2013年高三数学应用题专题复习

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2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1．(2013安徽理)已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（）（A ）{}|<-1>lg2x x x 或（B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x【答案】D【解析】由题知，一元二次不等式2ln 211-),21(-1,的解集为0)(-<⇒<<>x e x x 即所以选D 。

2．(2013安徽文、理)函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（）（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3【答案】B 【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率； 1212()()()n n f x f x f x x x x ===表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.3．(2013安徽文)已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（A ）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【答案】A【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.4．(2013北京文)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg |x |答案 C解析 A 中为奇函数，B中y ＝e －x 非奇非偶函数．y ＝－x 2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递减．5．(2013北京理)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )．A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1 答案 D解析与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.6．(2013福建文) 函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B,D ．7．(2013福建理)满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．8．(2013福建文、理) 设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．(2013福建理) 设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确；令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．10．(2013广东文) 函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！11．(2013广东理) 定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．12、(2013湖北理) 已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（）A. 121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>-【解析与答案】令()12ln 0f x ax x '=-+=得021a <<，ln 21(1,2)i i x ax i =-=。

2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.2排列、组合应用题(第1课时)

• 4. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ⑤ _________，叫做从n个不同元素中取并成一组出m个元素的一个组合. • 5.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ⑥ ______________，叫做从n个不同元所有组合的个数素中取出m个元素的组合数，记作⑦ m Cn ____ . m n n 1 n 2 n m 1 A=⑧ ____________________. n • 6. m n n 1 n 2 n m 1 C =⑨ ____________________. • 7. n m m 1 m 2 2 1
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题型2
• • • • • • • • •
(2)方程要有实根，需Δ=b2-4ac≥0. 当c=0时，a、b可在1、3、5、7 2 中任取2个，有 A 4 个；当c≠0时，b只能取5、7. 2 b取5时，a、c只能取1、3，有 A 2 个； b取7时，a、c可取1、3或1、5， 2 有2 A 2 个. 故有实数根的一元二次方程共有 2 2 2 A4 A2 2 A2 18 个.
A5 A4
5 4
6
• 2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这 2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x、y的关系为( ) C • A. x>y B. x<y • C. x=y D. x=2y • 解：第一种排法数为，第二种排法数 2n A2 n 为 n n = 2 n ，从而x=y.
25
• 2.元素相邻用“捆绑法”，即将必须相邻的元素“捆”在一起当作一个元素进行排列. • 3.元素相离用“插空法”，即把可相邻元素每两个元素留出一个空位，将不能相邻即相离的元素插入空位中进行排列. • 4.定序元素用“除法”，即n个元素的全排列中若有m个元素必须按一定顺序排列，这m个元素相邻或不相邻都可以，

2013高端卷高考数学应用题真题解析

2013高端卷高考数学应用题真题解析1. 第一题：一枚硬币掷十次，每次都是正面向上的概率为0.6，求以下事件发生的概率：事件A：正面向上的次数大于等于6次；事件B：正面向上的次数为偶数；事件C：正面向上的次数为奇数且小于等于4次。

解析：对于每一次掷硬币，正面向上的概率为0.6，反面向上的概率为0.4。

根据二项分布的概率公式，可以求得事件A、B、C的概率。

事件A：在十次掷硬币中，正面向上的次数为6、7、8、9、10次。

根据二项分布的概率公式：P(A) = C(10, 6) * (0.6)^6 * (0.4)^4 + C(10, 7) * (0.6)^7 * (0.4)^3 +C(10, 8) * (0.6)^8 * (0.4)^2 + C(10, 9) * (0.6)^9 * (0.4)^1 + C(10, 10) * (0.6)^10 * (0.4)^0事件B：在十次掷硬币中，正面向上的次数为偶数，即0、2、4、6、8、10次。

P(B) = C(10, 0) * (0.6)^0 * (0.4)^10 + C(10, 2) * (0.6)^2 * (0.4)^8 +C(10, 4) * (0.6)^4 * (0.4)^6 + C(10, 6) * (0.6)^6 * (0.4)^4 + C(10, 8) *(0.6)^8 * (0.4)^2 + C(10, 10) * (0.6)^10 * (0.4)^0事件C：在十次掷硬币中，正面向上的次数为奇数且小于等于4次，即1、3、4次。

P(C) = C(10, 1) * (0.6)^1 * (0.4)^9 + C(10, 3) * (0.6)^3 * (0.4)^7 + C(10, 4) * (0.6)^4 * (0.4)^62. 第二题：某市有三个主要港口，分别为A港口、B港口、C港口。

已知从A港口到B港口的货船每天出港一批，从B港口到C港口的货船每天出港两批。

2013年高考数学试题(18)实际应用题

1.（湖北文理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ，当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．2.（湖北文）里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。

