第4章 平面一般力系
第四章平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程
（5）校核
[例]如图所示拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为滚轴支 座，其支承面与水平面成倾角300。桁架自重G=100KN,风压力 的合力Q=20KN,其方向水平向左，试求A、B 支座反力。
8
解：〈1〉、选桁架为研究对象，画出其受力图
〈2〉、列平衡方程选A、B两点为矩心，用二矩式
mA( 20 sin 600 0
mB (F) 0
FRAy 20 FP 4 G 10 0
Fx 0 FRAx FRB cos 60 0 FP 0
解得：FRB 62.4kN
FRAy 46kN
FRAx
11 .2k N 9
需要指出的是，上述平衡方程是相互独立的，用来求 解平面一般力系的平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了避免求解联立方程，应使所选的坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力的交点（可在 研究对象之外）上。此外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一个未知量，以便简化计算。
当F P h(2R h) 时球方能离开地面
Rh
12
2、平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
平面平行力系平衡方程的一般形式：
Fy 0
mo
(F
)
0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
各力在x轴上的投影恒等于零，即
Fx 0
15
mB 0
FW 2(6 2) G 2 FW1 (12 2) FRA (2 2) 0
限制条件： FRA 0
解得：
FW 2
平面一般力系
第四章平面一般力系平面一般力系是静力学的重点。
前面讨论的平面汇交力系和平面力偶系是平面一般力系的特殊情况，它们为学习本章打下基础。
平面一般力系的平衡问题在工程中经常遇到，又是学习材料力学、结构力学部分的基础。
因此，切实掌握好本章内容是学好本课程的关键。
一、内容提要（一）平面一般力系向任一点的简化1. 简化依据力的平移定理当一个力平行移动时，必须附加一个力偶才能与原力等效，附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的矩。
2. 简化方法与初始结果3.简化的最后结果或者是一个力，或者是一个力偶，或者平衡。
熟悉平衡方程各种形式的目的，主要用来求解平衡问题的未知量。
在求解单个物体和物体系统的平衡问题中，首先要确实掌握单个物体的平衡问题。
解决好单个物体平衡问题的关键，在于对物体进行受力分析，正确地画出受力图。
求解物体系统的平衡问题，就是计算出物体系统的内、外约束反力。
解决问题的关键在于恰当地选取研究对象，一般有两种选取的方法：1．先取整个物体系统作为研究对象，求得某些未知量；再取其中某部分物体（一个物体或几个物体的组合）作为研究对象，求出其他未知量。
2．先取某部分物体作为研究对象，再取其他部分物体或整体作为研究对象，逐步求得所有的未知量。
不论取整个物体系统或是系统中某一部分作为研究对象，都可根据研究对象所受的力系的类别列出相应的平衡方程去求解未知量。
（四）考虑摩擦时物体的平衡问题学习这一部分内容时，必须掌握摩擦力的特点。
摩擦力的特点以其大小和方向两方面反映。
摩擦力的大小随主动力的变化而变化，但又不能随主动力的增大而无限度地增大。
根据两物体间相对滑动或相对滑动趋势的不同情况，摩擦力的大小有以下几种可能。
1、当一个物体相对另一个物体静止且没有滑动的趋势时，两物体间不产生摩擦力。
2、当一个物体相对于另一个物体有滑动趋势，但仍保持静止时，两物体间产生静摩擦力，摩擦力的大小由平衡条件确定。
3、当一个物体相对于另一个物体即将滑动而处于临界平衡状态时，两物体间的静摩擦力达到最大值F max=fF N。
工程力学 习题详解 第四章
n
mO ( R ) Rd M O (主矩)
———合力矩定理
M O ( R ) mO ( Fi )
n i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
12
静力学
例题4-1
第4章 平面任意力系
F
A C B
Fx 0,
FAx FC cos 45 0 FAy FC sin 45 F 0 FC cos 45 l F 2l 0
Fy 0,
M A F 0,
解平衡方程可得
FC 2 F
D
cos 45 FAx FC cos 45 2 F 20 kN
组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端 为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m， F=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小 M= 5 kN•m，试求固端A，铰链C和支座E的约束力。 F q B l/4
M E
A
H
C
l/4
D l/4
l/8 l/8
30
解： 1.取CE段为研究对象。受力分析如图。
例题4-5
