠ABC∴∠PAB+∠PBA=24．【解析】【分析】将化简后代入ab即可【详解】解：∵∴故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用解题的关键是将化简变形本题属于中等题型25．3或6【解析】【分析】对直角△AEF中那个角是直角分三种情况讨论再由折叠的性质和勾股定理可BE的长【详解】解：如图若∠AEF=90°∵∠B=∠BCD=90°=∠AEF∴四边形BCFE是矩形∵将ABE三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】观察可得，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．第x张餐桌共有6+4（x-1）=4x+2，由此即可解答.【详解】有1张桌子时有6把椅子，有2张桌子时有10把椅子，10=6+4×1，有3张桌子时有14把椅子，14=6+4×2，∵多一张餐桌，多放4把椅子，∴第x张餐桌共有6+4（x-1）=4x+2．∴y与x之间的关系式为：y＝4x＋2.故选D．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，注意结合图形进行观察，发现数字之间的运算规律，利用规律即可求得y与x之间的关系式．2．B解析：B【解析】【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【详解】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，++++++÷=m，平均数为：(9.59.69.79.79.810.110.2)79.8故选：B．【点睛】考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平．3．D解析：D【解析】试题解析：设水深为x 尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x 2+（102）2=（x+1）2， 解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故选D ． 4．C解析：C【解析】【分析】先求出每边的平方，得出AB 2+AC 2=BC 2，AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+AB 2=AD 2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．【详解】理由是：连接AC 、AB 、AD 、BC 、CD 、BD ，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB 2=12+22=5,AC 2=22+42=20,AD 2=12+32=10,BC 2=52=25,CD 2=12+32=10,BD 2=12+22=5， ∴AB 2+AC 2=BC 2,AD 2+CD 2=AC 2,BD 2+AB 2=AD 2，∴△ABC 、△ADC 、△ABD 是直角三角形，共3个直角三角形，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.5．A解析：A【解析】【分析】首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得DEC ≌'D EC ，设ED x =，则'=D E x ，''2=-=AD AC CD ，4AE x =-，再根据勾股定理可得方程2222(4)x x +=-，解方程即可求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，3,4AB AD ==，∴3,4====AB CD AD BC ，90ABC ADC ∠=∠=︒，∴ABC 为直角三角形，∴5AC ===，根据折叠可得：DEC ≌'D EC ，∴'3==CD CD ，'DE D E =，'90∠=∠=︒CD E ADC ，∴'90∠=︒AD E ，则AD'E △为直角三角形，设ED x =，则'=D E x ，''2=-=AD AC CD ，4AE x =-，在'Rt AD E 中，由勾股定理得：222''+=AD D E AE ，即2222(4)x x +=-， 解得：32x =， 故选：A ．【点睛】 此题主要考查了轴对称的折叠问题，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．A解析：A【解析】【分析】由矩形的性质可知AD ∥BC ，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE 的度数，由此即可算出∠CFE 度数．【详解】解：∵四边形ABCD 为长方形，∴AD ∥BC ，∴∠BFE=∠DEF=25°．由翻折的性质可知：图2中，∠EFC=180°-∠BFE=155°，∠BFC=∠EFC-∠BFE=130°，图3中，∠CFE=∠BFC-∠BFE=105°．故选：A ．【点睛】本题考查翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE ．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．7．B解析：B【解析】【分析】根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF 的长，再利用勾股定理得出AP 的长．【详解】∵∠PAE=∠DAE,∠DAE=∠F∴∠PAE=∠F∴PA=PF∵E是CD的中点∴BF=8设AP=x，则BP=8−x在RtΔABP中，4+(8−x)2=x2得x=174故选：B点睛：此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出FC的长是解题关键．8．D解析：D【解析】∵x < 0，则2x=x x=-，∴2x xx-=()22x x x x xx x x---===.故选D.9．B解析：B【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】如图，设大树高为AB=9m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=12m，AE=AB-EB=9-4=5m，在Rt△AEC222251213AE EC m++==．故小鸟至少飞行13m．故选：B.【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．10．C解析：C如图，∵∠C=90°，∠B=30°，3，∴3cm，由勾股定理得：22AB AC，故选C．11．B解析：B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，x-3＞0，解得x＞3．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．C解析：C【解析】【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键. 13．C【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】⊥于D，解：∵ABC中，CD AB∴∠ADC=90°，则ADC为直角三角形，∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt ADC中，AD=6，AC=10，∴2222CD AC AD=-=-=，1068故选：C．【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．14．C解析：C【解析】【分析】直接根据题意画出平移后的三角形进而利用勾股定理得出BE的长．