江苏省2013届高考数学复习专题4 导数

江苏省2013届高考数学复习专题4 导数(Ⅱ)解答题中出现导数的几率非常大，导数的考查思路比较清晰，把导数作为工具仅限于理论上的分析和实践中的应用，考查导数有时会跟分类讨论、数形结合、函数与方程联系一起综合考查，特别是利用导数解决函数最值问题的实际操作，更是层出不穷，所以在平时的学习当中，注重函数模型化的识别.1．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值是________．解析：由题意得：y ′＝1x ，令1x ＝12，得x ＝2，故切点(2，ln 2)，代入直线方程y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－12．函数y ＝4x 2＋1x单调递增区间是________．解析：令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x2>0，(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，x >12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则f (x )的图象最有可能的是________．(填图象序号)解析：利用导函数的图象的零点，可知函数f (x )在(－∞，0)及(2，＋∞)上单调递增，而在(0,2)上单调递减．从而只有图象③符合要求．答案：③4．函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，则实数a 的最大值为________．解析：法一：f ′(x )＝1－a2x ，由已知，得1－a2x ≥0，即a ≤2x 在区间[1,4]上恒成立． ∴a ≤(2x )min ＝2，∴a max ＝2. 法二：令t ＝x ，则把函数f (x )＝x －a x 看成是函数y ＝t 2－at ，t ∈[1,2]，与函数t ＝x ，x ∈[1,4]的复合函数，∵t ＝x 在区间[1,4]上单调递增，∴要使函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，只要y ＝t 2－at 在区间[1,2]上单调递增即可．当且仅当a2≤1，即a ≤2，∴a max ＝2.答案：25．(2012·南通模拟)各项均为正数的等比数列{}a n 满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝________.解析：各项为正的等比数列{}a n 满足：a 1a 7＝4，a 6＝8，推算出a 1＝14，q ＝2，所以a n＝2n －3.又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋10a 10x 9，将x ＝12代入得na n x n －1＝14n ，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝14(1＋2＋…＋10)．答案：554[典例1](2012·江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．[解](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2.于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.当|d|<2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d>0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．②当x∈(1,2)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d<0，f(2)－d>0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有惟一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有惟一实根．③当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d>0，f(1)－d<0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有惟一实根．由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；当|d|<2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|x i|<2，i＝3,4,5.现考虑函数y ＝h (x )的零点．(ⅰ)当|c |＝2时，f (t )＝c 有两个根t 1，t 2满足|t 1|＝1，|t 2|＝2，而f (x )＝t 1有三个不同的根，f (x )＝t 2有两个不同的根，故y ＝h (x )有5个零点．(ⅱ)当|c |<2时，f (t )＝c 有三个不同的根t 3，t 4，t 5满足|t i |<2，i ＝3,4,5，而f (x )＝t i (i ＝3,4,5)有三个不同的根，故y ＝h (x )有9个零点．综上可知，当|c |＝2时，函数y ＝h (x )有5个零点；当|c |<2时，函数y ＝h (x )有9个零点．本题考查函数的概念、性质以及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合、分类讨论思想分析与解决问题的能力．第一问利用极值点列方程组，求出a 和b 的值；第二问先求极值点．第三问要注意整体换元思想，要注意变形的等价性和函数的零点的认识，极值和极值点的理解．[演练1](2012·泰州期末)已知函数f (x )＝12x 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＋12a ln x －2ax . (1)当a ＝－12时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )在f ′(x )的单调区间上也是单调的，求实数a 的范围．解：(1)f (x )＝12x 2－116ln x ＋x (x >0)，f ′(x )＝x －116x ＋1＝16x 2＋16x －116x ＝0，∴x 1＝－2－54，x 2＝－2＋54.∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－2＋54上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2＋54，＋∞上单调递增．∴f (x )在x ＝－2＋54时取极小值． (2)f ′(x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12ax (x >0)，令g (x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12a ，Δ＝4a 2－3a 2－2a ＝a 2－2a ，设g (x )＝0的两根x 1，x 2(x 1<x 2)， (ⅰ)当Δ≤0时，即0≤a ≤2，f ′(x )≥0， ∴f (x )单调递增，满足题意． (ⅱ)当Δ>0时，即a <0或a >2时，①若x 1<0<x 2，则34a 2＋12a <0，即－23<a <0时，f (x )在(0，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，f ′(x )＝x ＋34a 2＋12a x －2a ，f ″(x )＝1－34a 2＋12a x 2≥0， ∴f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，不合题意； ②若x 1<x 2<0，则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a ≥0，a <0，即a ≤－23时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；③若0<x 1<x 2则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a >0，a >0，即a >2时，f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，不合题意．综上得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[0,2]． [典例2](2012·徐州最后一卷)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e ，t 无解；②0<t ≤1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e； ③1e <t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ；所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t ≤1e，t ln t ，t >1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减，x ∈[1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取到．设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易得m (x )max ＝m (1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．本题第一问考查单调和分类讨论的思想；第二问是通过转化与化归思想解决h (x )的最小值问题；第三问有一定的难度，如果直接化成ln x －1e x ＋2e x >0来解决，对p (x )＝ln x －1e x ＋2e x 求导将无法得到极值点，通过将原不等式化归成x ln x >x e x －2e ，分别求f (x )的最小值和m (x )的最大值来研究，则不难获得证明．[演练2]设a ≥0，f (x )＝x －1－ln 2 x ＋2a ln x (x >0)．(1)令F (x )＝xf ′(x )，讨论F (x )在(0，＋∞)内的单调性并求极值； (2)求证：当x >1时，恒有x >ln 2 x －2a ln x ＋1.解：(1)根据求导法则有f ′(x )＝1－2ln x x ＋2ax ，x >0，故F (x )＝xf ′(x )＝x －2ln x ＋2a ，x >0，于是F ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，x >0.列表如下：故知F (x )在(0,2)内是减函数，在(2，＋∞)内是增函数，所以在x ＝2处取得极小值F (2)＝2－2ln 2＋2a .(2)证明：由a ≥0知，F (x )的极小值 F (2)＝2－2ln 2＋2a >0.于是由上表知，对一切x ∈(0，＋∞)，恒有F (x )＝xf ′(x )>0.从而当x >0时，恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)内单调递增．所以当x >1时，f (x )>f (1)＝0，即x －1－ln 2 x ＋2a ln x >0.故当x >1时，恒有x >ln 2 x －2a ln x ＋1. [典例3](2012·泰州中学期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解] (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此，x ＝1是g (x )的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0.因此h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以，g (a )－g (x )<1a ，对任意x >0，成立⇔g (a )－1<1a ，即ln a <1，从而得0<a <e.所以a 的取值范围为(0，e)．(1)先求出原函数f (x )，再求得g (x )，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)对于恒成立问题可转化为求函数的最值问题． [演练3]若不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈(0,1]都成立，则实数a 取值范围是________．解析：显然x ＝1时，有|a |≥1，a ≤－1或a ≥1.令g (x )＝ax 3－ln x ，g ′(x )＝3ax 2－1x ＝3ax 3－1x.①当a ≤－1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x <0，g (x )在(0,1]上递减，g (x )min ＝g (1)＝a ≤－1，此时g (x )∈[a ，＋∞)，|g (x )|的最小值为0，不符合题意． ②当a ≥1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x ＝0⇒x ＝313a .|g (x )|的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫313a ＝13＋13ln (3a )≥1，解得a ≥e 23. 答案：⎣⎡⎭⎫e23，＋∞ [专题技法归纳] (1)利用导数研究函数极值问题需注意解题步骤． (2)根据函数的极值求参数值一定要注意进行检验．(3)利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则实数a 的取值为________．解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝1.答案：－2564或12．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．解析：由曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4.可得曲线C 在点P 处切线的斜率范围为[0,1]，又y ′＝2x ＋2，设点P 的横坐标为x 0，则0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，－12 3．(2012·启东期末)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)·x ＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋(a －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1，结合图象知4≤a －1≤6，故a ∈[5,7]．答案：[5,7]4．(2012·通州中学期末)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x .因为函数f ′(x )存在单调递减区间，所以f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，从而ax 2＋2x －1>0有正解．①当a >0时，y ＝ax 2＋2x ＋1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1>0总有正解； ②当a <0时，y ＝ax 2＋2x ＋1为开口向下的抛物线，要使ax 2＋2x －1>0总有正解，则Δ＝4＋4a >0，解得－1<a <0.综上所述，a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．答案：(－1,0)∪(0，＋∞)5．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，等价于f ′(x )＝0在区间(－1,1)上有实数解，且无重根．又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.从而⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎨⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 6．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值为________．解析：考查线性规划思想，有导函数f ′(x )≤0恒成立构造线性区域，得到b ＋c 的最大值为－152.答案：－1527．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，则f (x )的解析式为________．解析：令x ＝0列一个方程，然后求导，再令x ＝1，列一个方程，从而求出f ′(1)＝e ，f (0)＝1，f (x )＝e x －x ＋12x 2.答案：f (x )＝e x －x ＋12x 28．(2012·南通高中联考)设函数f (x )＝ax ，x ∈[0，π]，且f (x )≤1＋sin x ，则a 的取值范围________．解析：因为f (x )≤1＋sin x ⇔ax ≤1＋sin x . 当x ＝0时，0≤1＋sin 0＝1恒成立．当0<x ≤π时，ax ≤1＋sin x ⇔a ≤1＋sin x x ⇔a ≤⎣⎡⎦⎤1＋sin x x min .令g (x )＝1＋sin xx (0<x ≤π)，则g ′(x )＝x cos x －1－sin xx 2，令c (x )＝x cos x －1－sin x ， c ′(x )＝－x sin x ≤0，x ∈(0，π]．故c (x )在(0，π]上单调递减，c (x )<c (0)＝－1<0. 综上可知x ∈(0，π]时，g ′(x )<0，故g (x )在区间(0，π]上单调递减．所以[g (x )]min ＝g (π)＝1π.故a ≤1π.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，1π 9．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0与g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知，f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，知Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6. 又g (x )＝ax －2a 恒过(2,0)．①若a >6时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (2)<0⇒a >7， ②若a <－2时，a 2<－1，又f (1)>4，显然不成立．答案：(7，＋∞)10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.综上a ＝4.答案：411．(2012·南通学科基地)已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，判断F (x )在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围．解：(1)α＝π3时，f (x )＝12ax 2－32x . ①当a ＝0时，f (x )＝－32x ，不合题意；②当a <0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递增，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递减，而[1,2]⊆⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞，故不合题意； ③当a >0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递减，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递增，f (x )在[1,2]上的最大值是max{f (1)，f (2)}＝f (2)，所以f (1)≤f (2)，即12a －32≤2a －3，所以a ≥1. 综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)a ＝1时，F (x )＝12x 2－2x sin 2α＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， F ′(x )＝x ＋1x－2sin 2α≥2－2sin 2α＝2cos 2 α≥0. ①当cos α≠0时，F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而F (x )在其定义域内没有极值；②当cos α＝0时，F ′(x )＝x ＋1x －2＝(x －1)2x，令F ′(x )＝0，有x ＝1，但是x ∈(0,1)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )也单调递增，所以F (x )在其定义域内也没有极值．综上，F (x )在其定义域内没有极值．(3)据题意可知，令F ′(x )＝ax ＋1x－2sin 2α＝0，即方程ax 2－2x sin 2α＋1＝0在(0，＋∞)上恒有两个不相等的实数根．即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4sin 4α－4a >0，a >0恒成立，因为α∈⎣⎡⎭⎫π6，23π，sin α∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以0<a <116. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，116 12．(2012·苏中五市联考)如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2 km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．(1)如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．解：(1)过S 作SH ⊥RT 于H ，S △RST ＝12SH ·RT .由题意，△RST 在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离；RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P (H )时(如下左图)，上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST ＝12×4×2＝4(km 2)．(2)同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P (如上右图)，再设∠BP A ＝θ，则有S 四边形ABCD ＝12×2×2×sin θ×2＋12×2×2×sin(π－2θ)＝4(sin θ＋sin θcos θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2. 令y ＝sin θ＋sin θcos θ，则y ′＝cos θ＋cos θcos θ＋sin θ(－sin θ)＝2cos 2 θ＋cos θ－1.令y ′＝0，则cos θ＝12，θ＝π3. 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，y ′>0，θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，y ′<0，函数y ＝sin θ＋sin θcos θ在θ＝π3处取到极大值也是最大值，故θ＝π3时，场地面积取得最大值为3 3km 2.。

