高等数学习题第二章答案

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同济大学版高等数学课后习题答案第2章

习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t ). 如果旋转是匀速的, 那么称t θω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+∆t ]内的平均角速度ω为tt t t t ∆-∆+=∆∆=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t t t t t θθθθωω'=∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆.2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+∆t ]内, 温度的改变量为 ∆T =T (t +∆t )-T (t ),平均冷却速度为tt T t t T t T ∆-∆+=∆∆)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=∆-∆+=∆∆→∆→∆.3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f '(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x )的实际意义.解 f (x +∆x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +∆x 时成本的改变量.xx f x x f ∆-∆+)()(表示当产量由x 改变到x +∆x 时单位产量的成本.xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f '(-1).解 xx x f x f f x x ∆--∆+-=∆--∆+-=-'→∆→∆2200)1(10)1(10lim)1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 10020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x xx x x x .5. 证明(cos x )'=-sin x .解 xxx x x x ∆-∆+='→∆cos )cos(lim )(cos 0xxx x x ∆∆∆+-=→∆2sin )2sin(2lim0 x x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=∆∆∆+-=→∆. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim000;解 xx f x x f A x ∆-∆-=→∆)()(lim 000)()()(lim 0000x f x x f x x f x '-=∆--∆--=→∆-.(2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f (0)=0, 且f '(0)存在;解 )0()0()0(lim )(lim 00f x f x f x x f A x x '=-+==→→.(3)A hh x f h x f h =--+→)()(lim 000.解 hh x f h x f A h )()(lim 000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim 00000----+=→hx f h x f h x f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6;(4)xy 1=;(5)21x y =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =; 解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 . (2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x x y . (6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s )时的速度. 解v =(s )'=3t 2, v |t =2=12(米/秒).9. 如果f (x )为偶函数, 且f (0)存在, 证明f (0)=0. 证明当f (x )为偶函数时, f (-x )=f (x ), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→,从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0. 10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: π32=x , x =π.解因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x , 233sin 3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y , 法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1⋅(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k . 令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x |;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为y (0)=0, 0)sin (lim |sin |lim lim 0=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-xx x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y (0)=0, 所以函数在x =0处连续.又因为01sin lim 01sin lim 0)0()(lim0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f (1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x , a x x a x b a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111,所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1.16. 已知⎩⎨⎧<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为f -'(0)=10lim )0()(lim 00-=--=---→→xx x f x f x x ,f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x ,而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在. 17. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ; 当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim 00=-=---→→xx x f x f x x ,f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得x a y 2=, 22xa y k -='=. 设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-.令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x 轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距. 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ; (csc x )'=-csc x cot x .解 x x x x x x x x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ⋅-⋅-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin -=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos)sin 1()(csc 2⋅-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xx x y ;(2) y =5x 3-2x +3e x ; (3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ⋅cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)x x y ln =;(8)3ln 2+=xe y x ; (9) y =x 2ln x cos x ;(10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xx x y 2562562282022820x x x x x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3e x .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ⋅tan x =sec x (2sec x +tan x ). (4) y '=(sin x ⋅cos x )'=(sin x )'⋅cos x +sin x ⋅(cos x )' =cos x ⋅cos x +sin x ⋅(-sin x )=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x )'=2x ⋅ln x +x 2⋅x1=x (2ln x +1) .(6) y '=(3e x cos x )'=3e x ⋅cos x +3e x ⋅(-sin x )=3e x (cos x -sin x ).(7)22ln 1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-⋅='='. (8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=⋅-⋅='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x )'=2x ⋅ln x cos x +x 2⋅x1⋅cos x +x 2 ln x ⋅(-sin x )2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x . (10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t t t s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=d d .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) . 解 (1)y '=cos x +sin x ,21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=⋅+⋅=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=.求:(1)该物体的速度v (t ); (2)该物体达到最高点的时刻. 解 (1)v (t )=s '(t )=v 0-gt . (2)令v (t )=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程. 解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x ); (3)23x e y -=; (4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=; (7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x )2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1⋅(2x +5)'=4(2x +5)3⋅2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x )⋅(4-3x )'=-sin(4-3x )⋅(-3)=3sin(4-3x ). (3)22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='. (4)222212211)1(11xx x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(5) y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-⋅-='-='-x a x a x a y222122)2()(21xa x x x a --=-⋅-=-.(7) y '=sec 2(x 2)⋅(x 2)'=2x sec 2(x 2). (8)xx x x e e e e y 221)()(11+='⋅+='.(9) y '21arcsin 2)(arcsin arcsin 2x x x x -='⋅=.(10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='.7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x ); (2)211x y -=; (3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)xx y ln 1ln 1+-=;(6)x x y 2sin =;(7)x y arcsin =; (8))ln(22x a x y ++=; (9) y =ln(sec x +tan x ); (10) y =ln(csc x -cot x ). 解 (1)2221)21(12)21()21(11xx x x x y --=---='-⋅--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-⋅--='-='---x x x y222321)1()2()1(21xx x x x --=-⋅--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xxx x )3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx +-=--=---.