最新北师大版高中数学必修五第一讲 数列的概念教案(精品教学设计)

第一讲 数列的概念
一、教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，
了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和化归能力．
二、教学重点：数列通项公式的意义及求法，n a 与n S 的关系
及应用．
三、教学过程： （一）主要知识：
1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）
2、通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示。

（通项公式不唯一） 从函数思想上理解()n a f n 一列函数值。

3、数列的表示:
(1) 列举法:如1,3,5,7,9……;（2）图解法:由(n,a n )点构成;（3）解析法:用通项公式表示,如a n =2n+1
（4）递推法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a 1=1,an=1+2a n-1
4、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列
5、任意数列{a n }的前n 项和的性质
Sn= a 1+ a 2+ a 3+ ……+ a n
()
()
⎩⎨
⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 一定要注意条件2n ≥
，求通项时一定要验证1a 是否适合．
6、求数列中最大最小项的方法：最大
⎩⎨
⎧≥≥-+1
1n n n n a a a a 最小
⎩⎨
⎧≤≤-+1
1
n n n n a a a a 考虑数列的单调性
（二）例题分析：
例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项 （1）-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,777,…; (3),...;99
10
,638,356,154,32
(4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,…; (5)1,0,1,0,1,0,…; 解：（1）a n =(-1)n
(6n-5); (2)()1109
7-=
n
n a (3))
12)(12(2+-=
n n n
a
n
(4)2
sin
5π
n a n =;
(5)()*+∈-+=
N n a n n 2
)1(11
;()*∈=N n n a
n
2
sin 2
π
例
2、已知数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+-192992
2n n n （1）求这个数列的第10项；（2）
98/101是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛32,31内有无数列中的项？若有，
有几项？若无，说明理由。

解：设
132
31
9299)(2
2+-=-+-=n n n n n n f （1）令n=10,得第10项；32
28
10=a
（2）令3009,101
98
1323==
+-n n n 得，此方程无自然数解，所以不是其中的项
（
3）证明：
10,11
33
0,1331133131323<<∴<+<∴∈+-=+-+=+-=
*n n a n N n n n n n n a ΘΘ（4）令
⎪⎩
⎪⎨⎧<
>∴⎩⎨⎧+<--<+∴<+-=<386726696913,32132331n n n n n n n n a n 3867<<∴n
在区间内当且仅当,2=∴n
例3、下面各数列的前n 项和Sn 的公式,求{a n }的通项公式. (1) Sn=2n 2
-3n (2) Sn= 3n
-2 解: (1),111-==S a 当n ≥2时,541-=-=-n S S a n n n
由于a 1也适
合此等式,所以54-=n a n (2)
,
111-==S a 当n ≥2时, 1132--⋅=-=n n n n S S a
⎩⎨⎧≥⋅==∴-23
211
1
n n a n n [点评]已知数列前n 项和Sn,相当于知道了n ≥2时候a n ,但不可忽视
n=1.即⎩⎨⎧≥-==-2111
n s s n s a n n
n
练习:已知数列的前n 项和Sn 满足log 2(Sn+1)=n+1,求{a n }的通项公式 解:由题意⎩⎨⎧≥==∴-=+2
2
13
1
2
1
n n a s n
n n n
例4、已知数列{a n }中，a 1=1,对所有的n ≥2有a 1 a 2 a 3 ……a n =n 2
，则a 3 +a 5
解：法一、求出a 3 a 5计算得61/16
法二、a 1 a 2 a 3 ……a n =n 2
……..① a 1 a 2 a 3 ……
a n-1=(n-1)2
……..② 由①／②得：a n ()
2
2
1-=
n n （n ≥3）
[点评]注意.②式的n 的取值是一个难点． 例
5、已知数列{a n }的通项公式()(),11101*
∈⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=N n n a n
n 试问数列
{a n }有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.
解:()()11
9111011101111021
1n
n n a a n
n n n n -⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=-++Θ 当n<9, n n n n a a a a >>-++11,0 当n>9,
n n n n a a a a <<-++11,0
当
n=9,
n
n n n a a a a ==-++11,0
故
........11109321>>=<<<<a a a a a a
所以, 数列{a n }有最大项, 为第9,10项
[点评] 求数列{a n }的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对a n 的单调性进行讨论 （三）巩固练习：
1．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式： （1）==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+； （2）==+11,1n a a 1
+n n
)(*N n a n ∈；
（3）==+11,1n a a 12
1+n a )(*N n ∈．
解：（1）
n
a a n n 21+=+Θ，∴
12n n a a n
+-=， ∴
121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L
121222(1)n =+⨯+⨯++⨯-L 21(1)1n n n n =+⨯-=-+
（2）11+=+n n
a a n n Θ
，∴ 321121
n n n a a a a a a a a -=⋅⋅L =1211
123n n n
-⋅⋅=L
． 又解：由题意，n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，∴
11(1)11n n na n a a -=-==⋅=L ，∴1
n a n
=
． （3）}2{)2(2
1212
111-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a Θ是首项为121-=-a
公比为2
1的等比数列，111121(),2()2
2
n n n n a a --∴-=-⋅∴=-．
说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；
（2）若数列{}n a 满足n
a =1n pa q -+，则数列1n q a p ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
是公比为p 的等比数列． 四、小结： 五、作业：。