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04 导数及其应用)

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（04导数及其应用）一、选择题：1．(2013安徽理)若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（）（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6 【答案】 A【解析】使用代值法。

设c x x x x f x x x x x f +-+=⇒-+=+-=623)(633)2)(1(3)('232. ，令29)(2,10)('1121=⇒=⇒-==⇒=c x x f x x x f 1)1()12()2,()(上单调递增，极小值为，上单调递减，在，上单调递增，在在∞+---∞⇒x f ..3)()(0))(('21个根解得有一个根，共解得有二个根，由x x f x x f x f f ==⇒=所以选A2、(2013湖北理) 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（）A. 125ln5+B. 11825ln3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 【解析与答案】令 ()257301v t t t=-+=+，则4t =。

汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫-+=+ ⎪+⎝⎭⎰，故选C 。

【相关知识点】定积分在实际问题中的应用3．(2013湖北文) 已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞答案 B解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x－a )＝ln x ＋1－2ax (x >0)令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx2易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，大致图象如下若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点，∴0<2a <1，∴0<a <12.4．(2013江西理) 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析利用定积分的几何意义知B 正确．5．(2013辽宁理) 设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值 5.【答案】D【解析】由已知，2[()]x e x f x x '=(1)。

2013届高三数学复习讲义(函数应用题)(教师版)

