高数 级数
高数中的级数与收敛性分析
高数中的级数与收敛性分析在高等数学中，级数是由一列实数或复数的无穷项之和表示的数列。
级数与收敛性分析是高数中的重要内容，能够帮助我们理解数学和应用数学的各种问题，并应用于各个科学领域。
首先，我们来了解级数的概念。
一个级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ...是级数的各项。
级数可以是无穷级数，也可以是有限级数。
如果一个级数有限项之和存在，我们称之为收敛的；否则，我们称之为发散的。
下面，我们将讨论一些常见的级数和它们的收敛性。
1. 等差数列级数：等差数列级数是指一个级数的各项之间存在着相等的差值。
它可以表示为：S = a + (a + d) + (a + 2d) + ...其中，a是首项，d是公差。
等差数列级数的收敛性与公差d有关。
当公差d为0时，等差数列级数是收敛的，其和为首项a；否则，等差数列级数是发散的。
2. 等比数列级数：等比数列级数是指一个级数的各项之间存在着相等的比值。
它可以表示为：S = a + ar + ar² + ...其中，a是首项，r是公比。
等比数列级数的收敛性与公比r有关。
当公比r的绝对值小于1时，等比数列级数是收敛的，其和为a / (1 - r)；否则，等比数列级数是发散的。
3. 调和级数：调和级数是指级数的各项为倒数的数列级数。
它可以表示为：S = 1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个经典的例子，它是发散的。
虽然每一项都是正数，但是这个级数的和是无限的。
4. 绝对收敛与条件收敛：对于一个级数，如果它的各项的绝对值构成的级数是收敛的，我们称之为绝对收敛；如果仅仅级数本身是收敛的，而绝对值构成的级数是发散的，我们称之为条件收敛。
绝对收敛的级数具有良好的性质，它们的项可以重新排列而不改变其和。
而条件收敛的级数则具有不同的性质，项的重新排列可能会改变其和。
5. 收敛判别法：在分析级数的收敛性时，我们可以使用各种收敛判别法来确定级数是否收敛。
高数的三大计算
高数的三大计算
高等数学中涉及的三大计算包括微分、积分和级数求和。
1. 微分：微分是研究函数局部性质的重要工具，它可以求出函数在某一点的导数。
导数可以理解为函数在这一点处的切线斜率。
微分可以用于函数的极值分析、曲线的凹凸性判断、优化问题的求解等。
2. 积分：积分是研究函数整体性质的重要工具，它可以求出函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用于应用物理、工程等领域的面积、体积、质量、电荷、能量等的求解，也可以用于计算概率、统计学中的概率密度和累积分布函数等问题。
3. 级数求和：级数是由一系列无穷多个数相加得到的数列，级数求和就是将这些无穷多个数相加得到的结果。
级数在数学研究和实际应用中都具有重要作用，如 Taylor级数可以拟合函数，在物理学中用于波动问题的求解等。
级数求和的收敛性和敛散性是级数研究中的重要问题，也是在实际应用中需要关注的问题。
高数中的数列与级数的性质及应用
高数中的数列与级数的性质及应用数列和级数是高等数学中的重要概念，其性质以及在实际问题中的应用广泛存在。
本文将介绍数列和级数的定义、性质，以及它们在不同领域中的应用。
一、数列的性质及应用1. 数列的定义与性质数列是由一系列有序数按照一定规律排列而成的集合。
常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列：在等差数列中，每个数与它前面的数之差都相等。
它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列：在等比数列中，每个数与它前面的数之比都相等。
它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，前两项为1，之后每一项都是前两项之和。
数列的性质包括有界性、单调性、极限等。
根据不同的性质，我们可以对数列进行分类和研究。
2. 数列在实际问题中的应用数列的研究不仅仅停留在理论层面，还广泛应用于实际问题中。
在物理学中，数列的概念可以用于描述各种运动的定量变化。
例如，自由落体运动中物体的高度变化、声音的频率变化等都可以用数列来表示和分析。
在经济学中，数列可以用来描述人口增长、物价涨跌、投资回报等经济现象的变化规律。
通过对数列的研究，可以帮助人们预测未来的趋势和制定相应的政策。
在计算机科学中，数列可以用来描述算法的时间复杂度。
通过对数列的分析，可以帮助程序员评估算法的效率和性能，并进行相应的优化。
二、级数的性质及应用1. 级数的定义与性质级数是数列的和。
形式上，级数可以表示为S = a1 + a2 + a3 + ... + an，其中an是数列的通项。
级数的性质包括收敛性、发散性、部分和等。
通过对级数的研究，我们可以得到级数的和以及判定级数的敛散性。
2. 级数在实际问题中的应用级数在科学和工程领域中有着广泛的应用。
在电路分析中，级数可以用来描述电源的电压和电流的变化规律。
通过对级数的研究，可以获得电路的稳定性和性能。
高数第七章
高数第七章是学习高等数学的重要一环，该章节主要涉及到数列和级数，是数学基础中的重要内容。
