高一数学天天练20 解斜三角形
高三数学解斜三角形试题答案及解析
高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）【答案】60【解析】，，.【考点】解三角形.2.在中，内角所对边长分别为，，．（1）求；（2）若的面积是１，求．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，；，由正弦定理，，则，故，．由，．（2）由的面积是１，可得，得．．3.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【答案】（1）14海里/小时（2）【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．(2)在△ABC中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，得.即sinα＝.4.一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进mm后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m．(结果化简)【答案】mtan2α【解析】由题意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，则∠ACD＝90°－2α.由正弦定理得，即，即AC＝，所以山高BC＝ACsinα＝＝mtan2α5.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A．B．3C．D．7【答案】A【解析】S＝×AB·AC sin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝.6.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且。
高一数学解斜三角形 试题
解 斜 三 角 形一、根本知识：〔1〕掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵敏选用正弦定理、余弦定理解斜三角形． 〔2〕能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数． 〔3〕能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 二、例题分析：例1 在△ABC 中，a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b分析 两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×123 = 32 ， ∴∠C=60°，或者∠C=120°．∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6． 当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进展，假设将三角函数换成边，那么可进展代数变形，或者将边换成三角函数，那么可进展三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·〔b 2+c 2—a 22bc 〕=b ·〔a 2+c 2—b 22ac 〕，∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ． ∴a 2－b 2=0，或者c 2－a 2－b 2=0． ∴a=b ，或者c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或者直角三角形． 方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或者2A=π－2B ． ∴A=B ，或者A+B=π2．∴△ABC 为等腰三角形或者直角三角形．点评 假设式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或者正弦定理，将角换成边或者将边换成角，然后进展代数或者三角恒等变换．例3 圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程． 解 连结BD ，那么有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ．·ABCDO∵A+C=180°，∴sinA=sinC．故S=12〔2×4+6×4〕sinA=16sinA．在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．∴20－16cosA=52－48cosC．∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－1 2．又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故S=16sin120°=8 3 ．点评注意两个三角形的公用边在解题中的运用．例4墙壁上一幅图画，上端距观察者程度视线b下端距程度视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB的目的函数．由于有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，那么∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xax b x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x≤b —a 2ab ， 当且仅当x= abx , 即x=ab 时，y 最大．由θ∈〔0，π2〕且y=tan θ在〔0，π2〕上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题． 三、训练反应：1．在△ABC 中，a= 2 ，b=2，∠B=45°，那么∠A 等于 〔 A 〕A ．30°B ．60°C ．60°或者120°D ．30°或者150° 2．假设三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为 〔 C 〕 A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150° 3．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需 航行半小时，那么C 到A 的间隔 是 〔 C 〕 A ．10 6 km B ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10〔 6 ＋ 2 〕km 4．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 34，那么该三角形是 〔 A 〕 A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或者直角三角形5．在△ABC 中，〔b+c 〕∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，那么此三角形的最大内角为 〔 A 〕 A ．120° B ．150° C ．60° D ．90°6．假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cosB －sinA ，sinB －cosA 〕在 〔 B 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．△ABC 中，假设sinAsinB ＜cosAcosB ，那么△ABC 的形状为 ．钝角三角形8．在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，那么b= ．5〔 6 + 2 〕9．在△ABC 中，假设sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，那么cosA= ．121310．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，那么∠C 的大小为 ．π611．a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，假设a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．21 或者6112．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小． π313．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最 大面积．设∠AOB=θ，θ= 5π6 时，S 最大值 =2+5 34励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