2013届高三数学复习讲义函数应用题1. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记x CD 2=，梯形面积为S ．则S 的最大值是．1. 2732.2.省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1[0,]2a ∈，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[]0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？2.（1）当0x =时，t ＝0；当024x <≤时，12x x+≥（当1x =时取等号）， ∴2110,112x t x x x ⎛⎤==∈ ⎥+⎝⎦+，即t 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，记()223g t t a a =-++则()23,0321,32t a t a g t t a a t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤⎪⎩∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()()2171103,,0232624g a g a g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故()()1171,0,02464211113,0,34242g a a a M a a a g a ⎧⎛⎫⎧≤≤+≤≤ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪+<≤<≤⎪⎪⎩⎩. ∴当且仅当49a ≤时，()2M a ≤.故当409a ≤≤时不超标，当4192a <≤时超标．3.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;(2)设0<v ≤5,试确定下潜速度v ,使总的用氧量最少. 3.4. 如图，在C 城周边已有两条公路12,l l 在点O 处交汇，现规划在公路12,l l 上分别选择A ，B 两处为交汇点（异于点O ）直接修建一条公路通过C 城，已知OC＝km ，075AOB ∠=，045AOC ∠=，设,OA xkm OB ykm ==.（１）求ｙ关于ｘ的函数关系式并指出它的定义域；（２）试确定点A 、B 的位置，使ABC ∆的面积最小.l 2l 1O CBA4．⑴因为AOC △的面积与BOC △的面积之和等于AOB △的面积，所以11145sin 75222x y xy +=，即12y +=，所以2)y x =>． ⑵AOB △的面积1sin 752S xy ===22x x -=424)2x x -++-81)=+．当且仅当4x =时取等号，此时y = 故4km OA =，OB =时，△OAB面积的最小值为21)km ．5.如图，2013年春节，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30︒，已知S米处理）(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60︒的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．5．如图,不妨将摄影者眼部设为S 点,做SC 垂直OB 于C ,,60,30=∠=∠ASB CSB 又,3=SA 故在SAB Rt ∆中,可求得BA =3,即摄影者到立柱的水平距离为3米.由SC =3，,30=∠CSO 在SCO Rt ∆中,可求得,3=OC又,3==SA BC 故,32=OB 即立柱高为32米.(2)连结SM ,SN , 在△SON 和△SOM 中分别用余弦定理,13221)32(13221)32(222222⋅⋅-+-=⋅⋅-+a b 2622=+∴b a211311221122cos 22222>=+≥=-+=∠b a ab ab b a MSN60<∠∴MSN 故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.6.现有一张长为80cm ，宽为60cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。

江苏省2013届高考数学(苏教版)二轮复习专题1 集合)