(4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='. (6)222sin 2cos 212sin 22cos x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='. (8)])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=. (9) x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12=-+-='-⋅-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=; (4)xe y arctan=;(5)y =sin n x cos nx ;(6)11arctan -+=x x y ;(7)x x y arccos arcsin =;(8) y =ln[ln(ln x )] ; (9)x x x x y -++--+1111;(10)xx y +-=11arcsin .解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y)2()2(11)2(arcsin 22'⋅-⋅=x x x 21)2(11)2(arcsin 22⋅-⋅=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=⋅⋅=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+⋅+=+='x x x y )(ln ln 2ln 1212'⋅⋅+=x x x x x x1ln 2ln 1212⋅⋅+=x x x 2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '⋅='x e y x )()(112arctan '⋅+⋅=x x e x)1(221)(11arctan 2arctan x x e x x exx+=⋅+⋅=.(5) y '=n sin n -1x ⋅(sin x )'⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅(nx )' =n sin n -1x ⋅cos x ⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅n=n sin n -1x ⋅(cos x ⋅cos nx -sin x ⋅sin nx )= n sin n -1x cos(n +1)x . (6)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='. (7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-=' 22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +⋅-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x xx x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=.(9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111xx -+-=. (10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=' )1(2)1(1x x x -+-=. 9. 设函数f (x )和g (x )可导, 且f 2(x )+g 2(x )≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解 ])()([)()(212222'+⋅+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'⋅+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f (x )可导, 求下列函数y 的导数dxdy : (1) y =f (x 2);(2) y =f (sin 2x )+f (cos 2x ).解 (1) y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f '(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x ) =sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ⋅e ch x ; (3) y =th(ln x ); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x ); (9)xx y 2ch 21ch ln +=;(10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x )⋅(sh x )'=sh(sh x )⋅ch x . (2) y '=ch x ⋅e ch x +sh x ⋅e ch x ⋅sh x =e ch x (ch x +sh 2x ) .(3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ⋅='⋅='.(4) y '=3sh 2x ⋅ch x +2ch x ⋅sh x =sh x ⋅ch x ⋅(3sh x +2) . (5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-⋅-='.(6)222)1()1(112422++='+⋅++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='⋅-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11⋅+=⋅+='⋅+=' xx x 222sh 211sh ch 1+=+=.(9))ch (ch 21)ch (ch 124'⋅-'⋅='x xx x yx x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4⋅⋅-=x x x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -⋅=-= x xxx x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-⋅=. (10)'+-⋅+-⋅+-='+-⋅+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-⋅+=+--+⋅+-⋅=x x x x x x x x . 12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ⋅sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n x x y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=; (6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=;(8)x x y +=;(9) 242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsin tt y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ⋅cos x ⋅sin(x 2)+sin 2x ⋅cos(x 2)⋅2x =sin2x ⋅sin(x 2)+2x ⋅sin 2x ⋅cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=⋅+⋅='.(4)121ln 1ln 1+--=⋅-⋅='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y .(6)x x x x x x x y 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅='. (7))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x x x e x ey x x -⋅⋅-⋅='-⋅='--x e x x1sin 222sin 1-⋅⋅=. (8))211(21)(21x xx x x x x y +⋅+='+⋅+='xx x x +⋅+=412.(9)2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x x x x y =-⋅-+⋅-⋅+='.(10)22222222)1()2(2)1(2)12(11)12()12(11t t t t tt t t t t y +⋅-+⋅⋅+-='+⋅+-=' )1(|1|)1(2)1()1(2)1(1222222222t t t t t t t +--=+-⋅-+=.习题 2-31. 求函数的二阶导数: (1) y =2x 2+ln x ; (2) y =e 2x -1; (3) y =x cos x ; (4) y =e -t sin t ; (5)22x a y -=; (6) y =ln(1-x 2) (7) y =tan x ;(8)113+=x y ;(9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =; (11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=. 解 (1)x x y 14+=', 214xy -=''.(2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1. (3) y =x cos x ; y '=cos x -x sin x ,y ''=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x . (4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t )y ''=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t .(5)222222)(21xa x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a xa x a xx x a y ---=---⋅---=''.(6) 22212)1(11x x x x y --='-⋅-=',222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''.(7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x )'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y ,333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y ,212arctan 2xx x y ++=''.(10)22)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=', 3242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''. (12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=',xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222.2. 设f (x )=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x )=6(x +10)5, f ''(x )=30(x +10)4, f '''(x )=120(x +10)3, f '''(2)=120(2+10)3=207360.3. 若f ''(x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxyd :(1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2). (2))()(1x f x f y '=',2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=.4. 试从y dy dx '=1导出:(1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy xd ⋅'''-='''-=3333 52623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sin ωt (A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:0222=+s dts d ω.解 t A dt ds ωωcos =,t A dts d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度. 0sin sin 22222=+-=+t A t A s dts d ωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e λx +C 2e -λx (λ,C 1, C 2是常数)满足关系式: y ''-λ2y =0 . 解 y '=C 1λe λx -C 2λe -λx , y ''=C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx .y ''-λ2y =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-λ2(C 1e λx +C 2e -λx ) =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )=0 . 7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式: y ''-2y '+2y =0 .解 y '=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ),y ''=e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x . y ''-2y '+2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x =2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 . 8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数); (2) y =sin 2x ; (3) y =x ln x ; (4) y =xe x .解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1,y ''=n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=n (n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n ! . (2) y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(3) 1ln +='x y , 11-==''x x y ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) . 