在高数课程中，第七章可以说是学习难度较大的一章，需要学生掌握很多的基本概念和重要定理，同时需要进行大量的练习才能够熟练分析各种数列和级数的性质。
首先，我们来了解一下数列的基本概念。
数列就是按照一定规律排列起来的一系列数，这些数一般编号为n，n的取值范围为自然数集。
当我们知道了一个数列的规律，我们就能够计算这个数列的第n项，也就是利用通项公式计算，那么我们就能够得到任意项的值。
在数列中，有一种特殊的数列叫做等差数列。
等差数列是指一个数列中，相邻的两项之间的差值相等的数列。
这个相邻项之间的差值就叫做公差，用d表示。
我们可以通过两个已知项，或者已知项和项数的方法得到一个等差数列的通项公式，这个公式就是: an=a1+(n-1)d。
而等比数列则是指相邻两项的比值相等的数列，这个比值叫做公比，用q表示。
等比数列的通项公式为: an=a1*q^(n-1)。
熟悉了这些基本概念，我们就能够大致了解数列的性质和计算方法了。
接下来，我们来研究一下级数的概念和计算方法。
级数是指一个数列中各项之和，记作S。
如果一个数列收敛，那么我们就能够求出这个级数的和，如果这个数列发散，那么这个级数就没有和。
级数的重要性在于它解决了无穷大和无穷小的概念，从而把数学的范畴扩展到了无穷，进一步拓展了数学的思维。
在级数中，我们可以通过递推公式进行求解，也可以通过求和公式进行求解。
求和公式是一个级数的和的表达式，可以通过它快速的计算出一个级数的和。
序列的求和公式有很多，主要分为以下几种情况:等差数列求和公式：S=n*[a1+an]/2等比数列求和公式：S=a1*[1-q^n]/[1-q]调和级数求和公式：S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n)+γ（其中γ是欧拉常数）随着数学领域的不断拓展和进步，数列和级数逐渐成为了很多工科和理科学科的重要研究内容。
高数：级数敛散判别法
则称无穷级数收敛;
S un 级数的和
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散 。
n1
rn S Sn
uk
级数的余项。
lim
n
rn
0
无穷级数收敛。
kn1
若un≥0 (n=1, 2, 3, …) , un 正项级数。 Sn是单调增加数列。
n1
正项级数 un 收敛
n1
部分和序列 Sn有界 。
比较判别法
1 n 1
np n1n p dx
n n1
1 xp
dx
1
Sn
1
1 2p
1 3p
1
4p
1
np
1
2nddxx 1 xxpp
231dxxp1pn p11n
dx n1x1p
1 p 1
,
因而 Sn有上界。 由基本定理可知, 当p>1时p级数收敛。
9.2.2 比较判别法
定理2 (比较判别法) 设 un , vn 是两个正项级数, 且
设 un , vn 是两个正项级数, 且存在自然数N,
n1 n1
使当 n>N 时有 un≤kvn (k>0为常数) 成立, 则
(1) 若强级数 vn 收敛 , 则弱级数 un 也收敛 ;
n1
n1
(2) 若弱级数 un 发散 , 则强级数 vn 也发散 。
n1
n1
比较对象
①
p级数
1 np
,
p>1收敛，p<1发散。
证: 因为
1
nn 1
1 n (n 1)
发散 。
1 1 n 1, 2,
高数大一下知识点总结级数
高数大一下知识点总结级数高数是大学数学中的一门重要课程，对于大一学生来说，学好高数才能够为接下来的学习打下坚实的基础。
下面我将对高数大一下的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、级数的概念与性质在高数中，级数是一个非常重要的概念。
级数由一列数相加而得，可以用于近似计算以及描述实际问题。
级数的概念为我们后续学习提供了很多方便。
1.级数的定义级数是指把同一个数列的各个项按照顺序相加得到的和。
级数由无穷个项相加而成，表示为∑(an)。
2.级数的收敛和发散级数的收敛与发散是级数的一个重要性质。
级数是收敛的，当且仅当其部分和数列有极限。
级数是发散的，当其部分和数列趋向于无穷大或无穷小。
3.级数的收敛性判别法在判断一个级数是否收敛时，我们可以使用不同的收敛性判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些判别法可以帮助我们快速判断级数的收敛性。
二、常见的级数及其性质在高数中，有很多常见的级数，我们需要了解它们的性质以及求和的方法。
1.等差数列求和等差数列的求和在高中已经学过了，这里只是简单地进行回顾。
等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = (n/2)(a + an)。
2.等比数列求和等比数列的求和也是高中知识。
等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = a(1-q^n)/(1-q)。
需要注意的是，当|q|<1时，等比数列的和存在有限值。
3.幂级数幂级数是一种特殊的级数，对于形如∑(an*x^n)的级数，我们称之为幂级数。
在实际问题中，幂级数在分析函数的性质和展开函数等方面有着广泛应用。
