大一高等数学定积分定义

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高等数学第5章第一节定积分的概念

定积分存在的两个充分条件:
定理1 设 f ( x) 在区间 [a, b]上连续, 则 f ( x)在区间 [a, b] 上可积. 定理2 设 f ( x)在区间 [a, b] 上有界，且只有有限个间断点,则
f ( x)在区间 [a, b]上可积.
6
定积分的几何意义
y y f (x)
A
o xa xb x
lim
n
6n 2
3
10
1 i n
i
},
0,
n
A lim 0 i1
f ( i )xi
An
x xn1 nxn b
3
2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动,
已知速度 v v(t )是时间间隔 [T1 ,T2 ]上的
连续函数, 且 v(t ) 0, 计算在这段时间内物体所经过的路程。
匀速直线运动：
路程=速度×时间.
(1) 分割
T1 t0 t1 ti1 ti tn T2 ,
v( i )
ti ti ti1
(i 1,2,, n)
(2) 近似代替
si v( i )t i
T1
i
T2
t t0 t1 t2 ti1 ti tn1 tn
(3) 求和 (4) 取极限
s
n i 1
s
i
n v(
i 1
i )t i
每个小区间的长度 xi xi xi1 (i 1,2,n).
2
（2）近似代替
y Ai f (i )xi
(i 1,2,, n)
（3）求和
y f (x)
A1 A2
Ai
A
n i 1
Ai
n

解释定积分的概念

解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。

a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。

大一数学定积分知识点

大一数学定积分知识点定积分是微积分学中的一个重要概念，是对某个区间上的函数在该区间上的总体积进行刻画的数学工具。

它有着广泛的应用，在科学、工程等领域都有着重要的地位。

在本文中，我们将介绍大一数学中的定积分的基本概念、性质以及一些常见的计算方法。

一、定积分的概念定积分的概念可以从求和的角度进行理解。

给定一个函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，我们将 [a, b] 上的区间等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

选取每个小区间的一个代表点x_i，将函数在这些点上的取值 f(x_i) 求和，然后将这个和乘以Δx，当 n 趋向于无穷大时，这个乘积的极限就是定积分。

定积分通常用符号∫ 表示，表示对函数 f(x) 在区间 [a, b] 上进行积分。

其表示方式为∫[a,b] f(x) dx，其中 f(x) 为被积函数，a 和 b分别为积分下限和上限，dx 表示积分变量。

二、定积分的性质1. 线性性质：对于任意的实数 k，以及在区间 [a, b] 上连续的函数 f(x) 和 g(x)，有∫[a,b] (kf(x)+g(x)) dx = k∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx。

2. 区间可加性：对于连续函数 f(x)，在区间 [a, b] 上和区间 [b,c] 上进行积分的和等于在整个区间 [a, c] 上进行积分，即∫[a,c] f(x) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[b,c] f(x) dx。

3. 切割性质：将一个区间分割成几个小区间，对于每个小区间进行积分的和等于整个区间进行积分，即若 [a, b] 表示为 [a, c] 和[c, b] 的和，那么有∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx。

三、定积分的计算方法1. 几何意义计算：对于一些简单的图形，我们可以利用几何意义来计算定积分。

高等数学-定积分的概念与性质

= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义

注（1）定积分‫)( ׬‬是一个数值，它只与被积函数()

和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点，以 ( ) 为高，
y
y=()
以为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．

‫)( ׬‬
=

‫)( ׬‬
=

‫)( ׬‬．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号‫)( ׬‬中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >

时，‫ = )( ׬ = )( ׬‬0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
‫׬‬1
>
2
‫׬‬1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，

高等数学第五章定积分习题课

∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的估值定理：最大值和最小值，最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续定积分中值定理：则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立：使下式成立：使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b

高等数学第六章定积分

把区间[a,b] 分成 n个 y 小区间[ xi1, xi ]，长度为
y f (x)
xi xi xi1;
(2) 取近似
Ai
在每个小区间[ xi1, xi ] O a x1 xi1i xi xnb1 x
上任取一点i，以 [ xi1, xi ]为底，f (i )为高的小矩形,
面积近似代替 Ai , 有Ai f (i )xi , i 1, 2,L n
极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分.记为
积分上限
积分和
b
n
a
f ( x)dx
I
lim
0
i 1
f (i )xi
积分下限被积被
[a,b]积分区间
积函
分积变表
数量达
式
注
n
(1) S f (i )xi是与[a, b]的分法及在[ xi1 , xi ]
i 1
一点 i (i xi ), 作乘积 f (i )xi (i 1,2, , n)
(3)
n
并作和 S f (i )xi
(4)
i 1
记 max{ x1, x2 , , xn },如果不论对 [a,b]
怎样的分法,也不论在小区间[ xi1 , xi ]上点 i
怎样的取法,只要当 0时,和S总趋于确定的
lim na sin xdx lim sinn a 0
n n
x
n n
证明求证 lim 4 sin nx sinn x dx 0 n 0
证
当x
0,
4
时,
|
s in nx
sinn
x
|
sin

