研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
高斯赛德尔法
的系数矩阵A可逆且主对角元素都不为零，令
)
并将A分解成
A = (A D) + D
Dx = (D A)x + b 从而方程可以写成 x = B1 x + f1 令 B = I D A, f = D b 其中
1 1 1 1
以 B 为迭代矩阵的迭代法 称为雅克比迭代法。
1
x ( k +1) = B1 x ( k ) + f1
(k ) 由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用x 的全部分量 ( k +1 ) ( k+1) x i 时，已经算出最新的 来计算 x 的 所有分量 , 显然在计算第i个分量 分量，但没被利用。因此，将最新算出来的第k+1次近似加以利用，就 得到了高斯赛德尔迭代法。 A = D L U 将矩阵A分解成 其中 D = diag ( a11 ,a 22 ,..., a nn ) ， L ,U 是A的主对角除外的下三角 和上三角部分，于是有 (D L )x = Ux + b
ρ 是迭代矩阵的谱半径（B0中绝对值最大的特征值的绝对值）
首先取 α =1.5，迭代若干次后，有 式中： 为第k 次迭代的节点电压与该节 点前次迭代值的差值的绝对值 U ( m ) U ( m 1) 为所有节点中差值绝对值最大的 ∞ Bso为加速迭代矩阵 再有
U ( m ) U ( m 1)
将上式带入最佳加速因子公式得到近似最佳加 速因子 α 。
x = B2 x + f 2 即 B = (D L ) U , f = (D L ) 其中 以 B2 为迭代矩阵的迭代法 x ( k +1) = B2 x ( k ) + f 2 称为高斯-赛德尔迭代法。
gauss-seidel迭代法收敛判断
Gauss-Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，该算法在科学计算和工程领域被广泛应用。
在使用该算法时，我们需要考虑其收敛性，以确保结果的准确性和可靠性。
下面我们将介绍Gauss-Seidel迭代法收敛判断的相关内容。
1. 收敛性定义在使用迭代法求解线性方程组时，迭代算法的收敛性是一个非常重要的问题。
一个迭代算法如果能够在有限步内得到一个接近于真实解的近似解，就称为收敛。
否则，如果迭代算法无法收敛或者收敛速度非常慢，就需要考虑改进算法或者选择其他更适合的算法。
2. Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近法，它通过不断地逼近线性方程组的解来求得近似解。
这种迭代算法的优点是简单易行，适用于各种情况。
然而，它的收敛性需要进行严格的判断。
3. 收敛条件对于Gauss-Seidel迭代法，我们可以使用以下收敛条件来进行判断：a) 对角占优条件：如果线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，那么Gauss-Seidel迭代法一定收敛。
b) 正定条件：如果线性方程组的系数矩阵是正定的，即所有的特征值都是正的，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
c) 非奇异条件：如果线性方程组的系数矩阵是非奇异的，即行列式不为0，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
4. 不收敛的情况尽管Gauss-Seidel迭代法在很多情况下能够收敛，但也存在一些情况下它不收敛的情况。
当线性方程组的系数矩阵不满足对角占优条件、正定条件或者非奇异条件时，Gauss-Seidel迭代法就可能不收敛。
此时，我们需要考虑改进算法或者选择其他更适合的迭代算法。
5. 收敛速度除了考虑Gauss-Seidel迭代法的收敛性外，还需要关注其收敛速度。
一般来说，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度相对较快，特别是在满足对角占优条件、正定条件或非奇异条件的情况下。
然而，如果在实际使用中发现收敛速度较慢，也可以考虑使用加速方法如SOR方法等来提高收敛速度。
Gauss-Seidel迭代法
G a u s s-S e i d e l迭代法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数值分析课程论文姓名:学号:Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组摘要线性方程组的求解在许多的工程技术中是一个极为常见的问题，对于线性方程组的求解无论从理论上还是实践应用上都已经成熟.对于一般线性方程组的求解有Gauss消元法为基础的直接法，也有迭代法.其中Gauss-Seidel是一个重要的组成部分.鉴于此，本论文细致地研究了用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组.论文的第一部分先介绍了迭代法求解线性方程组的一般模式，并给出这种迭代法的收敛性条件，Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的基本原理.这一部分是Gauss-Seidel迭代法的理论基础.