三、级数的运算在高数中，我们常常需要进行级数的运算，如级数的加减、乘除以及级数与函数的运算等。
1.级数的加减级数的加减比较简单，只需要将级数的对应项相加或相减即可。
若级数∑(an)收敛，则其加减之和∑(an±bn)也收敛。
高数第九章数项级数
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
中央财经大学
数学分析
例 2 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(n N )
中央财经大学
数学分析
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
中央财经大学
1 (1) sin ; n n 1
数学分析
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设
n 1
un 1 (常数或 ) n u un 是正项级数,如果 lim n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
中央财经大学
数学分析
1 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
高数知识汇总之级数
第七章 级数7.1常数项级数的概念与性质7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式12n a a a ++++叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。
级数简记为：1nn a∞=∑，即121nn n aa a a ∞==++++∑部分和：作（常数项）级数12n a a a ++++的前n 项的和121nn n i i S a a a a ==+++=∑，n S 称为级数（1）的前n 项部分和。
当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。
级数收敛与发散： 如果级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=（有限值），则称无穷级数1nn a∞=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++。
如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞不存在或为±∞），则称无穷级数1nn a∞=∑发散。
常用级数：（1）等比级数（几何级数）：nn q∞=∑111q q -当时收敛于1q ≥当发散（2）p 级数:11pn n∞=∑ 11p p ≤当时收敛当时发散级数的基本性质： 性质1： 若级数1nn a∞=∑收敛于和S ，则级数1nn Ca∞=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。
性质2： 若级数1nn a∞=∑和级数1nn b∞=∑分别收敛于和S 、σ，则级数()1nn n ab ∞=±∑也收敛，且其和为S σ±。
注意：如果级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑都发散，则级数()1nn n ab ∞=±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑中有且只有一个收敛，则()1nn n ab ∞=±∑一定发散。
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《高等数学（下）》自学、复习参考资料Ⅲ——使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！各章复习范围：第一部分《矢量代数与空间解析几何》————第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分《多元函数微积分》————第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）————第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分《级数论》————第十一章都要复习敬告学员——本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。
不便之处，敬请原谅！另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出来。
因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。
第十一章 级数一、常数项级数的概念与性质（了解） 1、无穷级数的概念 设有无穷数列 ,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n u u u则式子,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u称为无穷级数，简称级数。
记作∑∞=1n nu。
