数学必修五第一章复习知识点及题型

必修5第一章：解三角形
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，
则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c
C R
=；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）
③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 3、三角形面积公式：111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．
4、余 定理：在C ∆AB 中，有2
2
2
2cos a b c bc =+-A ，2
2
2
2cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222
cos 2a c b ac
+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．
6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2
2
2
a b c +=，则90C =o
为直角三角形；
②若2
2
2
a b c +>，则90C <o 为锐角三角形；③若222a b c +<，则90C >o
为钝角三角形． 考点一：正弦定理的应用
例1(1) 在ABC ∆中，2010,1a b ==，则sin
:sin A B 等于 （ ）
A ．1：1 B. 1：2010 C. 2010：1 D. 不确定
(2) 在ABC ∆中，若3,75,60AB B C ==︒=︒，则在ABC ∆中，BC = (3) 在ABC ∆中，角
,,A B C 所对边,,a b c
，若1,3
a c C π
==
=
，则
A =
（4） 在ABC ∆中，若cos cos cos a b c
A B C ==
，判断ABC ∆的形状.
(5) 在ABC ∆中，分别根据所给条件指出解的个数
①4,5,30a b A ===︒ ②5,4,60a b A ===︒
③120a b B ==
=︒
例2.已知ABC ∆中，sin sin ,b B c C =且222sin sin sin A B C =+，试断三角形的形状。

考点二：余弦定理
例3(1) 已知ABC ∆
满足60,3,B AB AC =︒==BC 的长等于 （ ）
A ．2 B. 1 C. 1或2 D. 无解 (2) 在ABC ∆中，角
,,A B C 所对边,,a b c
，若222a c b +-=
，则角B 为（ ）
A ．6π B. 3π C. 6π
或56π
D. 3π或23π
(3) 在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 5:6:8A B C
=，那么此三角形最大角的余弦值是
(4) 在ABC ∆中，若cos cos b A a B =，试判断三角形的形状。

(5) 在ABC ∆中，已知7,3,5a b c ===，求最大角和sin C 。

(6) 设锐角ABC ∆的角
,,A B C 所对边,,a b c ，且2sin a b A =
（1）求B 的大小 （2
）若5a c ==，求b
例4（1）. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，23
B π
=
，4b a c =
+=求a 。

(2) 在ABC ∆中，角
,,A B C 所对边,,a b c ，若2b ac =，且2c a =，则cos B 等于（ ）
A ．14 B. 3
4 C. 42 D. 3
2
(3) 在
ABC ∆中，三内角分别是,,A B C
，若
sin 2cos sin C A B
=，则此三角形一定是
（ ）A ．直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 (4) 在直角ABC ∆中，,A B 为两锐角，则sin sin A B 中 （ ）
A ．有最大值
12和最小值0 B. 有最大值1
2
，但无最小值 C. 无最大值也无最小值 D. 有最大值1，但无最小值 (5) 在ABC ∆中，若2,60b
a B A ==+︒，则A = 。

(6) 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边,,a b c ，已知
()(
)
22
22sin 2sin sin C a B A b =--，ABC
∆外接圆的半径为
2 ,求角C .
考点三：三角形面积公式应用
例5(1) 在ABC ∆中，已知60,1,3ABC
A b S ∆=︒==，则sin sin sin a b c
A B C
++++等于 （ ）
A ．33 B. 23926339
(2) 在ABC ∆中，若7,3,8a
b c ===，则ABC ∆的面积等于
(3) 在ABC ∆中，三边,,a b c 与面积S 的关系为:2
22
4a S b c
+=+,则角
A =
(4) 在ABC ∆中，4sin10,2sin 50,70a
b C =︒=︒∠=︒,则ABC S ∆=
(5)在ABC ∆中，已知()()sin ,sin cos ,,2m C B A n b c ==u r r
，且0m n •=u r r ①求角A ，
②若23,2a c ==，求ABC ∆的面积。

(6)在ABC ∆中，25
cos 2A =，3AB AC •
=u r u u r
，①求ABC ∆的面积 ②若1c =，求a 的值
（7）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c ，且
32sin a c A =
（1）求C （2）若7c =
，且33
2
ABC S ∆=
，求a b +的值。

考点四：解三角形实际应用 例6（1） 已知两灯塔
A 和
B 与海洋观测站C
的距离都等于
a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东
20︒，灯塔B 在观测站C 的南偏东40︒，两塔的距离为 （ ）
A. a km
B.
3a km
C.
2a km
D. 2a km
（2）某同学家住8楼，距地面高约为20m ，在该楼前的建筑工地上有一座塔吊，该同学测得塔吊顶的仰角为60︒，塔底的俯角为45︒，则这座塔吊的高度是
（3）在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角
为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。