随机事件和概率检测
随机事件的概率检测题与详解答案
随机事件的概率检测题与详解答案A 级——保大分专练1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为( )A ．49B ．0.5C ．0.51D ．0.49解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51100＝0.51. 2．(2019·泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是25，则取得白球的概率等于( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：选C ∵取得红球与取得白球为对立事件， ∴取得白球的概率P ＝1－25＝35.3．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3解析：选C 事件“抽到的产品不是一等品”与事件A 是对立事件．因为P (A )＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.故选C.5．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，且x ＞0，y ＞0，则x ＋y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 由题意知4x ＋1y＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y 时等号成立．故选C.6．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”．若B 表示B 的对立事件，则在一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A ．13 B ．12 C ．23D ．56解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意，得P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.因为B 表示事件“出现5点或6点”，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.7．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为________．解析：用频率估计概率知日销售量不低于50件的概率为1－(0.015＋0.03)×10＝0.55. 答案：0.558．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：解析：数据落在区间[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45.答案：0.459．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人)．答案：6 91210．一只袋子中装有大小相同的7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 141511．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘飞机去的概率；(3)若他乘上面的交通工具去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？ 解：设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别表示事件A ，B ，C ，D ，则 (1)P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设“不乘飞机”为事件E ，则P (E )＝1－P (D )＝1－0.4＝0.6.(3)因为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝0.5，故他有可能是乘火车或轮船去，也有可能是乘汽车或飞机去．12．(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率． (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50， 故所求概率为502 000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1 ＝56＋10＋45＋50＋160＋51 ＝372，故所求概率估计为1－3722 000＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．B 级——创高分自选1．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析：选D 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0<P A <1，0<P B <1，P A P B 1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，解得54<a ≤43.2．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P ＝610＝35.答案：353．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140, 160,220,200,110,160,160, 200,140,110, 160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为：(2)根据题意，Y＝460＋10×5＝2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.。
随机事件及概率
随机事件及概率随机事件和概率是概率论中的重要概念，它们在生活中的应用广泛。
随机事件是指在一次试验中可能发生，也可能不发生的事件。
概率则是衡量某一随机事件发生的可能性大小。
一、随机事件随机事件是指在一次试验中可能发生，也可能不发生的事件。
试验是指根据一定规则进行的观察或者操作。
比如，掷一枚硬币的试验就是一个典型的例子。
在这个试验中，硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，因此，正面朝上和反面朝上就是两个可能发生的随机事件。
在概率论中，将一个试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间，用S表示。
而样本空间中的每一个元素都是一个基本事件，它是试验的一个可能结果。
在掷硬币的试验中，样本空间就是{正面，反面}，而正面和反面就是样本空间中的两个基本事件。
根据随机事件的性质，可以将随机事件分为互斥事件和不互斥事件。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而不互斥事件则是指两个事件可能同时发生。
在掷硬币的试验中，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为硬币不可能同时正面朝上和反面朝上；而正面朝上和出现头像的事件就是不互斥事件，因为硬币可能正面朝上同时出现头像。
二、概率概率是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
在概率论中，用P(A)表示事件A发生的概率。
根据概率的定义可以推导出概率的性质，即：1. 随机事件的概率大于等于0，即对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 样本空间的概率为1，即P(S)=1。
3. 若A和B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4. 若A和B是不互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
概率可以通过频率和几何两种方法来计算。
频率方法是指根据大量实验中某一事件发生的次数来估计概率大小。
比如，掷硬币的试验中，可以多次进行掷硬币的操作，然后统计正面和反面朝上的次数来估计正面朝上和反面朝上的概率。
几何方法是指通过样本空间的几何性质来计算概率大小。
概率论课件 第一节 随机试验与随机事件
•
D C A
0
•
3
•
9
•
20
•
概率统计
-5
•
D = { x x < −5 }, E = { x x ≥ 9 }
由图可见:
A = { x x ≤ 20 }, B = { x x > 3 }, C = { x x < 9 }
D C A
0
•
3
•
9
•
B E
20
•
A ⊃ C ⊃ D, B ⊃ E ; D 与 B , D与 E 互不相容; C 与 E 为对立事件; B 与 C , B与 A, E 与 A 相容.
