第六章——附有参数的条件平差
附有系统参数的平差及其参数显著性检验
附有系统参数的平差及其参数显著性检验摘要：通过对测量误差中系统误差影响及重要性的分析，对附有系统参数平差原理进行了探讨，得出了其平差数学模型和系统参数显著性检验的方法，最后利用某实测数据进行验证计算。
关键字：系统参数；平差；显著性检验1.引言观测误差按性质分为三种成分：粗差、系统误差、偶然误差。
但在经典平差中，通常假定观测值中仅包含系统误差。
经典平差中是假定观测误差中不含有系统误差，但测量实践证明，尽管在观测过程中会采用各种观测措施减少系统误差，并在观测后对观测数据进行了必要的处理，但难以避免观测值中仍含有系统误差。
因此，在平差前完全剔除粗差和消除系统误差的影响是不可能的。
随着测量精度的不断提高，对平差结果的精度要求也愈来愈高，近年来出现了通过平差剔除粗差和消除系统误差对平差结果影响的方法。
传统上剔除观测值的粗差，通常是在平差之前进行，比如采用避免粗差的观测程序，增加多余观测，以及用几何条件闭合差控制粗差等，尽管采用这些措施，一些小的粗差仍然是不可避免的。
1968年，巴尔达（W.Baarda）在他的名著《大地网的检验方法》中，首先用数理统计方法阐述了测量系统的可靠性理论和检验粗差的“数据探测(Data-Snooping)”法。
为在平差过程中自动剔除粗差提供了理论基础；而对平差过程中消除系统误差对平差结果影响的方法，在航空摄影测量学中称为自检校平差。
这种平差方法的基本思想是，在仅含偶然误差模型式的基础上，加入一些附加参数（或称系统参数）用以补偿在观测数据中存在的系统误差对平差结果的影响。
但在函数模型中加入附加参数后，可能会引起附加参数之间或附加参数与基本参数之间的强相关，而使法方程性质恶化，为使法方程性质不致变坏，应剔除一些参数。
附加参数的统计检验就是解决这个问题的。
随着对测量精度的要求越来越高，一些精密工程测量中考虑了系统参数对平差结果的影响。
比如在高速铁路的CPIII测量中、大型GPS网的监测等。
第六章附有参数条件平差
阶可逆对称阵） （Nbb是U阶可逆对称阵）
ˆ V = −QA N ( Bx + W )
T
−1 aa
ˆ L = L +V ˆ = X0 +x ˆ X
二、附有参数的条件平差的计算步骤及示例
１、计算步骤可归结为 根据平差问题， 个独立参数（ u<t）， ），建 １）根据平差问题，设U个独立参数（ u<t），建 立附有参数的条件平差函数模型； 立附有参数的条件平差函数模型； 根据数学模型的系数组法方程； ２）根据数学模型的系数组法方程； 解算法方程、求改正数V ３）解算法方程、求改正数V； 计算观测量的平差值； ４）计算观测量的平差值； 检查平差计算的正确性。 ５）检查平差计算的正确性。
ˆ ϕ =Φ(L X) ˆ, ˆ
n1 u1 思考： 思考： 1）需要先求出哪些量的协因数阵？ 2）求平差值函数的中误差的步骤？
ˆ ϕ =Φ(L X) ˆ, ˆ
n1 u1
ˆ ˆ ∂Φ ˆ ∂Φ ˆ ˆ dϕ = dL + dX ˆ ˆ ∂L ∂X ˆ ˆ = F T d L + F XT d X = F
V = P A K = QA K， 3 （）
T
−1 T
ˆ x
式称为改正数方程 改正数方程。 则（3）式称为改正数方程。
把上述的三组方程， 把上述的三组方程，即：
A + Bˆ + w = 0 V x
T V = P A K =Q TK A
−1
BT K = 0
称为附有参数的条件平差的基础方程。 称为附有参数的条件平差的基础方程。 基础方程 而把下式： 而把下式：
Q LW QWW Q XW ˆ QKW QVW Q LW ˆ
附有参数的条件平差法方程法方程法方程华北科技学院习题附
1
法方程：1
2
2
x2
8
0
\
3 2 0Ks 5
华北科技学院
第9章习题
5、
v1 v2
v1
v3 v4 v4 v5
5 0 6 0 3 0
v1
xˆ
0
试问： (1)以上函数模型为何种平差方法的模型？ (2)本题中，n,t,r,c,u,s分别是多少？
A V B xˆ W 0
cn n1 cu cu c1
C
su
xˆ
u1
Wx
s1
0
法方程
NBaaTKK
Bxˆ CT
W 0 Ks 0
Cxˆ Wx 0
华北科技学院
第9章习题
某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t
= 6，现选取2个独立的参数参与平差，应列出多 少个条件方程？
HA X1 X2 X3 - HB 0
间接平差：
h1 X1
h2 X1 HB - HA
h3 X3 HB - HA
华北科技学院 h4 X3 ，h5 X2
第9章习题
（2）u=2.不独立 附有限制条件的条件平差 r+u=5
h1 X1 0
h2 X2 0
h1 h5 h3 0
h2 h5 h4 0
HA X1 X2 HB 0
华北科技学院
第9章习题
2、A，B为已知点，C为