论文的第二部分给出了Gauss-Seidel迭代法的具体操作步骤，以伪代码的形式细致的描绘如何使用Gauss-Seidel迭代法的求解方程组.同时，为了验证算法的有效性，在这一部分，还引入一个简单的算例，用于MATLAB编程发现计算结果完全正确.论文的第三部分给出了关于Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序，用于计算线性方程组.关键词：Gauss-Seidel迭代法，基本原理，算例，MATLAB程序目录1 Gauss-Seidel迭代法的基本理论 (1)1.1线性方程组的迭代法求解 (1)1.2Gauss-Seidel迭代法的原理 (2)2.具体的算例和操作步骤 (3)2.1. Gauss-Seidel迭代法的伪代码 (3)2.2.具体的算例验证算法的有效性 (3)3．MATLAB程序 (4)参考文献 (6)Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组一. Gauss-Seidel 迭代法的基本理论1.1线性方程组的迭代法求解在考虑求解线性方程组Ax=b 时，其中A 为非奇异矩阵.尽管Guass 消元法通过有限次运算可以求解此问题，其对应的计算复杂度为3O(n ).但是对于工程技术中和某些偏微分方程过程中出现的大型稀疏型矩阵利用迭代法可以更快的收敛，找到解.另外一方面，由于迭代法占用的计算机内存少，且便于计算.这两方面的优势促成了迭代法求解线性方程组的研究.关于迭代法的收敛的几个判定条件 1（迭代法基本原理）设有方程组f Bx x +=，对于任意初始向量()0x 及任意f ，解此方程组的迭代法（即()()f Bx x k k +=+1）收敛的充要条件是()1<B ρ.2（迭代法收敛的充分条件）如果方程组f Bx x +=的迭代公式为()()f Bx x k k +=+1（()0x 为任意初始向量），且迭代矩阵的某一种范数1<=q B v ，则：︒1迭代法收敛；︒2()()()v k k vk x x q qx x 11-*--≤-；︒3()()()v kvk x x q q xx 011--≤-*.定理3 如果mn RA ⨯∈为严格对角占优阵或为不可约弱对角占优阵，则对于任意的()0x ，解方程组b Ax =的Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法均收敛.定理4如果A 为对称正定矩阵，且20<<ω，则解式b Ax =的SOR 方法收敛.1.2Gauss-Seidel 迭代法的原理由Jacobi方法迭代公式()()()()010k k xx B x f +⎧⎪⎨=+⎪⎩初始向量，可知，迭代的每一步计算过程，都是用()k x 的全部分量来计算()1+k x 的所有分量，显然在计算第i 个分量()1+k ix时，已经计算出的最新分量()11+k x ，()12+k x ，…，()11+-k i x 没有被利用.从直观上看，最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第1+k 次近似()1+k x 的分量()1+k jx 加以利用，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法（简称G-S 方法）：()()()()()T=002010n x x x x ，，， （初始向量），()()()()n i k x a x a b a x i j n i j k j ij k j ij i iik i,,2,1;,2,1,0111111 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑-=+=++或写为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆==∆+=∑∑-==++.1,,,2,1;,2,1,01111i j ni j k j ij k iij i ii i i k i k i x a x a b a x n i k x x x上面第2个式子利用了最新计算出的分量()11+k x ，第i 个式子利用了计算出的最新分量()()1,,2,11-=+i j x k j .还可写成矩阵形式()()()()()()k k k k k Ux b x L D Ux Lx b Dx+=-++=+++111,，若设()1--L D 存在，则()()()()b L D Ux L D x k k 111--+-+-=， 于是Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为()()f Gx x k k +=+1，()6.2.8 其中 ()U L D G 1--=，()b L D f 1--=.由此可以看出，应用Gauss-Seidel 迭代法解式b Ax =，就是对方程组f Gx x +=应用迭代法.G 称为解式的Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵.Gauss-Seidel 迭代法的一个明显优点是，在用计算机计算时，只需一组工作单元，以便存放近似解.由式可以看出，每迭代一步只需计算一次矩阵与向量的乘法.二．具体的算例和操作步骤2.1. Gauss-Seidel 迭代法的伪代码 1.输入问题的参数A,b 2.分解A 为D,L,U.3.计算迭代方程G ，f.4.开始迭代，随机设定一个初值.5.