S
A B
A ∩ B = { x x ∈ A且 x ∈ B }
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有 公共样本点构成的集合。 ▲称
∞
k =1
∩ Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
n
An 的积事件
的积事件
k =1
∩ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A 和 B 所有样本点构成的集合 注 ▲ 它是由事件 n ▲ 称 ∪ A k 为 n 个事件 A1 , A 2 , , An 的和事件
k =1
∪ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
∞
k =1
的和事件
概率统计
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件， 则称这样的事件为 A与 B 的积 B AB A （交）。记作： A B 或
S
.e
样本点e
随机事件与概率知识点
随机事件与概率知识点随机事件和概率是概率论中的基本概念，它们揭示了不确定性现象背后的规律性。
本文将介绍随机事件的定义及性质，以及概率的概念、性质和计算方法。
一、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下，具有不确定性的事件。
简单来说，就是不知道会发生什么的事件。
一个事件发生与否，可以用0或1表示，其中0代表事件不发生，1代表事件发生。
这种不确定性使得我们需要运用概率论的知识来描述和研究。
对于一个随机试验，其样本空间为Ω，由所有可能出现的结果组成。
样本空间中的每一个元素称为一个样本点，记作ω。
而样本空间中的子集，称为事件。
简单来说，事件就是样本空间的一个子集，用来描述某些结果的集合。
二、随机事件的性质1. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在所有可能的结果中，一定会发生的事件。
记作Ω，其对应的概率为1。
例如，在一次掷骰子的实验中，必然事件就是出现的点数在1至6之间。
不可能事件是指在所有可能的结果中，一定不会发生的事件。
记作∅，其对应的概率为0。
例如，在一次掷骰子的实验中，不可能事件就是出现的点数为7。
2. 事件的互斥与对立：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是互斥事件，因为在一次实验中，掷出奇数的点数和掷出偶数的点数不可能同时发生。
对立事件是指两个事件必定有一个发生，但不能同时发生的情况。
例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是对立事件。
三、概率的概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
1. 古典概型：古典概型是指所有样本点出现的概率相等的情况。
例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 几何概型：几何概型是指样本空间是一个有限的几何图形的情况。
例如，在一个正方形平面内随机选择一个点，那么点落在正方形的某个子区域中的概率就可以通过计算子区域面积与正方形面积的比值得到。
中考数学模拟测试试题随机事件与概率无答案
随机事件与概率一、选择题1．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）A．B．C．D．2．有一副扑克牌，共52张（不包括大、小王），其中梅花、方块、红心、黑桃四种花色各有13张，把扑克牌充分洗匀后，随意抽取一张，抽得红心的概率是（）A．B．C．D．3．甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的球，已知甲箱内的红球占甲箱内球数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内球数的．小蓉将乙、丙两箱内的球全倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每球被取出的机会相等，则小蓉取出的球是红球的机率为何？（）A．B．C．D．4．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．B．C．D．5．如图，在边长为1的正方形网格中，从A1，A2，A3中任选一点A n（n=1，2，3），从B1，B2，B3，B4中任选一点B m（m=1，2，3，4），与点O组成Rt△A n B m O，则tan∠A n B m O=1的概率是（）A．B．C．D．6．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是（）A．B．C．D．二、填空题7．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球个．8．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．9．同时掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率为．10．任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于．11．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为．12．100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．13．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是．14．如图，是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌，将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则抽出的牌点数小于9的概率为．15．三张扑克牌中只有一张黑桃，三位同学依次抽取，第一位同学抽到黑桃的概率为．16．任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是．17．如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是．18．五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．19．一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为．20．在一个不透明的盒子里装有白球和红球共14个，其中红球比白球多4个，所有球除颜色不同外，其它方面均相同，摇匀后，从中摸出一个球为红球的概率为．21．有6张背面完全相同的卡片，每张正面分别有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆，现将其全部正面朝下搅匀，从中任取一张卡片，抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为．22．桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不慎遗失了其中2个红球，现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为．23．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是．24．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为．25．如图，有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6，，，﹣2，．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比3小的概率是．26．给出下列函数：①y=2x﹣1；②y=；③y=﹣x2．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当x＞1时，函数值y随x增大而减小”的概率是．27．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“V”数，如756，326，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为．28．在一个不透明的盒子中放入标号分别为1，2，…，9的形状、大小、质地完全相同的9个球，充分混合后，从中取出一个球，标号能被3整除的概率是．三、解答题29．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．30．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？。
概率第一、二章测试题（含答案）
概率第⼀、⼆章测试题（含答案）第1章随机事件和概率、第2章条件概率与独⽴性⼀、选择题1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A ⼀定互不相容的事件为（A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ?2.（01，难度值0.93）对于任意⼆事件A 和B ，与B B A =?不等价的是（A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成⽴的是（）.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（）.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独⽴ .C 事件A 与B 相互对⽴ .D 事件A 与B 互不独⽴5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有⼀个发⽣的概率等于（）.A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（）.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()()P A P A P A B +-7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式⼦成⽴的是（）.A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（）.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆.C 事件A 、B 相互独⽴ .D A B ?9．设A 、B 互不相容，()()0,0P A P B ≠≠，则下列结论肯定正确的是（）.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=10．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A=（）.A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.2111．（98，难度值0.69）设A ，B 是两个随机事件，且00，)|()|(A B P A B P =，则必有（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠ （C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠ 12．随机事件A , B ，满⾜21)()(==B P A P 和1)(=?B A P ，则有（A ）Ω=?B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=?B A P（D ）0)(=-B A P13．设随机事件A 与B 互不相容，0)(>A P ,0)(>B P ，则下⾯结论⼀定成⽴的是（A ）A ，B 为对⽴事件（B ）A ,B 互不相容（C ） A, B 不独⽴（D ）A, B 独⽴ 14．对于事件A 和B ，设B A ?，P(B)>0，则下列各式正确的是（A ）)()|(B P A B P =（B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+（D ）)()(A P B A P =+15．设事件A 与B 同时发⽣时，事件C 必发⽣，则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P （C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ?=16．（98，难度值0.62）设A,B,C 是三个相互独⽴的随机事件，且0（A ）B A +与C （B ）AC 与C （C ）B A -与C （D ）AB 与C17．（00，难度值0.42）设A, B, C 三个事件两两独⽴，则A, B, C 相互独⽴的充要条件是（A ）A 与BC 独⽴（B ）AB 与A+C 独⽴（C ）AB 与AC 独⽴（D ）A+B 与A+C 独⽴ 18．将⼀枚均匀的硬币独⽴地掷三次，记事件A=“正、反⾯都出现”，B=“正⾯最多出现⼀次”，C=“反⾯最多出现⼀次”，则下⾯结论中不正确的是（A ）A 与B 独⽴（B ）B 与C 独⽴（C ）A 与C 独⽴（D ）C B ?与A 独⽴ 19．进⾏⼀系列独⽴重复试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2 次之前已经失败3次的概率为（A ）3)1(4p p - （B ）3225)1(p p C -（C ）3)1(p -（D ）32)1(4p p -⼆、填空题1．（97，难度值0.73）⼀袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个⽩球，今两⼈从袋中各取⼀球，取后不放回，则第⼆个⼈取到红球的概率为__________ 2.（97，难度值0.68）设A ，B 是任意两个随机事件，则=++++)})()()({(B A B A B A B A P3．已知A 、B 两事件满⾜条件()()P AB P AB =，且()P A p =，则()_______P B = 4．已知13()()(),()()0,()416P A P B P C P A B P B C P A C ======，则,,A B C 都不发⽣的概率为__________5．随机事件A 、B 满⾜()0.4,()0.5,()()P A P B P A B P A B ===，则()P A B = 6．（99，难度值0.56）设两两相互独⽴的三事件A ,B 和C 满⾜条件：φ=ABC ，21)()()(<==C P B P A P ，且已知169)(=C B A P ，则P(A)=7.（00，难度值0.67）设两个相互独⽴的事件A 和B 都不发⽣的概率为91，A 发⽣B 不发⽣的概率与B 发⽣A 不发⽣的概率相等，则P(A)= 8．设事件A 和B 中⾄少有⼀个发⽣的概率为56，A 和B 中有且仅有⼀个发⽣的概率为23，那么A 和B 同时发⽣的概率为_________ 9．设随机事件A, B, C 满⾜41)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，81)(=AC P ，则A, B, C 三个事件中⾄少出现⼀个的概率为。