(完整版)解斜三角形
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得. 由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.座落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【答案】180米．【解析】本题难点在于选择函数解析式模型,是用余弦定理解三角形,还是取直角三角形表示边.如用余弦定理解三角形,则得,解此方程成为难点;如构造直角三角形就会减少运算量,即作CE AB于E,构造直角三角形CBE和直角三角形CAE,利用两角和的正切公式得到关于BD的方程,解此方程的运算量要少得多.将一个已知角分为两个角的和,这种思维不常见,须多加注意,深刻体会.试题解析：解：如图作CE AB于E．因为AB∥CD，AB=150，CD=90，所以BE=90，AE=60．设CE=，，则． 2分在和中，， 4分因为，所以． 8分化简得，解得或（舍去）． 10分答：天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离为180米． 12分【考点】两角和的正切公式,函数与方程.6.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.7.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。
高一数学解斜三角形测试题
高一数学解斜三角形测试题Final revision by standardization team on December 10, 2020.第一章 解斜三角形 正弦定理、余弦定理例1在ABC ∆中，已知,30,10,50===A c a 则=∠B ( )° ° ° °或15°变式1-1在ABC ∆中，若045,25,50===A b a 则=∠B .变式1-2（06江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ . 变式1-3在等腰三角形ABC 中，已知2:1sin :sin =B A ，底边10=BC ，则ABC ∆的周长是 .例2在ABC ∆中，已知三边c b a 、、满足ab c b a c b a 3)()(=-+⋅++, 则=∠C ( ) ° ° ° °变式2-1若平行四边形两条邻边的长度分别是4cm 和4cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .变式2-2（06山东）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , A =3π,a =3,b =1，则c = （ ） A ．1 C.3—1 D.3变式2-3边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为( )° ° ° °例3在ABC ∆中，若2cos 2cos 2cos C c B b A a==，则ABC ∆的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形变式3-1在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形变式3-2在ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lg lg -==⎪⎭⎫ ⎝⎛+A c b ，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形例4在ABC ∆中，若,2,2,300===∠AC AB B 则ABC ∆的面积是 .变式4-1（06上海）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .变式4-2在ABC ∆中，0007050sin 2,10sin 4=∠==C b a ，则ABC ∆的面积为（ ） 81. 41 C. 21 D.1 例5（06天津）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．变式5-1（06浙江）已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．变式5-2（06全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．6（06山东）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若25=⋅CA CB ，且9a b +=，求c ．变式6-1（09浙江理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满cos2A =，3AB AC ⋅=．（Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若6b c +=，求a 的值．变式6-2（09北京理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==. （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.变式6-3（09安徽理）在∆ABC 中，31sin ,2==-B A C π.（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）设，求∆ABC 的面积.变式6-4（09江西理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+,sin()cos B A C -=.（Ⅰ）求,A C ；（Ⅱ）若3ABC S ∆=,求,a c .正弦定理、余弦定理的应用例1（09辽宁理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.在中，若，则△ABC的面积是= ( )．A．9B．9C．18D．18【答案】A【解析】在中，,是等腰三角形，，由三角形的面积公式得．考点:解三角形．3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是()A．(0，] B．(0，]C．[，π) D．[，π)【答案】B【解析】根据题意，由于a、b、c成等差数列，则可知2b=a+c,结合余弦定理可知得到cosB ,故可知得到∠B的范围是(0，],故选B.【考点】等差数列点评：主要是考查了等差数列的运用，以及解三角形的综合运用，属于基础题。
解斜三角形(含答案)
S ABC
1 2
AC
AB sin
A
1 2
23
解法二：由 sin A cos A 计算它的对偶关系式 sin A cos A 的值。
sin A 2 1 2
2sin Acos A 1 2
0 A 180,sin A 0,cos A 0.
45 )
1 .
2
又 0 A 180 , A 45 60 , A 105.