06 附有参数的条件平差
LL
2 ˆ0 =σ QX ˆX ˆ
§6-2 精度评定
v 三、平差值函数的中误差 ˆ −L ˆ −L ˆ +L ˆ ˆ1 = ∠BAC = 180 − X ϕ 8 6 1 ˆ −L ˆ −L ˆ +L ˆ) sin( 180 X − 8 6 1 ˆ =S ˆ2 = S ϕ BD AB ˆ +L ˆ) sin( L
−QVV
−NaaQKK AQ
N aa
T −QXX ˆˆB
− BQXX ˆˆ
−1 N bb
− N aa QKK
0
−1 −1 − N bb N aa T −1 BQXX B N ˆˆ aa
ˆ X
K
0
QKK AQ
−QKK AQ
−QKK N aa
0
0
V
−QVV
Q − QVV
−QAT QKK N aa
0
QAT QKK
• （2）用常数项与联系数
V T PV = K T N aa K = −W T K
§6-2 精度评定
v 二、观测值函数的协因数
L = L 0 W = AL + W −1 T −1 0 0 X ˆ ˆ = + = − X x X N B N 基本向量 bb aaW −1 −1 ˆ 关系式 K = − N aaW − N aa Bx V = QAT K = −QAT N −1W aa ˆ = L +V L
§6-1 附有参数的条件平差原理
v 二、计算步骤
t
根据平差问题的具体情况，选取u个独立参数， 列出附有参数的条件方程式
c , n n ,1
ˆ+ B X ˆ+A = 0 AL 0
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、怎样学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地掌握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行复习，只有这样才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章主要说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容以及本课程的任务。
第二章误差分布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；对于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
Chapter6-附有参数的条件平差
6.1 附有参数的条件平差原理
问题引入
测角网中，A、B为已知点，AC
为已知边。观测了网中的9个角 度，则
观测总数n=9 必要观测数t=5 多余观测数r=4
如何列条件方程？？？
L1 L2 L3 180 L4 L5 L6 180
基本函数模型
cn n1
A L B X A0 0
cu u1 c1
c1
代入
n1
L L V
0
u 1
X X x
得到： 其中
cn n1
ˆ W 0 AV B x
cu u1 c1
c1
W A L B X 0 A0
cn n1 cu u1
3
6.1 附有参数的条件平差
概念
在平差过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中，如果又选了u个独立量作为参数
参加平差计算，就可建立含有参数的条件方程作为 平差的函数模型，这就是附有参数的条件平差。
基本函数模型如下：
cn n1
A L B X A0 0
cu u1 c1
c1
6.1 附有参数的条件平差
1 令Nbb BT Naa B
B K 0
T
ˆB N W 0 B N Bx
T T
1 aa
1 aa
1 ˆ BT N aa Nbb x W 0
1 ˆ W) V P 1 AT N aa (Bx
1 T 1 ˆ Nbb x B N aa W
例题
角度 L1 L2
观测值 59°59′4 0″
A P1 h1 h3 h6 P3
7第六章 附有参数的条件平差
Q F T Q F F T Q Fx FxT Q F FxT Q FxT
LL LX XL XX
17
§3 公式汇编和示例
2、平差示例
各角度的观测值如右表所示： 现以∠BAD为参数,求：
① 计算观测值和参数的平差值；
② 计算观测量平差值和参数平 差值的精度。
cn n1
A B x W 0
cu u1 c1
此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个。
4
第六章：附有参数的条件平差 一、问题的提出：为什么要设定未知参数？ （1）为了方便列立条件。 （2）为了在条件平差过程中，直接估计一 些量以及其精度。如：
T
1 ˆ 其解： x N bb1 B T N aa W ⑤
1
解法一： （纯量形式）
②代入①
c , n n , n n ,c T ˆ A P 1 A K B x W 0 c ,1 c ,u u ,1 c ,1 c ,1
