海淀区2020-2021初二数学期末卷和答案
2020-2021学年北京市海淀区育英中学八年级上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市海淀区育英中学八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若方程x2−x+a=0有两个正根，则a的取值范围是()A. a≤14B. a<14C. 0<a≤14D. 0<a<142.如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=AC=3，点E是三角形ABC内部一点，且满足BE2−CE2=3AE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为()A. √3B. √3π3C. 3√3D. 2√3π33.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a−b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”.对于“和美方程”，下列结论正确的是()A. 方程两根之和等于0B. 方程有一根等于0C. 方程有两个相等的实数根D. 方程两根之积等于04.关于四边形，下列说法正确的是()A. 对角线相等的是矩形B. 对角线互相垂直的是菱形C. 对角线互相垂直且相等的是正方形D. 对角线互相平分的是平行四边形5.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y=1x、y=4x 上，边BC交y=1x于点E，连接AE，则△ABE的面积为()A. 94B. 34C. 38D. 987.已知是一次函数的图象上的两个点，则的大小关系是A. B. C. D. 不能确定8.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，按如图所示的方式放置．点A1，A2…和点C1，C2…分别在直线y=x+1和x轴上，则B7的坐标是()A. (127,63)B. (127,64)C. (128,63)D. (128,64)9.一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，则另一直角边长为()A. 13B. 12C. 4D. 510.已知实数x、y互为倒数，则y随x变化的函数图象是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.一元二次方程(2x−3)2=2(2x−3)的解是______．12.如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯______(填“能”或“否”)到达墙的顶端．13.已知x1，x2是方程x2+3x−6=0的两实根，则值为。
2020-2021学年北京市海淀区八年级(下)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，则△ABC最长边上的高ℎ=()A. 3B. 4C. 5D. 1252.如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，D是BC上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，已知DE+DF=6cm，则△ABC的面积是()A. 12cm2B. 48cm2C. 24cm2D. 64cm23.如图所示△ABC中，DE//BC，DF//AC，则下列比例式中正确的是()A. AEEC =DEBCB. AEEC =CFFBC. DEBC =DFACD. CFBC =ECAC4.已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m是常数)，把该函数的图象沿y轴平移后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，则应把该函数的图象()A. 向上平移3个单位B. 向下平移3个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位5.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示：则这些运动员成绩的中位数是()成绩/m 1.50 1.61 1.66 1.70 1.75 1.78 人数232151A. 1.66B. 1.67C. 1.68D. 1.756. 下列说法正确的有( )个．①样本7，7，6，5，4的众数是2；②如果数据x 1，x 2，x n 的平均数是x −，则(x 1−x −)+(x 2−x −)+⋯+(x n −x −)=0； ③样本1，2，3，4，5，6的中位数是3和4； ④样本50，50，45.5，41，41方差为16.2．A. 1B. 2C. 3D. 47. 若+|b +2|=0，则点M(a,b)的坐标是( )A. (3,2)B. (−3,2)C. (3,−2)D. (−3,−2)8. 3.已知二次函数y =−2(x +1)2+4，则A. 其图象的开口向上B. 其图象的对称轴为直线x =1C. 其最大值为4D. 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减少二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于点O ，已知S △AODS △COB=14，那么______．10. 如图是一幅总面积为3m 2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为______m 2．11. 在平面直角坐标系中，有点A(m −1,2m −2)，B(m +1,2m +2)，且在x 轴上有另一点P ，使三角形PAB 的面积为4，则P 点坐标为______．12. 已知二次函数y =−x 2+2x −2的图象上有两点A(2,y 1)，B(3,y 2)，则y 1与y 2的大小关系是y 1______y 2(填“<”、“>”或“=”)．,y3)，三点y1，y2，13.若二次函数y=x2+x+1的图象，经过A(−3,y1)，B(2,y2)，C(12y3大小关系是______(用“<”连接)14.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△EDF：S△BFC：S△BCD等于______ ．15.抛物线y=ax2+2x与y=3x2形状相同，开口方向相反，则a=______．16.如图，直线y=−√3x+1与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一3)，且△ABP 象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点p(a,12的面积与△ABC的面积相等，则a的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一公路从A地到B地，，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(ℎ)之间的关系.根据图象填空：(1)乙先出发h后，甲才出发．(2)在乙出发h，两人相遇．(3)甲的速度是多少？四、解答题（本大题共11小题，共66.0分）18.一个矩形ABCD的较短边长为2．(1)如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；(2)如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．19.已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.求证：△BEC∽△BCH．20.图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．(1)在图①中，以格点为顶点，画出△ADC，使△ADC与△ABC全等，且点D与点B不重合．(2)在图②中，以格点为顶点，画出△AFC，使△AFC与△ABC相似，且相似比不是1.(画出一个即可)21.如图，在边长为1个电位长度的小正方形组成的网格中．给出了线段AB．(1)将线段AB向右平移到DC，使四边形ABCD的面积为12，画出四边形ABCD；(2)作△ABD关于直线AD对称的△AED，并求出AE与直线CD的交点到线段AD的距离．22.如图，抛物线经过A(4,0)，B(1,0)，C(0,−2)三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23.为了解食品安全状况，质监部门抽查了甲、乙、丙、丁四个品牌饮料的质量，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：(1)这次抽查了四个品牌的饮料共______瓶；(2)请你在答题卡上补全两幅统计图；(3)若四个品牌饮料的平均合格率是95%，四个品牌饮料月销售量约15万瓶，请你估计这四个品牌的不合格饮料有多少瓶？24.如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间有一根绳子可看成抛物线y=0.1x2−0.8x+5．(1)求绳子最低点离地面的距离；(2)因实际需要，在离AB为5米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2)，使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面2米，求MN的长；(3)将立柱MN的长度提升为5米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的.设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，但二次项系数始终为132≤k≤3时，求m的取值范围．25.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P，QBP，过点P作PH⊥AB于在对角线BD上，且BQ=23点H，连接HQ，以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG，设BQ=m．(1)若m=2时，求此时PH的长．(2)若点C，G，H在同一直线上时，求此时的m值．(3)若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，求此时m的值．26.如图，已知抛物线y=ax2−4ax+c过原点且与x轴交于点A，顶点的纵坐标是−4．(1)求抛物线的函数表达式及点A坐标；(2)根据图象回答：当x为何值时抛物线位于x轴上方？(3)直接写出所求抛物线先向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到抛物线的函数表达式．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达点B处停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为ts．(1)MN与AC的数量关系是______；(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；(3)当t为何值时，△DMN是等腰三角形？28.已知二次函数y=ax2−(2a+1)x+a+1，当a取除0外的任一实数时，它的图象都是一条抛物线．(1)该抛物线的图象与函数y=2x2的图形的形状、开口方向均相同，则a=______ ．(2)若取a=−1，a=2时，所对应的抛物线的顶点分别为A，B，请求出直线AB的函数表达式，并判断：当a取其它实数值时，所对应的顶点是否也在直线AB上？并说明理由．(3)当a>1时，点P(1,m)和点Q(1+a,n)在该函数图象上，请比较m和n的大小．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，解得：a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，故△ABC是直角三角形．设最长边上的高为h，则12×3×4=12×5ℎ∴ℎ=125．故选：D．利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值判断出三角形的形状，利用三角形面积公式进而求出即可．此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质，得出a，b，c的值是解题关键．2.【答案】C【解析】解：如图，连接AD，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=12×8×(DE+DF)=24cm2，故选：C．连接AD，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，可求解．本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决问题是本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵DE//BC，∴AEAC =DEBC，所以A、C选项错误；∵DE//BC，∴AEEC =ADDB，∵DF//AC，∴CFFB =ADDB，∴AEEC =CFFB，所以B选项正确；∵DE//BC，DF//AC，∴四边形DFCE为平行四边形，∴CF=DE，∴CFBC =DEBC=AEAC，所以D选项错误．故选B．根据平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，由DE//BC得到AEAC =DEBC，则可对A、C进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由DE//BC得AEEC =ADDB，由DF//AC得CFFB=ADDB，所以AEEC =CFFB，则可对B进行判断；接着判断四边形DFCE为平行四边形得到CF=DE，所以CFBC =DEBC=AEAC，于是可对D选项进行判断．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，利用平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用是解答此题的关键．先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．【解答】解：y=x2−2mx+m2+3=(x−m)2+3，把函数y=(x−m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x−m)2的图象，它的顶点坐标是(m,0)，因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以，把函数y=x2−2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．故选B．5.【答案】C【解析】解：根据图表可知题目中数据共有14个，故中位数是按从小到大排列后第7，第8两个数的平均数作为中位数．(1.66+1.70)=1.68．故这组数据的中位数是12故选C．先求出14名运动员成绩的总和，再除以14即可．本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个图表分析的不准确，没有考虑到共有14个数据而不是6个而错解．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．6.【答案】B【解析】解：①样本7，7，6，5，4的众数是7；②如果数据x1，x2，x n的平均数是x−，则(x1−x−)+(x2−x−)+⋯+(x n−x−)=0；=3.5；③样本1，2，3，4，5，6的中位数是3+42(50+50+45.5+41+41)=45.5，④样本50，50，45.5，41，41的平均数是：15[(50−45.5)2+(50−45.5)2+(45.5−45.5)2+(41−45.5)2+(41−则方差1545.5)2]=16.2；正确的是②④；故选：B．利用统计的有关概念分别判断后即可确定正确的选项．考查了统计的有关知识，解题的关键是了解有关概念并正确的得出结论，难度不大．7.【答案】C【解析】本题主要考查了实数的非负性质和点的坐标，解：∵+|b+2|=0∴a−3=0，b+2=0∴a=3，b=−2，∴点的M的坐标为(3,−2)。
北京市海淀区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