如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度
为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
q
A l
M
F
45
B
24
解：
取梁为研究对象，受力分析如图 由平衡方程
M F
45
q
A
Fx 0,
Fy 0,
FAx F cos 45 0
静力04章-平面一般力系.ppt
MA为限制转动。
11
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主矢R R'F O
主矩M O mO ( Fi )Fi xi
合力作用线的位置为：
xR
MO R'
Fi xi F
平衡的充要条件为
R' 0
Mo 0
1
§4-1 平面一般力系的概念
平面一般力系：
各力和各平面力偶都作用在同一平面内但是既 汇交也不平行的力系。
2
§4-2 力线平移定理
力线平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
[证] 力 F
Bd
A
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
26
[习题4－19] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
( mA 0 :
RB 3 Q 2 0
RB 20kN )
23
BC： R'B RB 20kN
X 0:
XC 0
Y 0 :
YC R'B 0
R’B m
mc
C
B
XC
YC 2m
YC 20kN
第四章 平面力系
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
平面一般力系
平面一般力系我们生活在一个相对独立的系统之中，宇宙万物有机地联系在一起，形成了一个整体。
然而这种整体性并非是“固定不变”的，也有破碎的时候，例如发生于地球的小行星撞击。
面对这样的事件，唯一可以采取的态度就是竭尽全力去防止或减缓其危害。
我们知道平面力系是由两个大小相等方向相反的分量构成，所以，我们需要建立一个坐标系，用它来表示这两个分量之间的关系，这样做的好处是可以避免复杂的几何图形计算，提高运算速度，并且这种关系也适合用代数式进行表达，从而使问题更加简单化。
我们把坐标系叫做原点O，并称x轴与y轴分别为x轴与y轴，这就是我们通常所说的x， y轴。
一般情况下，将物体放置在坐标系内，只要其所在的平面保持水平，那么这个物体受到的力都将沿着x轴或y轴方向作用。
如果物体处在某个坐标系内的任意位置，只要它所在的平面不与坐标系原点重合，它受到的力都将沿着x轴或y轴方向作用。
----摘自教科书正文----摘自教科书正文，的确，因为考虑问题方便，物理学家们都普遍认为建立坐标系是有必要的。
但是，我们看到，这样一来，很多物理问题的实质被掩盖住了。
事实上，这些研究工作并没有带来多少实际应用价值，因为真正的难题都隐藏在坐标系里面，而人们却往往错误地认为找出坐标系才是解决问题的根本。
真正值得注意的问题是，为什么坐标系的选择会直接影响物理问题的解决呢？从力学的角度来讲，对于理想化的物体而言，其运动状态和力都是与坐标系的选择无关的，比如一个物体静止在坐标系内，不管在其哪一个位置，对于受力的分析，仅仅需要分析其质心在哪个坐标系内就可以了。
----摘自教科书正文，显然这是不可能的。
可是，既然坐标系是如此重要，为什么还会有那么多的力学家为了追求坐标系的完美而忽视了其他更为基本的力学规律呢？是什么阻碍了科学家们对这个问题的思考呢？一言以蔽之，就是人们对物体的运动状态还没有给予足够的重视，尽管这个问题已经成为物理学的主流研究方向之一。
一旦我们开始研究物体在空间内的运动，或者当物体随着时间的推移而发生变化时，坐标系所带来的麻烦将成倍增长。
静力学第4章平面一般力系
第四章 平面一般力系
【本章重点内容】
力线平移定理; 平面一般力系向作用面内一点简化; 平面一般力系简化结果分析; 平面一般力系的平衡条件与平衡方程.
第四章 平面一般力系
§4-1 工程中的平面一般力系问题
§4-1 工程中的平面一般力系问题
平面一般力系 作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内，既
力线向一点平移时所得 附加力偶等于原力对平 移点之矩.
力偶M′与M 平衡.
第四章 平面一般力系
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
一、平面一般力系向作用面内一点简化
rr
F1′ = F1
rr
F2′ r
...=
F2 r
Fn′ = Fn
r M1 = MO (F1)
主矩MO
∑ MO =
MO
r (F
)
=
−1m
⋅
F1
−
3m
⋅
F2
+
2m
⋅
sin
30o
⋅
F3
+
M
= −1m ×1kN - 3m ×1kN + 2m × 1 × 2kN + 4kN ⋅ m 2
= 2kN ⋅ m
§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
合力 方向 主矩
FR′ = 3.39kN α = −36.2°
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
主矩的计算
主矩的计算方法与力矩和平面力偶系的计算方法相同. 主矩的计算
平面一般力系向一点简化，得到力对简化点的力矩和.