以迭代方程更新x 的值.6.如果到达迭代次数，则进入步骤7；否则，回到步骤5.7.输出x ，结束.2.2.具体的算例验证算法的有效性 求解如下的线性方程组1231231238-3+2=204+11-=336+3+12=36x x x x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩ 这个方程的真实解为（3,2,1）. 程序运行结果： 情况1：输入GS （A,b ） GS(A,b)xhis =0 0 0 2.5000 2.0909 1.2273 2.9773 2.0289 1.0041 3.0098 1.9968 0.9959 2.9998 1.9997 1.0002 2.9998 2.0001 1.0001 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 ans = 3.0000 2.00001.00000.51.5解的迭代情况图一。
雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法对比
雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法对比引言雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法是数值分析中常用的迭代求解线性方程组的方法。
它们都是通过迭代更新变量的值，逐渐逼近方程组的真实解。
本文将详细讨论这两种迭代法的原理、特点和适用情况，并给出一些比较和应用实例。
雅可比迭代法（Jacobi Iteration）雅可比迭代法是一种逐个更新变量的值的迭代方法。
对于线性方程组Ax = b，雅可比迭代法的更新公式如下：x i(k+1)=1a ii(b i−∑a ijnj=1j≠ix j(k))其中，aii表示系数矩阵A的第i行第i列的元素，而bi表示方程组的第i个方程的右侧常数。
特点1.雅可比迭代法的计算过程简单，容易理解和实现。
2.每次迭代只更新一个变量的值，相邻两次迭代之间没有数据依赖关系，可以并行计算。
3.雅可比迭代法收敛的条件是系数矩阵A满足严格对角占优条件或对称正定条件。
优缺点•优点：简单易懂，在一些特定情况下收敛速度较快。
•缺点：收敛速度相对较慢，尤其是在系数矩阵A的条件数较大时；不适用于对角占优条件较弱的问题。
高斯塞德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）高斯塞德尔迭代法是一种逐个更新变量的值，并立即使用最新的值进行下一个变量的更新的迭代方法。
对于线性方程组Ax = b，高斯塞德尔迭代法的更新公式如下：x i(k+1)=1a ii(b i−∑a iji−1j=1x j(k+1)−∑a ijnj=i+1x j(k))特点1.高斯塞德尔迭代法相较于雅可比迭代法，每次迭代可以使用当前迭代步骤中已更新的变量值，因此收敛速度更快。
2.如果系数矩阵A是严格对角占优或对称正定的，高斯塞德尔迭代法一定收敛。
优缺点•优点：相较于雅可比迭代法，收敛速度更快，对于条件数较大的问题也有较好的效果。
•缺点：实现稍微复杂一些，每次迭代的计算依赖于之前已更新的变量值，无法并行计算。
雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法的比较收敛速度在一些特定的问题中，雅可比迭代法可以比高斯塞德尔迭代法更快地收敛。
数值分析中的高斯-赛德尔迭代法-教案
数值分析中的高斯-赛德尔迭代法-教案一、引言1.1背景介绍1.1.1数值分析在现代科学和工程中的应用1.1.2高斯-赛德尔迭代法在解决线性方程组中的重要性1.1.3迭代法的基本概念和分类1.1.4高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的比较1.2教学目标1.2.1理解高斯-赛德尔迭代法的数学原理1.2.2学会应用高斯-赛德尔迭代法解决实际问题1.2.3掌握高斯-赛德尔迭代法的编程实现1.2.4分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和效率1.3教学方法1.3.1采用理论讲解与实践操作相结合的方式1.3.2利用多媒体和板书相结合的教学手段1.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答1.3.4通过案例分析和作业练习巩固知识点二、知识点讲解2.1高斯-赛德尔迭代法的数学原理2.1.1线性方程组的迭代解法概述2.1.2高斯-赛德尔迭代法的迭代公式2.1.3高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式2.2高斯-赛德尔迭代法的应用2.2.1高斯-赛德尔迭代法在电路分析中的应用2.2.2高斯-赛德尔迭代法在热传导问题中的应用2.2.3高斯-赛德尔迭代法在流体力学中的应用2.2.4高斯-赛德尔迭代法在经济模型中的应用2.3高斯-赛德尔迭代法的实现2.3.1高斯-赛德尔迭代法的算法步骤2.3.2高斯-赛德尔迭代法的编程实现2.3.3高斯-赛德尔迭代法的程序调试与优化2.3.4高斯-赛德尔迭代法的软件工具介绍三、教学内容3.1高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析3.1.1收敛性的定义和判定条件3.1.2高