北京市海淀区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________1、下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2、2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为（）A. 30×10−3B. 3×10−6C. 3×10−5D. 0.3×10−43、下列变形是因式分解的是（）A. x(x+1)=x2+xB. x2+6x+4=(x+3)2−5C. x2+xy−3=x(x+y)−3D. x2+2x+1=(x+1)24、下列计算正确的是（）A. (3a3)2=9a6B. a3+a2=2a5C. a3⋅a2=a6D. a8÷a2=a45、如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E.若EC=3，则DC的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 76、下列变形正确的是（）A. yx =y+3x+3B. yx=−y−xC. yx=y2x2D. y x=x y7、如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=75°，则∠ACD的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°8、某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为（）A. 1B. 32C. 2 D. 839、若分式1x−2有意义，则x的取值范围为．10、在平面直角坐标系xOy中，点A(2,4)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是．11、分解因式：3a2−12=．12、若x=4是关于x的方程2x−mx−3=3的解，则m的值为．13、等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角的度数是．14、在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为.(写出一个即可)15、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF 平分∠ABC，EF=2，BC=8，则△CDF的面积为．16、如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E.再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG，若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为°.17、计算：(−π)0+(13)−1−28÷26．18、化简：(x−2)2+(x+3)(x+1)．19、化简：[(x+3y)(x−3y)−x2]÷9y．20、解方程：1x =5x+321、如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得CD⊥AB．小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于另外一点D；③作直线CD．则直线CD即为所求．(1)根据小欣的作图过程补全图形；(2)完成下面的证明．证明：连接AC，AD，BC，BD．∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上．(______)(填推理的依据)∵AC=______，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴CD⊥AB．22、在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．请在图1和图2中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．23、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D，E在BC边上，AD=AE.求证：CD=BE．24、已知a 2+2a −1=0，求代数式(a 2−1a 2−2a+1−11−a )÷1a 2−a的值． 25、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要的时间与原计划生产450台机器所需要的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？26、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A(−4,0)，B(4,0)，C(0,4)，给出如下定义：若P 为△ABC内(不含边界)一点，且AP 与△BCP 的一条边相等，则称P 为△ABC 的友爱点．(1)在P 1(0,3)，P 2(−1,1)，P 3(−2,1)中，△ABC 的友爱点是______．(2)如图2，若P 为△ABC 内一点，且∠PAB =∠PCB =15°，求证：P 为△ABC 的友爱点；(3)直线l 为过点M(0,m)且与x 轴平行的直线，若直线l 上存在△ABC 的三个友爱点，直接写出m 的取值范围是______．27、在分式N M中，若M ，N 为整式，分母M 的次数为a ，分子N 的次数为b(当N 为常数时，b =0)，则称分式NM 为(a −b)次分式．例如，x+1x 4−x 3为三次分式． (1)请写出一个只含有字母x 的二次分式______；(2)已知A =mx+2x−3，B =nx+3x 2−9(其中m ，n 为常数)． ①若m =0，n =−5，则A ·B ，A +B ，A −B ，A 2中，化简后是二次分式的为______； ②若A 与B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m +n 的值．28、在△ABC 中，∠B =90°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；(2)当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE.P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为______，并证明．参考答案及解析1.答案：D解析：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，所以选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.答案：B解析：0.000003=3×10−6．所以选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.答案：D解析：本题主要考查的是因式分解的概念的有关知识，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．A.是整式的乘法，故A错误；B.没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误．C.没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；D.把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确．所以选：D．4.答案：A解析：A、(3a3)2=9a6，故A符合题意；B、a3与a2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、a3⋅a2=a5，故C不符合题意；D、a8÷a2=a6，故D不符合题意；所以选：A．利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则掌握．5.答案：C解析：本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出∠CDE=30°是解此题的关键．根据△ABC是等边三角形得出∠C=60°，由DE⊥AC得出∠DEC=90°，从而可以求出∠CDE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出DC即可．因为△ABC是等边三角形，所以∠C=60°，因为DE⊥AC，所以∠DEC=90°，所以∠CDE=180°−∠DEC−∠C=180°−90°−60°=30°，所以EC=12DC，所以CD=2EC，因为EC=3，所以CD=2×3=6．6.答案：B解析：A、当x=y≠0时，yx =y+3x+3，故A不符合题意．B、yx =−y−x，故B符合题意．C、当x=y≠0时，yx =y2x2，故C不符合题意．D 、当x =y ≠0时，y x =x y ，故D 不符合题意．所以选：B ．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 7.答案：C解析：因为△ABC≌△DEC ，所以∠ACB =∠DCE ，BC =EC ，所以∠ACB −∠ACE =∠DCE −∠ACE ，即∠BCE =∠ACD ，因为BC =EC ，所以∠BEC =∠B =75°，所以∠BCE =180°−∠B −∠BEC =30°，所以∠ACD =30°．所以选：C ．由全等三角形的性质可得∠ACB =∠DCE ，BC =EC ，从而可求得∠BCE =∠ACD ，∠BEC =∠B =75°，由三角形的内角和可求得∠BCE =30°，从而得解．本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．8.答案：B解析：设AB =a ，BC =b ，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12可得，4a ×2+4b ×2=24，2a 2+2b 2=12，即a +b =3①，a 2+b 2=6②，由①得，a 2+2ab +b 2=9③，③−②得2ab =3，所以ab =32， 即长方形ABCD 的面积为32，所以选：B ．设AB =a ，BC =b ，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可．本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．9.答案：x≠2解析：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．根据分母不为零，分式有意义，可得答案．由题意，得x−2≠0．解得x≠2，所以答案为：x≠2．10.答案：(−2,4)解析：在平面直角坐标系xOy中，点A(2,4)关于y轴对称的点B的坐标是(−2,4)，所以答案为：(−2,4)．根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．此题主要考查了轴对称中的坐标变化，正确掌握点的坐标特点是解题关键．11.答案：3(a+2)(a−2)解析：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．3a2−12=3(a2−4)=3(a+2)(a−2)．所以答案为：3(a+2)(a−2)．12.答案：5=3，解析：2x−mx−32x−m=3(x−3)，2x−3x=−9+m，−x=m−9，即x=9−m，∵方程的解为x=4，∴4=9−m，∴m=5．所以答案为：5．解方程可得x=9−m，由题意可得4=9−m，求出m的值即可．本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．13.答案：40°或100°解析：分两种情况讨论：①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°−40°×2=100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．所以答案为：40°或100°．由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解，即可求得答案．此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．14.答案：2x(答案不唯一)解析：在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为：2x，x2+2x+1=(x+1)2．所以答案为：2x(答案不唯一)．根据完全平方公式的特征即可解答．本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．15.答案：4解析：过点F作FG⊥BC，垂足为G，如图，∵BF平分∠ABC，CE⊥AB，EF=2，∴FG=FE=2，∵BC=8，AD为BC边上的中线，∴CD=12BC=4，∴S△CDF=12CD⋅FG=12×4×2=4．所以答案为：4．过点F作FG⊥BC，由角平分线的性质可得FG=FE=2，再由AD是中线，则有CD=4，利用三角形的面积公式可求得△CDF的面积．本题主要考查角平分线的性质，解答的关键是熟记角平分线的性质．16.答案：126解析：连接AD、DE，如图，设∠C=α，由作法得EF垂直平分CD，∴ED=EC，∴∠EDC=∠C=α，∴∠AED=∠EDC+∠C=2α，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=2α，∵CA=CB，∴∠B=12(180°−∠C)=90°−12α，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=90°−12α，∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，∴90°−12α+2α+α=180°，解得α=36°，∴∠AEG=90°+∠C=90°+36°=126°．所以答案为126．连接AD、DE，如图，设∠C=α，利用基本作图得到，则∠EDC=∠C=α，所以∠AED=2α，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=90°−12α，接着利用AB=AD得到∠ADB=∠B=90°−1α，则根据∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°求出α=36°，然后利用三角形外角性质计算2∠AEG的度数．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质以及角的计算．17.答案：(−π)0+(1)−1−28÷263=1+3−22=4−4=0．解析：先化简零指数幂，负整数指数幂，计算同底数幂的除法，最后进行计算即可．本题主要考查了有理数的混合运算，涉及了零指数幂，负整数指数幂和同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．18.答案：原式=x2−4x+4+(x2+x+3x+3)=x2−4x+4+x2+x+3x+3=2x2+7．解析：本题主要考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式，多项式乘多项式运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则计算即可．19.答案：原式=[x2−9y2−x2]÷9y=−9y2÷9y=−y．解析：先利用平方差计算，再算中括号里面的，最后算除法即可．本题考查整式的混合运算，掌握平方差公式和整式的混合运算法则是求解本题的关键．20.答案：去分母，得：x+3=5x，化简，得：4x=3，．系数化为1：x=34经检验，x=3是原方程的根．4解析：本题考查解分式方程，该分式方程等号左右分式的最简公分母是x(x+3)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解，最后结果要检验即可．21.答案：(1)图形如图所示：(2)到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；AD．解析：(1)见答案；(2)连接AC，AD，BC，BD．∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上．(到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)∵AC=AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴CD⊥AB．所以答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；AD．(1)根据题目要求作出图形即可；(2)利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．22.答案：如图1，2中，△DEF即为所求(答案不唯一)．解析：根据轴对称的性质作出图形即可．本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．23.答案：证明：因为AD=AE，所以∠AED=∠ADE，所以∠CEA=∠BDA，在△ACE与△ABD中，{∠C=∠B∠CEA=∠BDA AE=AD,所以△ACE≌△ABD(AAS)，所以CE=BD，所以CE+ED=DB+ED，即CD=BE．解析：根据AAS证明△ACE与△ABD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ACE与△ABD全等．24.答案：原式=[(a+1)(a−1)(a−1)2+1a−1]·a(a−1)=(a+1a−1+1a−1)·a(a−1)=a+1+1a−1·a(a−1)=a2+2a，因为a2+2a−1=0，所以a2+2a=1，所以原式=a2+2a=1．解析：原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则，利用整体代入求值是关键．25.答案：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天可生产(x−50)台．依题意得：600x =450x−50．解得：x=200．检验：当x=200时，x(x−50)≠0．所以x=200是原分式方程的解．答：现在平均每天生产200台机器．解析：本题考查列分式方程解实际问题的能力，因为现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．26.答案：(1)P1，P2；(2)证明：在Rt△AOC和Rt△BOC中，OA=OB=OC=4，∴∠OAC=∠OCA=∠OCB=∠OBC=45°，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，∵∠PAB=∠PCB=15°，∴∠PAC=∠OAC−∠PAB=30°，∠ACP=∠ACB−∠PCB=75°，∴∠APC=180°−∠PAC−∠ACP=75°=∠ACP，∴AP=AC，∴AP=BC，∴P点是△ABC的友爱点；(3)0<m<2．