即,211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∞=n n nu u u u其中,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n u u u 叫做级数的项，而n u 叫做级数的一般项或通项，各项都是常数的级数称为常数级数。
例如⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 321， ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 3131313132。
就是常数项级数。
2、级数的收敛与发散 定义 设级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 当n 无限增大时，如果部分和数列n s 有极限s ，即s s n n =∞→lim ， 则称该无穷级数是收敛的，这时极限s 叫做级数的和，并写成,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u s如果数列n s 的极限不存在，则称该无穷级数发散，这时级数没有和。
3、级数的基本性质性质1 级数各项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变。
性质2 收敛级数可以逐项相加或相减。
即设有两个收敛级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u s,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n v v v δ则级数δ±=⋅⋅⋅+±+⋅⋅⋅+±+±s v u v u v u n n )()()(2211。
性质3 在级数前面加上（或去掉）有限项，其敛散性不变。
（因此我们分析级数的敛散性时可忽略前面的一些项。
） 性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变。
4、级数收敛的必要条件重要定理 若级数∑∞=1n nu收敛，则当∞→n 时，一般项n u 趋于零，即0lim =∞→n n u 。
所以一般项趋于零是级数收敛的必要条件。
换言之，若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散。
（这是判断一个级数发散常用的方法之一）二、正项级数及其判敛法 如果级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u的各项都是非负数（即0≥n u ，n=1，2，…），则称这个级数为正项级数。
1、比较判别法（会用）设两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，如果级数∑∞=1n nv收敛，且),,2,1(⋅⋅⋅=≤n v u n n 则级数∑∞=1n nu也收敛；如果级数∑∞=1n nv发散，且),,2,1(⋅⋅⋅=≥n v u n n 则级数∑∞=1n nu也发散。
应熟记的几个级数的敛散性： （1）等比级数（几何级数）当1<q 时，等比级数∑∞=-11n n aq收敛，且和为qa-1；当1≥q 时，等比级数∑∞=-11n n aq 发散。
（2）调和级数∑∞=11n n是发散的。
（3）P —级数当1≤P 时，P 级数∑∞=11n P n 发散；当1>P 时，P 级数∑∞=11n P n 收敛。
2、比值判敛法（掌握）定理 设正项级数∑∞=1n nu有ρ=+∞→nn n u u 1lim 则当1<ρ时，级数收敛；当1>ρ时，级数发散；当1=ρ时级数可能收敛，也可能发散。
三、交错级数及其判敛法 1、级数,)1(14321⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+--n n u u u u u其中0>nu （n=1，2，…）称为交错级数。
2、交错级数判敛法（莱布尼兹判敛法）如果交错级数),2,1,,0()1(11⋅⋅⋅=>-∑∞=-n u u n n n n 满足下列条件：（1）),2,1(1⋅⋅⋅=≥+n u u n n ；（2）0lim =∞→n n u 。
则交错级数),2,1,,0()1(11⋅⋅⋅=>-∑∞=-n u u n n n n 收敛，且它的和1u s≤，其余项nr 的绝对值1+≤n n u r四、任意项级数、绝对收敛和条件收敛（了解） 既有正项，又有负项的级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u称为任意项级数。
定理2 如果正项级数∑∞=1n n u 收敛，则任意项级数∑∞=1n nu也收敛。
定义 若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则称任意项级数∑∞=1n nu为绝对收敛；若任意项级数∑∞=1n nu收敛，而正项级数∑∞=1n n u 发散，则称任意项级数∑∞=1n nu为条件收敛。
注意：（1）交错级数是任意项级数；（2）绝对收敛和条件收敛是对任意项级数来说的； （3）正项级数不存在绝对收敛和条件收敛。