9. 求下列函数所指定的阶的导数: (1) y =e x cos x , 求y (4) ; (2) y =x sh x , 求y (100) ; (3) y =x 2sin 2x , 求y (50) . 解 (1)令u =e x , v =cos x , 有 u '=u ''=u '''=u (4)=e x ;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x , 所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4)=e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x . (2)令u =x , v =sh x , 则有 u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x ,所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +x sh x . (3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有 u '=2x , u ''=2, u '''=0;x x v 2sin 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π,v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= )50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''= )2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.习题 2-31. 求函数的二阶导数: (1) y =2x 2+ln x ; (2) y =e 2x -1; (3) y =x cos x ; (4) y =e -t sin t ; (5)22x a y -=; (6) y =ln(1-x 2) (7) y =tan x ; (8)113+=x y ;(9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =;(11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=. 解 (1)x x y 14+=', 214xy -=''.(2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1. (3) y =x cos x ; y '=cos x -x sin x ,y ''=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x . (4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t )y ''=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t . (5)222222)(21xa x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a xa x a xx x a y ---=---⋅---=''.(6) 22212)1(11xx x x y --='-⋅-=',222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x )'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y , 333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y .(9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y ,212arctan 2xx x y ++=''.(10)22)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=',3242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''. (12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=',xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222. 2. 设f (x )=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x )=6(x +10)5, f ''(x )=30(x +10)4, f '''(x )=120(x +10)3, f '''(2)=120(2+10)3=207360.3. 若f ''(x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxyd :(1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2). (2))()(1x f x f y '=',2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=.4. 试从y dy dx '=1导出:(1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==.(2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy xd ⋅'''-='''-=3333 52623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sin ωt (A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:0222=+s dts d ω. 解 t A dt ds ωωcos =,t A dts d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度. 0sin sin 22222=+-=+t A t A s dts d ωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e λx +C 2e -λx (λ,C 1, C 2是常数)满足关系式:y ''-λ2y =0 . 解 y '=C 1λe λx -C 2λe -λx , y ''=C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx .y ''-λ2y =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-λ2(C 1e λx +C 2e -λx ) =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )=0 . 7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式: y ''-2y '+2y =0 .解 y '=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ),y ''=e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x . y ''-2y '+2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x =2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 . 8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数); (2) y =sin 2x ;(3) y =x ln x ; (4) y =xe x .解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1,y ''=n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=n (n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n ! . (2) y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(3) 1ln +='x y , 11-==''x x y ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) . 9. 求下列函数所指定的阶的导数: (1) y =e x cos x , 求y (4) ; (2) y =x sh x , 求y (100) ; (3) y =x 2sin 2x , 求y (50) .解 (1)令u =e x , v =cos x , 有 u '=u ''=u '''=u (4)=e x ;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x , 所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4)=e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x . (2)令u =x , v =sh x , 则有 u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x , 所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +x sh x . (3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有 u '=2x , u ''=2, u '''=0;x x v 2sin 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π,v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= )50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''= )2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy : (1) y 2-2x y +9=0; (2) x 3+y 3-3axy =0; (3) xy =e x +y ; (4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得2y y '-2y -2x y ' =0 , 于是 (y -x )y '=y , xy y y -='. (2)方程两边求导数得3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0, 于是 (y 2-ax )y '=ay -x 2 ,axy x ay y --='22.(3)方程两边求导数得 y +xy '=e x +y (1+y '), 于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y ,yx y x e x ye y ++--='.(4)方程两边求导数得 y '=-e y -xe y y ', 于是 (1+xe y )y '=-e y ,yy xe e y +-='1. 2.求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程.解方程两边求导数得 032323131='+--y y x ,于是 3131---='y x y ,在点)42 ,42(a a 处y '=-1.所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+.所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0.3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd :(1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2; (3) y =tan(x +y ); (4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得 2x -2yy '=0, y '=y x ,3322221)(y y x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''. (2)方程两边求导数得2b 2x +2a 2yy '=0,yx a b y ⋅-='22, 22222222)(y yx a b x y a b y y x y a b y ⋅--⋅-='-⋅-=''32432222222ya b y a x b y a a b -=+⋅-=. (3)方程两边求导数得y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '),1)(cos 1)(sec 1)(sec 222-+=+-+='y x y x y x y 222211)(sin )(cos )(sin y y x y x y x --=+-+++=, 52233)1(2)11(22yy y y y y y +-=--='=''. (4)方程两边求导数得y '=e y +xe y y ',ye y e xe e y y y y y -=--=-='2)1(11, 3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''.4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ;(3)54)1()3(2+-+=x x x y ;(4)x e x x y -=1sin . 解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |，两边求导得xx x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1ln(1ln 1,于是 ]111[ln )1(xx x x x y x ++++='.(2)两边取对数得)2ln(251|5|ln 51ln 2+--=x x y ,两边求导得22251515112+⋅--⋅='x x x y y , 于是 ]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y .(3)两边取对数得)1ln(5)3ln(4)2ln(21ln +--++=x x x y ,两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y ,于是 ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y。