主矩大小
∑r
MO = MO(Fi )
第四章 平面一般力系
点O的力
， ，
（平面汇交力系）
附加力偶
（平面力偶系）
分别合成 这两个力系
（原来各力的矢量和）
（原来各力对点一 个力和一个力偶。
这个力等于该力系的主矢，即平面一般力系中所有各力的矢量 和
作用线通过简化中心O； 这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩，即这些力对于任选简 化中心O的矩的代数和
方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们 可以利用这个方程来校核计算的结果。
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 如图所示，设物体受平面平行力系 的作用。
平行力系的独立平衡方程的数目 只有两个，即：
或
注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。
平面一般力系平衡的必要和充分条件
平面一般力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影的代数和分别等于零．以及各力对于任意点的 矩的代数和也等于零。
平面一般力系 的平衡方程 (一矩式)
（三个方程， 求解三个未知数）
支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各 以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆 DC与水平线成 角；载荷P＝10kN，作用于B处。设梁和杆 的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。 解：(1)取AB梁为研究对象。 (2)画受力图。 (3)列平衡方程。 (a) (b)
解: (1)当满载时，为使起重机不 绕点B翻倒。在临界情况下 。
当空载时，为使起重机不绕点 A翻倒。在临界情况下 。
(2)当平衡荷重 的反力？
时，求满载时轨道A、B给起重机轮子
解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：
解得
利用多余的不独立方程 来校验以上计算结果是否正确。
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第4章 平面一般力系 8
思考题 4-1
用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别 平移到轮心，由此说明两个图中的力对轮子的外效 应有何不同？
r O1
F (a)
F/2
r O1
F/2
(b)
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 9
§4-2 平面一般力系向一点简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1,F2,…,Fn , 如图所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四 边形法则来合成它很困难。
第4章 平面一般力系 15
M O (FR ) FR d M O ,
M O M O (F ), M O (FR ) M O (F )
FR′
MO
O
O′
(a)
O d
FR″ (b)
FR′ FR O′
课程：工程力学
思考题 4-1
第4章 平面一般力系 16
一平面力系向A、B两点简化的结果相同，
且主矢和主矩都不为零，问是否可能？
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 12
平面一般力系的三种简化结果：
1. 力系简化为合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关。
FR 0,MO0 2. 力系简化为合力
FR' O MO
(1) FR 0,MO0
FR′就是原力系的合力，合力的作用线通过简化 中心。
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 13
(2) FR0,MO0 力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通 过简化中心。
F1
F2
A
B
Fn
FR
A
B
答：合力与两点连线平行时可能。
课程：工程力学
思考题 4-2
第4章 平面一般力系 17
在什么情况下，一平面力系向一点简化所得 的主矩为零？
F1
F2
A
Fn
课程：工程力学
思考题 4-3
第4章 平面一般力系 18
有一平面一般力系向某一点简化得到一合 力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化 为一力偶？为什么？
F2 d2
Fn
(b)
F2′ Mn
M2 M1 F1′
O
Fn′
(c)
y FR′
O MO
x
(d)
F F R F 1 F 2 F n F 1 F 2 F n (4-1)
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 11
事实上，可直接用原力系F1，F 2，...F n 的各力 作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主
F1 F2
Fn
应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个 向刚体上的某一点O（称为简化中心）平移,再将所 得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成。
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 10
向一点简化 平面一般力系
合成
平面汇交力系
FR′（合力）
合成
平面力偶系
MO（合力偶）
F1 F2
Fn
(a)
F1 Odnd1
平面一般力系是指位于同一平面内的诸力其作 用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。
工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面 一般力系来处理。
F1
F2 Fn
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 3
图示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座 约束力所组成的力系;可简化为平面一般力系。
(a)
(b)
课程：工程力学
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第4章 平面一般力系 1
第4章 平面一般力系
前言 §4-1 力线平移定理
§4-2 平面一般力系向一点简化 §4-3 分布荷载 §4-4 平面一般力系的平衡条件 §4-5 平面平行力系的平衡条件 §4-6 物体系统的平衡问题 §4-7 滑动摩擦
课程：工程力学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ前言
第4章 平面一般力系 2
面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风
压力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构 件的轴线分布。 1. 荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 21
(2) 体分布荷载的单位： N/m3 ，
(3) 面分布荷载的单位： N/m2 ，
矢。 FR′的大小和方向等于主矢，作用点在O点。 由此可见，主矢与简化中心的位置无关。
M O M 1 M 2 M n
(4-2)
M O (F 1 ) M O (F 2 ) M O (F n) M O (F )
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映 了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况， 称为原力系对O点的主矩。
Bd F A
(a)
F′
B
F
dA
F″ (b)
F′ B M=Fd
dA
(c)
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 7
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线 通过球心（球的质心），则球将移动而不旋转； 但若力的作用线与球相切——“削球”，则球将 产生移动和转动。
C F
(a)
C
C F'
M
F
(b)
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第4章 平面一般力系 4
图示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支 座约束力所组成的力系可视为一个平面一般力系。
P P
(a)
FAy(b)FBy
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第4章 平面一般力系 5
§4-1 力线平移定理
定理 ：
作用在刚体上某点的力 F，可以平行移动到 刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其 力偶矩等于原来的力 F 对平移点之矩。
F1
F2
A
B
Fn
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第4章 平面一般力系 19
§4-3 分布荷载
集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小 或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用 在一点上。
例如，铁轨给轮子的力等。
FN
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 20
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部
各点上。例如，构件的自重等。
FR′
FR′ FR
FR′
MO
O
O′
O
d
O′
Od
O′
(a)
FR″
(b)
(c)
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3. 力系平衡
FR 0,MO0
第4章 平面一般力系 14
FR′ O MO
合力矩定理
平面一般力系如果有合力，则合力对该力系 作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之 矩的代数和。
课程：工程力学
证明： 如下图所示，显然有
(4) 线分布荷载的单位： N/m 。 2. 分布荷载的计算方法
证明如下图所示：
Bd F A
(a)
F′
B
F
dA
F″ (b)
F′ B M=Fd
dA
(c)
M B (F )F d M M B (F )
课程：工程力学
第4章 平面一般力系 6
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的 力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力 偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一 个位于力偶作用面内的力来等效替换。