【详解】如图所示：22BE+=125故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及坐标与图形的变化，正确得出对应点位置是解题关键．15．B解析：B【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】解：A 、72+242=625=252，故是直角三角形，不符合题意；B 、222222(3)(4)81256337(5)+=+=≠，故不是直角三角形，符合题意；C 、12+（34）2=2516=（54）2，故是直角三角形，不符合题意； D 、1.52+22=6.25=2.52，故是直角三角形，不符合题意；故选：B ．【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．二、填空题16．【解析】【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=OB=AB=2得出BD=2OB=4由勾股定理求出AD 即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴OB=ODOA=OCAC=BD∴OA=OB∵A解析：【解析】【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA =OB =AB =2，得出BD =2OB =4，由勾股定理求出AD 即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，OA =OC ，AC =BD ，∴OA =OB ，∵AE 垂直平分OB ，∴AB =AO ，∴OA =OB =AB =2，∴BD =2OB =4，∴AD故答案为：【点睛】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.17．【解析】【分析】连接FC 根据三角形中位线定理可得FC=2MN 继而根据四边形ABCD 四边形EFGB 是正方形推导得出GBC 三点共线然后再根据勾股定理可求得F C 的长继而可求得答案【详解】连接FC ∵MN 分别 解析：132【解析】【分析】连接FC，根据三角形中位线定理可得FC=2MN，继而根据四边形ABCD，四边形EFGB 是正方形，推导得出G、B、C三点共线，然后再根据勾股定理可求得FC的长，继而可求得答案.【详解】连接FC，∵M、N分别是DC、DF的中点，∴FC=2MN，∵四边形ABCD，四边形EFGB是正方形，∴∠FGB=90°，∠ABG=∠ABC=90°，FG=BE=5，BC=AB=7，∴∠GBC=∠ABG+∠ABC=180°，即G、B、C三点共线，∴GC=GB+BC=5+7=12，∴FC=22FG GC+=13，∴MN=132，故答案为：13 2.【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.18．【解析】如图取AB的中点E连接OECE则BE=×2=1在Rt△BCE中由勾股定理得C E=∵∠AOB=90°点E是AB的中点∴OE=BE=1由两点之间线段最短可知点OEC三点共线时OC最大∴OC的最大5+1【解析】如图，取AB的中点E，连接OE、CE，则BE=12×2=1，在Rt△BCE中，由勾股定理得，22215+=∵∠AOB=90°，点E是AB的中点，∴OE=BE=1，由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，∴OC的最大值．．【点睛】运用了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并确定出OC最大时的情况是解题的关键．19．4【解析】分析：根据二次根式的性质相反数的定义绝对值的意义解答即可详解：==2314﹣π的相反数为π﹣31=4故答案为2π﹣3144点睛：本题考查了二次根式的性质相反数的定义绝对值的意义是基础题熟记π-4解析： 3.14【解析】分析：根据二次根式的性质，相反数的定义，绝对值的意义解答即可．=-=4．故答案为2，π﹣3.14，4．点睛：本题考查了二次根式的性质，相反数的定义，绝对值的意义，是基础题，熟记概念是解题的关键．20．6【解析】【分析】直接利用二次根式的性质化简再利用二次根式乘法运算法则求出答案【详解】解：∵是一个整数∴∴是一个整数∴x可取的最小正整数的值为：6故答案为：6【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除正确解析：6【解析】【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式乘法运算法则求出答案．【详解】==∴∴x可取的最小正整数的值为：6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．21．y＝3x﹣2【解析】【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值设出相应的函数解析式再把经过的点代入即可得出答案【详解】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的∴新直线的k＝3可设新直线的解析解析：y＝3x﹣2【解析】【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．【详解】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的，∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．∵经过点（1，1），则1×3+b＝1，解得b＝﹣2，∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2；故答案为y＝3x﹣2．【点睛】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．22．3【解析】【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝DM＝5根据等腰三角形的性质得到BN＝4根据勾股定理得到答案【详解】解：连接BMDM∵∠ABC＝∠ADC＝90°M是AC的中点解析：3【解析】【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝DM＝5，根据等腰三角形的性质得到BN＝4，根据勾股定理得到答案．【详解】解：连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝DM＝12AC＝5，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD，∴BN＝12BD＝4，由勾股定理得：MN＝22BM BN-＝2254-＝3，故答案为：3．【点睛】此题主要考查矩形性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．23．【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD∥CBAB∥CD∴∠DAB+∠CBA=180°又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA∴∠PAB=∠DAB∠PBA=∠ABC∴∠PAB+∠PBA=解析：【解析】试题分析： ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB=∠DAB ，∠PBA=∠ABC ，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA ）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA ）=90°；∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA ，∴∠DAP=∠DPA ，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt △APB 中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB 的周长=6+8+10=24.