⑤ 代入②得：
1 ˆ V P 1 AT K P 1 AT N aa (W Bx)
测绘工程专业基础核心课程
误差理论与测量平差基础
Error Theory and fundation of surveying Adjustment
韦 建 超 湖南科技大学建筑学院
第六章：附有参数的条件平差
1
2 3
§1 附有参数的条件平差原理
§2 精度评定
§3 公式汇编和示例
第六章：附有参数的条件平差
B C 16 15 7
P2
18 3
17 14 13 P1 1 12 10 4
6.5 第二十讲 附有条件的间接平差资料
QWW BT PQPB BT PB N bb ,
1 1 T 1 1 1 1 T 1 1 T QX ( N N C N CN ) Q ( N N C N CN ˆX ˆ bb bb cc bb WW bb bb cc bb )
1 1 T 1 1 1 1 T 1 1 ( N bb N bb C N cc CN bb ) N bb ( N bb N bb C N cc CN bb )
T
Av W 0 W ( AL A0 )
2018/11/1
v B~ x l l L ( BX 0 d )
2
第二十讲
附有限制条件的间接平差
附有限制条件的间接平差： 看成是特殊的间接平差； 特殊在所选参数个数要比 间接平差时个数多； 参数个数ｕ：ｕ＞t 函数模型的个数： ｃ=ｎ+（ｕ-t）=ｎ+ｓ 函数模型的类型： 1.按间接平差的观测方程、 2.未知数之间的条件方程（限 ~ ~ 制条件式）。 L F(X ) ~ 函数模型可表示为： ( X )0
u ,1 u ,s s ,1
ˆ Wx 0. C x
s ,u u ,1 s ,1
2018/11/1 12
第二十讲
附有限制条件的间接平差
u ,u
法方程解法一（显性形式）： 用
1 CN bb
ˆ CT Ks W 0 N bb x
u ,1 u ,s s ,1 u ,1
左乘（1）-（2）得：
s ,u u ,1 s ,1
B PB x C T K s B T Pl 0,
T
u,n
B
T
n , n n ,1
P V C Ks O.
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BT K 0
第六章——附有参数的条件平差
令
N aa AP 1 AT
则
Naa K Bxˆ W 0 BT K 0
(4)
（4）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为
rk (N aa ) rk ( AP 1 AT ，) 且rk ( A) c
Hale Waihona Puke ，所以NT aa
(是AP 满1 AT秩)T 的AP对1 A称T 方N阵aa ，其逆N a存a 在。于是，用
B
T
N
1 aa
B)
rk (B)
u
,且N bb
N 1 bb
，故
N bb 是满
秩的对称方阵，其逆存在。于是，由（7）式得：
xˆ
N
1 bb
B
T
N
aa1W
将（5）式代入（2）式的第一式，得：
（8）
V
P
1
AT
N
1 aa
(Bxˆ
W
)
（9）
（8）式和（9）式就是附有参数的条件平差的最终解。
第六章——附有参数的条件平差
第六章——附有参数的条件平差
为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作
为参数。例如图中选择 X 作为参数。设选择了u个参数，则原来 的r个条件方程就变为c = r+u个了。如图中，由于选择了X 作为参
数，则条件方程的个数就变为c = r+u = 4+1=5个，即除了三个图 形条件外，还可以列出1个极条件和1个固定边条件。如下图，若 以A点为极，则极条件为：
数，并令其为零，即
2V T P 2K T A 0 V 2K T B 0 xˆ
第六章——附有参数的条件平差
亦即
V P1 AT K
BT K 0
（2）
将（1）式和（2）式联立，则得到附有参数的条件平 差的基础方程：
AV Bxˆ W 0
V P 1 AT K
（3）
BT K 0
将（3）式中的第二式代入第一式，消去改正数V，得： AP1 AT K Bxˆ W 0
2、附有参数的条件平差的计算步骤
由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下： （1）、根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附有参
数的条件方程（1）式。 （2）、组成法方程（4）式。
（3）、按（8）式和（9）式计算参数近似值的改正数 xˆ 和观测值L
的改正数V。
（4）、按计算观测值和参数的平差值。 （5）、用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。