概率论中的随机事件及概率的定义及计算
概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
随机事件与概率计算
随机事件与概率计算在我们的日常生活中，充满了各种各样的不确定性。
比如明天是否会下雨，购买彩票是否能中奖，投篮时是否能命中等等。
这些不确定的情况，在数学中被称为随机事件。
而研究这些随机事件发生的可能性大小，就是概率计算的范畴。
随机事件，简单来说，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
比如说抛一枚硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，这两种情况都是随机事件。
再比如从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的情况也是随机事件。
那么，如何来衡量这些随机事件发生的可能性大小呢？这就需要用到概率的概念。
概率是一个介于 0 到 1 之间的数值。
如果一个随机事件发生的概率为 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率为1，则表示这个事件肯定会发生；而当概率在 0 到 1 之间时，数值越大，事件发生的可能性就越大。
以抛硬币为例，我们都知道硬币只有正反两面，而且在理想情况下，抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。
所以抛硬币正面朝上的概率就是 1/2，反面朝上的概率也是 1/2。
再来看一个抽奖的例子。
假设一个抽奖活动，总共有1000 张奖券，其中只有 10 张是中奖的。
那么随机抽取一张奖券中奖的概率就是10÷1000 ＝ 1/100。
在实际生活中，概率计算有着广泛的应用。
比如在保险行业，保险公司需要根据各种风险发生的概率来制定保险费率。
如果某种疾病在人群中的发病概率较低，那么相应的保险费用就会相对较低；反之，如果发病概率较高，保险费用就会相应提高。
在天气预报中，气象学家会根据各种气象数据和模型来计算明天降雨的概率。
如果降雨的概率较高，人们就会提前做好防雨准备。
在质量控制方面，工厂会对生产的产品进行抽样检测，通过计算次品出现的概率来评估产品的质量，并采取相应的改进措施。
概率计算的方法有很多种，其中比较常见的有古典概型、几何概型和统计概率等。
古典概型是指在试验中，所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
2随机事件与概率的定义
k 1
Ak Ak
n
n
k 1
4.事件的差(Difference of events) 记为
A BΒιβλιοθήκη 5.互不相容事件(互斥)(Incompatible events) 记为
AB
6.对立事件(Opposite events) 记为
7.事件运算满足的定律
A
交换律(Exchange law)： A B B A
四、 概率的性质
(1)
非负性：P(A) ≥ 0 ;
(2) 规范性： P(Ω) = 1; (3) 可加性： 若AB=Ø , 则 P(A+B)=P(A)+P(B); (4) P(Ø )=0; (5)有限可加性：A1, A2, ……, An 互不相容，则
P(A1+A2+…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);
P ( A)
A的计量 S的计量
Example 1.3
在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上
（０， ４） 上的所有实数， 旋转陀螺， 求陀螺停下来后， 圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。 Solution 由于陀螺及刻度的均匀性， 它停下来时其圆周 上的各点与桌面接触的可能性相等， 且接触点可能有无 穷多个，故
4 C 出现的方式有 6 种，剩下的两种只能在 1，2，3，4，
2 8 6，7，8，9 中任取，共有 种取法。故
4 2 C6 8 P(C ) 96
二、 几何概型 (Geometric probability) 如果一个试验具有以下两个特点： （1） 样本空间 S 是一个大小可以计量的几何 区域（如线段、平面、立体） 。 （2） 向区域内任意投一点，落在区域内任意 点处都是“等可能的” 。 那么，事件 A 的概率由下式计算：
概率论-随机现象和随机试验
例 {点数大于3}和{点数等于2}
(二) 运算：并、交、差、逆（对立）
1. A、B的并（和事件）：A、B至少有一个发生。记：AB
BA
例：某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径决定 的，则“产品不合格”为“长度不合格”和“直径不合 格”的并。
2. A、B的交（积事件）：A、B同时发生。记：A B
B
A (B C) (A B) (A C) .
(4)对偶律
A B A B; A B A B .
注： A B AB, A A,
若A B，则AB B, A B A
例1
对任意两个事件A和B，与A B B不等价的是（ ）
(A)A B
(B)B A
(C)A B
(D) A B
例2. 设A,B,C 表示三个随机事件, 试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
i
样 本 空 间 ={ , , , , , } 12 3 4 5 6
2.记t 为灯泡的寿命 . 样本点为t (t 0).
样本空间={t|t 0}
3.记（x,y）,x,y(-,+) 为观测到的点的坐标
样本点为(x,y),x,y[0,1]
样本空间={(x,y)|x,y [0,1]}
4. 记n为抽取的次数。样本点n为4,5,6,7,8,9,10.
实例4
从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一 个产品.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例5
过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
其结果可能为: 绿灯、红灯、黄灯.
2.随机现象
在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称 为随机现象.
