新教材2020-2021学年1.3集合的基本运算 1.3.2补集及综合应用 教案

1.3 集合的基本运算
1.3.2 补集及综合应用
教学目的：
（1）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（2）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课 型：新授课
教学重点：集合的补集的概念；
教学难点：集合的补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
一、引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
二、新课教学
1.全集
（1）概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
（2）记法：通常记作U .
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
2.补集
思考2：怎样理解补集？
提示：（1）补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U 的情况下，求集合A 的补集的前提是A 为全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
3.基础自测
已知集合{|5A x x =<-或7}x >，则R C A =（ ）
A ．{|57}x x -<<
B ．{|57}x x -≤≤
C ．{|5}{|7}x x x x <-⋃>
D ．{|5}{|7}x x x x ≤-⋃≥
解析：∵{|5A x x =<-或7}x >，∴{|57}R C A x x =-≤≤，故选B ．
2．（2019·贵州遵义市高一期末测试）已知集合{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，则()U C A B ⋃= （ ）
A ．{2,4,5}
B ．{1,3,4}
C ．{1,2,4}
D ．{2,3,4,5}
解析：∵{2,5}U C A =，∴(){2,5}{2,4}{2,4,5}U C A B ⋃=⋃=．
3．（2019·浙江，1）已知全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1,2}A =，{1,0,1}B =-，则()U C A B ⋃=（ ）
A ．{1}-
B ．{0,1}
C ．{1,2,3}-
D ．{1,0,1,3}-
解析：∵{1,3}U C A =-，∴(){1,3}{1,0,1}{1}U C A B ⋃=-⋂-=-，故选A ．
三、题型探究
题型一 补集的基本运算
例1 （1）已知全集为U ，集合{1,3,5,7}A =，{2,4,6}U C A =， {1,4,6}U C B =，则集合B =______.
（2）已知全集{|5}U x x =≤，集合{|35}A x x =-≤<，则U C A _______.
分析：（1）先结合条件，由补集的性质求出全集U ，再由补集的定义求出集合B ，也可借助Venn 图求解．
（2）利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
解析：（1）∵{1,3,5,7}A =，{2,4,6}U C A =，∴{1,2,3,4,5,6,7}U =．
又{1,4,6}U C B =，∴{2,3,5,7}B =．
（2）将全集U 和集合A 分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知{|3U C A x x =<-或5}x =．
归纳提升 求集合的补集的方法
1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
2．Venn 图法：借助Venn 图可直观地求出全集及补集．
3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
题型二 交集、并集、补集的综合运算
例2 已知全集{|4}U x x =≤，集合{23}A x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，求A B ⋂，()U C A B ⋃，()U A C B ⋂．
分析：对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U 及集合A 、B ，先求出U C A 及U C B ，再求解． 解析：如图，
由图可得{|2U C A x x =≤-或34}x ≤≤．
如图，
由图可得{|3U C B x x =<-或24}x <≤．
如图，
由图可得{|22}A B x x ⋂=-<≤，∴(){|2U C A B x x ⋃=≤或34}x ≤≤，
(){|23}U A C B x x ⋂=<<．
归纳提升 求集合交、并、补运算的方法
题型三 与补集相关的参数值的求解
例3 已知集合2
{|1A x y a =>+或}y a <，{|24}B y y =≤≤，若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围． 分析： 由于集合A 包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．
解析： 因为2{|1A x y a =>+或}y a <，{|24}B y y =≤≤，我们不妨先考虑当A B ⋂=∅时a 的取值范围，在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．
由2214a a ≤⎧⎨+≥⎩，得233
a a a ≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或 故3a ≤-32a ≤≤.
即A B ⋂=∅时，a 的取值范围为3a ≤-32a ≤≤，
故A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为2a >或33x <<归纳提升 当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：（1）否定已知条件，考虑反面问题；（2）求解反面问题对应的参数范围；（3）取反面问题对应的参数范围的补集．
四、学科素养
“正难则反”思想的应用
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可运用“正难则反”策略先求U C A ，再由()U U C C A A =求A ．
例5 已知2{|280}A x x x =--=，22
{120}B x ax a =++-=．若B A A ⋃≠，求实数a 的取值集合． 分析： 要求B A A ⋃≠，可先求B A A ⋃=时，a 的取值集合，再求出该集合在实数集R 中的补集即可． 解析：若B A A ⋃=，则B A ⊆．∵2{|280}{2,4}A x x x =--==-，∴集合B 有以下三种情况：
①当B =∅时，224(12)0a a ∆=--<，即216a >，∴4a <-或4a >；
②当B 是单元素集时，224(12)0a a ∆=--=，∴4a =-或4a =.
若4a =-，则{2}B A =；若4a =，2{}B A =-⊆；
③当{2,4}B =-时，2-，4是方程22120x ax a ++-=的两根，224
1224a a -=-+⎧⎨-=-⨯⎩，∴2a =-.综上可
得，B A A ⋃=时，a 的取值集合为{|4a a <-或2a =-或4}a ≥．
∴B A A ⋃≠的实数a 的取值集合为{|44a a -≤<且2}a ≠-.
归纳提升 补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现．。