必修5——第二章 数列知识点(2)

必修5——第二章 数列知识点（二）
四、数列通项公式的求法：分析通项，寻求解法
1、公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例如：已知数列 ,32
1
9,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________
（答：1
1
212n n a n +=++
） 2、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，
从而根据规律写出此数列的一个通项。

特别注意只适用于选择、填空题。

3、作差法：若已知数列的前项和与n a 的关系，通项n a 可用公式 1
1,(1),(2)n n n S
n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
构造两式作差求解。

例如：数列{}n a 满足12211
1
2522
2n n
a a a n ++
+
=+，求n a （答：{
114,1
2,2
n n n a n +==
≥）
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，
当1n =时，11S a =）；结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a 和n a 合为一个表达，（要先分1n =和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，
先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

例如：数列{}n a 满足11154,3
n n n a S S a ++=+=，求n a （答：{
14,1
34,2n n n a n -==⋅≥）
4、累加法：形如1()n n a a f n +-=型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造：
112
21(1)
(2)..(1.)
n n n n a a f n a a f n a a f ----=⎧⎪⎪⎨
--=--=⎪⎪⎩将上述1-n 个式子两边分别相加， n n S
可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-+-+++≥
①若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若()f n 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若()f n 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和.
例如：已知数列{}n a 满足11a =
，1n n a a --=(2)n ≥，则n a =________
（答：1n a =）
5、累乘法：形如1()n n a a f n +=⋅1()n n a f n a +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
或型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可
构造：11
22
1
(1)(.2)(1..)n
n n n a f n a a f n a a f a ---=-=-⎧⎪⎪⎪⎪
⎨=⎪⎪⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相乘，
可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-⋅-⋅⋅≥
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

6、构造数列法（构造等差、等比数列）：
（1）形如1n n a ka b +=+（其中,k b 均为常数且0k ≠）型的递推式：
①若1k =时，数列{n a }为等差数列; ②若0b =时，数列{n a }为等比数列;
③若1k ≠且0b ≠时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
法一：设1()n n a k a λλ++=+,展开移项整理得1(1)n n a ka k λ+=+-,与题设1n n a ka b +=+比较
系数（待定系数法）得1,(1)()111
n n b b b
k a k a k k k λ+=
≠⇒+=+---
1()11n n b b a k a k k -⇒+
=+--,即1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭构成以11b a k +-为首项，以k 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出1n b a k ⎧
⎫+⎨⎬-⎩⎭
的通项整理可得.n a
法二：由1n n a ka b +=+得1(2)n n a ka b n -=+≥两式相减并整理得
11
,n n
n n a a k a a +--=-即{}1n n a a +-构
成以21a a -为首项，以k 为公比的等比数列.求出{}1n n a a +-的通项再转化为（累加法）便可求出.n a
例如：已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=⋅-）； （2）形如1
1n n n a a ka b
--=
+的递推数列都可以用倒数法求通项。

例如：已知1
111,31
n n n a a a a --==
+，求n a （答：132n a n =-）；
五、数列求和的常用方法：分析通项，寻求解法
1、公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：(1)
123...;2
n n n +++++=
2135...(21);
n n ++++-=
例如：等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2
232221n
a a a a ++++ ＝_____ （答：41
3
n -）；
2、分组求和：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例如：求1357(1)(21)n n S n =-+-+-
+--（答：(1)n n -⋅）
例如：2
(225)(425)(225)n
n S n =-⨯+-⨯++
-⨯（答：5(15)
(1)2
n n n -++
） 3、错位相减：（此法也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
①若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后再错位相减，进而可得到数列{}n n a b ⋅
的前n 项和.
4．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 常见的拆项公式有： ①
111
(1)1
n n n n =-++；
②
1111
();(21)(21)22121n n n n =--+-+
1
a b =-
例如：（1）求和：
11
1
1447
(32)(31)
n n +++
=⨯⨯-⨯+
（答：
31
n
n +）； （2）在数列{}n a 中，1
1++=
n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝_____
（答：99）；
5、倒序相加法：
如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。

特征：
121...n n a a a a -+=+=
6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

例如：求和：11
1112123
123n
+
+++
=++++++
+
（答：
21
n
n +）。