判定数项级数敛散性的方法：方法一：级数∑∞=1n nu的前n 项和n s 的极限，即n n s ∞→lim 存在，则级数∑∞=1n nu收敛，否则级数发散。
如：（1）∑∞=+1)1(1n n n111)111()4131()3121()211()1(1431321211+-=+-++-+-+-=+++⨯+⨯+⨯=n n n n n s n 1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ∴该级数收敛且和S = 1。
（2）∑∞=+1)11ln(n n)1ln()134232ln(1ln34ln 23ln 2ln +=+⨯⨯⨯⨯=+++++=n nn n n s n ∞=+=→∞→∞)1(lim lim n s n n n∴该级数发散。
方法二：（步骤）（一）、首先考察n u ，如果01≠∑∞=n nu，则级数发散；（二）、如果01=∑∞=n nu，则级数敛散性不定，根据级数的不同类型，采用不同的判敛方法 ； 1、正项级数：比值法、比较法； 2、交错级数：用莱布尼兹判敛法；3、任意项级数：先判定由它的各项取绝对值后所得的正项级数的敛散性。
如果正项级数是收敛的，则原任意项级数绝对收敛；如果正项级数发散，则原任意项级数可能是条件收敛，也可能发散。
方法三：用级数的定义和性质判定级数的敛散性。
例1 判定下列级数的敛散性：（1） ++++114835221 解： 级数的通项为：13-=n nu n03113lim lim ≠=-=∞→∞→n n u n n n ∴该级数发散。
（2）∑∞=-12)12(1n n n解：此级数为正项级数。
∵1211212lim 2112)12(2)12(1lim lim 11<=+-=-⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n∴该级数收敛。
（3）∑∞=1!2n nn解：此级数为正项级数。
∵1012lim 2!)!1(2lim lim 11<=+=⋅+=∞→+∞→+∞→n n n u u n n n n nn n∴该级数收敛。
（4）∑∞=1!n n nn a n （0>a ，e a ≠）解：此级数为正项级数。
1)11(lim 1)1(lim 1!)!1()1(lim lim 111≠=+=+=⋅++=∞→∞→++∞→+∞→ae n a n n a n n a n a n u u n n n n n n n n n n n n n ∴1）当1<a e，即e a >时，级数收敛； 2）当1>ae，即e a <时，级数发散。
（5）∑∞=+111n n n解：此级数为正项级数。
分析：因为∵ 112)1(1lim lim 1+⋅++=→∞+→∞n n n n u u n nn n121)11(11lim =+++=∞→nn nn∴不能用比值法判敛。
但∵231111nnn n n u n =<+=又∵P 级数∑∞=131n n 是收敛的，∴∑∞=+111n n n 收敛。
（6）∑∞=++1211n n n解：∵nn n n n n u n +=+++>++=112111122 又 +++=+∑∞=413121111n n是少了第一项的调和级数，所以是发散的，∴原级数∑∞=++1211n n n是发散的。
例2 讨论级数∑∞=--111)1(n p n n （P>0）的敛散性。
解： ∵∑∑∞=∞=-=-11111)1(n p n pn nn 当1>p 时，∑∞=11n pn收敛，∴级数∑∞=--111)1(n p n n 绝对收敛；而当10≤<p 时，∑∞=11n pn 发散，又∑∞=--111)1(n p n n 是交错级数，用布莱尼兹判别法：∵ 1）1)1(11+=+>=n p p n u n n u ； 2）01lim lim ==∞→∞→p n n n nu 。
∴∑∞=--111)1(n p n n 收敛。
综上所述，级数∑∞=--111)1(n p n n （P>0）1）当1>p 时，绝对收敛；2）当10≤<p 时，条件收敛。
重要说明：级数∑∞=--111)1(n p n n 的敛散性大家要熟记，正项级数的判敛法是重要的考试内容。
五、幂级数（掌握） 1、如果级数,)()()(21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++x u x u x u n的各项都有是定义在某区间上的函数，则称该级数为函数项级数。
函数项级数的全体收敛点称为它的收敛域。
2、形如,2210⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n x a x a x a a称为x 的幂级数。
3、幂级数的敛散性（1）根据等比级数可得幂级数∑∞=0n n x 的收敛域是（-1，1）。
（2）幂级数收敛半径的求法； 设幂级数,2210⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn x a x a x a a如果相邻两项的系数1,+n n a a 有ρ=+∞→nn n a a 1lim 则1）当0≠ρ时，幂级数在)1,1(ρρ-内绝对收敛，在端点ρ1±=x 处的敛散性需另行判定。
ρ1称为收敛半径，记为R ，即ρ1=R 。