考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形. 24．【解析】【分析】将化简后代入ab 即可【详解】解：∵∴故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用解题的关键是将化简变形本题属于中等题型 解析：310ab 【解析】【分析】 0.54化简后，代入a ，b 即可．【详解】 545469363230.54100⨯⨯==== 2a =3b =， 30540.1=ab 故答案为：310ab ． 【点睛】 0.54化简变形，本题属于中等题型．25．3或6【解析】【分析】对直角△AEF 中那个角是直角分三种情况讨论再由折叠的性质和勾股定理可BE 的长【详解】解：如图若∠AEF=90°∵∠B=∠BCD=90°=∠AEF∴四边形BCFE 是矩形∵将ABE 解析：3或6【解析】【分析】对直角△AEF中那个角是直角分三种情况讨论，再由折叠的性质和勾股定理可BE的长.【详解】解：如图，若∠AEF=90°∵∠B=∠BCD=90°=∠AEF∴四边形BCFE是矩形∵将ABEC沿着CE翻折∴CB=CF∵四边形BCFE是正方形∴BE=BC-AD=6，如图，若∠AFE=90°∵将△BEC沿着CE翻折∴CB=CF=6，∠B=∠EFC=90°，BE=EF∵∠AFE+∠EFC=180°∴点A，点F，点C三点共线∴AC=√AB2+BC2=10∴AF=AC-CF=4∵AE2=AF2+EF2∴(8−BE)2=16+BE2∴BE=3，若∠EAF=90°，∵CD=8> CF=6∴点F不可能落在直线AD上∴.不存在∠EAF=90综上所述：BE=3或6故答案为：3或6【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键.三、解答题26．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）平行四边形面积为6，则可以为底边长为3，高为2，具体图形如下；（2）菱形面积为4，则对角线长度为2和4，据此可画出菱形；（3）要使正方形面积为5，则正方形的边长为5．【详解】（1）图形如下：（2）图形如下：（3）图形如下：【点睛】本题考查根据条件绘制四边形，注意在绘制前，需要根据四边形的特点，适当进行分析，以辅助完成绘图．27．（1）见解析；（2）13【解析】【分析】（1）首先由平行判定四边形OCED是平行四边形，然后由矩形性质得出OC=OD，即可判定四边形OCED是菱形；（2）首先由平行判定四边形OCED是平行四边形，然后由菱形性质得出AC⊥BD，AD=CD，即可判定四边形OCED是矩形，再利用勾股定理即可得解.【详解】（1）∵DE∥AC、CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，12OC AC=，12OD BD=．∴OC=OD．∴四边形OCED是菱形．（2）∵DE∥AC、CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD=CD∴∠COD=90°∴四边形OCED是矩形∴OE=CD∵AC=10，BD=24，∴OD=12，OC=5∴13==【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.28．(1)、证明过程见解析；(2)、①、2；②、4．【解析】【分析】(1)、首先证明△BEF和△DCF全等，从而得出DC=BE，结合DC和AB平行得出平行四边形；(2)、①、根据矩形得出∠CEB=90°，结合∠ABC=120°得出∠CBE=60°，根据直角三角形的性质得出答案；②、根据菱形的性质以及∠ABC=120°得出△CBE是等边三角形，从而得出答案．【详解】(1)、证明：∵AB∥CD，∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，∵点F是BC的中点，∴BF=CF，在△DCF和△EBF中，∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，FC=BF，∴△EBF≌△DCF（AAS），∴DC=BE，∴四边形BECD是平行四边形；(2)、①BE=2；∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°；∴∠ECB=30°，∴BE=12BC=2，②BE=4，∵四边形BECD是菱形时，BE=EC，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=4．【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质以及矩形、菱形的判定定理，属于中等难度的题型．理解平行四边形的判定定理以及矩形和菱形的性质是解决这个问题的关键．29．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）450【解析】【分析】（1）根据勾股定理画出边长为√10的正方形即可；（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；（3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．【详解】（1）如图1的正方形的边长是√10，面积是10；（2）如图2的三角形的边长分别为2，√5、√13；（3）如图3，连接AC，因为AB2=22+42=20，AC2=32+12=10,BC2=32+12=10,所以AB2= AC2+ BC2，AC=BC∴三角形ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．30．（1）5分钟；（2）2倍【解析】【分析】（1）观察图象可得李师傅离家10分钟时开始修车、离家15分钟修完车，两数相减即可得解；（2）观察图象可得李师傅修车前后行驶的路程和时间，即可求得相应的行驶速度，两速度相除即可得解．【详解】解：（1）由图可得，李师傅修车用了15105-=（分钟）；（2）∵修车后李师傅骑车速度是200010002002015-=-（米/分钟），修车前速度为100010010=（米/分钟）∴2001002÷=∴修车后李师傅骑车速度是修车前的2倍．【点睛】本题考查了从图象中读取信息的数形结合的能力，需要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各部分图象的变化趋势．。
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C. 两组邻边相等
D. 对角线互相垂直
6. 下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分
B. 两组对边分别相等 D. 对角线相等
7. 数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组 4 位同学拟定的方案，其中正确 的是（ ）
A. 测量对角线是否互相平分
④作直线 PQ．
所以直线 PQ 就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝
，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝
．
∴PQ∥l（
）（填推理的依据）．
24. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.