专题1函数的性质及应用(Ⅰ)回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，基础题、中档题、难题都有涉及.在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008年和2009年考查了函数的基本性质，在2010年、2011年和2012年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查.值得注意的是在2008～2012年的高考题中没有单独考查：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念.这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关考查，难度不一. (2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想是考查的重点.1．(2009·江苏高考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：a ＝5－12∈(0,1)，函数f (x )＝a x 在R 上递减．由f (m )>f (n )得m <n . 答案：m <n2．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－13．(2010·江苏高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0，解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，∴x 的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)4．(2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.答案：－345．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a24＝0，即a 2＝4b .因为x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9[典例1](2012·如皋测试)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围． [解] (1)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x .则f ′(x )＝1x2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，即a <2x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立．设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2.又x >1，∴h ′(x )>0.∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )>h (1)＝3，故a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．(3)∵f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，∴mn >0. 当n >m >0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴m ＝f (m )，n ＝f (n )．故x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正根m ，n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2>0，Δ＝a 2－4>0，解得a >2. 当m <n <0时，可证f (x )＝a ＋1x 在(－∞，0)上是减函数．∴m ＝f (n )，n ＝f (m )，即x ∈(0，＋∞)时，⎩⎨⎧a ＋1m ＝n ， ①a ＋1n ＝m ， ②①－②得1m －1n＝n －m ，∴n －m mn ＝n －m ，而m ≠n ，故mn ＝1，代入①，得a ＝0. 综上所述，a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．本题综合考查反比例函数、绝对值等内容，对等价转换的要求比较高，第一问很常规，可以通过定义法和导数法解决，入手比较简单；第二问方向发散，分离参数是较好的方法；第三问要求较高，既考查知识点的转化能力，又考查对方程组数据的处理能力，本问就凸显出两种处理方程组的方法：作差和转化成二次方程的根，而这正是这几年江苏高考的一大特色．[演练1](2012·南通学科基地)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，求k 的取值范围．解：由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a 2－b －k ＝－b⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，且k －x ≥0在(－∞，2]上恒成立，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎡⎭⎫2，94. [典例2](2012·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m . (1)若方程f (x )＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)由题意可知，|x －m |＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，而方程|x －m |＝|m |在R 上的解集为x ＝0或x ＝2m ，所以2m ≥－4且2m ≠0.所以m 的取值范围为[－2,0)∪(0，＋∞)．(2)原命题等价于“f (x )的最小值大于g (x )的最大值”对任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≤4，m －4，m >4.对任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9，m <3，m 2－7m ，m ≥3.①当m <3时，0>m 2－10m ＋9，解得1<m <3； ②当3≤m ≤4时，0>m 2－7m ，解得3≤m ≤4； ③当m >4时，m －4>m 2－7m ，解得4<m <4＋2 3. 综上所述，m 的取值范围为()1，4＋23.本题综合考查一次函数、二次函数、绝对值符号等知识，对思维的要求很高，要理解“若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立”的意义，即f (x )的最小值大于g (x )的最大值．[演练2]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0，其中b >0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．解：(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2. ∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2＝－2.且有f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.(2)记方程①：2＝x ＋a (x >0)，方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a (x ≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根⇒a <2，方程①没有实数根⇒a ≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4(2－a )>02－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－14a ≤2⇒－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根．∴2－a <0或Δ＝0，即a >2或a ＝－14.综上可知，当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a <2；当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎡⎦⎤－14，2. [典例3]已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；(3)设h (x )＝f (x )x ，若函数h (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时， f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图(如右图所示)． (2)当x ∈[1,2]时， f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a ≠0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a.当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3. 当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a <14时， f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <14，2a －14a －1， 14≤a ≤12，3a －2， a >12.(3)当x ∈[1,2]时，h (x )＝ax ＋2a －1x－1，在区间[1,2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则h (x 2)－h (x 1)＝⎝⎛⎭⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝⎛⎭⎫ax 1＋2a －1x 1－1＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫a －2a －1x 1x 2 ＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－(2a －1)x 1x 2.因为h (x )在区间[1,2]上是增函数，所以h (x 2)－h (x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立．当a >0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a ≤1，解得0＜a ≤1.当a <0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，除了用定义法来解决还可以等价转化成h ′(x )≥0对于任意的x ∈[1,2]恒成立来解决．[演练3](2012·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．解析：因为a ，b 为正实数，所以函数f (x )是单调递增的．所以f (1)＝a ＋b ＋2＝4得到a ＋b ＝2.所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋12＝－32.答案：－32[专题技法归纳](1)解决函数问题重点是挖掘出函数性质，利用性质解题，特别是奇偶性和单调性． (2)研究单调区间问题时一定要注意在函数的定义域内进行．(3)研究函数最值问题时，要注意函数的定义域，特别是分段函数，要分别求出最值再比较．1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 013)＝________.解析：f (x )是周期函数，周期为6， f (2 013)＝f (3)＝－f (0)＝0. 答案：02．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 解析：若f (0)＝2得到t ＝±2，经检验t ＝±2都不成立；若f (1)＝2得到t ＝－3,1，经检验t ＝－3不成立；若f (3)＝2得到t ＝5,1，经检验t ＝5不成立．综上得t ＝1.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )．由f (x )为奇函数，得函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示．那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.答案：－8 4．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)， (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)由3－ax ≥0得定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，3a . (2)当a >1时，y ＝3－ax 递减并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，求得a ∈(1,3]；当a <1时，y ＝3－ax 递增并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，得到a <0.综上得a <0或1<a ≤3.答案：(1)⎝⎛⎦⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 5．已知函数f (x )＝2x2x ＋1，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝________.解析：∵f (x )＋f (－x )＝1.∴f (－5)＋f (5)＝f (－4)＋f (4)＝f (－3)＋f (3)＝f (－2)＋f (2)＝f (－1)＋f (1)＝1. 又f (0)＝12，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝112.答案：1126．若函数y ＝3＋x 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12的最大值与最小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝________.解析：函数的图象关于(0,3)对称，并且具有中心对称的函数在对称区间上的最大值与最小值之和为对称中心纵坐标的2倍，故答案为6.7．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：y ＝x n ＋1的导函数为y ′＝(n ＋1)x n⇒y ′| x ＝1＝n ＋1.∴切线是y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0得切点的横坐标x n ＝n n ＋1. ∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg (x 1x 2…x 99)＝ lg ⎝⎛⎭⎫12·23·…·9899·99100＝lg 1100＝－2. 答案：－28．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为________．解析：由f (x 1)＋f (2x 2)＝1，得log 2x 1－1log 2x 1＋1＋log 2(2x 2)－1log 2(2x 2)＋1＝1，即log 2x 2＝4log 2x 1－1.于是log 2(x 1x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1＋4log 2x 1－1≥5，当且仅当log 2x 1＝3时等号成立．所以f (x 1x 2)＝log 2(x 1x 2)－1log 2(x 1x 2)＋1＝1－2log 2(x 1x 2)＋1≥23.答案：239．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，则最大的正整数m 为________．解析：作出函数y ＝e |x －2|和y 2＝e x 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4.答案：410．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________．解析：因为当x ∈(－1,1]时，将函数化为方程x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y ＝x 3与第二个半椭圆(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解．将y ＝x 3代入(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)得(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0.由Δ＝(8t )2－4×15t (t ＋1)>0，得t >15.由9m 2>15，且m >0得m >153. 同样将y ＝x 3代入第三个椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)．由Δ<0可计算得m <7.综上知m ∈⎝⎛⎭⎫153，7. 答案：⎝⎛⎭⎫153，7 11．设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值； (2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解：(1)由已知f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，从而x >－1，故f (x )在x ≥12a 时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，则x ＝1时f (x )取最小值为f (1)＝a －1.由a 24－(a －1)＝(a －2)24>0知，f (x )的最小值为a －1. 12．函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.解：(1)证明：设x1<x2，∴x2－x1>0.∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)．∴f(x)在R上为增函数．(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)．∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．11。