解析：(1)根据轴对称的性质和坐标得出OA，OB，OC，根据友爱点的定义分析即可；(2)根据三角形的内角和定理得出∠APC，进而利用等腰三角形的判定解答即可；(3)根据友爱点的概念分三种情况①AP=BP，②AP=CP，③AP=BC=AC解答即可．此题考查新定义的综合题，关键是根据轴对称的性质求解．(1)∵A(−4,0)，B(4,0)，C(0,4)，∴OA=OB=OC=4，AC=BC=√42+42=4√2，连接P1A，P1B，如图，∵A点与B点关于y轴对称，点P1在y轴上，∴P1A=P1B，∴P1点是△ABC的友爱点；连接P2A，P2B，P2C，过点P2分别作x轴，y轴的垂线段P2M，P2N，如图，则OM=P2M=ON=P2N=1，∠AMP2=∠CNP2=90°，∴AM=CN=3，在Rt△AP2M与Rt△CP2N中，{AM=CN∠AMP2=∠CNP2 P2M=P2N，∴Rt△AP2M≌Rt△CP2N(SAS)，∴AP2=CP2，∴P2点是△ABC的友爱点；连接P3A，P3B，P3C，过点P3分别作x轴，y轴的垂线段P3D，P3E，如图，则OD=P3E=2，OE=P3D=1，∠ADP3=∠BDP3=∠CEP3=90°，∴AD=2，BD=6，CE=3，∴P3点不是△ABC的友爱点；综上所述，△ABC的友爱点是P1，P2，所以答案为：P1，P2；(2)见答案；(3)由题意知，△ABC的友爱点P，满足AP=BP或AP=CP或AP=BC=AC，若AP=BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，即y轴上；若AP=CP，则点P在线段AC的垂直平分线上；若AP=BC=AC，则点P在以点A为圆心，AC长为半径的圆弧上，设AC的中点为G，则点G的纵坐标为2，如图，由图可知，当直线l在过点G且平行于x轴的直线与x轴之间时，直线l存在△ABC的友爱点，∴直线l为过点M(0,m)且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的三个友爱点，则m的取值范围是0<m<2；所以答案为：0<m<2．27.答案：(1)xx3−1(答案不唯一)；(2)①A⋅B，A2；②A+B=mx+2x−3+nx+3x2−9，∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，∴n=1，结果为mx+2x−3+1x−3=mx+3x−3，∴m=0，∴2m+n=0+1=1；由①知：m=0，n=−5时，也符合条件，此时2m+n=−5；综上，2m +n 的值为1或−5．解析：(1)根据新定义可得只含有字母x 的二次分式x x 3−1(答案不唯一)； (2)①当m =0，n =−5时，A =mx+2x−3=2x−3，B =nx+3x 2−9=−5x+3x 2−9∴A ·B =2x−3·−5x+3x 2−9=−10x+6(x−3)(x 2−9)=−10x+6x 3−3x 2−9x+27，分母是3次，分子是1次，所以A ·B 是二次分式；A +B =2x−3+−5x+3x 2−9=2(x+3)−5x+3(x+3)(x−3)=−3x+9(x−3)(x+3)=−3(x−3)(x−3)(x+3)=−3x+3，分母是1次，分子是常数，所以A +B 是一次分式，不是二次分式；A −B =2x−3−−5x+3(x+3)(x−3)=2(x+3)−(−5x+3)(x−3)(x+3)=2x+6+5x−3(x−3)(x+3)=7x+3x 2−9， 分母是2次，分子是一次，所以A +B 是一次分式，不是二次分式；A 2=(2x−3)2=4x 2−6x+9，是二次分式； 所以答案为：A ⋅B ，A 2；②见答案．(1)根据材料中的新定义求解；(2)①把m =0，n =−5代入可计算A 和B 的值，分别代入A ⋅B ，A +B ，A −B ，A 2中计算，并根据新定义判断是否是二次分式；②计算A +B 并根据一次分式的定义可得m 和n 的值，代入2m +n 中计算求值即可．本题考查了新定义和分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．28.答案：(1)80；(2)①结论：△AED 是等边三角形．理由：如图2中，∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA=EC=ED，∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=90°−60°=30°，∴∠ACD=180°−30°=150°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，∴∠AED=360°−300°=60°，∴△ADE是等边三角形；②PE−PD=2AB．解析：(1)如图1中，∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA=EC=ED，∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，∵∠ABC=90°，∠BAC=50°，∴∠ACB=90°−50°=40°，∴∠ACD=180°−40°=140°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=280°，∴∠AED=360°−280°=80°，所以答案为：80．(2)①见答案；②PE−PD=2AB;证明：如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′．当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，∵∠CFD+∠CFE=180°，∠CFD=∠CAE，∴∠CAE+∠CFE=180°，∴∠ACF+∠AEF=180°，∵∠AED=60°，∴∠ACF=120°，∴∠ACB=∠FCD=30°，∴∠DCF=∠FCD′=30°，∴∠DCD′=60°，∵CD=CD′，∴△CDD′是等边三角形，∴DC=DD′，∠CDD′=∠ADE=60°，∴∠ADC=∠EDD′，∵DA=DE，在△ADC和△EDD′中，{CD=DD′∠ADC=∠EDD′DA=DE∴△ADC≌△EDD′(SAS)，∴AC=ED′，∵∠B=90°，∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴PE−PD=2AB．所以答案为：PE−PD=2AB..(1)利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；(2)①△ADE是等边三角形，证明EA=ED，∠AED=60°即可；②结论：PE−PD=2AB.如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′.当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，利用全等三角形的性质证明ED′=AC，可得结论．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．。
2021-2022学年北京市海淀区初二数学第一学期期末试卷及解析
2021-2022学年北京市海淀区初二数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）将数字0.000003用科学记数法表示应为( ) A ．33010-⨯B ．6310-⨯C ．5310-⨯D ．40.310-⨯3．（3分）下列变形是因式分解的是( ) A ．2(1)x x x x +=+ B ．2264(3)5x x x ++=+- C ．23()3x xy x x y +-=+- D ．2221(1)x x x ++=+4．（3分）下列计算正确的是( ) A ．326(3)9a a =B ．3252a a a +=C ．326a a a ⋅=D ．824a a a ÷=5．（3分）如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上一点，DE AC ⊥于点E ．若3EC =，则DC 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．76．（3分）下列变形正确的是( ) A ．33y y x x +=+B ．y y x x-=-C ．22y y x x=D ．y x x y= 7．（3分）如图，ABC DEC ∆≅∆，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为( )A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．40︒8．（3分）小冬以长方形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD 的面积为( )A ．1B ．32C ．2D ．83二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）若分式12x -有意义，则x 的取值范围为 ． 10．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4)A 与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是 ． 11．（2分）分解因式：2312a -= ． 12．（2分）若4x =是关于x 的方程233x mx -=-的解，则m 的值为 ． 13．（2分）等腰三角形的一个角等于40︒，则它的顶角的度数是 ．14．（2分）在〇处填入一个整式，使关于x 的多项式2x +〇1+可以因式分解，则〇可以为 ．（写出一个即可）15．（2分）如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，CE AB ⊥于点E ，AD 与CE 交于点F ，连接BF ．若BF 平分ABC ∠，2EF =，8BC =，则CDF ∆的面积为 ．16．（2分）如图，在ABC ∆中，AC BC =，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧交BC 于点D ，交AC 于点E ．再分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于F ，G 两点．作直线FG ，若直线FG 经过点E ，则AEG ∠的度数为 ︒．三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题4分，第20、23、24、25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）17．（4分）计算：01861()()223π--+-÷．18．（4分）化简：2(2)(3)(1)x x x -+++． 19．（4分）化简：2[(3)(3)]9x y x y x y +--÷． 20．（5分）解方程：153x x =+ 21．（4分）如图，已知线段AB 及线段AB 外一点C ，过点C 作直线CD ，使得CD AB ⊥． 小欣的作法如下：①以点B 为圆心，BC 长为半径作弧；②以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于点D ； ③作直线CD ． 则直线CD 即为所求．（1）根据小欣的作图过程补全图形； （2）完成下面的证明．证明：连接AC ，AD ，BC ，BD ． BC BD =，∴点B 在线段CD 的垂直平分线上．( )（填推理的依据）AC = ，∴点A 在线段CD 的垂直平分线上． ∴直线AB 为线段CD 的垂直平分线．CD AB ∴⊥．22．（4分）在33⨯的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中ABC ∆是一个格点三角形．请在图1和图2中各画出一个与ABC ∆成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．23．（5分）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．求证：CD BE =．24．（5分）已知2210a a +-=，求代数式222111()211a a a a a a--÷-+--的值． 25．（5分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要的时间与原计划生产450台机器所需要的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？26．（6分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点(4,0)A -，(4,0)B ，(0,4)C ，给出如下定义：若P 为ABC ∆内（不含边界）一点，且AP 与BCP ∆的一条边相等，则称P 为ABC ∆的友爱点．（1）在1(0,3)P ，2(1,1)P -，3(2,1)P -中，ABC ∆的友爱点是 ．（2）如图2，若P 为ABC ∆内一点，且15PAB PCB ∠=∠=︒，求证：P 为ABC ∆的友爱点； （3）直线l 为过点(0,)M m 且与x 轴平行的直线，若直线l 上存在ABC ∆的三个友爱点，直接写出m 的取值范围是 ．27．（7分）在分式NM中，若M ，N 为整式，分母M 的次数为a ，分子N 的次数为b （当N 为常数时，0)b =，则称分式NM为()a b -次分式．例如，431x x x +-为三次分式．（1）请写出一个只含有字母x 的二次分式 ；（2）已知23mx A x +=-，239nx B x +=-（其中m ，n 为常数）． ①若0m =，5n =-，则A B ⋅，A B +，A B -，2A 中，化简后是二次分式的为 ； ②若A 与B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m n +的值．28．（7分）在ABC ∆中，90B ∠=︒，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．（1）如图1，当50BAC ∠=︒时，则AED ∠= ︒； （2）当60BAC ∠=︒时，①如图2，连接AD ，判断AED ∆的形状，并证明；②如图3，直线CF 与ED 交于点F ，满足CFD CAE ∠=∠．P 为直线CF 上一动点．当PE PD -的值最大时，用等式表示PE ，PD 与AB 之间的数量关系为 ，并证明．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
海淀区202020学年初二期末数学试题及答案(word版)
海淀区八年级第一学期期末调研2020．01数 学学校 班级 姓名 成绩一、 选择题（本大题共30分，每小题3分）第1~10题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案.下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是A .B .C .D .2.2019年被称为“5G 元年”．据媒体报道，5G 网络的理论下载速度为1.25GB/s ，这就意味着我们下载一张2.5M 的照片只需要0.002s ，将0.002用科学记数法表示为 A ．2210-⨯B ．3210-⨯C ．20.210-⨯D ．30.210-⨯3.下列运算结果为6a 的是 A ．32a a ⋅B ．93a a -C ．()32aD ．183a a ÷4.在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是A ．()22242x x x ++=+ B ．24(4)(4)x x x -=+-C ．()22442x x x -+=-D ．()2242x x +=+5.如图，经过直线AB 外一点C 作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁．（2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ． （3）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ． （4）作直线CF ．则直线CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为 A ．△CDFB ．△CDKC ．△CDED ．△DEF6.有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为()2a b +，则宽为A ．12B ．1C ．()12a b +D ．a b + 7.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的动点（点D 与B ，C 不重合），△ABD 和△ACD 的面积分别表示为S 1和S 2，下列条件不能．．说明AD 是△ABC 角平分线的是A .BD =CDB .∠ADB =∠ADC C .S 1=S 2D .AD =12BC 8.如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC 全等的三角形是 A ．△AEGB ．△ADFC ．△DFGD ．△CEGDCBA2(a+b )aba 2ab b 29.若4ab =-，其中a b >，以下分式中一定比ba大的是 A .22b a B .2b aC .2a -D .+2b a10.已知长方形ABCD 可以按图示方式分成九部分，在a ，b 变化的过程中， 下面说法正确的有①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长②长方形ABCD 的长宽之比可能为2③当长方形ABCD 为正方形时，九部分都为正方形 ④当长方形ABCD 的周长为60时，它的面积可能为100 A ．①② B ．①③ C ．②③④ D ．①③④二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11.