tan A tan(45 60 ) 1 3 2 3 , 1 3
sin A sin105 sin(45 60 ) sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 2 6 . 4
题型 2：三角形面积
例 2．在 ABC 中， sin A cos A 2 ， AC 2 ， AB 3 ，求 tan A 的值和 ABC 的面积。
2 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。
sin A cos A 2 cos( A 45 ) 2 , 2
cos(A
2bc 2
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∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴ b sin B =sinA= 3 。
c
2
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型 4：正、余弦定理判断三角形形状
例 3．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且
b sin B a2－c2=ac－bc，求∠A 的大小及 c 的值。
高一下数学同步训练：解斜三角形测试(B卷)(附答案) (1)
高一数学同步检测二十 解斜三角形测试(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)1．如下图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据A ．α、a 、bB ．α、β、aC ．a 、b 、γD ．α、β、b 答案：C解析：根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而C 中的a 、b 、γ很易测量到，并且根据余弦定理能直接求出AB 的长．2．若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则内角C 等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：B解析：∵S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24＝12absinC ，∴有a 2＋b 2－2absinC ＝c 2＝a 2＋b 2－2abcosC. ∴sinC ＝cosC.∴C ＝45°.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sinBsinC ＋sin 2C ，则A 等于 A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 答案：C解析：由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cosA ＝a 2＋b 2－c 2 2bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°.4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 答案：A解析：设原直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边长，增加的长度为x ，新的三角形的最大角为C ，∵cosC ＞0，∴C 为锐角． ∴新的三角形为锐角三角形．5．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cosB 等于A.53 B.54 C.55 D.56 答案：B6．在△ABC 中，若sinA a ＝cosBb，则角B 的 值为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：B∴cosB ＝sinB.从而tanB ＝1. 又0°<B<180°，∴B ＝45°.7．R 是△ABC 的外接圆半径，若ab ＜4R 2cosAcosB ，则△ABC 的外心位于 A ．三角形的外部 B ．三角形的边上C ．三角形的内部D ．三角形的内部或外部，但不会在边上 答案：A解析：由ab ＜4R 2cosAcosB ， 得4R 2sinAsinB ＜4R 2cosAcosB ， ∴cos(A ＋B)＞0.∴A ＋B ＜π2.∴C ＞π2，△ABC 为钝角三角形．故三角形的外心位于三角形的外部．8．已知△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinBsinC的值为A.85B.58C.53D.35答案：D解析：由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ，∴72＝52＋AC 2＋2×5×12AC.∴AC ＝3或AC ＝－8(舍去)． 由正弦定理，得9．如图，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于A.asinαsinβsin(β－α)B.asinαsinβcos(α－β)C.acosαcosβsin(α－β)D.acosαcosβcos(α－β) 答案：A解析：在△ADC 中，DC ＝a ， ∠DAC ＝β－α，∠ACD ＝180°－β，10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120° 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．在锐角△ABC 中，已知||＝4，||＝1，△ABC 的面积为3，则·的值为__________．答案：212．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为__________． 答案：23或313．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a ＋b ＋c)·(sinA ＋sinB －sinC)＝3asinB ，则C ＝______.答案：60°解析：由正弦定理，得(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，展开整理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 2 2bc ＝－ab 2ab ＝12，∴C ＝60°.14．在△ABC 中，tanB ＝1，tanC ＝2，b ＝100，则a ＝______. 答案：605解析：∵tanB ＝1，∴B ＝45°，sinB ＝22.三、解答题(本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分8分)隔河看到两目标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求A 、B 之间的距离．答案：解：∵∠ACD ＝75°＋45°＝120°，∠ADC ＝30°， ∴∠CAD ＝30°.∴AC ＝CD ＝ 3. 在△ACD 中，∴A 、B 间的距离为5千米．16.(本小题满分8分)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sinC ＝2sinA. (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．答案：17．(本小题满分9分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2bsinA. (1)求角B 的大小；(2)求cosA ＋sinC 的取值范围．答案：解：(1)由a ＝2bsinA ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBsinA ，所以sinB ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)cosA ＋sinC ＝cosA ＋sin(π－π6－A)＝cosA ＋sin(π6＋A)＝cosA ＋12cosA ＋32sinA18．(本小题满分9分)在△ABC 中，已知a(bcosB －ccosC)＝(b 2－c 2)cosA ，试判断△ABC 的形状．答案：解法一：根据余弦定理，得去分母，得b2(a2＋c2－b2)－c2(a2＋b2－c2)＝(b2－c2)(b2＋c2－a2)．整理，得(b2－c2)(b2＋c2－a2)＝0，因此b＝c或b2＋c2＝a2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：根据正弦定理，得sinA(sinBcosB－sinCcosC)＝(sin2B－sin2C)cosA⇒sinAsin2B－sinAsin2C＝[(1－cos2B)－(1－cos2C)]cosA⇒cos2BcosA＋sin2BsinA＝cos2CcosA＋sin2CsinA⇒cos(2B－A)＝cos(2C－A)．∵－π<2B－A<π，－π<2C－A<π，∴2B－A＝2C－A或2B－A＝A－2C.整理，得B＝C或B＋C＝A.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．19．(本小题满分10分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．答案：解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1(km)．又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝AB.。