数学建模经典问题——旅行商问题
2023年苏北数学建模竞赛题解答
数学建模王迪 B09010601 通信工程郑佳佳 B09010603 通信工程孟天舒 B09010604 通信工程题目旅游线路旳优化设计摘要本题为经典旳旅行商问题（TSP），是组合数学中一种古老而又困难旳问题，它易于描述却难以完全处理，属于NP完全问题。
对于规模较小旳旅行商问题，可以通过穷举得到最优解，但伴随问题规模旳增大空间复杂度急剧增长，需要通过启发式算法求解。
由意大利学者M.Dorigo于1992年首先提出旳蚁群系统(AntColonySystem, ACS)是一种新生旳仿生进化算法, 合用于求解复杂组合优化问题, 在处理TSP 问题方面获得了较为理想旳效果。
在此，我们以改善旳蚁群算法为基础建立数学模型来设计这些旅游者在五一开始旳路线，试图能得到某些合理旳结论。
(1)第一问是经典旳费用TSP问题。
对于此问题我们套用基本蚁群算法，查找到都市坐标以及旅游费用，并建立求解矩阵。
通过MATLAB软件旳模拟，求出若干优化解，取相对最优解作为计算成果。
所求得旳路线为徐州出发——洛阳市龙门石窟——西安市秦兵马俑——山西祁县乔家大院——青岛市崂山——北京八达岭长城——江西九江庐山——黄山市黄山——常州中华恐龙园——舟山市普陀山——武汉市黄鹤楼——返回徐州，合计3201元。
(2)第二问为时间TSP问题。
由于时间在详细操作上旳波动性，根据数据所得结论将时间旳TSP转化为距离TSP问题。
求解出旳路线为：徐州出发——常州中华恐龙园——舟山市普陀山——黄山市黄山——九江市庐山——武汉市黄鹤楼——洛阳市龙门石窟——西安市秦始皇兵马俑——祁县乔家大院——北京市八达岭长城——青岛市崂山——返回徐州，总计用时11天12小时20分。
(3)第三问为有费用约束下旳TSP问题。
对于此问题运用了试探法和最小元素得到近似解，再用基本蚁群算法进行优化。
求解出旳路线为：徐州——西安——山西——武汉——黄山——北京——洛阳——徐州，所花费用1839元，游览了5个景点。
旅行商问题
旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）又译为、，简称为，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
目录123456“旅行商问题”常被称为“”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地TSP问题最简单的求解方法是。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
2研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
3问题解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于的问题，1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。
有以下几种解法：1）如果成本降低（距离减少），则取代之，直到无法改善为止，K通常为2或3。
3、合成启发法（Composite Procedure）有以下几种解法1）起始解求解+2-Opt：起始解求解+3-Opt：蜜蜂试验4解法思路旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于（NP-Complete），所以旅行商问题大多集中在启发式解法。
组合优化中的旅行商问题求解
组合优化中的旅行商问题求解在组合优化领域中，旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一类具有重要实际应用价值和理论研究意义的问题。
该问题要求在给定一系列城市和各城市之间的距离情况下，找到一条最短路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次，并最终回到出发城市。
TSP在计算机科学、运筹学和数学等多个领域都得到了广泛的关注和研究。
1. TSP的数学建模旅行商问题可以用图论中的图来描述和解决。
首先，我们将每个城市表示为图中的一个节点，城市之间的距离表示为节点之间的边。
若每对节点之间的边都有权重，表示相应城市之间的距离，旅行商问题就可以转化为求解图的最短哈密顿回路（Hamiltonian cycle）的问题。
2. 求解TSP的经典算法2.1 蛮力算法蛮力算法是最简单直观的求解TSP的方法，它遍历所有可能的路径，并计算出总的路径长度，然后选择最短路径作为解。
然而，蛮力算法的时间复杂度为O(n!)，当城市数量增加时，计算时间将呈指数级增长，因此适用于城市数量较少的情况。
2.2 最邻近插入算法最邻近插入算法从一个起始城市开始，每次选择离当前城市最近的未访问城市作为下一个访问城市，直到访问完所有城市，并回到起始城市。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，但它可能会得到次优解，因为贪心策略在选择下一个城市时只考虑了当前状态，没有考虑到整体最优解。