请写出一个只含有字母x 的分式，当x =3时分式的值为0，你写的分式是 ．12.计算：()()3422a a a ⋅-÷=．13.如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上.若想知道两点A ，B 的距离，只需要测量出线段 即可．14.如图，已知空间站A 与星球B 距离为a ，信号飞船C 在星球B 附近沿圆形轨道行驶，B ，C 之间的距离为b ．数据S 表示bb aab aCDBA BABCF G DE飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最大值是 ． 15.平面直角坐标系xOy 中，点A （4，3），点B （3，0），点C （5，3），点E 在x 轴上.当CE=AB 时，点E 的坐标为 ．16.北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营.小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场.若设公交的平均速度为x 公里/时，根据题意可列方程: ．17.如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，若∠ABC 与∠ACD 互补，CD =5，则BC 的长为 ．18.如图，已知MON ∠，在边ON 上顺次取点1P ，3P ，5P …，在边OM 上顺次取点2P ，4P ，6P …，使得112233445===OP PP P P P P P P =…，得到等腰△12OPP ，△123P P P ，△234P P P ，△345P P P …BP 5P 4P 3P 2P 1ONM（1）若MON ∠=30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 ； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△345P P P ，则MON ∠的度数α的取值范围是 ．三、解答题（本大题共54分，第19题8分，20~22题每题5分，第23~26每题6分，第27题7分） 19.（1）计算：()18613333π-⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭（2）因式分解：22312x y -20.如图，已知AB=AC ，E 为AB 上一点，ED ∥AC ，ED=AE . 求证：BD=CD .21.已知2220a ab b -+=，求代数式()()()422a a b a b a b --+-的值．A22.如图，AB⊥AC，AB=AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F. （1）依题意补全图形；（2）求证：BE=EF+FC.23.已知+2x a b=-，222+y ab a b-=．（1）用x表示y；（2）求代数式44()2xxx y x-⋅++的值．CBAD24.如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD 是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.交换命题的条件和结论，得到下面的命题： 在直角△ABC 中，∠ACB =90°，如果12CB AB，那么∠BAC =30°． 请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由.CB A25.对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式245A x x =-+，若将其写成()221A x =-+的形式，就能看出不论字母x 取何值，它都表示正数；若将它写成()2=12(1)2A x x ---+的形式，就能与代数式B=222x x -+建立联系．下面我们改变x 的值，研究一下A ，B 两个代数式取值的规律：（1）完成上表； （2）观察表格可以发现：若x =m 时，222=B x x n =-+，则x =m +1时，245A x x n =-+=．我们把这种现象称为代数式A 参照代数式B 取值延后，此时延后值为1．①若代数式D 参照代数式B 取值延后，相应的延后值为2，求代数式D ；②已知代数式210ax x b -+参照代数式234x x c -+取值延后，请直接写出b -c 的值：_____________．ACB26.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F ． （1）在图1中，依题意补全图形；（2）记DAC α∠=（45α<︒），求ABF ∠的大小；（用含α的式子表示） （3）若△ACE 是等边三角形，猜想EF 和BC 的数量关系，并证明．图1 备用图CA27.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为一、三象限角平分线．点P 关于y 轴的对称点称为P 的一次反射点，记作1P ；1P 关于直线l 的对称点称为点P 的二次反射点，记作2P ．例如，点(2,5)-的一次反射点为(2,5)，二次反射点为(5,2)．根据定义，回答下列问题：（1）点(2,5)的一次反射点为_____________，二次反射点为_______________； （2）当点A 在第一象限时，点(3,1)M ，(3,1)N -，(1,3)Q --中可以是点A 的二次反射点的是______________；（3）若点A 在第二象限，点1A ，2A 分别是点A 的一次、二次反射点，△12OA A 为等边三角形，求射线OA 与x 轴所夹锐角的度数．附加问题：（本问3分，可计入总分，但全卷总分不超过100分）若点A 在y 轴左侧，点1A ，2A 分别是点A 的一次、二次反射点，△12AA A 是等腰直角三角形，请直接写出点A 在平面直角坐标系xOy 中的位置．海淀区八年级第一学期期末调研（数学）参考答案二、 选择题（本大题共30分，每小题3分）第1~10题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．二、填空题（本大题共16分，每小题2分） 11．3x x-（答案不唯一） 12． 58a 13．DE 14．a b + 15．(4,0)或(6,0)16．5443122x x -= 17． 1018． （1）△123PP P ；（2）1822.5α︒≤<︒ 三、解答题（本大题共54分，第19题8分，20~22题每题5分，第23~26每题6分，第27题7分）19．（1）解：原式2133=-+ ………………………3分193=-+5=- ………………………4分（2）解：原式223(4)x y =- ………………………2分3(2)(2)x y x y =+- ………………………4分20．证明：∵ED ∥AC ，∴∠EDA =∠DAC ， ………………………1分 ∵ED=AE ，∴∠EAD =∠EDA ． ………………………2分 ∴∠EAD =∠DAC ． ………………………3分在△ADB 和△ADC 中， ,,,AB AC DAB DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC （SAS ）． ………………………4分 ∴BD=CD ． ………………………5分21． 解： ∵2220a ab b -+=，∴2()0a b -=． ………………………1分 ∴a b =．…………………3分…………………4分∴原式=()0b b a -= ． …………………5分22．（1）………………………1分 （2）证明：∵AB ⊥AC ，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BAE +∠CAF =90°，∠BAE +∠B =90°，∠CF A =∠AEB =90°．………………………2分∴∠CAF =∠B ． ………………………3分()()()2222422(4)(4)a ab a b a b a ab a b b ab--+-=---=-FEDCBA222244244=(2)2(2)(2)4(2)22422221x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x -=⋅++-⋅+++-+=⋅+++-=++++=+=在△ABE 和△CAF 中， ,,,B CAF AEB CFA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAF （AAS ）． ………………………4分 ∴BE=AF ，AE=CF ． ∵AF=AE+EF ，∴BE=EF+CF ． ………………………5分23．解：（1）∵+2x a b =-，222+y ab a b -=，∴+2a b x =+，2222+()y a ab b a b =+=+． ………………………1分 ∴2(2)y x =+． ………………………2分（2）由题意可知：原式 ………………………3分………………………4分………………………5分………………………6分24． 解：此命题是真命题． ………………………1分证明：延长BC 至点D ，使得CD=BC ， ………………………2分∵∠ACB =90°，CD=BC∴AC 是线段BD 的垂直平分线，FC F∴AB=AD ． ………………………3分∵12CB AB =，∴BD=AB ．∴△ABD 是等边三角形． ………………………4分 ∴∠BAD =60°． ………………………5分 ∵AC BD ⊥ ∴12BAC BAD ∠=∠=30°． ………………………6分25．解（1）2；2，1，2． ………………………2分（2）①∵代数式D 参照代数式B 取值延后，相应的延后值为2，∴22(2)2(2)2610D x x x x =---+=-+． …………………4分② 7 ………………………6分26． （1）………………………1分 （2）连接AE由题意可知，,EAD CAD α∠=∠= AC =AE ， ∴902,BAE α∠=︒-∵AB=AC ， ∴AB=AE ， ∴,ABE AEB ∠=∠∴180452BAEABF α︒-∠∠==︒+．………………………3分（3）12EF BC =， DCB A证明：由（2）可知45,AEB ABE α∠=∠=︒+ ∴.CBF α∠= ………………………4分 ∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ， ∴135,ACF AEF α∠=∠=︒- ∴90,BCF α∠=︒-∵90,CBF BCF ∠+∠=︒ ………………………5分 ∴△BCF 是直角三角形．∵△ACE 是等边三角形， ∴30.α=︒∴30CBF ∠=︒ ∴1.2EF CF BC ==………………………6分27． 解：（1）(2,5)-，(5,2)-； ………………………2分（2）N 点； ………………………3分（3）∵点A 在第二象限，∴点12,A A 均在第一象限．∵△12OA A 为等边三角形，12,A A 关于OB 对称，∴1230AOB A OB ∠=∠=︒ 分类讨论：①若点1A 位于直线l 的上方，如图1所示，此时115,AOC AOC ∠=∠=︒ 因此射线OA 与x 轴所夹锐角为75︒； ………………………5分 ②若点1A 位于直线l 的上下方，如图2所示，此时175,AOC AOC ∠=∠=︒ 因此射线OA 与x 轴所夹锐角为15︒； ………………………7分综上所述，射线OA 与x 轴所夹锐角为75︒或15︒．图1 图2附加题：x 轴负半轴或第三象限的角平分线 …………2分（不含点O ）．…………3分说明：附加题得分可计入总分，但全卷总分不超过100分。
2024北京海淀区初二(下)期末数学及答案
2024北京海淀初二（下）期末数学2024.07学校_____________ 班级______________ 姓名______________一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．下列二次根式中，最简二次根式是（）2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．1，2，3B．3，3，4C．3，4，5D. 4，4，43．下列各式中，计算正确的是（）=4=+==4．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OE=3，则CD的长为（）A．8 B．6C．4 D．35．在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象经过点P1（-1，y1），P2（2，y2），且y1> y2，则k的值可能为（）A．2B．1C．0D．-16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2，则AC长为（）EBDA． B ．4 C．D ．87．如图，数轴上点O ，A ，B ，C ，D 所对应的数分别是0，1，2，3，4. 若点P，则点P 落在（ ）A ．点O 和点A 之间B ．点A 和点B 之间C ．点B 和点C 之间D ．点C 和点D 之间8．下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间（单位：秒），则下列说法正确的是（ ）A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9． 有意义，则实数x 的取值范围是____________. 10．直线y =2x 向上平移2个单位后得到的直线解析式为____________.11．如图，在ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，点E 是AB 的中点，40BAC ∠=︒，则ADE ∠=____________°.12．一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示.在由鞋的尺码组成ABB的数据中，这组数据的众数是____________.13．用一根长y cm, 则y 关于x 的函数解析式为____________（不写自变量的取值范围）.14．如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E，∠BED 的平分线刚好经过点C ，则∠BCE =____________°.15．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，分别以边ACBCAB ，，为直径画半圆. 记两个月牙形图案ADCE 和CGBF 面积之和（图中阴影部分）为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1________S 2（填“＞”，“＝”或“＜”）.16．磁力棋的棋盘为9×9的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1. 磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起.若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小. 根据以上规则，回答下列问题：（1）如图，小颖在棋盘A ，B ，C 三处放置了互不相吸的三颗磁力珠. 若她想从12P P ，中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠.x BB三、解答题（本题共60分，第17题6分，第18-24题每题5分，第25题6分，第26题7分，第27题6分）17．计算：（1； （2）(33+−.18．如图，在□ABCD 中，点E ，F 为对角线AC 上的两个点，且DE ∥BF ，求证：DE =BF .19．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意. 某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300平方厘米. 为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包 边处理，如图所示.（1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.20．已知：如图1，△ABC.求作：□ABCD .作法：① 作∠ABC 的平分线BM ；② 以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线BM 于点N ，作射线AN ； ③ 以点A 为圆心，BC 长为半径画弧，交射线AN 于点D ，连接CD ； ∴ 四边形ABCD 为所求.A图1 图2（1）使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明.∵ AB = AN ， ∴ ∠ABN = ________. ∵ BN 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠ABN = ∠CBN . ∴ ∠CBN = ________. ∴ ADBC .∵ AD = BC ，∴ 四边形ABCD 为平行四边形（ ）（填推理的依据）.21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y kx =−的图象与正比例函数12y x =的图象交于点A （m ，2）. （1）求k ，m 的值；（2）当x ＞1−时，对于x 的每一个值，函数y ＝ax （a ≠0）的值大于一次函数2y kx =−的值，则a 的取值范围是 ．22．一个有进水管和排水管的水池，每小时进水量和排水量分别为恒定的数值. 从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水. 在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作. 在最后1小时内，水池仅排水而不再进水. 