高等数学第二章答案

高等数学第二章答案【篇一：高等数学第二章复习题及答案】>第二章一、填空题f(a?x)?f(a?x)?x?0xf(3?h)?f(3)?2、设f?(3)?2，则lim。

h?0______________2h1、设f(x)在x?a可导，则lim。

3、设f(x)?e，则limh?0?1xf(2?h)?f(2)?。

_____________hcosx?,f?(x0)?2,(0?x0?)，则f(x0)?。

_______________________1?sinx2dy?5、已知x2y?y2x?2?0，则当经x＝1、y＝1时，。

dx_______________4、已知f(x)?6、f(x)?xex，则f???(ln2)?_______________。

__________7、如果y?ax(a?0)是y?x2?1的切线，则a?。

8、若f(x)为奇函数，f?(x0)?1且，则f?(?x0)?9、f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，则f?(0)?10、y?ln(1?3?x)，则y??11、设f?(x0)??1，则limx?0______________________________________________________。

x。

?___________f(x0?2x)?f(x0?x)_________________________12、设x?y?tany，则dy?。

13、设y?y???(0)?。

_______________14、设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?f(x)在点（1，1）处的切线方程是______________________。

1???xcos15、f(x)??x??0_______________________x?0x?0。

，其导数在x?0处连续，则?的取值范围是16、知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为二、选择题。