斯-赛德尔迭代法的收敛速度3.1.3收敛性分析的理论基础3.1.4收敛性分析的实例演示3.2高斯-赛德尔迭代法的效率分析3.2.1计算效率的定义和评价指标3.2.2高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的效率比较3.2.3影响高斯-赛德尔迭代法效率的因素3.2.4提高高斯-赛德尔迭代法效率的方法3.3.1案例一：电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.2案例二：热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.3案例三：流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.4案例四：经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1掌握高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式4.1.2学会使用高斯-赛德尔迭代法解决线性方程组问题4.1.3能够编写高斯-赛德尔迭代法的程序代码4.1.4能够分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力4.2.2培养学生运用迭代法解决实际问题的能力4.2.3培养学生进行数学实验和数据分析的能力4.2.4培养学生进行团队合作和交流讨论的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数值分析的兴趣和热情4.3.2培养学生的科学精神和创新意识4.3.3培养学生严谨治学和精益求精的态度4.3.4培养学生的国际视野和跨文化交流能力五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式5.1.2高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析5.1.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试5.1.4高斯-赛德尔迭代法在实际问题中的应用5.2教学重点5.2.1高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式5.2.2高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析5.2.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试5.2.4高斯-赛德尔迭代法在实际问题中的应用5.3教学策略5.3.1采用案例教学法和问题导向教学法5.3.2利用多媒体和板书相结合的教学手段5.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答5.3.4通过案例分析和作业练习巩固知识点六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体投影仪和计算机6.1.2白板和彩色粉笔6.1.3高斯-赛德尔迭代法的PPT课件6.1.4高斯-赛德尔迭代法的程序代码和软件工具6.2学具准备6.2.1笔记本电脑和编程软件6.2.2数值分析教材和相关参考书籍6.2.3高斯-赛德尔迭代法的案例分析和作业练习6.2.4小组讨论和问题解答的场地和设备6.3教学资源准备6.3.1高斯-赛德尔迭代法的在线课程和视频教程6.3.2高斯-赛德尔迭代法的学术论文和研究成果6.3.3高斯-赛德尔迭代法的软件工具和程序库6.3.4高斯-赛德尔迭代法的实际应用案例和项目七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入数值分析和高斯-赛德尔迭代法的背景7.1.2提出问题和挑战，激发学生的兴趣和好奇心7.1.3回顾迭代法的基本概念和分类7.1.4阐述高斯-赛德尔迭代法的重要性和应用领域7.2知识讲解7.2.1详细讲解高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式7.2.2通过实例演示高斯-赛德尔迭代法的应用和计算过程7.2.3分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率7.2.4讲解高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试技巧7.3实践操作7.3.1分组进行高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试7.3.2通过案例分析和作业练习巩固知识点7.