该水池内的水量y （单位：吨）与时间x （单位：小时）之间的函数关系如图所示. 根据图象，回答下列问题.（1）该水池进水管每小时进水_______吨，排水管每小时排水________吨； （2）当x =4时，求水池内的水量； （3）这6个小时，排水管共排水______吨.23．如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点. 连接DE 并延长至点F ，使得EF =DE .连接AF ，CF ，AD .（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）连接BF . 若∠ACB =60°，AF =2，求BF 的长.24．咖啡是世界三大饮品之一，在我国广受欢迎．云南新培育的咖啡豆经五位专家多角度评测，数据已整理，以下是部分信息:a . 咖啡豆评测统计表:b . 咖啡豆评测的平均分统计图：根据以上信息，回答下列问题：（1）咖啡豆评测统计表中m =__________，n = ； （2）补全条形统计图；（3）在这6个评测角度中，五位评委测评打分差异最大的是__________.25．如图1，正方形ABCD 的边长为AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿线段AO →OBB运动，点P 到达点B 时停止运动. 若点P 运动的路程为x ，△DPC 的面积为y ，探究y 与x 的函数关系. （1）x 与y 的两组对应值如下表，则m =______________；（2）当点P 在线段AO 上运动时，y 关于x 的函数解析式为y =-x +4（0≤x ≤2）. 当点P 在线段OB 上运动时，y 关于x 的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________；（3）① 在图2中画出函数图象；② 若直线12y x b =+与此函数图象只有一个公共点，则b 的取值范围是_________________.图1 图226．如图1，AC 和BD 是▱ABCD 的对角线，AB ＝BD . 点E 为射线BD 上的一点，连接AE .（1）当点E在线段BD 的延长线上，且DE ＝BD 时，①依题意补全图1； ②求证：AE ＝AC ；（2）如图2，当点E 在线段BD 上，且∠AEB ＝2∠ACD 时，用等式表示线段AE ，BE 和AB 的数量关系，并证明.图1 图227．甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩. 该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口A ，B ，C .图1 图2（1）园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站. 甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示. 两人约定如下：I. 确定距离自己最近的入口；II. 如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园；III.如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针．．．方向绕园区外围至最近的入口入园.①若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为；②若甲、乙最终在B入口处入园，则乙下车的站点可以为；（2）丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园. 丙在地图上建立平面直角坐标系xOy，如图2所示，其中入口A，B，C的坐标分别为（0，4），（-4，0），（4，0）. 园区内有行驶路线为CG的摆渡车（乘客可以在路线上任意一点上下车）.点G坐标为（-3，1）. 丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个入口A，B，C的最大距离记为a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”.①如果丙希望在a最小处下车，则点M的坐标为_______________；②若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车点，则m的最小值为_______________.参考答案一、 选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 5x ≥； 10. 22y x =+； 11. 20； 12. 23.5； 13. 10y x =−+； 14. 67.5； 15. =； 16. 2P ，20.三、解答题（本题共60分，第17题6分，第18-24题每题5分，第25题6分，第26题7分，第27题6分）17. （1）解：原式−分=. ---------------------- 3分（2）解：原式=223− ---------------------- 2分=7. ---------------------- 3分 18. 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=DC ，AB ∥DC . ---------------------- 1分 ∴ ∠DCE =∠BAF . ∵ DE ∥BF ，∴ ∠DEC =∠BF A . 在△CDE 与△ABF 中，DCE BAF DEC BFA DC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ △CDE ≌△ABF (AAS). ---------------------- 4分 ∴ DE=BF . ---------------------- 5分 19. 解：（1； ---------------------- 2分 （2）∵厘米， ∴圆形团扇的周长为厘米. ---------- 3分 ∵=，3π4<<,∴< ----------------------4分∴ 圆形团扇所用的包边长度更短. ----------------------5分 20. 解：（1）--------------------- 2分（2） ∠ANB ；--------------------- 3分 ∠ANB ；--------------------- 4分一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. --------------------- 5分21. 解：（1）由题意，点A （m ，2）在函数12y x =的图象上， ∴221=m . ∴ 4=m . ---------------------- 1分将A （4，2）代入2y kx =−，得224=−k ，∴ 1=k . ---------------------- 3分 （2）13a ≤≤. ---------------------- 5分 22. 解：（1）3，5； ---------------------- 2分（2）设当35x ≤≤时，函数解析式为)0(≠+=k b kx y .∵ b kx y +=的图象经过点（3，9），（5，5），∴ 395 5.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 215.k b =−⎧⎨=⎩，---------------------- 3分∴152+−=x y .当4=x 时，7158=+−=y ，∴ 当4=x 时，水池内的水量为7吨. ---------------------- 4分（3）15. ---------------------- 5分23. （1）证明：∵ 点E 是AC 的中点，∴ AE =EC . ∵ EF =DE ，∴ 四边形ADCF 是平行四边形. ---------------------- 1分∵在△ABC中，∠CAB=90°，点D是BC的中点，∴AD=BD=DC.∴四边形ADCF是菱形. ---------------------- 2分（2）解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.∴∠BGF=90°.∵四边形ADCF是菱形，∠ACB=60°，AF=2，∴CF=DC=AF =2，∠ACF=∠ACD=60°.∴∠FCG=180°-∠ACF-∠ACD =60°.∴∠GFC=90°-∠FCG=30°.在△CFG中，∠CGF=90°，∠GFC=30°，∴CG=12CF=1.∴FG==4分∵BD=CD=2.∴BG=BD+CD +CG =5.在△BFG中，∠BGF=90°，∴BF=5分24. 解：（1）9，8；---------------------- 2分（2）如图.---------------------- 4分（3）平衡性. ---------------------- 5分25. 解：（1）4； ---------------------- 1分（2）y = x，2≤x≤4； ---------------------- 3分（3）①如图.---------------------- 4分② 1b =或24b <≤. ---------------------- 6分26. 解：（1）① 依题意补全图形.---------------------- 1分②证明：∵ AB=BD ，∴ ∠BAD =∠BDA .∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ，AB =DC .∴ ∠BAD +∠ADC =180°.∵ ∠BDA +∠ADE =180°，∴ ∠ADE =∠ADC .∵ DE =BD ，∴ DE =DC .在△ADE 和△ADC 中，DE DC ADE ADC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ △ADE ≌△ADC （SAS ）.∴ AE =AC . ---------------------- 4分（2）线段AE ，BE 和AB 的数量关系为AE +BE =2AB . ---------------------- 5分证明：延长BD 至点F ，使得DF =BD ，连接AF .由（1）②可得△ADF≌△ADC.∴∠F=∠ACD.∵∠AEB=2∠ACD，∴∠AEB=2∠F.∵∠AEB=∠EAF+∠F，∴∠EAF =∠F.∴EF＝AE.∴AE+BE=EF+BE=BF=2BD=2AB. ----------------------7分27. 解：（1）① B； ---------------------- 2分② 3号车站，4号车站； ----------------------4分（2）①（0，47）； ---------------------- 5分②分。
2021年北京市海淀区八年级数学第二学期期末考试试题含解析
2021年北京市海淀区八年级数学第二学期期末考试试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分） 1．如图，抛物线21043y ax x =-+与直线43=+y x b 经过点()2,0A ，且相交于另一点B ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点E ，过点N 的直线交抛物线于点M ，且MN y 轴，连接,,,AM BM BC AC ，当点N 在线段AB上移动时（不与A 、B 重合），下列结论正确的是（ ）A ．MN BN AB +< B ．BAC BAE ∠=∠C ．12ACB ANM ABC ∠-∠=∠ D ．四边形ACBM 的最大面积为132．随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x （辆）的关系如图所示，当x≥8时，y 与x 成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x 应该满足的范围是（ ）A ．x ＜32B ．x≤32C ．x ＞32D ．x≥323．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，假设每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图．则每分钟的进水量与出水量分别是（ ）A ．5、2.5B ．20、10C ．5、3.75D ．5、1.254．甲、乙、两、丁四名同学在三次阶段考试中数学成绩的方差分别为2 1.2S =甲，20.19S =乙，21S =丙，23.5S =丁，则这四名同学发挥最稳定的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）A ．x ≥2B ．x ＜2C ．x ＞2D ．x ≤26．解分式方程13211x x-=--，去分母得（ ） A ．12(1)3--=-x B ．12(1)3--=xC ．1223--=-xD ．1223-+=x7．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以A 为圆心，AE 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于F 、E 两点；分别以点E 和点F 为圆心，大于12EF 且相等的长为半径画弧，两弧相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，若BD ＝43，AC 长是分式方程135(2)x x =-的解，则△ACD 的面积是（ ）A ．103B ．203C ．4D ．38．如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点9．现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm ，方差分别为2s =0.51甲，2s =0.35乙，那么两个队中队员的身高较整齐的是（ ） A ．甲队 B ．乙队C ．两队一样高D ．不能确定10．已知，则下列不等式一定成立的是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10，E 在 BC 边上运动，取 DE 的中点 G ，EG 绕点 E 顺时针旋转90°得 EF ，问 CE 长为多少时，A 、C 、F 三点在一条直线上（ ）A ．83B ．65 C ．103 D ．32 12．下列各式：31xx +，12x +，3x ＋y ，22x y x -+，x π，其中分式共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每题4分，共24分）13．甲、乙两名同学的5次数学成绩情况统计结果如下表： 平均分 方差 标准差 甲 80 4 2 乙80164根据上表，甲、乙两人成绩发挥较为稳定的是______.(填：甲或乙)14．式子12aa+-有意义，则实数a的取值范围是______________.15．关于x的不等式组()3141x xx m⎧->-⎨<⎩的解集为x＜3，那么m的取值范围是_____．16．如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______．17．如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，点D、E、F分别是三边的中点，若AF=3cm，则DE=_____cm．18．我校八年一班甲、乙两名同学10次投篮命中的平均数x均为7，方差2S甲＝1.45，2S乙＝2.3，教练想从中选一名成绩较稳定的同学加入校篮球队，那么应选_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知：一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣1．（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．20．（8分）已知：如图，△OAB，点O为原点，点A、B的坐标分别是(2，1)、(﹣2，4)．(1)若点A、B都在一次函数y=kx+b图象上，求k，b的值；(2)求△OAB的边AB上的中线的长．21．（8分）计算化简(1)011()()5232-+--(2)221()a b a b a b b a-÷-+-22．（10分）某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效提升了20%，这样加工同样多的零件就少用10h ，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？23．（10分）如图，ABC 中任意一点()00,P x y 经平移后对应点为()003,4Px y '++，将ABC 作同样的平移得到DEF ，其中点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 分别对应，请解答下列问题：（1）画出DEF ，并写出点D 、E 、F 的坐标．．（2）若DEF 与111D E F 关于原点O 成中心对称，直接写出点D 的对应点1D 的坐标．24．（10分）某校为了开展读书月活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成四类：艺术、文学、科普、其他．随机调查了该校m 名学生（每名学生必选且只能选择一类图书），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）m ＝ ，n ＝ ，并请根据以上信息补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是 度；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书． 25．（12分）计算：（2）()()()22122a a a +--+；（3）先化简再求值()()()()222222xy xy x y xy ⎡⎤+---÷⎣⎦，其中10x =，15y =-. 