由图知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件。
这4个条件如下： v1 v2 v3 wa 0
v4 v5 v6 wb 0
sin Lˆ4 sin
sin(Lˆ1 Xˆ ) sin(Lˆ3 Lˆ5 Lˆ5 sin(Lˆ2 Lˆ4 ) sin Xˆ
1
根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平差，称为 附有参数的条件平差。
第六章——附有参数的条件平差
§6-1 附有参数的条件平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
A V B xˆ W 0 （1）
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的改正数。其系数
V T PV min 的一组解。为此，下面就来求解这组解。
第六章——附有参数的条件平差
1、 基础方程及其解 为了求得解能使 V T PV min 的一组解，按求函数之条 件极值的方法，组成新函数：
V T PV 2K T ( AV Bxˆ W )
式中K是对应（6-1）式的联系数向量。
为了求函数 的极小值，将其分别对V和 xˆ 求一阶导
第六章——附有参数的条件平差
sin(Lˆ5 Lˆ7 ) sin Xˆ sin Lˆ6 sin(Lˆ9 Xˆ ) sin(Lˆ6 Lˆ8 ) sin Lˆ5
1
固定边条件为（由AC推算AB）：
或
S AB
S AC
sin(Lˆ6 sin
Lˆ8 )sin Xˆ sin Lˆ3
Lˆ2
S AC sin(Lˆ6 Lˆ8 )sin Lˆ2 S AB sin Xˆ sin Lˆ3
左乘（4）式的第一式，可得：
N 1 aa
(5)
再以（5）式带入K （ 4N）aa式1(B的xˆ 第W二) 式，得：
B
T
N
1 aa
Bxˆ
BT N aa1W
0
第六章——附有参数的条件平差
令 则有
N bb
B
T
N
1 aa
B
N bb xˆ BT N aa1W 0
(6) （7）
因为
rk (Nbb )
rk
(
第六章——附有参数的条件平差
第六章 附有参数的条件平差
§6-1 附有参数的条件平差原理 §6-2 精度评定
第六章——附有参数的条件平差
问题的提出
由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（n>t）的条件 平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条 件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中， 有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出。例如，在下图所示 的测角网中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9个角 度，即n=9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为t=5， 故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须列出4个独立的条件方程。 由图知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。
教材：6－1，6－2 习题：6.1.05， 6.1.09
第六章——附有参数的条件平差
3、 举例 某三角网如图所示，A、B为已知点，BD为已知边。其已
知数据为：
xA 1000 .00m, yA 0.00m, xB 1000 .00m, yB 1732 .00m, SBD 1000 .00m
各角的同精度独立观测值见表1。现选 DAB 的最或 是值为参数，试按附有参数的条件平差求观测值的平 差值和参数的平差值。
第六章——附有参数的条件平差
表1
角号
观测值
角号
观测值
1
600003
4
595957
2
600002
5
595956
3
600004
6
595959
第六章——附有参数的条件平差
本例中n = 6，t = 3，r = 3，u = 1，故c = r + u = 4
矩阵的秩分别为 rk ( A) c, rk (B) u 。其随机模型为：
DLL
2 0
QLL
2 0
P
1
（1）式中的未知数为n个观测值的改正数V 和u个参数近似值的改正
数 xˆ ，即未知数的个数为m = n + u，而方程的个数为
c = r + u。由于m – c = n – r = t > 0，所以（1）式是一组具有无穷 多组解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出能使