具有参数的条件平差

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附有参数的条件平差

附有参数的条件平差
Naa K Bxˆ W 0 BT K 0
4)按式(8)和式(9)计算参数近似值的改正
数 xˆ 和观测值L的改正数V。

N
1 bb
B
T
N aa1W
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
5)计算观测值和参数的平差值。
Lˆ L V , Xˆ X 0 xˆ
6)用平差值重新列平差值条件方程,检核整个 计算的正确性。
QLK QWK Q XˆK QKK QVK QLˆK
QLV QWV Q XˆV QKV QVV QLˆV
QLLˆ QWLˆ
Q XˆLˆ QKLˆ
QVLˆ
QLˆLˆ
Q
L
W

K
V

L
Q
QAT QAT Naa1BQXˆXˆ QA T QKK
QVV
Q QVV
W
AQ
N aa
BQXˆXˆ
解 : 本题n=3 ,t=2,r=n-t=1,又设u=1 ,故条件方
程的总数等于2。 两个平差值条件方程为
lˆ1lˆ2 lˆ3 0 lˆ3 Xˆ 0
将 Lˆi Li vi Xˆ X 0 xˆ,X 0 l3 , 代入以上条件方程,
并将它们线性化,可得
l2v1 l1v 2 v3 l1l2 l3 0 v3 xˆ 0
误差理论与测量平差
附有参数的条件平差
1.平差原理
一般地,附有参数的条件平差的函数模型为:
(1) A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数,xˆ 为参数近似值 X 0 的
改正数。其系数矩阵的秩分别为 rk(A) c, rk(B) u

平差总结(sy)

平差总结(sy)

一、填空1.误差来源:测量仪器、观测者、外界条件。

2.误差分类:偶然误差、系统误差、粗差。

3.测量平差的基本任务:是处理一系列带有偶然误差的观测值,求取未知量的最佳估值,评定测量成果的精度。

4.偶然误差的四个特性:有限性、单峰性、对称性、有偿性。

5.水准测量中,观测值权的大小主要取决于或的大小。

6.独立观测值Li(i=1,2,3...n)的权均为p,则算术平均值x=L/n的权为np 。

7.间接平差法是以为函数模型的平差方法。

8.衡量精度的指标:中误差、平均误差、然误差。

9.相对中误差的概念为(中误差与观测值之比)其表示为(1/N)二、名词解释1.偶然误差:在相同观测条件下做一系列的观测,如果误差在大小和符号上都表现出偶然性,即从单个误差来看该列误差的大小和符号没有规律性,但就大量误差的总体而言,具有一定的统计规律,这种误差称为偶然误差。

系统误差:在相同观测条件下做一系列的观测,如果误差在大小和符号上都表现出系统性,或者在观测过程中按照一定的规律变化,或者为某一常数,这种误差称为系统误差。

2.测量平差:依据某种最优化准则,由一系列带有观测误差的测量数据,求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。

3.数学期望:随机变量取值的概率平均值协方差:是描述两随机变量的相关度偶然误差的特性:在一定观测条件下,误差的绝对值有一定的限值绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大绝对值相等的正负值出现的概率相同偶然误差数学期望为04.精度:就是指误差分布的密度或离散程度。

✓协方差传播定律:由观测值中误差求取观测值函数的中误差或方差,解决精度问题✓协因数传播定律:由观测值协因数求取观测值函数的协因数阵权:表示各观测值方差之间比例关系的数字特征水准测量定权的方法1.根据测站的观测高差定权2.根据距离的观测高差定权2.测量上确定权的常用方法?水准测量的权、同精度观测值的算术平均值的权5.单位权中误差:权为1的观测值的中误差(与单位权对应的观测值的中误差)必要元素:能够唯一确定一个几何模型所必要的元素6.条件方程:一个几何模型的独立量个数最多为t个,除此之外,增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式,这种函数关系式在测量平差中称为条件方程。

测量平差经典试卷含答案

测量平差经典试卷含答案

一、填空题(每空2分,共20分)1、最优估计量应具有的性质为 、 和 最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。

2、间接平差中,未知参数的选取要求满足 、 。

3已知条件平差的法方程为024322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k ,则PV V T = ,μ= , 1k p = ,2k p = 。

4、已知某平差问题,观测值个数为79,必要观测量个数为35,则按间接平差进行求解时,误差方程式个数为 ,法方程式个数为 。

5、已知某平差问题观测值个数为50,必要观测量个数为22,若选6个独立参数按具有参数的条件平差进行求解,则函数模型个数为 ,联系数法方程式的个数为 ;若在22个独立参数的基础上,又选了4个非独立参数按具有条件的参数平差进行求解,则函数模型个数为 ,联系数法方程式的个数为 。

6、条件平差中条件方程的个数等于________________,所选参数的个数等于_______________。

7、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ,则单位权中误差公式为 ,当权阵P 为 此公式变为中误差公式。

二、计算题(每题2分,共20分)1、条件平差的法方程等价于:A 、0=+W K Q KB 、0=+W Q K WC 、0=+W P K WD 、0=+W P K K答:______2、水准测量中,10km 观测高差值权为8,则5km 高差之权为:A 、2B 、4C 、8D 、16答:______3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆3112P ,则2L p 为:A 、2B 、3C 、25D 、35答:______4、间接平差中,L Q ˆ为:A 、TA AN 1- B 、A N A T1-C 、T A AN P11--- D 、A N A P T 11---答:______5、观测条件是指:A)产生观测误差的几个主要因素:仪器,观测者,外界条件等的综合B)测量时的几个基本操作:仪器的对中,整平,照准,度盘配置,读数等要素的综合 C)测量时的外界环境:温度,湿度,气压,大气折光……等因素的综合. D)观测时的天气状况与观测点地理状况诸因素的综合答:______ 6、已知观测向量()L L L T=12的协方差阵为D L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪3112,若有观测值函数Y 1=2L 1,Y 2=L 1+L 2,则σy y 12等于(A)1/4 (B)2 (C)1/2 (D)4 答:_____ 7、已知观测向量()L L L T=12的权阵P L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪2113,单位权方差σ025=,则观测值L 1的方差σL 12等于:(A) (B) (C)3 (D)253答:____ 8、已知测角网如下图,观测了各三角形的内角,判断下列结果,选出正确答案。

《测量平差》学习辅导

《测量平差》学习辅导

《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点(一)内容:测量误差的概念、测量误差来源、分类;偶然误差概率特性;各种精度指标;真误差定义;协方差传播律;权与定权的常用方法;协因数传播律;权逆阵及其传播规律。

(二)基本要求:1.了解测量平差研究的对象和内容;2.掌握偶然误差的四个概率特性;3.了解精度指标与误差传播偶然误差的规律;4.了解权的定义与常用的定权方法;5.掌握协方差传播率。

(三)重点:偶然误差的规律性,协方差、协因数的概念、传播律及应用;权的概念及定权的常用方法。

(四)难点:协方差、协因数传播率二、复习题(一)名词解释1.偶然误差2.系统误差3.精度4.单位权中误差(二)问答题1.偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的,常用的定权方法有哪些?(三)计算题σ的量测中误差1.在1:500的图上,量得某两点间的距离d=23.4mm,dσ。

σ=±0.2mm,求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 (一)名词解释1.偶然误差:在一定条件下做一系列的观测,如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性,但就大量误差总体而言,具有统计性的规律,这种误差称为偶然误差。

2.系统误差:在一定条件下做一系列的观测,如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性,或者为某一常数,或者按照一定的规律变化,这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。

3.精度:表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度,即各种观测结果与其中数的接近程度。

4.单位权中误差:权等于1的中误差称为单位权中误差。

(二)问答题1.答:有四个概率特性:①在一定观测条件下,误差的绝对值有一定的限值,或者说超出一定限值的误差出现的概率为零;②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大;③绝对值相等的正负误差出现的概率相同;④偶然误差的数学期望为零。

2.答:设i L (i=1,2,3,…,n ),他们的方差为2i σ,如选定任一常数0σ,则定义:22ip σσ=,称为观测值L i 的权。

第三章条件平差

第三章条件平差

独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网(测角)
• 例:
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时,其条件式个数各为多 少?有哪些类型?
图形条件(内角和条件):
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件(水平条件):
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾:
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成:
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式:
W AL A0
AV W 0
这样一来,对于一个平差问题,我们能够得到 其数学模型:
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是: 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现,不能求得V的唯一解!!! 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足:
极条件(边长条件):
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件(边长条件)就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1) 单三角形 2)大地四边形
3)中点多边形。

第五章条件平差

第五章条件平差

二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV-2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导: T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为: 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD

ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f

F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数,且 f i、g i 均为x的函数, d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意:当N为满秩方阵时,才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边+测方向
边角网
(导线网) 测边+测角
三、三角网的布设--从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ; 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网(经典自由网)---只有必要起算数据d。
非独立网(附合网)---已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件: n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件:
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0

1.2教案《误差理论与测量平差》第二章平差数学模型与最小二乘原理

1.2教案《误差理论与测量平差》第二章平差数学模型与最小二乘原理

授课题目:第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法:理论讲授 教学手段:多媒体课件教学;以电子课件为主,投影及板书相结合为辅,使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。

本章教学时数:4学时内容提要:主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念;测量平差的函数模型及两种平差的基本方程:条件方程和误差方程式;其它函数模型:附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差,以及平差的随机模型的概念及形态;平差基本方程的线性化,最小二乘原理。

教学要求:理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念,掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理,会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。

本章重点:重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法,平差随机模型的意义和形态,以及最小二乘原理在测量平差中的应用。

教学难点:教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。

本章教学总的思路:地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系,测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素,如角度(或方向值)、边长、高差的最佳估值,必须满足地理空间几何图形的基本数学关系,这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础,在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立,进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型,并说明平差的随机模型的概念。

为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式,其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项,从而完成线性化;在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上,讲解最小二乘原理,并举例验证,以此突破本课程难点内容的教学。

最后对教学重点内容作概括性总结,使学生加深理解与认知的程度。

§1测量平差概述本节教学时数:0.5学时本节重点:(1)测量元素-—角度(方向)、长度、高差、几何图的数学关系(2)观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用;(3)观测值、改正数、最优改正数、最优估值,平差的概念本节教学思路:以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例,说明测量观测值、平差值、几何图数学关系,平差模型与平差的概念,为下一节的讲讲解作好知识铺垫。

测量平差经典试卷含答案

测量平差经典试卷含答案

1一、填空题(每空2分,共20分)1、最优估计量应具有的性质为 、 和 最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。

2、间接平差中,未知参数的选取要求满足 、 。

3已知条件平差的法方程为024322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k ,则PV V T = ,μ= , 1k p = ,2k p = 。

4、已知某平差问题,观测值个数为79,必要观测量个数为35,则按间接平差进行求解时,误差方程式个数为 ,法方程式个数为 。

5、已知某平差问题观测值个数为50,必要观测量个数为22,若选6个独立参数按具有参数的条件平差进行求解,则函数模型个数为 ,联系数法方程式的个数为 ;若在22个独立参数的基础上,又选了4个非独立参数按具有条件的参数平差进行求解,则函数模型个数为 ,联系数法方程式的个数为 。

6、条件平差中条件方程的个数等于________________,所选参数的个数等于_______________。

7、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ,则单位权中误差公式为 ,当权阵P 为此公式变为中误差公式。

二、计算题(每题2分,共20分)1、条件平差的法方程等价于:A 、0=+W K Q KB 、0=+W Q K WC 、0=+W P K WD 、0=+W P K K答:______2、水准测量中,10km 观测高差值权为8,则5km 高差之权为:A 、2B 、4C 、8D 、16答:______ 3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆3112P ,则2L p 为:A 、2B 、3C 、25D 、35 答:______4、间接平差中,L Q ˆ为:A 、TA AN 1- B 、A N A T1-C 、T A AN P11--- D 、A N A P T 11---答:______5、观测条件是指:A)产生观测误差的几个主要因素:仪器,观测者,外界条件等的综合B)测量时的几个基本操作:仪器的对中,整平,照准,度盘配置,读数等要素的综合 C)测量时的外界环境:温度,湿度,气压,大气折光……等因素的综合.D)观测时的天气状况与观测点地理状况诸因素的综合 答:______ 6、已知观测向量()L L L T=12的协方差阵为D L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪3112,若有观测值函数Y 1=2L 1,Y 2=L 1+L 2,则σy y 12等于(A)1/4 (B)2 (C)1/2 (D)4 答:_____7、已知观测向量()L L L T=12的权阵P L =--⎛⎝ ⎫⎭⎪2113,单位权方差σ025=,则观测值L 1的方差σL 12等于:(A) (B) (C)3 (D)253答:____ 8、已知测角网如下图,观测了各三角形的内角,判断下列结果,选出正确答案。