高等数学课后习题答案第二章

1
=
1 4
1 tan
x 2
sec 2
x 2
5、设、 y =
1 2π D 1 2π D
e
−
( x−a)2 2D
，其中 a, D 是常数，求出使导数 y ′( x ) = 0 的 x 值
( x −a ) 2 2D
解： y ′ =
e
−
( x − a )2 2D
3、证明：（1）、可导的偶（奇）函数的导数是奇函数（偶）（2）、可导的周期函数的导数是具有相同周期的函数证明：设 f ( x ) 是偶函数，且可导则
f ( x) = f ( − x ) f (− x + ∆x ) − f (− x ) f ( x − ∆x ) − f ( x ) = lim = − f ′( x ) ∆x → 0 ∆x ∆x
[1 − ( x + ∆x ) 2 ] − (1 − x 2 ) − 2 x∆x − (∆x) 2 = lim = −2 x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x −b ) 2a
：
3、设函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ，其中 a, b, c 是常数，求 f ′( x) ， f ′(0) ， f ′( −1) ， f ′( 解
f ′(− x ) = lim
∆x →0
表明 f ′( x) 是奇函数。设 f ( x) = f ( x + T )
f ′( x + T ) = lim
∆x →0
f ( x + T + ∆x ) − f ( x + T ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim = f ′( x) ∆ x → 0 ∆x ∆x

大学第四版高等数学教材答案

大学第四版高等数学教材答案【前言】在大学学习的过程中，高等数学是一门非常重要的课程。

为了更好地帮助同学们进行学习，提供一个参考，下面是大学第四版高等数学教材的答案。

【第一章微分学】1.1 导数与微分练习题答案：1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x的导数。

答：f'(x) = 6x - 2.2. 计算函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1在x = 2处的导数。

答：f'(2) = 6.1.2 函数的凹凸性和拐点练习题答案：1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的凹凸性和拐点。

答：f''(x) = 6x - 6，令f''(x) = 0，解得x = 1。

当x小于1时，f''(x)小于0，函数凹；当x大于1时，f''(x)大于0，函数凸。

所以在x = 1处有拐点。

2. 设函数f(x) = x^4 - 8x^2 + 12x，求其在[-2, 4]上的最大值和最小值。

答：首先求f'(x) = 4x^3 - 16x + 12，求解得到导数的零点x = -2, 1, 2。

然后求解f''(x) = 12x^2 - 16，代入得到f''(-2) = 20, f''(1) = -4, f''(2) = 20。

通过计算得知，在x = -2处为极小值，x = 1处为极大值。

所以最小值为f(-2) = 20，最大值为f(1) = 5。

【第二章积分学】2.1 不定积分练习题答案：1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的不定积分。

答：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C，其中C为常数。

2. 计算不定积分∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx。

答：∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx = x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x + C，其中C为常数。

北大版高等数学第二章微积分的基本概念答案习题2.8

习题2.8N ew to n -L eib n iz (1)4.将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:141300330022114436421531.N ew to n -L eib n iz :1(1).44(2).(3)sin co s | 2.(4)ln |ln 2.(5)(2sin )2co s 4.4411(6)(1)326124bb x xbaaaxx d x e d x ee e xd x x d x x xx x x d x x x x x x x x d x x πππππ====-=-===⎡⎤+=-+=+⎢⎥⎣⎦⎡+++=+++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰用公式计算下列定积分()1422221122112212222422223.211112..2111:?21111111,2221112x x x d x xxx x d x x x x x x x x x x x x x x x x x d x x x x ----⎤=⎢⎥⎦⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⎛⎫'-=-=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰验证是的一个原函数并计算定积分试问下式是否成立为什么故是的一个原函数.解4112221125.41111.[1,1]2x d x x x x x x--=⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰不成立因为在不可积.11001133413411113.R iem an n N ew to n -L eib n iz 1(1)limsinsin co s |1co s 1.11(2)limlim.44111(3)limlim1/nn k nnn n k k nnn n k k k xd x x n nk k xx d x nn n d x n kn k n→∞=→∞→∞==→∞→∞====-=-⎛⎫====⎪⎝⎭==++∑⎰∑∑⎰∑∑将下列极限中的和式视作适当函数的和,然后使用公式求出其值:1100ln (`1)|ln 2.1x x=+=+⎰122110101111010111/21001/21/2234.N ew to n -L eib n iz (1)|| 1.22(2)sg n 1(1)110.111(3)22243xxx d x xd x xd x xd x d x d x xx d x x x d x x x d xx x x -----=-=-==+-=-=⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:1321/2222000212221200111111111.3416243424168(4)|sin |sin sin co s |co s |22 4.(5)([])(1)2211() 1.22x x d x xd x xd x x x xx x x d x xd x x d x x πππππππ⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭=-=-+=+=⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.()[,]().[,],()()()().()()()(N ew to n -L eib n iz )()()().b aF x a b F x c a b F b F a F c b a F b F a F x d x F c b a '∈'-=-'-='=-⎰设在上有连续的导函数试证明:存在一点使得公式定积分中指中值公式证。