高数定积分公式大全

高数定积分公式大全在高等数学中，定积分是通过积分来求解某一特定函数的不定积分的一种特殊方法，是计算物理量变化，寻找函数极值点以及在区间内求定积分的有效工具。

定积分的定义如下：如果函数f(x)在给定区间[a,b]上可导，那么定积分的定义为：∫a^bf(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的某个不定积分，解析法求解定积分的步骤为：首先将函数f(x)分解为常数、x、x^2、x^n多项式，其次对于每一项分别求解其不定积分，最后再将每一项求得的不定积分相加，即可得出整体定积分的解析解。

定积分中常见的公式有：一、定积分中的基本公式1. 不定积分的基本公式：∫x^ndx = 1/n+1*x^n+1 + C2. 二次方程不定积分的公式：∫x^2dx = 1/3*x^3 + C3.用的其他不定积分的公式：(1)∫sinx dx = -cosx + C(2)∫cosx dx = sinx + C(3)∫1/(1+x^2)dx = arctanx + C(4)∫lnx dx = xlnx - x + C二、高阶定积分的公式1. 一阶定积分：∫ax+b dx = 1/a*(ax+b) + C2. 二阶定积分：∫ax^2 + bx + c dx = 1/3a*x^3 + 1/2b*x^2 + cx + C3.用的其他高阶定积分的公式：(1)∫sinax dx = -1/a*cosax + C(2)∫e^x dx = e^x + C(3)∫lnax dx = xlnax - x + C三、复合定积分的公式定积分可以复合求解，以求解复合定积分为例，复合定积分公式为：∫a^b f(x)dx =a^x f(x)dx +x^b f(x)dx其中f(x)为一个标量函数，[a,b]为被积函数的定积区间，求解步骤如下：1.根据f(x)的表达式求出该函数的不定积分F1(x)；2.复合定积分拆分成两部分，先求∫a^x f(x)dx，即F1(x)的定积分，再求∫x^b f(x)dx，即F2(x)的定积分；3.后将两部分求得的结果相加，即可得出复合定积分的解析解，解析解为F1(b) - F1(a) + F2(b) - F2(a)。

定积分是高等数学中占有重要地位的

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的数学思想的培养。
二、学习目标分析本堂翻转课的学习目标是理解定积分的概念及性质,掌握定积分分割，近似，求和，取极限的基本思想，会根据定义及性质求解问题。通过让学生作相应的典型例题来检验学生是否掌握了所学知识。
三、学习者特征分析本堂翻转课要求学生对一元函数微分学已经完全掌握并能熟练应用。然后结合以前学过的求矩形面积公式和函数的极限思想，通过熟读教材和观看教学视频来体会具体的求解思路和方法。
翻转课堂教学设计模板
学科
工科
教学内容高等数学
（课名）
该内容总课时 2 课时一、学习内容分析

翻转课时第 1 课时
该内容在整个学期的授课得第 27 次课，是微积分学的另一个重要分支微分学的基本概念— —定积分的概念与性质。这堂翻转课教学内容特色是问题引入，层层剖析，顺序开展。难点
是让学员掌握利用分割、近似、求和、取极限的思想方法求解一类问题。重点是对学员辩证
四、课前任务设计 1. 通读教材、观看教学视频， 4 分； 2. 通过自学回答教员提出的相关问题，并以书面形式完成，4 分； 3. 根据自己的预习情况，提出相关问题，2 分。
五、课上任务设计 1. 学员根据预习的情况针对教学视频和教材提出自己的疑问和疑惑，5 分钟； 2. 组织学员就所提出的疑问进行讨论，相互解答，10 分钟； 3. 教员就讨论情况进行总结、点评和补充，10 分钟； 4. 根据学生回答视频中问题和测验的情况，教员予以点评,10 分钟； 5. 课堂组织学生完成本次课的作业，10 分钟。六、教学设计反思 1．根据教学内容和本班学员情况，精心挑选合适的教学视频。 2．根据本班学员的不同情况，有针对性的提出问题。 3．学生提出问题，相互解答，增强学生的参与性。