2.3 分支限界法分支限界法是一种基于回溯的求解TSP的优化方法，其思想是通过剪枝操作，去掉一些分支，从而减少搜索空间。
该算法首先选择一个起始城市，然后逐步扩展路径，每次选择一个未访问的城市，并通过计算路径长度来更新当前最优路径。
同时，在搜索过程中，根据当前路径长度和已知的最短路径长度，进行剪枝操作，以减少无效的计算。
分支限界法可以得到较优的解，但其时间复杂度仍然较高，因此在处理大规模问题时可能会面临困难。
3. 近似算法及元启发式算法为了求解大规模问题或提高求解效率，研究者们提出了许多近似算法和元启发式算法。
旅行商问题数学模型
旅行商问题数学模型
旅行商问题数学模型
旅行商问题（又译旅行推销员问题）是在计算机科学及运筹学中的一个典型问题，其中的任务是“找到一条最短的路线，其中遍及全部的城市且只遍及一次”。
这个问题属于非常实用的经典优化问题，如果仅考虑一个旅行者，则是一个单顶点问题。
在这里，我们把这个问题抽象成数学模型，主要包括变量，目标函数和约束条件，并由此给出解决此问题的数学表达式。
变量：
设有n个城市：C1，C2，…，Cn，设每两个城市之间的距离为Dij，i，j=1，2，…，n，Xij表示从城市i出发到城市j的路径，则Xij=1表示该路径可行，Xij = 0表示该路径不可行。
目标函数：
本题的目标是求出长度最短的路径。
故该问题的目标函数可表示为：
min Z=∑∑DijXij
其中，i，j=1，2，…，n
约束条件：
该问题的约束条件可表示为：
（1）每个城市只访问一次。
∑Xij = 1 i=1，2，…，n；j=1，2，…，n
（2）出发和结束均是同一个城市。
Xij = 1 i=j；j=1，2，…，n
（3）Xij只能取0或1。
Xij = 0或1 i，j=1，2，…，n
总结：
因此，旅行商问题的数学模型可以表示为：
min Z=∑∑DijXij
其中，i，j=1，2，…，n
约束条件：
（1）每个城市只访问一次。
∑Xij = 1 i=1，2，…，n；j=1，2，…，n （2）出发和结束均是同一个城市。
Xij = 1 i=j；j=1，2，…，n
（3）Xij只能取0或1。
Xij = 0或1 i，j=1，2，…。
TSP问题
TSP（旅行商）问题
旅行商问题，即TSP问题(Travelling Salesman Problem)又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。
假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
TSP问题是一个组合优化问题。
该问题可以被证明具有NP计算复杂性。
因此，任何能使该问题的求解得以简化的方法，都将受到高度的评价和关注。
旅行推销员问题是数图论中最著名的问题之一，即“已给一个n个点的完全图，每条边都有一个长度，求总长度最短的经过每个顶点正好一次的封闭回路”。
Edmonds，Cook和Karp 等人发现，这批难题有一个值得注意的性质，对其中一个问题存在有效算法时，每个问题都会有有效算法。
迄今为止，这类问题中没有一个找到有效算法。
倾向于接受NP完全问题(NP-Complete或NPC)和NP难题(NP-Hard或NPH)不存在有效算法这一猜想，认为这类问题的大型实例不能用精确算法求解，必须寻求这类问题的有效的近似算法。
此类问题中，经典的还有子集和问题;；Hamilton回路问题；最大团问题。
数学建模经典问题——旅行商问题
度最短的两条边之和； C*(T)：最优回路长度；
25
于是，dmin(i, 1)代表与第i个结点关联的所有边 中最长边的长度，dmin_j(i, 1) 代表与第i个结点关联 的所有边中次长边的另一个结点编号(其中一个结点 编号为i)，第i结点的dmin(i, k)和dmin_j(i, k)可由距 离矩阵w轻易求得。
20
当然，用该方法有时会找不到TSP的最优解， 因为很可能在进行了几轮迭代后，却找不到新的不 等式。Padborg与Hong曾计算了74个TSP，其中54 个得到了最优解，其余的虽未得到最优解，却得到 了很好的下界，如果与近似方法配合，可以估计近 似解的精确程度。如，他们解过一个有313个城市的 TSP，获得一个下界41236.46，而用近似方法能得 到一条长为41349的路线，于是可估计出所得近似解 与最优解的误差不超过0.26%。
14
早在1954年，Dantzig等人就曾提出过一种方 法（非多项式算法），并且求出了一个42城市的 TSP最优解。到了1960年代，不少人用分支定界法 解决了许多有几十个城市的TSP。还有人提出了一 些近似方法，也解决了许多有几十个城市甚至上百 个城市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值得 注意的是，从1970年代中期开始，Grotschel与 Padberg等人深入研究了TS多面体的最大面 （facet），并从所得结果出发获得了一种解TSP的 新算法，可以解决一些有100多个城市的TSP，且都 在不长的时间内找到了最优解。