26．如图，在平行四边形ABCD 中（AB ＞AD ），AF 平分∠DAB ，交CD 于点F ，DE 平分∠ADC ，交AB 于点E ，AF 与DE 交于点O ，连接EF（1）求证：四边形AEFD 为菱形；（2）若AD ＝2，AB ＝3，∠DAB ＝60°，求平行四边形ABCD 的面积．参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、C 【解析】 【分析】】（1）当MN 过对称轴的直线时，解得：BN=256，而MN=56，BN+MN=5=AB ；（2）由BC ∥x 轴（B 、C 两点y 坐标相同）推知∠BAE=∠CBA ，而△ABC 是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA ，故∠BAC=∠BAE 错误；（3）如上图，过点A 作AD ⊥BC 、BE ⊥AC ，由△ABC 是等腰三角形得到：EB 是∠ABC 的平分线，∠ACB-∠ANM=∠CAD=12∠ABC ； （4）S 四边形ACBM =S △ABC +S △ABM ，其最大值为94． 【详解】解：将点A （2，0）代入抛物线y=ax 2-103x+4与直线y=43x+b解得：a=23，b=-83，设：M点横坐标为m，则M（m，23m2-103m+4）、N（m，43m-83），其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），则AB=BC=5，则∠CAB=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（52，-16）、（52，23），由勾股定理得：BN=256，而MN=56，BN+MN=5=AB，故本选项错误；B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA≠∠BCA，∴∠BAC=∠BAE不成立，故本选项错误；C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴EB是∠ABC的平分线，易证：∠CAD=∠ABE=12∠ABC，而∠ACB-∠ANM=∠CAD=12∠ABC，故本选项正确；D、S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，S△ABC=10，S△ABM=12MN•（x B-x A）=-m2+7m-10，其最大值为94，故S四边形ACBM的最大值为10+94=12.25，故本选项错误．本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．2、B【解析】【分析】利用已知反比例函数图象过（8，80），得出其函数解析式，再利用y=20时，求出x的最值，进而求出x的取值范围．【详解】解：设反比例函数的解析式为：kyx =，则将（8，80），代入kyx=,得：k=xy=8×80=640，∴反比例函数的解析式为：640 yx =故当车速度为20千米/时，则640 20x=，解得：x=1，故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：0<x≤1．故答案为x≤1．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．3、C【解析】试题分析：∵t=4时，y=20，∴每分钟的进水量=204=5（升）；∴4到12分钟，8分钟的进水量=8×5=40（升），而容器内的水量只多了30升-20升=10升，∴8分钟的出水量=40升-10升=30升，∴每分钟的进水量=308=3.75（升）．故选C．考点：一次函数的应用．4、B根据方差越小，波动越小，越稳定，即可得到答案． 【详解】解：∵2 1.2S =甲，20.19S =乙，21S =丙，23.5S =丁，∴2S 乙＜2S 丙＜2S 甲＜2S 丁， ∴成绩最稳定的是乙． 故选：B ． 【点睛】本题考查了方差的意义：方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定． 5、D 【解析】 【分析】直接将解集在数轴上表示出来即可，注意实心和空心的区别 【详解】数轴上读出不等式解集为x ≤2，故选D 【点睛】本题考查通过数轴读出不等式解集，属于简单题 6、A 【解析】 【分析】分式方程两边乘以（x-1）去分母即可得到结果． 【详解】解：方程两边乘以（x-1） 去分母得：12(1)3--=-x ． 故选：A ． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 7、A利用角平分线的性质定理证明DB=DH=43,再根据三角形的面积公式计算即可【详解】如图,作DH⊥AC于H，∵135(2) x x=-∴5（x-2）=3x∴x=5经检验:x=5是分式方程的解∵AC长是分式方程135(2)x x=-的解∴AC=5∵∠B=90°∴DB⊥AB,DH⊥AC ∵AD平分∠BAC,∴DH=DB=4 3S ADC= 14105= 233⨯⨯故选A【点睛】此题考查角平分线的性质定理和三角形面积，解题关键在于做辅助线8、B【解析】试题解析：当以点B为原点时，A（-1，-1），C（1，-1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选B．对称的性质是解题的关键．9、B【解析】【分析】根据方差的意义解答．方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）． 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．【详解】解：∵2S 甲＞2S 乙，∴身高较整齐的球队是乙队．故选：B ．【点睛】本题考查方差的意义,它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．10、C【解析】【分析】根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】解：A 、因为， 不知道是正负数或者是0，不能得到，则A 选项的不等式不成立；B 、因为，则，所以B 选项的不等式不成立；C 、因为，则，所以C 选项的不等式成立；D 、因为，则，所以D 选项的不等式不成立． 故选C ．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是知道不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．11、C【解析】【分析】过F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N 点，连接AF ．只要证明Rt △FNE ∽Rt △ECD ，利用相似比2：1解决问题．再证明△CNF 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】过F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N 点，连接AF.∵∠DCE=∠ENF=90°,∠DEC+∠NEF=90°,∠NEF+∠EFN=90°, ∴∠DEC=∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ，∵DE 的中点G ,EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴两三角形相似比为1:2，∴可以得到CE=2NF,NE=12CD=5. ∵AC 平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF 是等腰直角三角形，∴CN=NF ，∴CE=23NE=23⨯5=103， 故选C.【点睛】本题考查正方形的性质和旋转的性质，解题的关键是掌握正方形的性质和旋转的性质.12、B【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式.利用这点进行解题即可.【详解】 在31x x +，12x +，3x y +，22x y x -+，x π，中是分式的有：31x x +，22x y x -+，故B 正确. 【点睛】本题考查的是分式的定义，解题的关键是找到分母中含有字母的式子，同时一定要注意π不是字母.二、填空题（每题4分，共24分）13、甲【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】∵S 甲2=4，S 乙2=16，∴S 甲2=4＜S 乙2=16，∴成绩稳定的是甲，故答案为：甲．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14、1a ≥-且2a ≠【解析】分析：直接利用二次根式的定义：被开方数大于等于零，分式有意义的条件：分母不为零，分析得出答案．详解：式子2a -有意义， 则a +1≥0，且a -2≠0，解得：a ≥-1且a ≠2.故答案：1a ≥-且2a ≠.点睛：本题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件.15、m ≥1【解析】【分析】首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集即可确定m 的范围．【详解】()3141x x x m ⎧--⎨⎩＞①＜②， 解①得x ＜1，∵不等式组的解集是x＜1，∴m≥1．故答案是：m≥1．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16、【解析】【分析】利用点B和点D的坐标之间的关系得到线段AB缩小2.5倍得到线段CD，然后确定C点坐标．【详解】解：∵将线段AB缩小得到线段CD，点B（5，0）的对应点D的坐标为（2.0），∴线段AB缩小2.5倍得到线段CD，∴点C的坐标为（1，2）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．17、3【解析】【分析】【详解】∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，∴BC＝2AF＝6cm，又∵DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=3cm.故答案为3.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线和三角形的中位线. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.18、甲【解析】【分析】根据方差的概念,方差越小代表数据越稳定,即可解题.【详解】解：∵两人的平均数相同,∴看两人的方差,方差小的选手发挥会更加稳定,∵2S 甲=1.45，2S 乙=2.3，∴应该选甲.【点睛】本题考查了方差的概念,属于简单题,熟悉方差的含义是解题关键.三、解答题（共78分）19、（1）m ＝1；（2）3＜m ＜1【解析】【分析】（1）由一次项系数非零及一元一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m 的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出实数m 的值；（2）由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数y ＝（3﹣m ）x +m ﹣1的图象过原点，∴3050m m -≠⎧⎨-=⎩， 解得：m ＝1．（2）∵一次函数y ＝（3﹣m ）x +m ﹣1的图象经过第二、三、四象限，∴3050m m ＜＜-⎧⎨-⎩， 解得：3＜m ＜1．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据一次项系数非零及一元一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m 的一元一次不等式及一元一次方程；（2）牢记“k ＜0，b ＜0⇔y ＝kx +b的图象在二、三、四象限”．20、(1)k=﹣34，b=52；(2)AB边上的中线长为52．【解析】【分析】(1)由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得k、b的值；(2)由A、B两点到y轴的距离相等可知直线AB与y轴的交点即为线段AB的中点，利用(1)求得的解析式可求得中线的长．【详解】(1)∵点A、B都在一次函数y=kx+b图象上，∴把(2，1)、(﹣2，4)代入可得2124k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得3452kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴k=﹣34，b=52；(2)如图，设直线AB交y轴于点C，∵A(2，1)、B(﹣2，4)，∴C点为线段AB的中点，由(1)可知直线AB的解析式为y=﹣34x+52，令x=0可得y=52，∴OC=52，即AB边上的中线长为52．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于利用待定系数法求解21、（1）62）1 a b -+【解析】【分析】(1)原式第一项利用零指数公式化简,第二项利用负指数公式化简,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果;(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分即可得到结果.【详解】解:(1)原式(2)原式=()()()a ab a ba b a b b----⋅+-=1()()b a ba b a b b a b--⋅=-+-+【点睛】本题考查了分式的混合运算,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,约分时,分式的分子分母出现多项式,应将多项式分解因式后再约分.22、采用新工艺前每时加工20个零件，采用新工艺后每时加工1个零件．【解析】【分析】设采用新工艺前每时加工x个零件，那么采用新工艺后每时加工1.2x个零件，根据时间＝零件数÷每小时加工零件数，由等量关系：加工同样多的零件1200个少用10h，可列方程求解．【详解】设采用新工艺前每时加工x个零件，则采用新工艺后每时加工1.2x个零件，依题意有12001200101.2x x-=，解得x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，则1.2x＝1．答：采用新工艺前每时加工20个零件，采用新工艺后每时加工1个零件．【点睛】本题考查分式方程的应用和理解题意能力，关键是设出采用新工艺之前每小时加工x个，然后表示出采用新工艺后每小时加工多少个，再以时间做为等量关系列方程求解．23、（1）D(0，4)，E(2，2)，F(3，5)，画图见解析；（2）(0，-4)【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律求解可得；（2）根据关于原点中心对称的规律“横纵坐标都互为相反数”即可求得．【详解】解：（1）如图，△DEF 即为所求，点D 的坐标是(3304)-++，，即(0，4)； 点E 的坐标是(1324)-+-+，，即(2，2)； 点F 的坐标为(03,14)++，即(3，5)；（2）点D(0，4)关于原点中心对称的1D 的坐标为(0，-4)．【点睛】本题主要考查了平移变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．24、（1）50，30；（2）72；（3）270名学生.【解析】【分析】（1）根据其他的人数和所占的百分比即可求得m 的值，从而可以求得n 的值，求得喜爱文学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据扇形统计图中的数据可以求得“艺术”所对应的扇形的圆心角度数；（3）根据统计图中的数据可以估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．【详解】解：（1）510%50%155030%m n =÷==÷=， ，文学有：501015520---= ，补全的条形统计图如右图所示；故答案为50，30；（2）由题意可得，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是：103607250︒⨯=， 故答案为72；（3）由题意可得，1590027050⨯=， 即该校900名学生中有270名学生最喜欢科普类图书．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25、（1）222x xy y --；（2）2345a a ++；（3）xy -，2. 【解析】【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；（3）原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）()()2x y x y +-2222x xy xy y =-+-222x xy y =--；（2）()()()22122a a a +--+ 224414a a a =++-+2345a a =++；（3）()()()()222222xy xy x y xy ⎡⎤+---÷⎣⎦ ()()2222424x y x y xy =--+÷()()22x y xy =-÷xy =-当10x =，15y =-时， 原式11025⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：（1）222x xy y --；（2）2345a a ++；（3）xy -，2. 【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．26、（1）见解析；（2）3. 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，得到∠EAF=∠DFA ，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠EAF ，求得∠DAF=∠AFD ，得到AD=DF ，同理AD=AE ，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）过D 作DH ⊥AB 于H ，解直角三角形得到DE=，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠EAF=∠DFA ，∵AF 平分∠DAB ，∴∠DAF=∥EAF ，∴∠DAF=∠AFD ，∴AD=DF ，同理AD=AE ，∴DF=AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AD=DF，∴四边形AEFD为菱形；（2）过D作DH⊥AB于H，∵∠DAB=60°，AD=2，∴DH=，∴平行四边形ABCD的面积=DH•AB=3．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．。