江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编3：函数的应用汇总

江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编3：函数的应用一、解答题1 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,()ABCD AB AD >为长方形薄板,沿AC 折叠后,AB '交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好.(1)设AB =x 米,用x 表示图中DP 的长度,并写出x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?2 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100kC x x kx =≥+为常数). 记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. (1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式; (2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元?3 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试）在路边安装路灯,灯柱AB 与地面垂直,灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直,且120ABC ∠=,路灯C 采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知60ACD ∠=,路宽24AD =米,设灯柱高AB h =(米),ACB θ∠=(3045θ≤≤)(1)求灯柱的高h (用θ表示);(2)若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同,记此用料长度和为S ,求S 关于θ的函数表达式,并求出S 的最小值.CD（第17题）B 'PCBAD4 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD 为半圆的直径,O 为半圆的圆心,1,2AB BC ==,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ,其底边MN BC ⊥.(1)设备30MOD ∠=︒,求三角形铁皮PMN 的面积; (2)求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.5 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9cm 和15cm ,从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度; (2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合),从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时,βα+最小?6 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）要制作一个如图的框架(单位:米),要求所围成的总面积为19.5(米2),其中ABCD 是一个矩形,EFCD 是一个等腰梯形,梯形高h=12AB, tan ∠FED=34,设AB=x 米,BC=y 米. (Ⅰ)求y 关于x 的表达式;(Ⅱ)如何设计x,y 的长度,才能使所用材料最少?ABDCPβα 第17题图7 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）如图,某广场中间有一块扇形绿地OA B,其中O 为扇形所在圆的圆心,60AOB ∠=︒,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在AB 上选一点C,过C 修建与OB 平行的小路CD,与OA 平行的小路CE,问C 应选在何处,才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大,并说明理由.8 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为O ,半径为R (米)的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形灯托EA ,EB ,EC ,ED 所在圆的圆心都是O 、半径都是R (米)、圆弧的圆心角都是θ(弧度);灯杆EF 垂直于地面,杆顶E 到地面的距离为h (米),且h R >;灯脚1FA ,1FB ,1FC ,1FD 是正四棱锥1111F A B C D -的四条侧棱,正方形1111A B C D 的外接圆半径为R (米),四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ(弧度).已知灯杆、灯脚的造价都是每米a (元),灯托造价是每米3a(元),其中R ,h ,a 都为常数.设该灯架的总造价为y (元) .(1)求y 关于θ的函数关系式;(2)当θ取何值时,y 取得最小值?119 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为d 的均匀介质,两侧的温度差为T ∆,单位时间内,在单位面积上通过的热量T Q k ∆=⋅,其中k 为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅,空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅.)(1)设室内,室外温度均分别为1T ,2T ,内层玻璃外侧温度为1T ',外层玻璃内侧温度为2T ',且1122T T T T ''>>>.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用1T ,2T 及x 表示); (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计x 的大小?10．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l 上设立了A 、B 两个报名点,满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处(点D 异于A 、B 两点),然后乘同一艘游轮前往C 岛.据统计,每批游客A 处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设∠α=CDA ,每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元.⑴写出S 关于α的函数表达式,并指出α的取值范围; ⑵问中转点D 距离A 处多远时,S 最小?11．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图所示,有两条道路OM 与ON ,060MON ∠=,现要铺设三条下水管道OA ,OB ,AB (其中A ,B 分别在OM ,ON 上),若下水管道的总长度为3km ,设()OA a km =,()OB b km =.(1)求b 关于a 的函数表达式,并指出a 的取值范围;(2)已知点P 处有一个污水总管的接口,点P 到OM 的距离PH为,到点O 的距离PO,问下水管道AB 能否经过污水总管的接口点P ?若能,求出a 的值,若不能,请说明理由.12．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx +800)元(其中k 为常数) .经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. (每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用所有建筑面积).(1)求k 的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?13．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y =0.05(x 2+4x +8)作为报销方案;(2)若该单位决定采用函数模型y =x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案,请你确定整数a 的值.(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.3)14．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ,O 为半圆的圆心,12OC r =,残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以BC 为斜边;如图乙,直角顶点E 在线段OC 上,且另一个顶点D 在AB 上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.15．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办,展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ,BC a =,CD b =.a ,b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区(点E ,F 分别在线段AB ,AD 上),且该直角三角形AEF 的周长为(2l b >),如图.设AE x =,△AEF 的面积为S . (1)求S 关于x 的函数关系式;(2)试确定点E 的位置,使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大,并求出S 的最大值.（第17题甲图）（第17题乙图）16．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）将一张长8cm,宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为S1cm2,S2cm2,其中S1≤S2.记折痕长为l cm.(1)若l=4,求S1的最大值;(2)若S1∶S2=1∶2,求l的取值范围.参考答案1．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）解:(1)由题意,AB x =,2BC x =-.因2x x >-,故12x << 设DP y =,则PC x y =-. 因△ADP ≌△CB P ',故PA PC x y ==-.由222PA AD DP =+,得 2221()(2)2(1)x y x y y x-=-+⇒=-,12x <<(2)记△ADP 的面积为1S ,则 11(1)(2)S x x =--23()2x x=-+≤-,当且仅当x =,S 1取得最大值米,宽为2-米时,节能效果最好 (3)记△ADP 的面积为2S ,则 221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+,12x << 于是,3222142(2)02x S x x x x-+'=--==⇒= 关于x 的函数2S在上递增,在上递减.所以当x =时,2S 取得最大值米,宽为2米时,制冷效果最好本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形为载体,再现对基本不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理,在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心.在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值情况.2 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）】解: (1) (0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费 [来源:学科网ZXXK]由(0)24100k C ==,得2400k = 所以24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++(2)因为18000.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥-=+当且仅当18000.5(5)5x x =++,即55x =时取等号，所以当x 为55平方米时, F 取最小值为59.75万元 (说明:第(2)题用导数可最值,类似给分)3 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）BCD（第17题）B 'P4 ．(1)设MN 交AD 交于Q 点∵∠MQD =30°,∴MQ =21,OQ =23(算出一个得2分) S △PMN =21MN ·AQ =21×23×(1+23)=8336+ (2)设∠MOQ =θ,∴θ∈[0,2π],MQ =sin θ,OQ =cos θ ∴S △PMN =21MN ·AQ =21(1+sin θ)(1+cos θ)=21(1+sin θcos θ+sin θ+cos θ) 令sin θ+cos θ=t ∈[1,2],∴S △PMN =21(t +1+212-t ) θ=4π,当t =2,∴S △PMN 的最大值为4223+ 5 ．⑴作AE ⊥CD ,垂足为E ,则9CE =,6DE =,设BC x =,则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAE CAD CAE DAE CAE DAE ∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++ 961961x x x x==-⋅+,化简得215540x x --=,解之得,18x =或3x =-(舍) 答:BC 的长度为18m⑵设BP t =,则18(018)CP t t =-<<, 2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++设227()18135tf t t t =--++,222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++,令()0f t '=,因为018t <<,得27t =,当27)t ∈时,()0f t '<,()f t 是减函数;当27,18)t ∈ 时,()0f t '>,()f t 是增函数,所以,当27t =时,()f t 取得最小值,即tan()αβ+取得最小值, 因为2181350t t --<+恒成立,所以()0f t <,所以tan()0αβ<+,(,)2αβπ∈π+, 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数,所以当27t =时,αβ+取得最小值. 答:当BP 为27)m 时,αβ+取得最小值 67 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）【答案】8 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）9 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为1Q ,2Q ,则312121410T T T T Q ---=⨯⋅=, 3431112222410 2.51041044T T T T T T Q x ---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''---===⨯⨯⨯ 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯12T T -=(2)由(1)知21121Q Q x =+, 当1=4%时,解得12x =(mm). 答:当12x =mm 时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%10．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）【答案】解: (1)由题在ACD ∆中,2,,10,333CAD ADC AC ACD πππα∠=∠==∠=-. 由正弦定理知102sin sin sin 33CD AD ππαα==⎛⎫- ⎪⎝⎭,得210sin 3sin CD AD πα⎛⎫- ⎪⎝⎭==240sin 348121248080sin S AD BD CD CD AD παα⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=++=-+=+26033x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)'S =,令'0S =,得1cos 3α= 当1cos 3α>时,'0S <;当1cos 3α<时,'0S >,∴当1cos 3α=时S 取得最小值此时5sin sin 53sin 4AD αααα+===+∴中转站距A处204+千米时,运输成本S 最小 11．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）12．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）【解】(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米,所有建筑费用为[(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k +800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,1270=16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k +800)+(5k +800)］×1 000×1010×1 000×5,解之得:k =50(2)设小区每幢为n (n ∈N*)层时,每平方米平均综合费用为f (n ),由题设可知f (n ) =16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+…+(50n +800)］×1 000×1010×1 000×n=1 600n+25n +825≥2 1 600×25+825=1225(元)当且仅当1 600n=25n ,即n =8时等号成立答:该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1 225元13．【答案】【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数,满足条件①,当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③ 但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ,设f (x )= x -2ln x +a ,则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2,10]上是增函数,满足条件①,由条件②,得x -2ln x +a ≥x 2,即a ≥2ln x -x2在x ∈[2,10]上恒成立,令g (x )=2ln x -x 2,则g ´(x )=2x －12=4－x2x,由g ´(x )>0得x <4,∴g (x )在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2由条件③,得f (10)=10-2ln10+a ≤8,解得a ≤2ln10-2另一方面,由x -2ln x +a ≤x ,得a ≤2ln x 在x ∈[2,10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述,a 的取值范围为[4ln2-2,2ln2], 所以满足条件的整数a 的值为114．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）【答案】如图甲,设DBC α∠=, 则3cos 2r BD α=,3sin 2r DC α=, 所以29sin 216BDC S r α=△ 2916r ≤, 当且仅当π4α=时取等号, 此时点D 到BC 的距离为34r ,可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部,因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r如图乙,设EOD θ∠=,则cos OE r θ=,sin DE r θ=, 所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△,ππ[,]32θ∈设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+,则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-,当ππ[,]32θ∈时,()0f θ'≤,所以π3θ=时,即点E 与点C 重合时,BDE △222916r >,所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,215．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）解:(1)设AF y =,则x y l +=,整理,得222()l lx y l x -=- 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==,](0,x b ∈（第17题甲图）（第17题乙图）(2)()()]22'22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+=⋅=⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当b ≤时,'0S >,S 在](0,b 递增,故当x b =时,()()max 24bl b l S b l -=-;当b >时,在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上,'0S >,S 递增,在,x b ⎫∈⎪⎪⎭上,'0S <,S 递减,故当x =时,2max S =. 16．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）解如图所示,不妨设纸片为长方形ABCD ,AB =8cm,AD =6cm,其中点A 在面积为S 1的部分内. 折痕有下列三种情形:①折痕的端点M ,N 分别在边AB ,AD 上;②折痕的端点M ,N 分别在边AB ,CD 上; ③折痕的端点M ,N 分别在边AD ,BC 上.(1)在情形②､③中MN ≥6,故当l =4时,折痕必定是情形①.设AM =x cm,AN =y cm,则x 2+y 2=16因为x 2+y 2≥2xy ,当且仅当x =y 时取等号,所以S 1=12xy ≤4,当且仅当x =y =22时取等号.即S 1的最大值为4(2)由题意知,长方形的面积为S =6×8=48. 因为S 1∶S 2=1∶2,S 1≤S 2,所以S 1=16,S 2=32.当折痕是情形①时,设AM =x cm,AN =y cm,则12xy =16,即y =32x .由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x≤6，得163≤x ≤8.所以l =x 2＋y 2=x 2＋322x 2,163≤x ≤8设f (x )=x 2+322x 2,x >0,则f ′(x )=2x -2×322x 3=2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x3,x >0.故 x 163 (163,42) 4 2 (42,8)8 f ′(x )-+ f (x )6449↘ 64↗80所以f (x )的取值范围为[64,80],从而l 的范围是[8,45]; 当折痕是情形②时,设AM =x cm,DN =y cm,则12(x +y )×6=16,即y =163-x .由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163.所以l =62＋(x －y )2=62＋4(x －83)2,0≤x ≤163.ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN所以l 的范围为[6,21453];当折痕是情形③时,设BN =x cm,AM =y cm,则12(x +y )×8=16,即y =4-x .由⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4.所以l =82＋(x －y )2=82＋4(x －2)2,0≤x ≤4. 所以l 的取值范围为[8,45].综上,l 的取值范围为[6,45]。