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答7.3.4提供反馈和指导，帮助学生提高编程能力和问题解决能力7.4.2引导学生对高斯-赛德尔迭代法的理解和应用进行反思7.4.3提供进一步学习和研究的建议和资源7.4.4鼓励学生参与相关的学术活动和项目实践八、板书设计8.1高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式8.1.1高斯-赛德尔迭代法的迭代公式8.1.2高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式8.1.3高斯-赛德尔迭代法的收敛条件8.1.4高斯-赛德尔迭代法的计算步骤8.2高斯-赛德尔迭代法的应用案例8.2.1电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.2热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.3流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.4经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用8.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试8.3.1高斯-赛德尔迭代法的算法步骤8.3.2高斯-赛德尔迭代法的编程实现8.3.3高斯-赛德尔迭代法的程序调试与优化8.3.4高斯-赛德尔迭代法的软件工具介绍九、作业设计9.1基础练习题9.1.1编写高斯-赛德尔迭代法的程序代码9.1.2使用高斯-赛德尔迭代法解决线性方程组问题9.1.3分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率9.1.4比较高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的优缺点9.2案例分析题9.2.1分析电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.2分析热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.3分析流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.4分析经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.3扩展阅读与思考题9.3.1阅读相关的学术论文和研究成果9.3.2思考高斯-赛德尔迭代法的改进和优化方法9.3.3探索高斯-赛德尔迭代法在其他领域的应用9.3.4分析高斯-赛德尔迭代法在并行计算中的应用十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1反思教学内容的组织和讲解方式10.1.2反思学生的参与度和学习效果10.1.3反思教学方法和策略的有效性10.1.4反思教学资源和材料的适用性10.2拓展延伸10.2.1探索高斯-赛德尔迭代法的进一步研究和应用10.2.2学习其他数值分析方法和算法10.2.3参与相关的学术活动和项目实践10.2.4拓宽国际视野，了解数值分析的前沿动态重点关注环节的补充和说明：1.高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式的讲解，确保学生理解并掌握基本概念。
高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法
将A分裂成A =L+D+U，则 Ax b 等价于
( L+D+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx(k1) Lx(k1) Ux(k) b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux (k) b
x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1b
数值计算方法
高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法
1.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想
在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的 迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值，
即在求
x (k 1) i
时用新分量
x1( k
1)
,
x
(k 2
1)
,,
x (k 1) i 1
代替旧分量
x1(
k
)
,
x1(k
x
(k 2
1) 1)
( x2(k ) x3(k ) (2x1(k1)
1) / 8 x3(k) 4) /10
x3(k
1)
( x1(k 1)
x (k 1) 2
3) / 5
取初始迭代向量 x(0) (0 ,0 ,0)T ,迭代结果为：
1.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
令 G1 (D L)1U , d1 (D L)1b
则高斯-塞德尔迭代形式为：
x (k 1) G1 x (k ) d1
1.3 高斯—塞德尔迭代算法实现
高斯-塞德尔迭代算法的计算步骤与流程图与
雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元 xi
的某个新值
后, x (k1) i
就改用新值
高斯—塞德尔迭代法
高斯 - 塞德尔迭代法
1.高斯 - 塞德尔迭代法公式的矩阵形式
首先将高斯 - 塞德尔迭代法的公式表示为矩阵形式，为此设