一、数学模型 1. 标准TSP 旅行商问题（简称TSP），也称货郎担问题或 旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其 一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到城 市2、3、…、n去推销货物，最后返回城市1，若任 意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选择 其最佳行走路线
数学建模之旅行商问题——走遍中国
走遍全中国方案的研究摘要本文通过对走遍中国各省会城市、直辖市和港澳台的最优路径选择问题进行分析，发现这是一个十分典型的旅行商问题（Traveling Salseman Problem ），即寻找一条遍历n 个城市（在本文中为34个城市）的最短路径。
我们搜索了这34个城市的经纬度和部分列车、航班时刻表等各方面信息，综合省钱、省时、方便等因素，进一步深入并细化，从而得到判断各订票方案的准则。
针对问题一，我们利用欧几里得平面知识，由公式0002901800290A B x R A y R ππ+⎧=⋅⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩将该34个城市的经纬度转化为平面直角坐标，从而将其简化成二维平面问题。
目前，解旅行商问题（tsp 问题）的方法有许多种，本文采用了较为先进的遗传算法。
遗传算法是目前解决组合优化问题最有效的工具之一，本文介绍了遗传算法的基本原理，讨论了遗传算法中的有关遗传算子设计等方面的技术。
由于该算法在搜索空间中同时考虑了许多点，这样就减少了收敛于局部极小的可能，也增加了处理的并行性。
同时，我们利用MATLAB 软件编辑了相关程序，计算出了遍历该34个城市的最短路径，其路径长度为14661km 。
对于问题二，在只考虑旅行路线最经济的前提下，结合第一问得出的最优路径，我们收集了这34个城市的列车和航班时刻表等信息，从而找出最经济的订票方案，并得其花费为11426元。
针对问题三，在综合考虑省时、省钱、方便等诸多因素的前提下制定订票方案的评价准则，我们运用了层次分析法对其进行研究。
根据对旅行过程中省时，省钱及方便的偏重程度，我们相应地给出了判断矩阵111571513731⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，然后对其进行一致性检验，发现其不一致程度在容许范围内。
因此我们利用其最大特征根max λ对应的特征向量w 作为比较因素的权向量，并得到以下评价表达式：12120.0740.2830.643*(0.8330.167)C x x x x =+++。
旅行商问题
旅行商问题
旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个有着悠久历史的经典优化问题，也是一个非常重要的研究领域。
贪婪法是常用的解决TSP问题的算法之一。
它的思想是每次都选择与当前位置最近的城市，最后回到出发城市，进而完成一个TSP问题的解决。
贪婪法的TSP问题可以通过求解最佳匹配（Minimazing Tour Cost）而简单地实现。
它要求先求出各城市带来的价值，然后将价值作为各城市之间的距离权重，计算出最佳匹配。
另外，贪婪算法解决TSP问题还可以使用基于穷举搜索的解法。
它对所有有可能存在的路线进行排查，从而最终求出最短路径长度。
但是，由于TSP问题的解空间很大，穷举搜索的解法无法保证能够求出最优解，运行时间也增加了很多，贪婪算法求解TSP问题速度较快。
总之，贪婪算法解决TSP问题能够在短时间内快速求出最短路径，但是求得的解不一定是最优解，而且TSP问题求解的解空间非常大，仍然有很多未知问题需要进一步研究。
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的排列来表示，因此所有可能的路线有条。
这样，若用枚举法来解决这一问题，即使
不太大，例如n＝30，用目前最快的计算机， 也要化几百万年才能求出一条最短的路线。
14
•
早在1954年，Dantzig等人就曾提出
过一种方法（非多项式算法），并且求出
了一个42城市的TSP最优解。到了1960年代，
不少人用分支定界法解决了许多有几十个
V={v0,v1,…vn-1}，v0为名推销员出发点，记 V‘={v01,v02,…v0m; v0,v1,…vn-1} ，扩大的m-1个顶 点称为“人造顶点”，其距离矩阵也相应扩13
• 二、多面体理论
•
从上世纪70年代开始的关于算法复杂
性的研究表明，要想为TSP找到一个好的算
法，也即多项式算法，似乎是不可能的。 由于推销员的每条路线可以用一个以1开始
第7章 旅行商问题
1
目录
第7章 旅行商问题
1.问题概述 2.求解算法
2.1.下界和上界算法
2.2.分支定界法 2.3.动态规划法 2.5.近似算法 2.5.竞赛题