江苏省启东中学2013届高三高考考前辅导数学试题(含答案)

江苏启东中学2013届高三高考考前辅导数学试题填空题《统计问题》1．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a= ，b= 。

2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为____.《概率问题》1．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y ab+=表示焦点在x 轴上且离心率的椭圆的概率为．2．在圆错误！未找到引用源。

=4所围成的区域内随机取一个整点P(x,y)（横，纵坐标都是整数点），则满足错误！未找到引用源。

的整点的概率为 .《三角问题》1．在错误！未找到引用源。

中，D 为BC 的中点，∠BAD=错误！未找到引用源。

,∠CAD=错误！未找到引用源。

AB=错误！未找到引用源。

,则AD= .2．已知sin(错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

(错误！未找到引用源。

则cos 错误！未找到引用源。

. 3．若错误！未找到引用源。

.4．在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a += .5．若角 C 是一三角形内角，关于x 的不等式错误！未找到引用源。

的解集为错误！未找到引用源。

，则角C 的最大角为 .6．已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边c b a ,,成等比数列，则ABsin sin 的取值范围为。

《立几问题》1．已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAB 是等边三角形，侧面SCD 是以CD 为斜边的直角三角形，E 为CD 的中点，则三棱锥S-AED 的体积 .2．设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列的四个命题：（1）若,m n m α⊥⊥，则//n α；（2）若α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直（3）若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥（4）若//,,//,m n n ααβ⊥则m β⊥其中，所有真命题的序号是．《切线问题》1．已知f(x)=错误！未找到引用源。