2020—2021学年北京市海淀区初二上数学期末试卷含答案
2020—2021学年北京市海淀区初二上数学期末试卷含答案数 学 2021.5一、选择题（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．符合题意．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．下列标志是轴对称图形的是A B C D2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把数字0.000002 5用科学记数法表示为A ．62.510⨯B ．60.2510-⨯C ．62510-⨯D ．62.510-⨯3．使分式23x -有意义的x 的取值范畴是A ．3x ≠B ．3x >C ．3x <D ．3x = 4．下列运算中，正确的是A ．238()a a =B ．842a a a ÷=C ．325a a a +=D ．235a a a ⋅= 5．如图，△ABC ≌△DCB ，若AC ＝7，BE ＝5，则DE 的长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．在平面直角坐标系中，已知点A （2，m ）和点B （n ，－3）关 于x 轴对称，则m n +的值是A ．－1B ．1C ．5D ．－57．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同．．的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS8．下列各式中，运算正确的是A ．2(21)21x x x -=-B ．23193x x x +=-- C ．22(2)4a a +=+ D ． 2(2)(3)6x x x x +-=+-9．若1a b +=，则222a b b -+的值为A ．4B ．3C ．1D ．010．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，则∠DBC 的度数是A ．20°B ．30°C ．40°D ．50° 11．若分式61a +的值为正整数，则整数a 的值有 A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个12．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为 A ．6 B ．8C ．10D ．12二、填空题（本题共24分，每小题3分） 13．当x = 时，分式1xx -值为0． 14．分解因式：24x y y -= ． 15．运算：233x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．16．假如等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．17．如图，DE ⊥AB ，∠A ＝25°，∠D ＝45°，则∠ACB 的度数为 ．18．等式222()a b a b +=+成立的条件为 ．19．如图，在△ABC 中，BD 是边AC 上的高，CE 平分∠ACB ，交BD 于点E ，DE ＝2，BC ＝5，则△BCE 的面积为 ．20．图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探究这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采纳由专门到一样的方法进行探究，列表如下：专门网图结点数（V） 4 6 9 12网眼数（F） 1 2 4 6边数（E） 4 7 12 ☆表中“☆”处应填的数字为；依照上述探究过程，能够猜想V，F，E之间满足的等量关系为；如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为．图1 图2三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．运算：114(π3)32-⎛⎫---+-⎪⎝⎭．22．如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC＝DB．求证：AB= ED．23．运算：2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭．24．解方程：3111x x x -=-+．四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分） 25．已知3x y -=，求2[()()()]2x y x y x y x -++-÷的值．26．北京时刻2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也制造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的都市，张家口也成为本届冬奥会的协办都市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告差不多获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是一般快车的1.5倍，用时比一般快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．27．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．AMB五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分）28．如图1，我们在2021年1月的日历中标出一个十字星，并运算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为⨯-⨯=，再选择其它位置的十字星，能够发觉“十字差”仍为48．121462048（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，能够发觉相应的“十字差”也是一个定值，则那个定值为____________．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（3k≥），连续前面的探究，能够发觉相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出那个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2020，则那个十字星中心的数为__________________（直截了当写出结果）．图1 图2图329．数学老师布置了如此一道作业题：在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究那个问题的过程和思路：先从专门问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决那个问题．图1 图2（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种专门情形下∠ADB的度数；（2）结合小聪研究专门问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步摸索，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为_______________________________________________（直截了当写出结果）．八年级第一学期期末练习数 学 答 案 2021.1一、选择题（本题共36分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDADACABCBBC二、填空题（本题共24分，每小题3分）13．0x =； 14．(2)(2)y x x +-； 15．269x y； 16．17； 17．110°；18．0ab =； 19．5； 20．17，1V F E +-=，1V F E +-=． 三、解答题（本题共16分，每小题4分）21．解：原式＝2123--+ ---------------------------------------------------------------------3分 ＝2 . -------------------------------------------------------------------------4分 22．证明：∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠EBD ． ---------------------------------------------------------1分在△ABC 和△EDB 中,,,,AC EB C EBD BC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△EDB ． ----------------------------------------------------------------------3分 ∴AB ＝ED ． --------------------------------------------------------------------4分23．解：原式＝2342(1)2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++-÷⎢⎥+-+--⎣⎦--------------------------------------------1分 ＝2(34)2(1)(1)(1)(1)2x x x x x x +-+-⋅+-+ -----------------------------------------------2分 ＝22(1)(1)(1)2x x x x x +-⋅+-+ --------------------------------------------------3分 ＝11x x -+. ---------------------------------------------------------------------4分 24．解：方程两边乘以(1)(1)x x +-，得(1)(1)(1)3(1)x x x x x +-+-=-. ------------------------------------------1分 解得 2x =. ----------------------------------------------------------3分检验：当2x =时，(1)(1)0x x +-≠．因此， 原分式方程的解为2x =． ---------------------------------4分四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分） 25．解：原式＝2222(2)2x xy y x y x -++-÷ -------------------------------------1分 ＝2(22)2x xy x -÷ -------------------------------------------2分＝x y -. -------------------------------------------------------3分当3x y -=时，原式＝x y -＝3. -------------------------------------------4分26．解：设一般快车的平均行驶速度为x 千米/时,则高铁列车的平均行驶速度为1.5x 千米/时．----1分 依照题意得18018011.53x x -=． -------------------------------------3分 解得 180x =． ----------------------------------------------4分 经检验，180x =是所列分式方程的解，且符合题意．∴1.5 1.5180270x =⨯=．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时． -----------------------------5分27．解：（1）（注：不写结论不扣分）ME DC B A-------------------------------1分（2）BD ＝DE -------------------------------------------------------------2分证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝12∠ABC ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠4． ∴∠1＝12∠4． ∵CE ＝CD ， ∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2＋∠3， ∴∠3＝12∠4． ∴∠1＝∠3．∴BD ＝DE ． ---------------------------------------------------------4分4321ME DCB A五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分） 28．（1）24； -------------------------------------------------------------------------------------1分（2）21k -； ---------------------------------------------------------------------------2分 证明：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为x k -，x k +（3k ≥）．十字差为(1)(1)()()x x x k x k -+--+ -----------------------------------3分＝222(1)()x x k ---＝2221x x k --+＝21k -． -------------------------------------------------4分∴那个定值为21k -．（3）976． --------------------------------------------------------------------5分 29．（1）解：如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°． ∵∠DBC ＝30°，∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝15°．∵AB ＝AB ，∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ， ∴△ABD ≌△ABD′． ∴∠ABD ＝∠ABD′＝15°，∠ADB ＝∠AD ′B ． ∴∠D′BC ＝∠ABD′＋∠ABC ＝60°． ∵BD ＝BD′，BD ＝BC ， ∴BD′＝BC ．∴△D′BC 是等边三角形． ----------------------------------------------1分 ∴D′B ＝D′C ，∠BD′C ＝60°． ∵AB AC =，AD AD ''=， ∴△AD ′B ≌△AD ′C ． ∴∠A D′B ＝∠A D′C ．∴∠ A D′B ＝12∠BD′C ＝30°． ∴∠ADB ＝30°． -------------------------------------------------------------2分（2）解：第一种情形：当60120α︒︒＜≤时如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ．∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， ∴α＋2∠ABC ＝180°．∴∠ABC ＝1809022αα︒-=︒-．∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝902αβ︒--．同（1）可证△ABD ≌△ABD′． ∴∠ABD ＝∠ABD′＝902αβ︒--，BD ＝BD′，∠ADB ＝∠AD ′B ．D 'DCA∴∠D′BC ＝∠ABD′＋∠ABC ＝9090180()22ααβαβ︒--+︒-=︒-+．∵120αβ+=︒， ∴∠D′BC ＝60°．以下同（1）可求得∠ADB ＝30°． -----------------------------------------3分 第二种情形：当060α︒︒＜＜时，如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴α＋2∠ABC ＝180°．∴∠ABC ＝1809022αα︒-=︒-． ∴∠ABD ＝∠DBC －∠ABC ＝902αβ-︒-（）． 同（1）可证△ABD ≌△ABD′．∴∠ABD ＝∠ABD′＝902αβ-︒-（），BD ＝BD′，∠ADB ＝∠AD ′B ． ∴∠D′BC ＝∠ABC －∠ABD′＝90[(90)]=180()22ααβαβ︒---︒-︒-+． ∵120αβ+=︒，∴∠D′BC ＝60°．∵BD ＝BD′，BD ＝BC ，∴BD′＝BC ．∴△D′BC 是等边三角形．∴D′B ＝D′C ，∠BD′C ＝60°．同（1）可证△AD ′B ≌△AD ′C ．∴∠A D′B ＝∠A D′C ．∵∠A D′B ＋∠A D′C ＋∠BD′C ＝360°，∴2∠ A D′B ＋60°＝360°．∴∠ A D′B ＝150°．∴∠ADB ＝150°． ---------------------------------------------4分（3）0180α︒︒＜＜，60β=︒或120180α︒︒＜＜，120αβ-=︒． ------------------------------6分（注：本卷中许多问题解法不唯独，请老师依照评分标准酌情给分）。