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return (i >= j) ? i*(i + 1) / 2 + j : j*(j + 1) / 2 + i; } ////////////////////////////////////////////////////// //显示提示信息 void MyBreak(char *fmt, ...) {
Q[i] = P[i];
if (inverse(Q, n) == false)
5
Jack 专属
{ MyBreak("观测值的权矩阵奇异!"); return -1.0;
}
for (int i = 0; i < r; i++) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
double nij = 0.0; for (int k = 0; k < n; k++) {
}
fprintf(fp, fmt, A[i]); } fprintf(fp, "\n"); } ///////////////////////////////////////////////////////////////////// // 向文件输出对称矩阵(下三角元素) void PrintM2(FILE *fp, double M[], int n, int t, char *fmt, char *title, bool IsLabel) { if (title)
//法方程系数矩阵求逆 if (inverse(N, t) == false) {
delete[]U; return -1.0; }
//计算X for (int i = 0; i < t; i++)
4
Jack 专属
{ X[i] = 0.0; for (int j = 0; j < t; j++) X[i] += N[ij(i, j)] * U[j];
#endif//VC_EXTRALEN
}
/////////////////////////////////////////////// // 对称正定矩阵求逆(仅存下三角元素) bool inverse(double a[], int n) {
double *a0 = new double[n]; for (int k = 0; k < n; k++) {
fprintf(fp, "\n%s:", title);
int index = 0; for (int i = 0; i < n; i++) {
if (IsLabel) fprintf(fp, "\n%3d", i + 1);
else fprintf(fp, "\n ");
for (int j = 0; j <= i; j++) {
if (inverse(N, r) == false) {
delete[]Q; delete[]N;
6
return -1.0; }
Jack 专属
double m = Co_Adjust(r, t, A, W, N, X, QX, V); for (int i = 0; i < t; i++)
X[i] = -X[i];
char buffer[256]; va_list argptr; va_start(argptr, fmt); vsprintf_s(buffer, fmt, argptr);def VC_EXTRALEN AfxMessageBox(buffer);
#else printf(buffer); getchar();
double pvv = Calculate_q(P, V, n);//权倒数计算
return sqrt(pvv / (n - t));
}
///////////////////////////////////////////////////////////// // 具有参数的条件平差 double Condition_With_X(int n, int r, int t, bool correlative, double B[], double A[], double W[], double P[], double X[], double QX[], double V[]) {
ki += N[ij(i, j)] * V[j]; } K[i] = ki; }
//计算向量V double pvv = 0.0; if (correlative)//观测值相关 {
for (int i = 0; i < n; i++) {
double vi = 0.0; for (int k = 0; k < n; k++) {
if (j>0 && j%t == 0) fprintf(fp, "\n ");
fprintf(fp, fmt, M[index++]); }
} fprintf(fp, "\n"); }
////////////////////////////////////////////////////////// // 权倒数计算函数 double Calculate_q(double *Q, double *F, int t) {
for (int s = 0; s < r; s++) {
vi += Q[ij(i, k)] * B[s*n + k] * K[s];
7
Jack 专属
} } V[i] = vi; } pvv = Calculate_q(P, V, n);
} else //观测值独立 {
for (int i = 0; i < n; i++) {
else a0[i] = ai0 / a00;
for (int j = 1; j <= i; j++) {
a[(i - 1)*i / 2 + j - 1] = a[i*(i + 1) / 2 + j] + ai0*a0[j];
} } for (int i = 1; i < n; i++) {
a[(n - 1)*n / 2 + i - 1] = a0[i]; } a[n*(n + 1) / 2 - 1] = 1.0 / a00; } delete[]a0; return true; }
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //具有参数的条件平差算例 void Condition_With_X_Example() {
FILE *fp; fopen_s(&fp, "data.txt", "r"); if (fp == NULL) {
double *Q = new double[n*(n + 1) / 2];//观测值的权逆阵 double *N = new double[r*(r + 1) / 2];//法方程系数矩阵
//
计算矩阵N
if (correlative)//观测值相关
{
for (int i = 0; i < n*(n + 1) / 2; i++)
for (int s = 0; s < n; s++) {
for (int i = 0; i < t; i++) {
U[i] += A[k*t + i] * P[ij(k, s)] * L[s]; for (int j = 0; j <= i; j++) {
N[ij(i, j)] += A[k*t + i] * P[ij(k, s)] * A[s*t + j]; } } } }
if (title) fprintf(fp, "\n %s: ", title);
int j = 0; for (int i = 0; i < size; i++) {
if (i%t == 0) {
j++; if (IsLabel)
fprintf(fp, "\n%3d", j);
2
Jack 专属
else fprintf(fp, "\n");
double a00 = a[0]; if (a00 + 1.0 == 1.0)
1
Jack 专属
{ delete[]a0; return false;
} for (int i = 1; i < n; i++) {
double ai0 = a[i*(i + 1) / 2];
if (i <= n - k - 1) a0[i] = -ai0 / a00;
if (m < 0.0) {
delete[]Q; delete[]N; return -1.0;
}
double *K = new double[r]; for (int i = 0; i < r; i++) {
double ki = 0.0; for (int j = 0; j < r; j++) {
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