高等数学线性代数习题答案第二章

第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。

即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 lim 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。

高等数学习题详解-第2章极限与连续

习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1) 1n nx n =+ ;(2) 2(1)n n x =--；(3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞=。

(4) 12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n=-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误例如数列{}(-1)n有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3) 323125lim-=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=.(2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3) 对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n .习题2-2 1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1) 21limx x →∞ ;(2) -lim xx e →∞；(3) +lim xx e-→∞；(4) +lim cot x arc x →∞;(5) lim 2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+；(7) 1lim(ln 1)x x →+；(8) lim(cos 1)x x π→-解：(1) 21lim0x x →∞= ;(2) -lim 0xx e →∞=；(3) +lim 0xx e-→∞=；(4) +lim cot 0x arc x →∞=;(5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=；(7) 1lim(ln 1)1x x →+=；(8) lim(cos 1)2x x π→-=-2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

北大版高等数学第二章_微积分的基本概念答案_习题2.3

9.求下列隐函数在指定的点M 的导数: (1) y 2 − 2 xy − x 2 + 2 x − 4 = 0, M (3, 7) 2 yy′ − 2 y − 2 xy′ − 2 x + 2 = 0, y ′ = e 2 20 (2)e − 5 x y = 0, M , 2 ÷ . 10 e
2 3 2 3 2 3 1
(3) arctan −
y = ln x 2 + y 2 . x
y y′ + x 2 x = x + yy′ , xy′ − y = x + yy′ , xy′ − y = x + yy ′ , y′ = x + y . 2 x2 + y 2 x2 + y2 x 2 + y 2 x− y y 1+ ÷ x (4) y sin x − cos( x − y) = 0 y′ sin x + y cos x + sin( x − y )(1 − y′ ) = 0, y′ = y cos x + sin( x − y ) . sin( x − y ) − sin x
习题 2.3
1.当x → 0时, 下列各函数是x的几阶无穷小量 ? (1) y = x + 10 x 2 + 100 x 3.1阶. (2) y = ( x + 2 − 2)sin x = x sin x , 2阶. x+ 2+ 2
x (3) y = x(1 − cos x) = xg 2sin 2 , 2阶. 2 2.已知 : 当x → 0时, α ( x) = o( x 2 ).试证明α ( x) = o( x).
α ( x ) α ( x) = x = o(1) x = o(1). x x2 3.设α ( x) = o( x)( x → 0), β ( x) = o( x)( x → 0).试证明: α ( x) + β ( x) = o( x)( x → 0). α ( x ) + β ( x) α ( x ) β ( x) 证 = + = o(1) + o (1) = o (1). x x x 上述结果有时可以写成o( x) + o( x) = o( x).