1 / 25
A. （1，2）
B. （4，2）
C. （2，4）
D. （2，1）
10. 如图，Rt△ABC 中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点 A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 10
二．填空题（共 8 小题）
11. 如图，在▱ABCD 中，BC＝9，AB＝5，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E，则 DE 的长为_____．
12. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则 BC 的长为_____．
13. 估计 5 −1 与 0.5 的大小关系是： 5 −1 ______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
4 / 25
求作：直线 PQ，使得 PQ∥l． 作法：如图，
①在直线 l 上取一点 A，作射线 AP，以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，交 AP 的
延长线于点 B；
②以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 l 于点 C（不与点 A 重合），连接 BC；
③以点 B 为圆心，BP 长为半径画孤，交 BC 于点 Q；
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角
D. 测量三个角是否为直角
8. 若最简二次根式 x + 3 与最简二次根式 2x 是同类二次根式，则 x 的值为（ ）
A. x＝0
B. x＝1
C. x＝2
D. x＝3
9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，2），B（4，0），点 N 为线段 AB 的中点，则点 N 的坐标为 （）
21. 如图，E、F 是▱ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE＝CF．求证：EB＝DF（写出主要的证明依据）．
22. 已知，如图，等腰△ABC 的底边 BC＝10cm，D 是腰 AB 上一点，且 CD＝8cm，BD＝6cm，求 AB 的长．
23. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
18. 已知：线段 AB，BC． 求作：平行四边形 ABCD． 以下是甲、乙两同学 作业．
的 甲：
①以点 C 为圆心，AB 长为半径作弧； ②以点 A 为圆心，BC 长为半径作弧； ③两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD，CD． 四边形 ABCD 即为所求平行四边形．（如图 1） 乙： ①连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M； ②连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D，使 MD=MB，连接 AD，CD． 四边形 ABCD 即为所求平行四边形．（如图 2）
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老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢______的作法，他的作图依据是：______． 三．解答题（共 10 小题）
19. 计算： 18 + 14 7
20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），若以 A、B、C、D 为顶点的四边 形是平行四边形，求点 D 的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点 D 的坐标．）
的 DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是_____．
17. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角 形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法， 若 AE＝6，正方形 ODCE 的边长为 2，则 BD 等于_____．
已知:如图，在 RtΔABC 中，∠ABC=90°，0 为 AC 中点.
求作:四边形 ABCD，使得四边形 ABCD 为矩形.
的
作法:①作射线 BO，在线段 BO 的延长线上取点 D，使得 DO=BO；
②连接 AD，CD，则四边形 ABCD 为矩形.
根据小丁设计的尺规作图过程.
(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；
2
2
14. 如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若 AB＝5，BC＝13，则 AE 的长为_____．
15. 如果一个无理数 a 与 12 的积是一个有理数，写出 a 的一个值是_____．
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16. 如图，点 E 为矩形 ABCD 边 BC 长上的一点，作 DF⊥AE 于点 F，且满足 DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△
2020 北京四中初二（下）期中
数学
一．选择题（共 10 小题）
1. 函数 y = x − 3 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x≠3
B. x≥3
C. x＞3
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1， 3 ，2
B. 1，1，2
C. 2，3，4
3. 下列各式中与 3 是同类二次根式的是
A. 6
B. 9
C. 12
4. 如图，将▱ABCD 的一边 BC 延长至点 E，若∠1=55°，则∠A=（ ）
D. x≤3 D. 4，5，6
D. 18
A. 3列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
D. 145°
A. 两组对边分别平行
B. 一组对边平行且另一组对边相等
(2)完成下面的证明.
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证明:∴点 O 为 AC 中点，
的 ∴AO=CO.