这里是系数矩阵 A 的对角部分，是严格下三角部分，是严格上三角部分，则高斯 - 塞德尔迭代法的公式可表示为
(1)
用矩阵乘等式两边得
再用矩阵乘等式两边得
(2)
其中矩阵称为高斯—塞德尔迭代矩阵。
由此可见，高斯 - 塞德尔迭代法是一般迭代法中迭代矩阵为的
特殊情形。
需要指出的是，由于矩阵难于计算，所以式（2）多用在理论分析中。
2.高斯—塞德尔迭代法计算框图（见图）
高斯—塞德尔迭代法计算框图
3.高斯—塞德尔迭代法计算方法的代码实现（见GaoSiSaiDeEr.c）
4.结果分析：。
【论文】浅析Gauss-Seidel迭代在方程迭代计算中的应用
浅析Gauss-Seidel 迭代在方程迭代计算中的应用摘要：科学研究与生产实践中许多问题都可归结为方程组的求解，对于方程组的求解,主要有直接法求解和迭代法求解，我们通常用的迭代法有Jacobi,Gauss-Seidel 迭代法。
本文主要针对Gauss-Seidel 迭代法在三类方程组迭代计算中的应用进行研究。
一、Gauss-Seidel 迭代法在求解大型稀疏线性方程组中的应用。
Gauss-Seidel 迭代法充分利用矩阵的稀疏性去解大型稀疏线性代数方程组。
本文通过实际算例验证并分析了它的计算速度和效率。
二、Gauss-Seidel 迭代法在求解H-矩阵线性方程组中的应用。
本文针对系数矩阵 A 为H -矩阵, 为线性方程组 Ax =b 引入了两种形式的预处理矩阵 I +S 和 I +S , 给出了相应的预处理 Gauss-Seidel 方法。
三、异步并行非线性对称Gauss-Seidel 迭代法在求解特殊非线性方程组的应用。
利用非线性方程组的特殊结构，建立了一类并行非线性 Gauss-Siedel 型迭代算法。
关键词：Gauss-Seidel 迭代法，线性方程组，H -矩阵，非线性方程组科学研究与生产实践中许多问题都可归结为线性方程组的求解，高效求解线性方程组成为许多科学与工程计算的核心。
解线性方程组的传统方法是利用高斯消元法或矩阵的三角分解法等直接求解，虽然传统方法具有理论上直接得到真解的优点，但当系数矩阵条件数很大时，存在严重的稳定性问题。
同时，当系数矩阵的非零元结构不规则或带宽较大时，其计算量与存储量也十分地大。
与直接法相比，迭代法只需存储原系数矩阵，对应于预处理的几个辅助矩阵和少量的几个向量，且迭代法中除求解辅助线性方程组外，其余的计算主要是系数矩阵与向量的乘积，从而能充分利用系数矩阵的特性来减少计算量。
而且随着计算机技术的发展，计算机的存储量日益增大，计算速度也迅速提高，线性方程组的迭代求解在科学与工程计算中也起着越来越重要的作用。
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4 2 2
又如矩阵
A
2
2 3
2 3 14
是对称正定阵（实对称阵是正定阵的，如果实二次型
f (x1, x2 ,L , xn ) X T AX
10 2 1 2 10 1 0 2 5
即 (500 2 54 2) 0
解得
1
0, 2
27
1729 500
, 3
27
1729 500
于是
(BG )
27 1729 500
0.1372
1
因而高斯-赛德尔迭代公式是收敛的。
上式左端为将系数矩阵 A 的对角线及对角线
以下元素同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例9 用高斯-赛德尔迭代法解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
解：相应的高斯-赛德尔迭代公式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3 0.2x1(k1) 0.1x3(k) 1.5
x3(k
1)
0.2 x1( k 1)
0.4x2(k1)
2
取迭代初值
X (0)
(
x1(
0)
,
x2(0
)
,
x (0) 3
)T
(0, 0, 0)T
按此迭代公式进行迭代，计算结果为
的特征向量，即 AX= λX, (X ≠0)
由范数的性质立即可得
X X AX
r
因为 X ≠0 ， 所以
A r
即A的任一特征值的模都不超过
A r
于是 (A) A r
定理给出了一阶线性定常迭代法 X (k1) BX (k) f
收敛的充分条件，它表明只要迭代矩阵 B 的某种子 范数 B 小于1，立即可以断定该迭代过程对任给
现将 X (k1) 显式化，由 (D L) X (k1) UX (k) b
得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
fG (D L)1b
则得 X (k 1) BG X (k ) fG 为高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示形式。
2 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法
研究雅可比迭代法，我们发现在逐个求 X (k1)
的分量时，当计算到
xi(k 1) 时,分量
x1(k 1) ,L
, x (k 1) i 1
都已经求得，而仍用旧分量
x1(k ) ,L
,
x (k i 1
)
计算
x (k 1) i
。由于新计算出的分量比旧分量准确些，
0.2 0.4 0
BJ 0.6 1 雅可比迭代过程必收敛；
高斯-赛德尔迭代矩阵
0 BG 0
0
0.2 0.04 0.056
0.1