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2013年养正中学高三数学应用题专题复习养正中学郑明铿2013.5.22整理一、应用题解题步骤（1）读题：阅读理解题目的文字表达，分清条件和结论，理清数量关系，因果关系；（2）建模：将文字内容转化为数学语言，选择合理的数学模型，利用相关的数学知识转化题目内容；（3）解题：利用相关的数学理论，求解所建数学模型的合理解，注意实际问题对数学模型的条件限制；（4）答题：将通过数学模型求出的答案转化为实际问题的结论。

二、应用题常建数学模型（1）优化问题：实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决；（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决；（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值；（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决；（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决。

三、常见题型回顾函数为主线1．通过课题研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律：定义)(t f 越大，表明学生注意力越集中。

经过实验分析得知：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=)4020(3807)2010(240)100(10024)(2t t t t t t t f（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？解：（1）当时100≤<t ，244)12(10024)(22+--=++-=t t t t f 是增函数，且240)10(=f ；时当4020≤<t ，3807)(+-t t f 是减函数，且240)20(=f .所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.（2）205)25(,195)5(==f f ，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.当100≤<t 时，4,18010024)(2==++-=t t t t f 则；当4020≤<t ，（3）令57.28,18387)(2≈=+-=t t t f 则，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.2．为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000平方米的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC 、CD 、DE ，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10米长的防护砖墙AB 、EF ，若当BC 的长为x 米时，所砌砖墙的总长度为y 米，且在计算时，不计砖墙的厚度，求（1）y 关于x 的函数解析式)(x f y =；（2）若BC 的长不得超过40米，则当BC 为何值时，y 有最小值，并求出这个最小值.解：（1）()()0x 20x50002x x f y >++==（2）令x 50002x =得]40050x ，（∉= 因此20x50002x y ++=在（0，40]内递减，故y 的最小值为f(40)=225m, x=40m.3. 如图所示,有一块边长为1km 的正方形区域A B C D ,在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角P A Q ∠始终为4π弧度(其中点P Q 、分别在边B C C D 、上运动),设P A B θ∠=,tan t θ=.(1)试用表示出P Q 的长度,并探求C P Q ∆的周长;(2)求探照灯照射在正方形A B C D 内部区域的面积S 的最大值.解：(1)设BPt=, 1C Pt=-,01t ≤≤,4D A Qπθ∠=-,1tan ()41t D Qtπθ-=-=+,12111t t C Q tt-=-=++.∴211tP Qt+==+,2211111t tl C P C QP Q t tt+=++=-++=++为定值.河道AB E F(2)122(1)(01)21A B P A D Q A B C DS S S S t t t∆∆=--=-++≤≤+正方形.又函数211yt t=+++在[0,1]上是减函数,在1,1]上是增函数,∴2131t t≤++≤+,∴1122(1)2221t t≤-++≤-+.所以探照灯照射在正方形A B C D 内部区域的面积S 的最大值为22)km -.4．一化工厂因排污趋向严重,2011年1月决定着手整治.经调研,该厂第一个月的污染度为60,整治后前四个月的污染度如下表;污染度为0后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:()204(1)f x x x =-≥,220()(4)(1)3g x x x =-≥,2()30lo g 2(1)h x x x =-≥,其中x 表示月数,()()()f x g x h x 、、分别表示污染度. (参考数据:4771.03lg ,3010.02lg ==)(Ⅰ)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;(Ⅱ)如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60,若以比较合理的模拟函数预测,该厂最晚在何时开始进行再次整治?解：(Ⅰ) (2)40,(2)26.7,(2)30f g h =≈=(3)20,(3) 6.7,(3)12.5f g h =≈≈由此可得()h x 更接近实际值,所以用()h x 模拟比较合理(Ⅱ)因2()30lo g 2h x x =-在4x ≥上是增函数,又因为(16)60h =这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60, 故应在2012年5月起开始再次整治5．已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。

⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式； ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。

（注：价值损失的百分率100%-=⨯原有价值现有价值原有价值；在切割过程中的重量损耗忽略不计）解⑴依题意设2(0)y k ωω=>，又当3ω=时，54000y =，∴6000k =，故26000(0)y ωω=>。

⑵设这块矿石的重量为a 克，由⑴可知，按重量比为1:3切割后的价值为22136000()6000()44a a +，价值损失为222136000(6000()6000())44a a a -+，价值损失的百分率为2222136000[6000()6000()]44100%37.5%6000a a a a-+⨯=。

⑶解法1：若把一块该种矿石按重量比为:m n 切割成两块，价值损失的百分率应为22221[()()]()m n mn m nm nm n -+=+++，又2222()212()()2m nmn m n m n +⋅≤=++，当且仅当m n =时取等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。

解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为:1x ，则价值损失的百分率为222121[()()]1121x xx x x x -+=++++，又0x >，∴212x x +≥，故222121222x x x x x x≤=+++，等号当且仅当1x =时成立。

答：⑴函数关系式26000(0)y ωω=>； ⑵价值损失的百分率为37.5%；⑶故当重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。

6．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=当1x c ≤≤时，16P x=-，21192(1)2()1666x x T x x xxx-∴=-⋅⋅-⋅⋅=---综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x xx c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0 当1x c ≤≤时，2926x x T x-=-9152[(6)]6x x=--+-15123≤-=当且仅当3x =时取等号所以()i 当36c ≤<时，m ax 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x-=-在[1,3]上递增，2m ax 926c c T c-∴=-，此时x c =综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润解析几何为主线7．某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处。

经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离之和为8海里处发现过鱼群。

以A 、B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

（1）求曲线C 的标准方程；（2）某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为3:5，能否确定P 处的位置（即点P 的坐标）？解（1）由题意知曲线C 是以A 、B 为焦点且长轴长为8的椭圆又42=c ，则4,2==a c ，故32=b所以曲线C 的方程是1121622=+yx6分xBAyO∙∙（2）由于A 、B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为3:5，因此设此时距A 、B 两岛的距离分别比为3:5 7分即鱼群分别距A 、B 两岛的距离为5海里和3海里。

8分设),(y x P ，)0,2(B ，由3=PB ∴3)2(22=+-yx ，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=+=+-4411216922222x y xy x ， ∴3,2±==y x ∴点P 的坐标为()3,2或()3,2- 12分8．已知舰A 在舰B 的正东，距离6公里，舰C 在舰B 的北偏西30︒，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A 发现动物信号，4秒后，舰B ，C 同时发现这种信号，A 于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A 炮击的方位角。