2
§7-1 问题概述
• 一、数学模型
• 1. 标准TSP
•
旅行商问题（简称TSP），也称货郎
担问题或旅行推销员问题，是运筹学中一
个著名的问题，其一般提法为：有一个旅
城市的TSP。还有人提出了一些近似方法，
也解决了许多有几十个城市甚至上百个城
市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值
得注意的是，从1970年代中期开始，
j1
n
s.t
i1
xij
1,
xij S 1,
iS jS
xij 0, 1
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
模型中，为集合中所含图的顶点数。约束（7－1）
和（7－2）意味着对每个点而言，仅有一条边进和一条
4
•
记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为
边集，各顶点间的距离dij已知。设
xij
1 , 0,
若i, j 在回路路径上
其他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
nn
min Z
dij xij
i 1 j 1
n
xij 1,
j 1
n
s.t
i1
xij
1,
xij S 1,
iS jS
xij 0, 1
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
5
nn
min Z
dij xij
i1 j1
n
xij 1,
人在几分钟内就可理解的游戏之作，却延续至今仍未能完
全解决，成了一个世界难题。
•
TSP有着明显的实际意义，如，邮局里负责到各信箱
开箱取信的邮递员，以及去各分局送邮件的汽车等，都会
遇到类似的问题。有趣的是，还有一些问题表面上看似乎
与TSP无关，而实质上却可以归结为TSP来求解。已经证明，
TSP是个NP难题，除非P = NP，否则不存在有效算法。
n-1
1, 对j 1, 2,
k 0
xkj
m,
对j 0
,n 1
s.t.
n -1xik来自 k 0 1, m,
对i 1, 2, 对i 0
,n 1
xij
0, 1,
xii
0,
i, j
且不存在任何子回路
•
假定原问题为对称型MTSP，
行商从城市1出发，需要到城市2、3、…、n 去推销货物，最后返回城市1，若任意两个
城市间的距离已知，则该旅行商应如何选
择其最佳行走路线？
3
•
TSP在图论意义下又常常被称为最小Hamilton圈问题，
Euler等人最早研究了该问题的雏形，后来由英国的
Hamilton爵士作为一个悬赏问题而提出。但这个能让普通
走不同的路线，使得所有的城市都至少被访问过一次，然后
返回出发点，要求所有推销员的总行程最短，则问题就成为
一个多人的旅行商问题（简记MTSP）。
•
令决策变量
1, xij 0,
若有某推销员从城市i 到城市j 否则
则MTSP的数学模型为：
12
m n-1
min Z
dij xij
i 1 j 0
式的，简称为ΔTSP。
7
• 2. 扩展TSP
• (1) 瓶颈TSP
•
瓶颈问题是最早从TSP延伸出来的一
种扩展型TSP，其含义与经典的TSP类似，仅
目标不同，要求巡回路线中经过的最长距
离最短，即最小化瓶颈距离。该情形体现
了那些并不追求总巡回路线最短，而只希
望在巡回路线中每次从一个地点至另一个
地点的单次行程尽可能短的实际应用问题
边出；约束（7－3）则保证了没有任何子回路解的产生。
于是，满足约束（7－1）、（7－2）和（7－3）的解
构成了一条Hamilton回路。
6
•
当dij=dji (i, j∈V) 时，问题被称为对称型
TSP，否则称为非对称型TSP。
•
若对所有1≤i, j, k≤n ，有不等式dij + djk
≥ dik成立，则问题被称为是满足三角形不等
的特征。
8
• 从严格的数学意义而言，瓶颈TSP（简称 BTSP）并没有降低问题的难度，也未能提供任 何特殊的解决办法。
•
瓶颈TSP的数学模型与标准TSP类似，仅目
标函数不同：
• min Z max dij xij i, j V
由于目标函数为瓶颈值，故求得的最佳巡回路 线与标准TSP的往往截然不同。
10
•
假定收益的数学性质与相同，则最小比
率TSP的数学模型也与标准TSP类似，仅目标
函数不同：
min Z
i j dij xij
i j pij xij
毫无疑问，由于目标函数中的非线性因素，最 小比率TSP的求解比之标准TSP显得更为困难。
11
• (3) 多人TSP
•
若标准TSP中，出发点有多个推销员同时出发，各自行
9
• (2) 最小比率TSP
•
最小比率TSP（简称MRTSP）是从经
典TSP引申出来的另一个变形问题，假定从
一个城市走到另一个城市可得到某种收益
（记为），则MRTSP的目标就是确定最佳行
走路线，使得回路的总行程与总收益之比
最小。这种优化目标的思想类似于人们日
常生活中经常使用的费用效益比，与单纯
的总行程最短相比，往往更具实际意义。