0.12
0.068
BG 0.3 1 高斯-赛德尔迭代过程也收敛。
由定理的误差估计式
X (k ) X * B k X (1) X (0) 1 B
是发散，都要计算雅可比迭代矩阵 BJ 与高斯-赛德尔
迭代矩阵 BG 的特征值.由于矩阵 A 有些算子范数(比
如
A与
A 1 )远比矩阵 A 的特征值容易计算,为此给
出如下结论。
定理3 矩阵A的谱半径不超过矩阵A的任何
一种算子范数 , 即
(A)
A r
证明：设λ为A的任一特征值，X为对应于λ的A
k 1, 2,3,L
可以看出， B 越小收敛速度越快，
且可用来估计迭代次数。
在例8例9中，显然 BG 比 BJ 小， 所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快。
若在例8例9中要求近似解 X (k) 的误差
X (k) X * 104
则由误差估计式知，只要 k 满足
Bk
r
初始向量都收敛于方程组AX=b的唯一解 X * 在例8例9中，我们分别用雅可比迭代法和高斯-
赛德尔迭代法解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
雅可比迭代矩阵
0 0.2 0.1 BJ 0.2 0 0.1
a x (k1) i,i1 i1
a x (k) i,i1 i1
L
ain xn(k) bi )
L L
xn(
k
1)
1 ann
(an1 x1( k 1)
a x (k1) n2 2
L
a x (k1) n,n1 n1
bn
)
（5）
其矩阵表示形式为 X (k1) D1(LX (k1) UX (k) b)
X (1) X (0) 104
1 B
将 BJ 0.6, X (0) (0,0,0)T , X (1) (0.3000,1.5000, 2.0000)T
代入得 k 21.18 ，故Jacobi迭代22次即可；
将 BG 0.3, X (0) (0,0,0)T , X (1) (0.3000,1.5600, 2.68400)T 代入得 k 8.76 ，故Gauss-Seidel迭代9次就可以。
由定理2知，用雅可比迭代法求解，迭代过程收 敛，用高斯-赛德尔迭代法求解，迭代过程发散。
练习:考察用高斯-赛德尔迭代法解方程组 AX=b 的收敛性，其中
1 0 1
A 1 1
0
1 2 3
3 迭代法收敛条件与误差估计 我们先引入一个叫矩阵谱半径的概念。
定义 矩阵 A Rnn 的所有特征值 i (i 1, 2,L , n)
的模的最大值称为矩阵 A 的谱半径,记作 ( A)
即
( A)
max
1in
i
前面,我们在应用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭 代法解一阶线性方程组时，判断各迭代公式是收敛还
因此设想一旦新分量
x1(k 1) ,L
, x (k 1) i 1
求出，马上就用新分量
x1(k 1) ,L
, x (k 1) i 1
代替雅可比迭代法中
来求 x1( k ) ,L
,
x (k ) i 1
x (k 1) i
, 这就是高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法。
高斯-赛德尔迭代公式如下：
x1(k
1)
1 a11
(a12 x2(k)
a13 x3( k )
L
a1n
x (k) n
b1)
x2(k
1)
1 a11
(a21 x1( k 1)
a23
x3(k
)
L
a2n xn(k) b2 )
L L
xi
(
k
1)
1 aii
(ai1x1(k1) ai2 x2(k1) L
正定),由定理5可判定用高斯-赛德尔迭代法求解方程组
AX b
时，迭代过程一定收敛。
例10 考察用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法 解方程组 AX=b 的收敛性，其中
1 2 2 1
A 1 1
1
,
b
1
2 2 1 1
解：先计算迭代矩阵
0 2 2
对于雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法，还 有一些使用方便的充分条件，其中主要有：
定理4 若方程组AX=b的系数矩阵 A [aij ]nn
按行严格对角占优或按列严格对角占优，即满足条件
n
aii aij
(i 1, 2,L , n)
j 1 ji
n
或 a jj aij
( j 1, 2,L , n)
i 1 i j
则方程组AX=b有唯一解，且对任意初始向量 X (0)
雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
只要方程组 AX=b 的系数矩阵 A [aij ]nn 满足 定理4或定理5的条件，就可以十分方便地判断相 应迭代过程的收敛性。
BJ
D1(L U )
1
0
1
2 2 0
再计算
0 2 2 BG (D L)1U 0 2 3
0 0 2
BJ与BG的特征值和谱半径
i (BJ ) 0, (i 1, 2,3), (BJ ) 0 1
1(BG ) 0, 2,3 (BG ) 2, (BG ) 2 1
我们用定理2来判断高斯-赛德尔迭代公式是否
收敛，需要考虑高斯-赛德尔迭代矩阵 BG (D L)1U
的特征方程 I BG 0
即
I (D L)1U 0
将上式写成 (D L)1 (D L) U 0
由于
(D L)1 0
所以
(D L) U 0