高等数学第六版课后习题及答案第二章第四节

高等数学第六版课后习题及答案第二章第四节习题 2-41. 求函数的二阶导数:(1) y =2x 2+ln x ;(2) y =e 2x -1;(3) y =x cos x ;(4) y =e -t sin t ;(5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2)(7) y =tan x ;(8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =; (11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=.解 (1)x x y 14+=', 214xy -=''. (2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1.(3) y =x cos x ; y '=cos x -x sin x ,y ''=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x .(4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t )y ''=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t .(5)222222)(21xa x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a x a x a xx x a y ---=---⋅---=''. (6) 22212)1(11xxx x y --='-⋅-=', 222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x )'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y , 333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y , 212arctan 2xxx y ++=''. (10)22)1(1x x e x e x e y x x x -=⋅-⋅=', 3242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=', xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222. 2. 设f (x )=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x )=6(x +10)5, f ''(x )=30(x +10)4, f '''(x )=120(x +10)3,f '''(2)=120(2+10)3=207360.3. 若f ''(x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dx y d : (1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2).(2))()(1x f x f y '=', 2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=. 4. 试从y dy dx '=1导出: (1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy xd ⋅'''-='''-=3333 52623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sin ωt (A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:0222=+s dts d ω. 解 t A dtds ωωcos =,t A dts d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度. 0sin sin 22222=+-=+t A t A s dts dωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e λx +C 2e -λx (λ,C 1, C 2是常数)满足关系式: y ''-λ2y =0 .解 y '=C 1λe λx -C 2λe -λx ,y ''=C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx .y ''-λ2y =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-λ2(C 1e λx +C 2e -λx )=(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )=0 .7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式:y ''-2y '+2y =0 .解 y '=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ),y ''=e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x .y ''-2y '+2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x=2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 . 8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数);(2) y =sin 2x ;(3) y =x ln x ;(4) y =xe x .解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1,y ''=n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=n (n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n ! .(2) y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y , )222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y , )232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n . (3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2,y (4)=(-1)(-2)x -3,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x ,y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x ,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .9. 求下列函数所指定的阶的导数:(1) y =e x cos x , 求y (4) ;(2) y =x sh x , 求y (100) ;(3) y =x 2sin 2x , 求y (50) .解 (1)令u =e x , v =cos x , 有u '=u ''=u '''=u (4)=e x;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x ,所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4)=e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x .(2)令u =x , v =sh x , 则有u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x ,所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= =100ch x +x sh x .(3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有u '=2x , u ''=2, u '''=0;x x v 2sin 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π, v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= )50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''= )2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.。

高等数学第二章课后习题答案

第二章导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。

⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ），其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4．求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()32y x y π=-=-所以切线方程为1()223y x π-=--2(1)03y +-+=班级姓名学号法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小所以函数在0x =处连续因为 20001s i n(0)(0)1l i m l i m l i ms i n 0x x x x f x f x x x xx∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆ 所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f hh +→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;班级姓名学号当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+ 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+ （3）;3253xx e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2s e c s e c t a ny x x x =+班级姓名学号（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+ '422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22l n c o s c o s l n s i n x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x xy x -+-=+ 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x xx -+-=+ （10）.ln 3ln 223x x x x y ++=2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1s i n c o s s i n2d d ρϕϕϕϕϕ=+-班级姓名学号所以4222422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或因为2'1y x -=+，所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=；曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。

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习题2-21.解：（1）6sin 2x -；（2）12cos(31)t -；（3）368sin 2xe x -；（4）45(1)x +；（5）412xe--；（6）3221(1)x +；（7）21ln (ln )x x x +-；（8）22(1)(522)x x x -++；（9）2(3sin sin cos )xx e x x x x x ++；（10）4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-++. 2．解：（1）222()()1()cos x cos x sin x sin x cos x cot x csc x sin x sin x sin x '''-⎛⎫'===-=- ⎪⎝⎭ （2）21()cos x csc x csc x cot x sin x sin x '-⎛⎫'===-⋅ ⎪⎝⎭。

3．解：（1）()11()arccos x sin y cos y '==-=='；（2）同理可证。

4.解：（1）23y sin x cos x '=--，4x y π='= （2）同理可求10(2)3f '=. 5.解：当0y =时，1202x x -=，则12x =±，所以124x y =±'=，故切线方程为420,420x y x y -+=--=.6.解：（1）25242[(23)]5(23)(23)y x x x '''=+=+⨯+24245(23)42023x x x(x )=+⋅=+；（2）2222((52))(52)(52)4(52)y sin x cox x x cos x x '''=-=--=--；（3）223213212()(321)x x x x y e e x x -++-++'''==-++2321(62)x x e x -++=-+；（4）22(sin())2cos y x x x ''==；（5）2(cos )2cos (sin )2sin cos y x x x x x ''==-=-；（6）1222[()]y a x '=-1222221()()2a x a x -'=-⋅-= （7）221[arctan()]()1()1x xxx xe y e e e e '''===++；（8）2[(arccos )]2arccos (arccos )y x x x '''==⋅=；（9）1()()y ln sin x sin x sin x'''==⋅=cot x ；（10）32333(1)3((1))(1)(1)a x x y log x x ln a x ln a'+''=+==++. 7.解：（1）(arccos(12))(12)y x x '''=-=-=；（2）11arcsin y x x ''⎛⎫⎛⎫'=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）1ln 1ln x y x '-⎛⎫'= ⎪+⎝⎭22(1ln )(1ln )(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x '-+--⋅+==-++；（4）[ln(y x ''=+(x '==（5）(sin cos )(sin )cos sin (cos )nnn y x nx x nx x nx ''''=⋅=⋅+⋅=1sincos(1)n n x n x -+；（6）1211sin 21sin 22cos 221sin 21sin 2|cos 2|(1sin 2)x x xy x x x x -''---⎛⎫⎛⎫'=== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭；（7）y e''=⋅=；（8）11(ln ln(ln ))(ln ln )ln ln ln [ln(ln )]y x x x x x x '''==⋅=；（9）()22x y '⎡⎤'⎛⎫⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（10）2111cot tan tan 222211tan 22x x y arc x ''⎛⎫⎛⎫'==-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111sec 222113cos 1tan 222x x x x '-⎛⎫=-⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 8.解：当0x <时，2()x cos x sin x f x x -'=；当0x >时1()1f x cos x x sin x x'=-++；在分段点0x =，由导数定义知0()(0)(0)lim 00x f x f f x --→-'==-00()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f ln x x cos xf x x+++→→-+-'===- 所以，(0)0f '=在0x =也可导，故()f x 在(),-∞+∞上都可导。