说明
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的不确定性 联系 。 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中,这种结果的出现具 有一定的统计规律性 。
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一、填空：
1、判断下列事件是什么事件？
①“石油工人一声吼，地球也要抖三抖”；②守株待兔；③海底捞月；④三条任意长的线段都可以组成一个三角形；⑤有一名运动员奔跑的速度是20米/秒；⑥实数的绝对值是非负数；⑦367人中至少有两人的生日相同；⑧打开电视，正在播放新闻联播；⑨若a、b、c均为实数，则a(b+c)=ab+ac；⑩随意翻一下日历，翻到的号数为奇数。
上面事件中，随机事件有；
不可能事件有；
必然事件有；
2、若一个事件发生的概率是1，它是事件。
（填“必然”、“不可能”、“随机”）
3、一个口袋中有5个红球，3个白球，1个绿球，摸到白球的可能性摸到绿球的可能性。
（填“>”“<”“=”）
4、在一次质量检查中，从1000件产品中抽取100件其中90件合格，则不合格的概率是。
5、在一个装有2个红球和2个白球的袋子里，摸到是不可能事件。
6、投掷一枚骰子，出现6点的概率是；出现7点的概率是。
7、在一个口袋里，装有一些红色的球，从中每次摸出一个球，这个球是红色的概率是；是白色的概率是。
8、一个事件发生的概率不可能是。
A、0
B、1
C、1/2
D、3/2
9、如果从小明等7名学生中任选一名为“世园会”志愿者，那么小明被选中的概率是。
10、如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在阴影部分的概率是。
第10题图第11题图
11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°AB=10，AC=6，
小明随机地向△ABC内部区域投针，则针扎到内
切圆区域的概率是。
12、袋中出了颜色外其余都相同的白球和黄球共
30个，小明通过多次模拟试验后，发现摸到白球、
黄球的概率分别为2/5和3/5，则袋中有白球
个。
13、保护青少年视力，已为社会所关注，为了调查
初中400名毕业生的视力情况，从中抽测了部分学
注：表中每组分店含最小值，不含最大值。
（1）将表中所缺数据补充完整。
（2）若视力在1.1以上（含1.1）均属正常，试估
计该校毕业生视力正常的人数约为人。
（3）在这次检测中，能否肯定被测学生视力的中
位数在哪一组内？；能否肯定被测
学生视力的众数在哪一小组内？（只需
填“能”或“不能”）
14、在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件
发生的频率会，可以估计这个
事件发生的。
如果销售1000件该名牌衬衫，至少要多准备
件合格品，以便供顾客更换。
16、从6名同学中派两名同学去参加足球比赛，黎
明是这6名同学之一，他入选的机会是。
17、盒子里有10个除了颜色外完全相同的球，若
摸到红球的概率是2/5，则其中红球的个数是
个。
18、如图所示，小明的奶奶家到学校有三条路可走，
学校到小明的外婆家也有三条路可走，若小明要从
奶奶家经过学校到外婆家，不同的走法有
种。
19、如果m是从0、1、2、3四个书中任取的一个
数，n是从0、1、2三个数中任取的一个数，那么
关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根的概
率为.
20、从-3，-1，2，5这四个数中，任取两个不同的
数作为一次函数y=kx+b的系数k，b，则一次函数
y=kx+b的图像不经过第二象限的概率是。
奶
奶
家
学
校
外
婆
家
21、桌子上放有质地均匀、反面相同的4张卡片，正面分别标有数字1、2、3、4，将这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，先从中任意抽取一张卡片，用卡片上的数字作十位上的数字，再从中任意抽取一张，用卡片上的数字作个位数字，试用列表或树状图的方法分析出组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？
22、小刚参加上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A—中国馆、B—日本馆、C—美国馆中任意参观一处，下午从D—韩国馆、E—英国馆、F—德国馆中任选一处参观，
（1）请用列表或画树形图的办法，分析出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）；
（2）求小刚上午和下午参观的正好都是亚洲馆的概率。
23、小明每天骑自行车上学都要经过三个安装红灯
和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间
相同，那么小明从家随时出发去学校，他至少遇到
红灯一次的概率是多少？不遇红灯的概率是多
少？
24、一套《西游记》共有上、中、下三册，把它们
任意摆在书桌上，这三册书从左往右恰好是上、中、
下顺序的概率是多少？
25、如图所示，小王和小黄在玩转盘的游戏时，准
备了两个可以自由转动的转盘，甲、乙两个转盘被
分为面积相等的几个区域，并在区域内标上数字，
游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后指针
所指扇形区域内的数字之和为4、5或6时，则小
王胜，否则小黄胜（如果指针恰好指在分界线上，
那么重新转一次，直至指针指向某一扇形区域为
止）
（1）求和为6的概率；
（2）这个游戏规则对双方公平吗？说明理由。
（3）请你重新设计一个游戏规则，对双方都公平。
转盘甲转盘乙。