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海淀区2020-2021学年第一学期期末考试初二数学试卷2021．1一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1~8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为ABCD2．KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m 的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为 A ．6310-⨯ B ．7310-⨯C ．60.310-⨯D ．70.310-⨯3．下列计算正确的是 A ．236a a a ⋅=B ．236()a a =C ．33(2)2a a =D ．1025a a a ÷=4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 A ．2(2)2x x x x -=- B ．22(1)21x x x +=++C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．22(1)x x x+=+5．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为A ．135︒B ．140︒C ．144︒D ．150︒6．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：AOB ∠．求作：A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； （2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； （3）以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D '； （4）过点D '画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．小聪作法正确的理由是 A ．由SSS 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠ B ．由SAS 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠ C ．由ASA 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠D ．由“等边对等角”可得A O B AOB '''∠=∠7．如果2a b -=，那么代数式222a b ab a a b ⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭的值是 A ．2 B ．2-C ．12D ．12-8．在ABC 中，AB AC ≠，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高，中线，角平分线，则点D ，E ，F 的位置关系为A ．点D 总在点E ，F 之间B ．点E 总在点D ，F 之间C ．点F 总在点D ，E 之间 D ．三者的位置关系不确定A'B'O'C'D'DC O BA二、填空题（本大题共24分，每小题3分） 9．若分式32x -有意义，则x 的取值范围是__________． 10．计算：()232a a a +÷=________________． 11．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，BD AC ⊥，垂足为D ．若=6AB ，则BD 的长为________________．12．如图，AB BC ⊥，AD DC ⊥，垂足分别为B ，D ．只需添加一个条件即可证明ABC ADC ≌，这个条件可以是________________．（写出一个即可）13．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b 的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为1S ； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为2S ； 具体数据如图所示，则1S _________2S ．（填“>”，“<”或“=”）ACD BCDBA14．如图，AB AC =，40A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ．则DBC ∠的大小为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(03)，，点B 与点A 关于x 轴对称，点C 在x 轴上，若ABC 为等腰直角三角形，则点C 的坐标为________________．16．图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A 点，将膝盖抽象为B 点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C 点，将自行车中轴位置记为D 点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A ，D 的位置不变，B ，C 为动点．图2是抽象出来的点和线．若40cm AB BC ==，16cm CD =，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD 最长为_________cm ．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18~21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（1）计算：2201()+2(2π)2----； （2）分解因式：22363x xy y -+．18．已知2310x x --=，求代数式(25)(25)2(1)x x x x +-+-的值．CD BAMN19．如图，C 是AB 的中点，CD ∥BE ，CD BE =，连接AD ，CE ．求证：AD CE =．EABCD20．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在ABC △中，AC AB >． 求证：____________________________．证明：如图，由于AC AB >，故在AC 边上截取AD AB =，连接BD ．（在上图中补全图形）AD AB =，ABD ∴=∠∠．（_________________________________）（填推理的依据） ADB ∠是BCD 的外角，ADB C DBC ∴∠=∠+∠．（_____________________________）（填推理的依据） ADB C ∴∠>∠． ABD C ∴∠>∠．ABC ABD DBC =+∠∠∠， ABC ABD ∴∠>∠． ABC C ∴∠>∠．21．列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚. 某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份. 近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格.CBA22．如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是AC 边上一点，连接BD ，EC AC ⊥，且=AE BD ，AE 与BC 交于点F ． （1）求证：CE AD =；（2）当AD CF =时，求证：BD 平分ABC ∠．23．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x -+，由于2223(1)2x x x -+=-+，所以当1x -取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x -+的值是相等的．例如，当11x -=±，即2x =或0时，223x x -+的值均为3；当12x -=±，即3x =或1-时，223x x -+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t -取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x -+关于1x =对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式246x x -+关于x =____________对称；（2）若关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，求b 的值； （3）整式22(816)(44)x x x x ++-+关于x =____________对称．CDB AEF△是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，24．已知ABC连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：ADE△是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为过点(0)M m ，且与x 轴垂直的直线．对某图形上的点()P a b ，作如下变换：当b m ≥时，作出点P 关于直线l 的对称点1P ，称为I()m 变换；当b m <时，作出点P 关于x 轴的对称点2P ，称为II()m 变换．若某个图形上既有点作了I()m 变换，又有点作了II()m 变换，我们就称该图形为-m 双变换图形．例如，已知(13)A ，，(21)B -，，如图1所示，当2m =时，点A 应作I(2)变换，变换后1A 的坐标是(33)，；点B 作II(2)变换，变换后1B 的坐标是(21)，． 请解决下面的问题： （1）当0m =时，①已知点P 的坐标是(11)-，，则点P 作相应变换后的点的坐标是________； ②若点()P a b ，作相应变换后的点的坐标为(12)-，，求点P 的坐标； （2）已知点(15)C -，，(42)D -，，①若线段CD 是-m 双变换图形，则m 的取值范围是_________________； ②已知点()E m m ，在第一象限，若CDE 及其内部（点E 除外）组成的图形是-m 双变换图形，且变换后所得图形记为G ，直接写出所有图形G 所覆盖的区域的面积．图1 备用图参考答案一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1~8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．二、填空题（本大题共24分，每小题3分） 9．2x ≠ 10．32a + 11．312．答案不唯一，如：AB AD = 13．> 14．30︒15．(30)-，或(30)，（全写对得3分，只写对一个得1分，有错不得分） 16．64三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18~21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分） 17．（1）解：原式11144=+-………………………3分 112=- 12=-………………………4分（2）解：原式223(2)x xy y =-+………………………2分23()x y =-………………………4分18． 解：原式22425+22x x x =--………………………2分26225x x =--………………………3分2310x x --=， 231x x ∴-=． 22(3)25x x ∴=--原式2125=⨯-23=-．………………………5分19．证明：C 是AB 的中点，AC CB ∴=．………………………1分 CD ∥BE ，ACD B ∴∠=∠．………………………2分在ACD 和CBE 中，AC CB ACD B CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ACD ≌CBE ．………………………4分∴AD CE =．………………………5分20．ABC C ∠>∠………………………1分………………………2分ADB ………………………3分等边对等角………………………4分三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和………………………5分21．解：设橘子每千克的价格为x 元，则香蕉每千克的价格为70%x 元．…………1分根据题意，得2800250015070%x x-=………………………3分 解得10x =………………………4分检验：当10x =时，70%0x ≠.所以原分式方程的解为10x =且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元．………………………5分 22．（1）证明：EC AC ⊥，90BAC ∠=︒90ACE BAC ∴∠=∠=︒在Rt CAE 和RtABD 中，AE BD CA AB =⎧⎨=⎩，，∴Rt CAE ≌Rt ABD ．………………………1分∴CE AD =．………………………2分（2）证明：由（1）得Rt CAE ≌RtABD ，21∴∠=∠，3E ∠=∠．………………………3分由（1）得CE AD =，AD CF =， CE CF ∴=．4E ∴∠=∠．………………………4分45∠=∠， 5E ∴∠=∠． 3E ∠=∠， 53∴∠=∠．623∠=∠+∠，675∠=∠+∠， 27∴∠=∠．………………………5分 21∠=∠，17∴∠=∠．∴BD 平分ABC ∠．………………………6分23．（1）2 ………………………1分（2）解：22223()3x bx x b b ++=++-， ………………………2分∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =-对称．3b ∴-=．3b ∴=-． ………………………3分（3）1- ………………………5分 24．（1）证明：点D ，E 关于直线AC 对称，7654321GCDBAEFAD AE ∴=，DAC EAC ∠=∠． ………………………1分ABC 是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒．点D 为线段BC 的中点，11=603022DAC BAC ∴∠=∠⨯︒=︒．30DAC EAC ∴∠=∠=︒． 60DAE ∴∠=︒． AD AE =，ADE ∴是等边三角形． ………………………2分（2）补全图形.………………………3分 线段AD 与CF 的数量关系：2AD CF =． 证明：延长CF 到点G ，使GF CF =，连接BG ．F 为线段BE 的中点， BF EF ∴=．在BFG 和EFC 中，GF CF BFG EFC BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BFG ≌EFC ．………………………4分∴GB CE =，G FCE ∠=∠． ∴BG ∥CE ．ABC 是等边三角形， AC BC ∴=，60ACB ∠=︒． 120ACD ∴∠=︒．点D ，E 关于直线AC 对称，CD CE ∴=，120ACD ACE ∠=∠=︒． 60CD BG BCE ∴=∠=︒，． BG ∥CE ．180BCE CBG ∴∠+∠=︒．GFEC DBA120CBG ∴∠=︒．………………………5分 ACD CBG ∴∠=∠．在ACD 和CBG 中，AC CB ACD CBG CD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ACD ≌CBG ．AD CG ∴=．2AD CF ∴=………………………6分25．（1）①(11)， ………………………1分②解：0m =，∴直线l 为y 轴．若0b ≥，则()P a b ，作I(0)变换，变换后的点为()a b -，，∴12.，-=-⎧⎨=⎩a b12.，=⎧∴⎨=⎩a b 且符合题意. (12)P ∴，． ………………………2分若0b <，则(),P a b 作II(0)变换，变换后的点为()a b -，，∴12.，=-⎧⎨-=⎩a b12.，=-⎧∴⎨=-⎩a b 且符合题意. (12)P ∴--，．………………………3分综上，(12)P ，或(12)P --，． （2）①52m -≤<-或25m <≤ ………………………5分 ②36 ………………………7分。