9．解：（1）cos ln(sin )cos lnsin xx x x y e e ==，2coslnsin cos sin ln sin sin xx y ex x x ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭2cos cos (sin )sin ln sin sin x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 10.解：（1）32(())sin()sin3f x x x ϕ''==；（2）33(())sin ()cos f x x x ϕ''==；（3）33332((()))(sin )cos ()3cos f x x x x x x ϕ'''===.11.解：（1）(1)(1)((cos ))(cos )((cos ))(cos )(cos )sin n n n f x nf x f x nf x f x x --'''==-；（2）11(cos [()])cos [()](cos[()])cos [()]sin[()]()nn n f x n f x f x n f x f x f x --'''==-.习题2-31.解：（1）35353,9x x y e y e --'''==；（2）sin cos ,[(cos sin )]2cos t t t t y e t e t y e t t e t ----''''=-+=-=-；（3）221(sin ln )2sin cos ln sin y x x x x x x x''==+⋅22212sin 2sin 2sin cos ln sin 2cos 2ln x x y x x x x x x x x x '⎛⎫''=+⋅=+- ⎪⎝⎭；（4）2(tan )sec y x x ''==，22(sec )2sec (sec )2sec tan y x x x x x ''''==⋅=⋅；（5）(ln(1y x ⎛⎫''==，11y ''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=++⎝=（6）2[(1)arctan ]y x x ''=+⋅2212arctan (1)2arctan 11x x x x x x =⋅++⋅=++. 22(2arctan 1)2arctan 1xy x x x x'''=+=++ 2.解：因为33(4)()6,()0x x '''==，运用莱布尼茨公式得(5)(5)3(4)33543()5()()()()123x x xy e x e x e x ⋅⋅''''''=++⋅⋅32(156060)xx x x e =+++(5)(0)60y ∴=.3.解：(20)022(20)12(19)22(18)202020()2()2()x x x y C x e C x e C e =++20221921822022201922022222(2095)2!x x xx e x e x e e x x ⋅=⋅+⋅⋅+⋅=++。

4．解：（1）22231d 1d d ()d d d d ()d y y y x y y x y y y y y x⎛⎫ ⎪⎛⎫'''⎝⎭ ⎪''''⎝⎭===-=-''；（2）33322355d d ()()d 3()3()d d d d d ()()y y y y x y y y y y y y x x y y y y ''''⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'''''''''''''⋅--⋅⎝⎭⎝⎭===-=''。

5．证明：y '=；y ''==22==；故有321(2)10.y y x x ''+=-+=6.解：（1）()()1(1)()00()(1)21!n n n n n y x nx n n n --=+++==-⋅= ；（2）234111,2,32x x x x x x ---''''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭依次类推就可以导出它的一般规律()11!(1)n nn n x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）231112,,1(1)(1)y y y x x x ⋅''''''==-=+++； (4)4123(1)y x ⋅⋅=-+ 一般地，可得()1(1)!(1)(1)n n nn y x --=-+即 ()1(1)![ln(1)](1)(1)n n nn x x --+=-+。